Chapitre 1 Dénombrement Le dénombrement (aussi appelé analyse combinatoire) permet de dénombrer divers types de groupements que l on peut faire à partir d ensembles finis. Ce chapitre vous permettra de répondre à des questions du type : combien y a-t-il de tirages différents à la loterie à numéro, au sport-toto,...? 1.1 Éléments fondamentaux 1.1.1 Fonction factorielle En dénombrement, il s avérera souvent difficile d exprimer les résultats sans une notation adaptée, comme n!. Définition 1.1 On définit la fonction factorielle qui à un nombre naturel n associe n!, que se lit n factorielle, de la manière suivante : Propriété { n! = 1. On a : 3! = 3 2 1 = 6 2. On a : 6! = 6 5 4 3 2 1 = 720 1 si n = 0 n (n 1)... 3 2 1 si n N 3. On a : 10! = 10 9... 2 1 = 3 628 800 La propriété de récurrence suivante est vraie pour la fonction factorielle : n! = (n 1)! n La fonction factorielle croît extrêmement rapidement. La plupart des machines ne peuvent pas calculer au-delà de 69!. Essayez! Pour calculer au-delà de cette limite, soit on utilise un logiciel du même genre que Mathematica, soit on approche le résultat à l aide de la formule de Stirling (valable pour k grand) : k! k k e k 2πk 3
1.1.2 Principe fondamental Dans un restaurant, le menu du jour est composé de deux plats. Un client a le choix entre trois entrées (salade mêlée, terrine ou gaspacho) et deux plats principaux (tranche de porc ou filet de sole). Combien de menus différents peut-on composer dans ce restaurant? Un client a 3 choix pour l entrée et 2 pour le plat principal. Il y a donc 3 2 menus différents : salade mêlée - tranche de porc, salade mêlée - filet de sole, terrine - tranche de porc, terrine - filet de sole, gaspacho - tranche de porc, gaspacho - filet de sole. Théorème 1.1 (Version restreinte) Supposons qu il faille réaliser deux expériences. Si l expérience 1 peut produire l un quelconque de m résultats et si, pour chacun d eux, il y a n résultats possibles pour l expérience 2, alors il existe m n résultats possibles pour les deux expériences prises ensembles. Dans l exemple précédent, l expérience 1 est le choix de l entrée et l expérience 2 est le choix du plat principal. Démonstration. On peut obtenir la démonstration en énumérant tous les résultats des deux expériences comme suit : (1,1);(1,2);...;(1,n) (2,1);(2,2);...;(2,n). (m,1);(m,2);...;(m,n) Dans ce tableau, un résultat a été noté (i,j) si l expérience 1 a produit le i-ème de ses résultats et si l expérience 2 le j-ème des siens. On voit que l ensemble des résultats possibles est composé de m lignes de n éléments chacune, ce qui démontre le résultat énoncé. Une petite communauté se compose de dix hommes et leurs fils, chaque homme ayant trois fils. Si un homme et l un de ses fils doivent être désignés père et fils exemplaires, combien y a-t-il de choix différents possibles? En considérant le choix du père comme la première expérience et ensuite le choix de l un de ses fils comme la seconde, on conclut d après le principe fondamental qu il y a 10 3 = 30 choix possibles. Lorsqu il y a plus de deux expériences à réaliser, le principe fondamental peut être généralisé comme suit. Théorème 1.2 (Version généralisée) Si r expériences doivent être réalisées et sont telles que la première peut produire l un quelconque de n 1 résultats, et si pour chacun d eux il y a n 2 résultats possibles pour la page 4
