TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun des nombres ayant la même probabilité d être tiré A Intuition contre modèle discret Dans cette question, on ne cherche pas à démontrer les résultats proposés, mais simplement à énoncer des résultats, conformément à la perception intuitive du problème On tire au hasard un nombre réel de l intervalle [0 ;] La probabilité de tirer 0,2 est : La probabilité de tirer un nombre de l intervalle [0 ;0,5] est : La probabilité de tirer un nombre de l intervalle 0; 3 est : La probabilité de tirer un nombre de l intervalle 0;50 est : 2 a L intervalle [0 ;[ contient dix nombres d au plus une décimale : 0 ; 0, ; 0,2 ; ; 0,9 Cet intervalle contient d au plus deux décimales Cet intervalle contient d au plus dix décimales b Dans toute cette question on considère uniquement les nombres de l intervalle [0 ;[ qui s écrivent avec au plus dix décimales On appelle «nombre de type T» un tel nombre et U désigne l ensemble de tous ces nombres On tire au hasard un tel nombre : PT0,2345678 La probabilité de tirer le nombre 0,2345678 est : La probabilité de tirer un nombre de type T dans l intervalle [0 ;0,5[ est : P0 T 0,5 De même : P0 T 5 0 = 3 a Le modèle de la question 2 donne-t-il une modélisation de la situation conforme à notre intuition? Pourquoi? b Pour améliorer le modèle de la question 2, on peut augmenter le nombre de décimales utilisées Si on note n n 0 le nombre de décimales utilisées, la probabilité d obtenir 0,2345678 est maintenant égale à Que devient cette probabilité si n tend vers? B Modélisation continue Dans cette partie, on note X la variable aléatoire qui, à un tirage associe le nombre réel obtenu On considère que, pour tout nombre a de l intervalle 0;, la probabilité que le nombre choisi X soit dans l intervalle[0; ] a est : 0; Avec cette modélisation : P X a a P X 0;0,5 ; P X 0; 3 Intuitivement : P X a On admet que P X a On a donc On dit que X suit la loi uniforme sur l intervalle 0; ; P X 0;5 0 P X a P X a a TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité

2 En utilisant les propriétés des probabilités, on montre que Pa X b 3 On remarque que, pour tout réel a de l intervalle [0 ;], P X a est l aire, en unités d aire, du domaine grisé sur le graphique ci-contre Pour pouvoir généraliser la notion de modèle continu, on cherche à obtenir une P X a nouvelle expression de a En calculant l aire du domaine grisé à l aide d une intégrale, donner l expression de P X a b Vérifier alors les résultats obtenus pour P X a et Pa X b avec 0 a b Remarque : dans le cas discret, la probabilité d un événement est la somme des probabilités des issues qui le réalise, dans le cas continu, la probabilité d un événement «a X b», où X suit la loi uniforme sur 0; est une intégrale 2) Définition 0 a Définition Soit ab ; un intervalle de avec a b Une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur absi, ; pour tout intervalle I inclus dans ab, ; la probabilité de l événement «X I» est l aire du domaine D sous la courbe de f sur I, où f est la fonction constante définie sur ab ; par f x b a Donc, pour tout intervalle cd ; inclus dans ab, ; d Pc X d d x c b a La fonction définie sur ab ; par f x b a est appelée fonction de densité de la loi uniforme sur ab ; Rappel : le domaine D sous la courbe de f sur un intervalle I est l ensemble des points M x; y tels que : x I et 0 y f x Exemple Soi f la fonction définie sur 3;5 par f x 2 Représenter la courbe de f et calculer l aire du domaine sous la courbe de f sur l intervalle 3;5 Propriété Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur ab ; d c longueur de [ c; d] Pour tous réels c et d tels que a c d b, Pc X d b a longueur de [ a; b] TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 2