deuxième expérience, et si pour chaque résultat des deux premières expériences il y en a n 3 pour la troisième expérience, et ainsi de suite, il y a aura alors au total n 1 n 2... n r résultats pour les r expériences prises ensembles. Le comité des délégués des élèves d un lycée est constitué de 3 étudiants de première année, 5 de deuxième et 2 de troisième. Un sous-comité de 3 étudiants comportant un représentant de chaque degré doit être choisi. Combien peut-on former de souscomités? On peut considérer le choix d un sous-comité comme le résultat combiné de 3 expériences, chacune consistant à choisir un unique représentant dans l un des degrés. Par conséquent, en appliquant la version généralisée du principe fondamental, il y a 3 5 2 = 30 sous-comités possibles. 1.1.3 Arbre Définition 1.2 Un arbre est un schéma permettant de décrire et de dénombrer tous les résultats possibles d une suite finie d opérations. Cyril et Ignace disputent un match de tennis en deux sets gagnants. Quelles sont les différentes possibilités? La lettre C signifie que Cyril gagne le set et I qu Ignace le gagne. Le match peut donc se dérouler de 6 manières différentes : CC, CIC, CII, ICC, ICI et II. 1.2 Arrangements Définition 1.3 Un arrangement est une collection de k objets pris successivement parmi n objets en tenant compte de l ordre d apparition. Il est dit simple si on ne peut prendre chaque objet qu une fois au plus. page 5
1.2.1 Arrangement simple Une course de chevaux compte 15 partants. Combien y a-t-il de possibilités de jouer un quarté (pronostiquer l ordre d arrivée des 4 premiers de la course)? On parle d arrangement car on doit choisir 4 chevaux parmi 15 partants et donner leur ordre d arrivée. On parle d arrangement simple car on ne peut pas avoir deux fois le même cheval dans un quarté. Dans ce cas, on tient bien compte de l ordre d apparition : 15 AS 2 7 AS 2 15 7 : 3 quartés (possibilités) différents AS 15 2 7 En utilisant le principe général du dénombrement, on peut déterminer le nombre de possibilités de jouer un quarté de la manière suivante : Première place : 15 choix possibles Deuxième place : 14 = 15 1 choix possibles Troisième place : 13 = 15 2 choix possibles Quatrième place : 12 = 15 3 choix possibles On peut donc jouer quartés différents. 15 14 13 12 = 32 760 Définition 1.4 Si, parmi n éléments distincts, on choisit k éléments distincts en les classant dans un ordre particulier, on forme un arrangement simple (de k éléments parmi n). Le nombre A n k d arrangements simples est : A n k = n (n 1)... (n k +1) = n! (n k)! k n En effet, le premier élément peut être choisi parmi n possibles, le deuxième parmi (n 1), le troisième parmi (n 2), et le k-ième parmi (n k +1). type Après les prolongations d un match de football, le nombre de façons de choisir les 5 tireurs de penalties parmi les 11 joueurs d une équipe, avec l ordre de passage. Arrangement simple : A 11 5 = 11! (11 5)! = 11 10 9 8 7 = 55 440 combinaisons. page 6
1.2.2 Arrangement avec répétitions Un bulletin de sport-toto compte 13 matches. Un joueur doit cocher le 1 s il pense que l équipe jouant à domicile va gagner, le 2 s il pense que c est l autre équipe qui va gagner et le x s il pense que les deux équipes vont faire match nul. Combien y a-t-il de façons de remplir une grille de sport-toto? On parle d arrangement car l ordre a de l importance (13 matchs différents et 1 résultat pour chaque match) et avec répétition puisque chaque signe peut être utilisé plusieurs fois (2 matchs différents peuvent donner le même résultat). Dans ce cas, on tient bien compte de l ordre d apparition : 1 2 x x 2 1 2 1 2 x 1 x x 1 1 1 1 2 2 2 2 x x x x x : 3 grilles différentes x 1 2 x 2 1 x 1 2 x 2 1 x En utilisant le principe général du dénombrement, on peut déterminer le nombre de grilles différentes de la manière suivante : Premier match : 3 choix possibles : 1, 2 ou x Deuxième match : 3 choix possibles : 1, 2 ou x Troisième match : 3 choix possibles : 1, 2 ou x... Treizième match : 3 choix possibles : 1, 2 ou x On peut donc jouer grilles différentes. } 3 3 3... 3 {{ } = 3 13 = 1 594 323 13 fois Définition 1.5 Si, parmi n éléments distincts, on choisit k éléments distincts ou non (on peut choisir plusieurs fois le même) en les classant dans un ordre particulier, on forme un arrangement avec répétitions (de k éléments parmi n). Le nombre A n k d arrangements avec répétitions est : A n k = nk En effet, le premier élément peut être choisi parmi n possibles, le deuxième parmi n, le troisième parmi n, et le k-ième parmi n. type Le nombre de numéros de téléphone composées de 7 chiffres (choisis, avec répétitions possibles, parmi les 10 chiffres arabes). Arrangement avec répétitions : A 10 7 = 107 = 10 000 000 numéros. page 7
1.3 Permutations Définition 1.6 Tout classement ordonné de n objets distinguables ou partiellement indistinguables est une permutation de ces n éléments. Elle est dite simple si les objets sont distinguables. 1.3.1 Permutation simple Combien d anagrammes du mot LAIT (même sans signification) peut-on former? On parle de permutation car chaque lettre doit être utilisée une fois pour former un nouveau mot et simple car les 4 lettres sont distinctes. Dans ce cas, on tient bien compte de l ordre d apparition : LIAT ALIT : 3 mots (possibilités) différents TAIL En utilisant le principe général du dénombrement, on peut déterminer le nombre de mots différents de la manière suivante : Première lettre : 4 choix possibles Deuxième lettre : 3 = 4 1 choix possibles Troisième lettre : 2 = 4 2 choix possibles Treizième lettre : 1 = 4 3 choix possibles On peut donc former mots différents. 4 3 2 1 = 4! = 24 Définition 1.7 Si on classe dans un ordre particulier n éléments distincts, on forme une permutation simple (de ces n éléments). Le nombre P n de permutations simples est : Remarque P n = n! Une permutation simple est un cas particulier d arrangement simple où on choisit n éléments parmi n. type Le nombre de dispositions de 5 personnes sur un banc de 5 places. Permutation simple : P 5 = 5! = 120 dispositions. page 8
1.3.2 Permutation avec répétitions Combien d anagrammes différents du mot MIDI (même sans signification) peut-on former? On parle de permutation car chaque lettre doit être utilisée une fois pour former un nouveau mot et avec répétitions car les deux I sont indistinguables. Dans ce cas, on tient bien compte de l ordre d apparition : IIMD DIMI : 3 mots (possibilités) différents MIID Pour déterminer le nombre total de possibilités, on commence par différencier les deux I en les notant I 1 et I 2. Les anagrammes du mot MI 1 DI 2 sont au nombre de : P 4 = 4! = 24 Ensuite, comme toutes les permutations des 2 I (2! possibilités) donnent le même mot, chaque anagramme qui ne différencie pas les I est compté 2! dans P 4. I différenciés } I 1 I 2 MD I 2 I 1 MD } DI 1 MI 2 DI 2 MI 1 } MI 1 I 2 D MI 2 I 1 D. P 4 = 4! = 24 mots = Il y a donc 12 anagrammes du mot MIDI. I non différenciés = IIMD = DIMI = MIID.. P(2,1,1) = 4! 4! 2! 1! 1! 2! = = 12 mots Définition 1.8 Si on classe dans un ordre particulier n éléments dont n 1 sont identiques de type 1, n 2 identiques de type 2,..., n p identiques de type p (n 1 + n 2 +... + n p = n), on forme une permutation avec répétitions (de ces n éléments). Le nombre P(n 1,n 2,...,n p ) de permutations avec répétitions est : type P(n 1,n 2,...,n p ) = n! n 1! n 2!... n p! Le nombre d anagrammes différents que l on peut former avec les lettre du mot MISSIS- SIPPI : 1 M, 4 I, 4 S et 2 P (pour un total de 11 = 1+4+4+2 lettres) page 9