Conséquences : Pa X b ; Pour tout réel m de ab, ; P X m 0 ; Pour tous réels c et d de ab ; tels que c d, Pc X d Pc X d Pc X d Pc X d Exercice Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur 2;7 Déterminer les probabilités suivantes : P 4 X 5 3 P X 6 ; PX ; Exercice 2 Aux heures d ouverture d une gare de banlieue, un train passe toutes les heures à destination de Paris Un voyageur qui n a pas eu le temps de se renseigner sur les horaires, se présente dans la gare On note X la variable aléatoire donnant le temps d attente, en minutes, de ce voyageur dans la gare Quelle loi suit la variable aléatoire X? 2 Calculer la probabilité que le voyageur attende : a exactement 5 minutes ; b entre 5 et 30 minutes ; c Plus de 40 minutes Exercice 3 Soit AB un segment de longueur 0 cm On choisit au hasard un point M sur AB et on note X la variable aléatoire donnant la distance AM en cm Quelle loi suit la variable aléatoire X? 2 Calculer la probabilité que le point M: a soit le milieu I de AB ; b appartienne au segmentac où C est le point de AB tel que AC 3 ; c soit plus près de B que de I 3) Espérance, variance et écart type On utilise un prolongement au cas continu de l espérance, de la variance et de l écart type d une variable aléatoire discrète a) Espérance Définition Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur ab, ; et f la fonction de densité de cette loi uniforme c'est-à-dire la fonction définie sur abpar ; f x b a b On appelle espérance de X, le réel noté E X, défini par d E X xf x x a Remarque : E X représente la valeur moyenne de X Propriété L espérance d une variable aléatoire X suivant la loi uniforme sur ab ; est : E X a b 2 TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 3

Démonstration Exercice 4 Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur ;5, Calculer Exercice 5 On reprend la situation de l exercice Quel est le temps moyen d attente? b) Variance et écart type E X Définition Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur ab, ; et f la fonction de densité de cette loi uniforme c'est-à-dire la fonction définie sur abpar ; f x b a 2 b On appelle variance de X, le réel noté V X, défini par V X x E X f x dx On appelle écart type de X, le réel noté X, défini par X V X Exercice 6 Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur ;7 Donner la fonction de densité f de la loi uniforme sur ;7 2 Calculer E X 3 En utilisant la définition de la variance, calculer V X et en déduire X a Propriété Si X est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur ab ; : V X b a 2 et X 2 b a 2 Exercice 7 X est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur 0;4 Préciser la fonction de densité de cette loi uniforme P 0,2 X 3,5 2 Déterminer les probabilités suivantes : ; P X ; 0,5 3 Calculer l espérance E X et en donner une interprétation 4 Calculer la variance V X et donner l écart type X P X Exercice 8 Le standard téléphonique d un grand magasin limite la durée d attente en transférant le plus vite possible les appels sur d autres postes On s intéresse aux appels dont la durée d attente est comprise entre 0 secondes et minute On note T la variable aléatoire qui, à un appel pris au hasard associe la durée d attente en secondes On admet que T suit la loi uniforme sur l intervalle 0;60 Donner la fonction de densité de T 2 Déterminer les probabilités suivantes : P A où A est l événement «la durée d attente pour un tel appel pris au hasard est inférieure à 20 secondes» TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 4

P B où B est l événement «la durée d attente pour un tel appel pris au hasard est supérieure à 40 secondes» PC où C est l événement «la durée d attente pour un tel appel pris au hasard est comprise entre 20 et 40 secondes» 3 Déterminer l espérance 4 Déterminer la variance VT Exercice 9 On donne l algorithme suivant : ET et en donner une interprétation N prend la valeur S prend une valeur réelle au hasard entre 0 et Tant que S< N prend la valeur N+ S prend la valeur S+une valeur réelle au hasard entre 0 et Fin tant que Afficher N a Quelle est la loi suivie par la première valeur prise par S? b Expliquer ce que fait l algorithme c Le programmer sur la calculatrice Le faire fonctionner 50 fois et noter les valeurs obtenues Faire la moyenne de ces 50 valeurs d Faire la moyenne de l ensemble des valeurs obtenues par la classe On montre que le nombre moyen de tirages nécessaires pour que la somme de réels tirés au hasard dans 0; est égal à e II Loi exponentielle ) Définition Dans l étude de la radioactivité ou d un système non soumis à un phénomène d usure, le calcul de probabilité relève d une définition similaire à celle donnée pour une loi uniforme mais avec une fonction de densité de la forme x e x Définition Soit un réel strictement positif Une variable aléatoire T à valeurs dans 0; suit la loi exponentielle de paramètre si, pour tout intervalle borné I inclus dans 0;, la probabilité de l événement «T I» est l aire du domaine D sous la courbe x de f sur I, où f est la fonction définie sur 0; par f x e Donc, pour tout intervalle ; inclus dans 0;, x d P T e x La fonction définie sur exponentielle de paramètre x 0; par f x e est appelée fonction de densité de la loi TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 5