Permutation avec répétitions : P(1,4,4,2) = 1.4 Combinaisons 11! 1! 4! 4! 2! = 34 650 anagrammes. Définition 1.9 Une combinaison est une collection de k objets pris simultanément parmi n objets, donc sans tenir compte de l ordre d apparition. Elle est dite simple si on ne peut prendre chaque objet qu une seule fois au plus. 1.4.1 Combinaison simple On considère 3 boules de couleurs différentes contenues dans un sac : une boule Rouge, une boule Jaune et une boule Bleue. De combien de manières différentes peut-on tirer deux boules du sac (on ne considère pas l ordre du tirage)? On parle de combinaison car l ordre de tirage des boules n a pas d importance et simple car chaque boule ne peut être tirée qu une seule fois. Dans ce cas, on ne tient pas compte de l ordre d apparition : 1 boule Rouge et 1 boule Jaune 1 boule Rouge et 1 boule Bleue : les 3 tirages possibles 1 boule Jaune et 1 boule Bleue Plus généralement, pour déterminer le nombre total de possibilités, on commence par considérer que l ordre du tirage est important. Le nombre de tirages possible est alors donné par : A 3 2 = 3! (3 2)! = 3! 1! = 6 Or, comme l ordre du tirage n a pas d importance, il faut diviser le nombre d arrangements possibles A 3 2 par le nombre de permutations possibles des 2 éléments tirés : 2!. 1ère boule 2ème boule } Rouge Jaune Jaune Rouge } Rouge Bleue Bleue Rouge } Jaune Bleue Bleue Jaune sans ordre = 1 boule Rouge et 1 boule Jaune = 1 boule Rouge et 1 boule Bleue = 1 boule Jaune et 1 boule Bleue A 3 2 = 3! (3 2)! = 6 tirages = C3 2 = A3 2 2! = 3! 2! (3 2)! = 3 tirages Il y a donc bien 3 tirages différents. page 10
Définition 1.10 Si, parmi n éléments distincts, on choisit k éléments distincts (k n) sans les classer dans un ordre particulier, on forme une combinaison simple (de k éléments choisis parmi n). Le nombre C n k = ( n k) de combinaisons simples est : Remarque C n k = ( n k ) = An k k! = n (n 1)... (n k +1) k! = n! k! (n k)! Les nombres ( n k) sont souvent appelés coefficients binomiaux en raison de leur rôle dans le théorème du binôme (voir 1.5.2). type Le nombre de mains (9 cartes) possibles au Jass (jeu de 36 cartes distinctes). Combinaison simple : C 36 9 = 36! 9! (36 9)! = 94 143 280 mains. 1.4.2 Combinaison avec répétitions Un magasin propose des appareils de 3 marques : A, B et C. Un employé doit indiquer à son patron, pour chaque marque, le nombre d appareils vendus. Combien de rapports différents l employé peut-il faire à son patron s il vend 4 appareils? On parle de combinaison car l ordre de vente des appareils n a pas d importance et avec répétitions car le vendeur peut vendre plusieurs appareils de la même marque. Pour établir la liste demandé, la vendeur construit 3 colonnes, une pour chaque marque, dans lesquelles il place une croix pour chaque appareil vendu, s il en vend 4, les différentes possibilités sont les suivantes : A B C xxxx xxx x xx xx x xxx xxxx xxx x xx x x x xx x xxx x xx xx x x xx xx xx x xxx x xxx xxxx modélisation xxxx xxx x xx xx x xxx xxxx xxx x xx x x x xx x xxx x xx xx x x xx xx xx x xxx x xxx xxxx page 11