Exercice 0 On considère la fonction f définie sur 0; par 0,02 0,02e f x x Etudier le sens de variation de f et calculer la limite de f en 2On a tracé ci-contre la courbe C f, représentative de la fonction f At, exprimée en unité d aire, de a Calculer l aire la partie du plan délimité par la courbe C f, les axes de coordonnées et la droite d équation x t, où t 0 lim At b Calculer t c Que peut-on dire de l aire sous la courbe de f sur 0;? 0,02 0,0 A(t) 0 50 t C f 00 50 200 Propriété Soit T une variable aléatoire à valeurs dans0; T suit la loi exponentielle de paramètre si et seulement si pour tout 0 P T t e t t, Remarque : Comme pour la loi uniforme PT t 0 et PT t PT t Exercice On considère la variable aléatoire T qui suit la exponentielle de paramètre 0,02 Donner la fonction de densité de la loi exponentielle de paramètre 0,02 2 Calculer les probabilités suivantes : 200 PT 20;50 a PT 00 ; b PT ; c Exercice 2 La durée de vie, en heures, d une diode est une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,0008 Déterminer la probabilité que la diode : a tombe en panne avant 4 000 h ; b fonctionne sans panne au moins 5 000 h ; c tombe en panne entre la 4 000 e et la 5 000 e heure 2 Pour une autre diode, la durée de fonctionnement, en heures, est une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle La probabilité que la diode fonctionne plus de 2000 h est égale à 0,02 déterminer le paramètre Exercice 3 On s intéresse à la durée de vie, exprimée en semaines, d un composant électronique On modélise cette situation en supposant que la durée de vie de ce composant électronique est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre Une étude statistique montre qu environ 50% d un lot important de ces composants sont encore en état de marche au bout de 200 semaines ln 2 Montrer que 200 2 Quelle est la probabilité qu un de ces composants pris au hasard ait une durée de vie supérieure à 300 semaines TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 6

2) Espérance On procède par analogie avec la loi uniforme pour définir l espérance d une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre On appelle espérance de T le réel défini par lim Propriété ( admise ) E T tf t dt Si une variable aléatoire T suit une loi exponentielle de paramètre, alors ET Exercice 4 La durée de vie, en heure, d un composant électronique est une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,00005 Déterminer la probabilité que le composant électronique : a tombe en panne avant 0 000 h ; b fonctionne sans panne au moins 5 000 h ; c tombe en panne entre la 0 000 e et la 5 000 e heure On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à 0-3 2 Calculer l espérance de T et en donner une interprétation Exercice 5 Une nuit d été, Sarah ouvre sa fenêtre et voit une étoile filante On suppose que dans les conditions de cette nuit, la variable aléatoire T qui donne le temps, en minutes, entre deux apparitions d étoiles filantes suit une loi exponentielle de paramètre a Sachant qu il y a en moyenne cette nuit là 50 étoiles filantes visibles par heure, déterminer le paramètre Dans la suite de l exercice, donner les probabilités demandées arrondies à 0-3 b Calculer la probabilité que Sarah attende moins d une minute avant qu une deuxième étoile filante soit visible c Calculer la probabilité qu il n y ait pas d étoile filante visible pendant 5 min d Déterminer le réel t tel que PT t 0,9 Comment interpréter ce résultat? III Loi normale ) Introduction A Un peu d intuition, un peu de simulation Trois personnes choisissent chacune au hasard indépendamment l une de l autre un nombre réel compris entre 0 et On appelle N, N2 et N 3 les nombres choisis respectivement par chaque personne On s intéresse à N N N2 N3 a dans quel intervalle varie N? b Donner une réponse intuitive à la question suivante : «le choix de N, N2 et N 3 se fait suivant la loi uniforme sur 0;, leur somme N suit-elle la loi uniforme sur 0;3? Autrement dit, a-ton la même probabilité d obtenir un nombre N entre 0 et, qu un nombre N entre et 2? 2 Pour conforter ou non l intuition, on teste avec la calculatrice a Entrer un programme qui génère trois nombres aléatoires A, B, C et qui affiche la somme S de ces trois nombres b Utiliser ce programme 5 fois de suite en notant chaque fois si le résultat est entre 0 et, entre et 2 ou entre 2 et 3 La somme S semble-t-elle suivre une loi uniforme sur 0;3? B Avec 40 valeurs On suppose maintenant que 40 personnes choisissent chacune au hasard indépendamment l une de l autre un nombre réel compris entre 0 et On s intéresse à la somme S des 40 nombres choisis TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 7 0