On constate que les 15 possibilités obtenues correspondent au nombre de permutations avec répétitions de 4 croix et 2 traits, à savoir : P(4,2) = 6! 4! 2! = 15 S il y avait n marques et k appareils vendus, on aurait un nombre de permutations avec répétitions de k croix et n 1 traits, P(k,n 1). Définition 1.11 Si, parmi n éléments distincts, on choisit k éléments distincts ou non (on peut choisir plusieurs fois le même) sans les classer dans un ordre particulier, on forme une combinaison avec répétitions(dek élémentschoisisparmin).lenombrec n k decombinaisons avec répétions est : C n k (k +n 1)! = P(k,n 1) = k! (n 1)! = Ck+n 1 k type Un restaurateur propose 4 menus différents. Chaque soir, il note le nombre de menus de chaque sorte qui ont été servis. Un soir, 50 menus sont commandés. Dans ce cas, l exemple type est le nombre de manières différentes possibles de répartir les 4 sortes de menus. Combinaison avec répétitions : C50 4 = (50+4 1)! 50! (4 1)! = 53! 50! 3! = 23 426 possibilités. 1.5 Triangle de Pascal et binôme de Newton 1.5.1 Triangle de Pascal Définition 1.12 Le triangle de Pascal est un représentation géométrique des coefficients binomiaux dans un triangle. Le coefficient binomial ( ) n k = n! est placé à la ligne n et à la colonne k k! (n k)! (0 k n). page 12
Propriétés En étudiant le triangle de Pascal, on peut observer les propriétés suivantes : ( ) ( ) n n 1. Il y a toujours un 1 dans les bords : = = 1. 0 n ( ) ( ) n n 2. Le triangle est symétrique, ligne par ligne : = pour k n. n k k 3. Les termes de la ligne de rang n+1 peuvent ( être ) obtenus ( ) ( au moyen ) de ceux de la ligne n+1 n n précédente au moyen de la relation : = + pour k n 1. k +1 k k +1 Ces propriétés seront démontrées en exercices. Elles permettent de construire le triangle de Pascal sans connaître la formule des coefficients binomiaux et de les déterminer ainsi facilement puisque, par exemple, le nombre C5 8 = 8! se lit à l intersection de la ligne 8 5! 3! et de la colonne 5. 1.5.2 Binôme de Newton Les identités binomiales suivantes ont été rencontrées dans le premier chapitre du cours de première année : (a+b) 0 = 1 (a+b) 1 = a+b (a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2 (a+b) 3 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 Mais quelles sont les formules pour les degrés supérieurs? En comparant les formules de degré 0, 1, 2 et 3 avec les lignes 0, 1, 2 et 3 du triangle de Pascal, on constate que les coefficients des identités binomiales correspondent avec les nombres du triangle. Ainsi, on pourrait supposer que ce constat est également vrai pour les degrés suivants et obtenir : (a+b) 4 = a 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +4ab 3 +b 4 (a+b) 5 = a 5 +5a 4 b+10a 3 b 2 +10a 2 b 3 +5ab 4 +b 5... En fait, le théorème suivant confirme ce lien. Théorème 1.3 (Théorème du binôme de Newton) Soit n un nombre entier strictement positif. La formule générale du binôme de Newton est : (a+b) n = = ( n 0 n k=0 ) a n + ( ) n a n k b k k ( ) n a n 1 b+ 1 Démonstration. Considérons le produit suivant : ( ) n a n 2 b 2 +...+ 2 (a 1 +b 1 )(a 2 +b 2 )...(a n +b n ) page 13 ( ) n a n k b k +...+ k ( ) n b n n
En le développant, on obtient un une somme de 2 n termes, chaque terme étant le produit de n facteurs. Chacun des 2 n termes de la somme contiendra à son tour soit le facteur a i soit b i et ceci pour tout i = 1,2,...,n. Par exemple : (a 1 +b 1 )(a 2 +b 2 ) = a 1 a 2 +a 1 b 2 +b 1 a 2 +b 1 b 2 Combien maintenant de ces 2 n termes de la somme auront-ils (n k) facteurs en a et k facteurs en b? Comme chaque terme constitué par (n k) des a i et k des b i correspond au choix d un groupe de k des n valeurs b 1,b 2,...,b n, il y aura ( n k) de ces termes. Par conséquent, en posant a i = a et b i = b pour i = 1,2,...,n on voit que : (a+b) n = n k=0 ( ) n a n k b k k page 14
1.6 Exercices 1) Un menu de restaurant propose : 10 hors-d oeuvre, 4 entrées, 11 plats de viande, 9 desserts. Combien peut-on composer de menus comportant un plat de chaque type? 2) Nicolas et Willy disputent un match de tennis avec la règle suivante : le premier qui gagne deux sets de suite ou un total de trois sets remporte la partie. Quelles sont les différentes possibilités? 3) Quel est le nombre de diagonales d un polygone convexe à n côtés (une diagonale relie deux sommets non adjacents)? 4) Combien de mots différents de 7 lettres alternant consonne et voyelle peut-on former a) si la première lettre est une consonne? b) si la première lettre est une voyelle? 5) Simplifier l expression donnée, puis calculer sa valeur : a) d) 12! 9! n! (n 2)! b) e) 12! 8! 4! (n+2)! (n 1)! c) f) 100! 98! 5! 1 n! 1 (n+1)! 6) Dans une société de 20 personnes, on veut élire un président, un secrétaire et un caissier. Combien de comités différents peut-on imaginer? 7) On emploie les six chiffres 2, 3, 5, 6, 7 et 9, en supposant qu il n y a pas de répétition. a) Combien de nombres de trois chiffres peut-on former? b) Combien de ces nombres sont inférieurs ou égaux à 400? c) Combien de ces nombres sont pairs? d) Combien de ces nombres sont inférieurs à 400 et pairs? 8) Un ordinateur code les niveaux de gris sur 8 bits. Combien de niveaux de gris l écran d un tel ordinateur peut-il afficher? 9) Onlanceunepiècedemonnaieetonnotelerésultatobtenu:P(pile)ouF(face).Après un certain nombre de jets, on obtient ainsi une suite de résultats du type PPFPPPF (ici dans le cas de 7 jets). Combien de suites différentes peut-on envisager si on lance la pièce 10 fois? 10) Un singe sait écrire les chiffres 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7. a) Combien de nombres différents de 4 chiffres peut-il former? b) Combien de nombres différents de 8 chiffres peut-il former? 11) Un immeuble est composé d un rez-de-chaussée et de 8 étages. Un ascenseur part du rez-de-chaussée avec 5 occupants. page 15
a) De combien de manières différentes ces 5 occupants peuvent-ils choisir les étages auxquels ils vont se rendre? b) Même question dans le cas où, à chaque étage, un occupant au plus quitte l ascenseur. 12) Je veux disposer 10 livres sur un rayon de bibliothèque. Quatre d entre eux sont des livres de mathématiques, trois de physique, deux de chimie et un de biologie. Je veux les ranger de sorte que tous les livres traitant du même sujet restent groupés. Combien y a-t-il de dispositions possibles? 13) De combien de façons peut-on placer 7 enfants a) en file indienne? b) en formant un cercle? 14) Combien de façons y a-t-il pour 3 garçons et 2 filles de s asseoir a) sur un banc à 5 places? b) sur ce banc si les garçons veulent rester ensembles et les filles aussi? c) sur ce banc si seules les filles veulent rester ensemble? 15) Combien d anagrammes peut-on former avec les lettres du mot a) manger? b) anagramme? c) statistiques? 