Dans quel intervalle varie S? 2 On a simulé 500 fois sur un tableur l obtention de S Les valeurs obtenues ont été rassemblées en 20 classes de même largeur On donne ci-dessous un diagramme des fréquences : les valeurs en abscisses sont les centres des classes Répondre par lecture graphique aux questions suivantes : a En quoi l observation de ce diagramme permet de conjecturer que S ne suit pas une loi uniforme sur 0;40? Pour cette simulation, on obtient, pour la série des 500 valeurs de S, la moyenne 9,93 et l écart type,84 b Evaluer la fréquence de l événement «S est inférieur ou égal à» Que peut-on dire de la répartition des valeurs de S autour de la moyenne? c Evaluer la fréquence de l événement : «S est compris entre et» La loi de S est proche d une loi que l on va étudier, la loi normale, dont la répartition des valeurs a des propriétés telles que celles observées dans cette activité 2) Loi normale d espérance et d écart type a) Définition et propriétés Définition Soit et deux réels tels que 0 Une variable aléatoire X suit la loi normale d espérance et d écart type si, pour tout intervalle I inclus dans, la probabilité de l événement «X I» est l aire du domaine sous la courbe de f sur I où f est la fonction définie sur 2 t 2 par f t e 2 En particulier, pour tout intervalle ; on a : d P X f t t La fonction f est appelée fonction de densité de la loi normale d espérance et d écart type TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 8

Propriétés Soit f la fonction de densité de la loi normale d espérance et d écart type La courbe représentative de f dans un repère orthogonal est une courbe «en cloche» symétrique par rapport à la droite d équation x, et d autant plus «resserrée» autour de son axe de symétrie que est petit L aire sous la courbe de f sur est égale à PX PX 0,5 b) Calculs de probabilités pour une variable aléatoire X suivant la loi normale d espérance et d écart type Exemple Une cantine sert des repas en nombre important Soit X la variable aléatoire qui donne le poids en grammes des rations de viande On suppose que X suit la loi normale d espérance 20 et d écart type 5 Les probabilités seront arrondies au millième Quelle est le poids moyen d une ration de viande? Réponse : E X 20 donc le poids moyen d une ration de viande est 20 g 2 Quelle est la probabilité pour que le poids d une ration de viande soit compris entre 0 g et 35 g? P 0 X 35 avec la calculatrice : Réponse : On doit calculer TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 9