16) Cinq personnes vont au cinéma et décident de s asseoir au premier rang qui comporte 10 fauteuils. a) De combien de manières différentes peuvent-elles se placer si elles n attachent pas d importance au fait d être l une à côté de l autre? b) Et si elles souhaitent être les cinq l une à côté de l autre? 17) On emploie les six lettres A, B, C, D, E et F. a) De combien de manières différentes peut-on écrire ces six lettres (dans tous les ordres possibles)? b) Et si A doit être placé avant F (mais pas obligatoirement juste avant)? 18) De combien de façons peut-on former un jury de 3 hommes et 3 femmes choisis parmi 7 hommes et 5 femmes? 19) De combien de manières différentes peut-on distribuer les 36 cartes d un jeu de jass à Paul, André, Jacques et Maurice? 20) Un étudiant a l obligation de choisir 2 cours à options parmi les 12 que propose son école. a) Combien de choix différents peut-il faire? b) Et si deux de ces cours ont lieu en même temps? page 16
21) On doit désigner 7 personnes parmis 20 personnes (pour peler les pommes de terre). a) Combien de groupes différents peut-on imaginer? b) Même question si les 20 personnes sont 10 hommes et 10 femmes et que le groupe doit contenir 1) 3 femmes et 4 hommes 2) au moins un homme 22) On place 7 boules, 3 rouges et 4 noires, dans n boîtes à raison d une seule par boîte. De combien de manières différentes peut-on le faire si a) n = 7 b) n = 10 c) n 7 23) On tire simultanément 2 cartes d un jeu de poker. Calculer le nombre de possibilités d avoir a) 2 as b) 2 cœurs c) exactement un as d) aucun cœur e) exactement un cœur 24) Vingt antennes indiscernables les unes des autres sont alignées. Six d entre elles sont défectueuses. Deux antennes défectueuses ne doivent jamais être voisines sous peine d interrompre les communications. Combien existe-t-il de configurations permettant la communication? 25) Dans le triangle de Pascal, trouver le coefficient a) de la ligne de rang 12 et de la colonne de rang 9; b) de la douzième ligne et neuvième colonne; c) de la ligne de rang 120 et de la colonne de rang 117. 26) Dans le triangle de Pascal, montrer que la somme de tous les coefficients de la ligne de rang n vaut 2 n. 27) Prouver que ( ) ( ) n n a) = pour k n n k k ( ) ( ) ( ) n+1 n n b) = + pour k n 1 k +1 k k +1 n ( ) n c) ( 1) i = 0 pour n > 0 i i=0 28) Développer a) (x+1) 6 b) (x 2) 4 c) (2x+1) 6 d) (2x+ 1 2 )5 page 17
29) Un étudiant doit répondre à 7 questions des 10 questions d un examen. De combien de manières peut-il les choisir? 30) Un questionnaire à choix multiple (QCM) comporte 50 questions; pour chacune d elles, trois réponses sont proposées dont une seule doit être cochée. De combien de manières peut-on remplir ce questionnaire? 31) Une urne contient 12 boules numérotées de 1 à 12. a) On tire 3 boules simultanément. Déterminer le nombre de tirages différents. b) Même question si l on tire 3 boules, sans remettre dans l urne celles qui ont été tirées. On tiendra compte de l ordre. c) Même question que sous b) mais si, après chaque tirage, on remet la boule dans l urne. 32) Une grille rectangulaire est formée de 3 lignes et de 5 colonnes. De combien de manières différentes peut-on y placer (à raison d au plus un jeton par case) a) 5 jetons identiques? b) 5 jetons de couleurs différentes? c) 5 jetons identiques, de telle sorte qu il y ait un jeton par colonne? d) 5 jetons de couleurs différentes, de sorte qu il y ait un jeton par colonne? 33) Chaque jour de la semaine (7 jours), un amoureux offre une fleur à sa belle. Il achète cette fleur dans un magasin qui ne vend que des iris, des œillets et des roses. Il fait en sorte que chaque semaine soit différente de toutes les précédentes. a) Pendant combien de semaines ce Romeo peut-il acheter des fleurs dans ce magasin? b) Combien y aura-t-il de semaines au cours desquelles la jeune fille recevra 1) au moins une rose? 2) exactement 3 roses? 3) 3 roses, 2 iris et 2 œillets? 34) Avec 15 personnes, de combien de manières différentes peut-on former 3 équipes de 5? 35) Une armoire contient 10 paires de chaussures différentes. On y prend au hasard 4 chaussures. a) Combien de résultats différents peut-on envisager? b) Dans combien de cas aura-t-on tiré au moins une vraie paire de chaussures? 36) Lors d une enquête, on interroge 10 personnes en leur demandant de désigner, dans une liste de 20 chanteurs, celui qu elles préfèrent. Combien de résultats différents les enquêteurs peuvent-ils envisager? 37) On tire au hasard 5 cartes d un jeu de jass (4 couleurs de 9 cartes). a) Combien y a-t-il de mains différentes possibles? page 18
b) Parmi celles-ci, combien contiennent 1) 5 cartes de même couleur dont les valeurs se suivent? 2) 5 cartes dont les valeurs se suivent? 3) les 4 rois? 4) 4 cartes de même valeur? 5) 5 cartes de même couleur? 6) le roi de cœur? 7) exactement un roi? 8) au moins un roi? 38) Parmi toutes les mains possibles de l exercice précédent, combien contiennent a) une main pleine (un full), c est-à-dire 3 carte de même valeur (par exemple 3 rois) et deux autres également de même valeur (par exemple 2 valets)? b) un brelan (3 cartes de même valeur) et deux cartes dépareillées? c) deux paires (mais pas 4 cartes de même valeur) et une carte dépareillée? d) au moins deux cartes de même valeur? e) une paire et 3 cartes dépareillées? 39) Lors d une course où il ne peut y avoir d ex æquo, il est prévu d attribuer un certain nombre de prix, tous différents, aux premiers du classement. De combien de manières différentes ces prix peuvent-ils être répartis entre les concurrents s il y a a) 10 participants et 4 prix? b) 6 participants et 6 prix? c) n participants et 4 prix, avec n > 4? d) n participants et n prix? e) n participants et p prix, avec n > p? page 19
1.7 Solutions des exercices 1) 3 960 menus 2) NN, NWNN, WNN, WW, NWW, WNWW, NWNWW, NWNWN, WNWNW, WNWNN 3) n(n 3) 2 diagonales 4) a) 34 560 000 mots b) 10 368 000 mots 5) a) 1320 b) 495 c) 82,5 d) n(n 1) e) (n+2)(n+1)n f) 6) 6840 comités n (n+1)! 7) a) 120 b) 40 c) 40 d) 12 8) 256 niveaux de gris 9) 1024 suites 10) a) 2401 b) 5 764 801 11) a) 32 768 b) 6 720 12) 6912 dispositions 13) a) 5040 b) 720 14) a) 120 b) 24 c) 48 15) a) 720 b) 30 240 c) 6 652 800 16) a) 30 240 b) 720 17) a) 720 b) 360 18) 350 jurys 19) Environ 2,145 10 19 20) a) 66 b) 65 21) a) 77 520 b) 25 200 et 77 400 22) a) 35 b) 4 200 c) C n 7 P(4,3) page 20
23) a) 6 b) 78 c) 192 d) 741 e) 507 24) 5005 configurations 25) a) 220 b) 165 c) 280 840 28) a) x 6 +6x 5 +15x 4 +20x 3 +15x 2 +6x+1 b) x 4 8x 3 +24x 2 32x+16 c) 64x 6 +192x 5 +240x 4 +160x 3 +60x 2 +12x+1 d) 32x 5 +40x 4 +20x 3 +5x 2 + 5 8 x+ 1 32 29) 120 choix 30) Environ 7,179 10 23 manières différentes de répondre 31) a) 220 b) 1 320 c) 1 728 32) a) 3 003 b) 360 360 c) 243 d) 29 160 23) a) 2 187 b) 2 059, 560, 210 34) 126 126 équipes 35) a) 4 845 b) 1 485 36) 20 030 010 résultats 37) a) 376 992 b) 20, 5 120, 32, 288, 504, 52 360, 143 840, 175 616 38) a) 1 728 b) 16 128 c) 36 288 d) 247 968 e) 193 536 39) a) 5 040 b) 720 c) n! (n 4)! d) n! e) n! (n p)! page 21