On obtient P X 0 35 0,589 La probabilité pour que le poids d une ration soit compris entre 0g et 35g est donc 0,589 3 Le 9 septembre, la cantine a servi 850 repas A combien peut-on évaluer le nombre de rations de viande dont le poids dépassait 30g? Réponse : Il faut commencer par calculer P X 30 PX 30 0,5 P20 X 30 On obtient P X 30 0, 252 Le lycée a servi 850 repas, donc on peut évaluer à 800 0,252 soit 24, le nombre de rations de viande dont le poids dépassait 30g 0,008 0 20 30 Exercice 6 Les résultats seront arrondis au millième La variable aléatoire X suit la loi normale d espérance 5 et d écart type 4 P 0 X 20 8 Déterminer les probabilités suivantes : ; P X ; P X 6 ; 30 P X 2 La variable aléatoire X suit la loi normale d espérance mathématique 50 et d écart type 30 P 70 X 0 0 00 P X 3 Déterminer les probabilités suivantes : ; P X ; P X ; 3 La variable aléatoire X suit une loi normale d espérance mathématique 2 La courbe représentative de la fonction de densité de la loi de X est représentée ci- contre On sait que l aire du domaine coloré vaut 0,8 à 3 0 près 2,6 P X 2,6 Déterminer les probabilités P X et 0, 0 2 3 2,6 Exercice 7 La société K-Gaz produit des bonbonnes de gaz de volume utile 44 dm 3 On désigne par X la variable aléatoire qui à chaque bonbonne tirée au hasard dans la production associe la sa contenance en dm 3 On admet que la variable aléatoire X suit la loi normale d espérance 44 et d écart type 0,2 Quelle est la probabilité que la contenance d une bonbonne de gaz choisie au hasard soit inférieure à 44,3 dm 3 2 Quelle est la probabilité que la contenance d une bonbonne soit comprise entre 43,8 et 44,3 dm 3 Exercice 8 Une entreprise de travaux publics a un parc total de 50 camions On désigne par X la variable aléatoire qui, à chaque camion choisi au hasard, associe la distance en kilomètres qu il a parcourue dans une journée On admet que X suit la loi normale d espérance 20 et d écart type 6 Quelle est la distance moyenne parcourue par un camion une journée? 3 2 Déterminer, à 0 près, la probabilité pour qu un camion parcourt un jour donné : a entre 0 et 30 km ; b plus de 50 km 3 A combien peut-on évaluer le nombre de camions parcourant moins de 30 km par jour? TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 0

c) Intervalles «Un, deux, trois sigmas» Propriétés X suit la loi normale d espérance et d écart type P P P X 0,683 X X 2 2 0,954 3 3 0,997 Remarque On peut interpréter graphiquement chacun des résultats précédents Par exemple P X 0,683 signifie que l aire, en unités d aire, de la partie du plan limitée par la courbe représentative C f de la fonction de densité f de la loi normale d espérance et d écart type, l axe des abscisses et les droites d équation x et x, est environ égale à 0,68 Exemple Une entreprise fabrique, en grande quantité, des tiges métalliques On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque tige prélevée au hasard dans la production, associe sa longueur en millimètres On suppose que X suit une loi normale d espérance 00 et d écart type On admet que la probabilité qu une tige prélevée au hasard ait une longueur comprise entre 98 et 02 mm est 0,95 Déterminer une valeur approché de D après la propriété, on a P X 00 2 00 2 0,95 Et 98 X 02 00 2 X 00 2 d où Exercice 9 Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale d espérance 50 et d écart type Déterminer une valeur approchée de dans chacun des cas suivants : P 49 X 5 0,68 ; a b P X c P X 49,6 50, 4 0,95 ; 49,97 50,03 0,99 Exercice 20 On a représenté ci-contre, dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction de densité d une loi normale On sait que l aire, en unités d aire, du domaine grisé est environ égal à 0,95 Déterminer par lecture graphique l espérance et l écart type de cette loi normale TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité

3) Approximation d une loi binomiale par une loi normale a) Loi binomiale : rappels On répète n fois, de façon indépendante, une même expérience aléatoire, donnant lieu à deux issues : L une nommée succès, avec la probabilité p, l autre, l échec, avec la probabilité p La variable aléatoire X, qui, à cette succession de n épreuves, associe le nombre de succès, suit la loi binomiale de paramètres n et p Propriétés Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n et p E X np V X np p et son écart type L espérance mathématique de X est, sa variance est est X np p Utilisation de la calculatrice Exemple Corentin fabrique, en amateur, des appareils électroniques Il achète pour cela, dans un magasin, des composants en apparence tous identiques mais dont certains présentent un défaut On estime que la probabilité pour qu un composant vendu dans le magasin soit défectueux est égale à 0,02 On admet que le nombre de composants présentés dans le magasin est suffisamment grand pour que l achat de 50 composants soit assimilé à 50 tirages indépendants avec remise, et on appelle X le nombre de composants défectueux achetés Corentin achète 50 composants 2 Les résultats seront arrondis à 0 Calculer la probabilité qu il y ait 0 composants défectueux 2 Calculer la probabilité qu il y ait moins de 0 composants défectueux 3 Calculer la probabilité qu au moins un des composants soit défectueux 4 Quel est, par lot de 50 composants achetés, le nombre moyen de composants défectueux? Exercice 20 Une entreprise produit en grande série des plaques métalliques rectangulaires pour l industrie automobile On note E l événement : «une plaque prélevée au hasard dans la production d une journée est conforme au cahier des charges» On suppose que PE 0,98 On prélève au hasard 60 plaques dans la production de la journée pour vérification La production est assez importante pour que l on puisse assimiler ce prélèvement de 60 plaques à un tirage avec remise On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de plaques conformes au cahier des charges dans ce prélèvement a Justifier que X suit une loi binomiale don on précisera les paramètres 2 Dans la suite de l exercice donner les résultats arrondis à 0 b Avec la calculatrice, calculer les probabilités qu il y ait dans un tel prélèvement : exactement 58 plaques conformes ; plus de 55 plaques conformes ;au moins 0 plaques défectueuses c Quel est, par lot de 60 plaques prélevées, le nombre moyen de plaques conformes? TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 2

b) Approximation d une loi binomiale par une loi normale Sur le graphique ci-contre, on a représenté le diagramme en bâtons de la loi binomiale de paramètres n 40 et p 0,35 On constate qu il y a une certaine analogie entre cette représentation graphique et la représentation graphique de la densité de probabilité d une loi normale La propriété qui suit confirme et précise cette analogie Propriété Si X est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n et p avec n 30, np 5 et np p 5, la loi de X peut être approchée par la loi d une variable aléatoire Y suivant la loi normale de paramètres np et np p Exemple Une entreprise fabrique des rondelles en acier La probabilité qu une rondelle soit non-conforme au cahier des charges est 0 08 L entreprise conditionne ces rondelles par lot de 500 La production est suffisamment importante pour qu on assimile de choix de 500 rondelles à un tirage avec remise On appelle X la variable aléatoire qui, à un lot de 500 rondelles, associe le nombre de rondelles nonconformes a Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres b Justifier que la loi de X peut être approchée par la loi d une variable aléatoire Y suivant une loi normale dont on précisera les paramètres c En utilisant cette approximation, déterminer une valeur approchée de la probabilité que le lot de 500 rondelles contienne au plus 50 rondelles non conformes Exercice 2 Une entreprise fabrique et commercialise des composants électroniques On sait que 5% des composants produits sont défectueux L entreprise vend ses composants à des grossistes par lot de 50 On assimile le choix de 50 composants d un lot à des tirages successifs avec remis On note X la variable aléatoire qui, à un lot de 50 composants, associe le nombre de composants défectueux a Justifier le fait que X suit une loi binomiale et donner les paramètres de cette loi b Donner l espérance et l écart type de X Donner la valeur arrondi à 0-3 de l écart type 2 L entreprise vend les composants à des sociétés par lots de 500 On assimile le choix des 500 composants à des tirages successifs avec remise a La variable aléatoire Y qui comptabilise le nombre de composants défectueux dans un lot suit une loi binomiale Donner les paramètres de cette loi b Justifier que la loi de Y peut être approchée par la loi d une variable Z suivant une loi normale et préciser les paramètres de cette loi normale c En utilisant cette approximation, déterminer, au millième près, la probabilité d avoir :au plus 60 composants défectueux dans un lot ; entre 70 et 80 composants défectueux dans un lot TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 3