Vibrations non linéaires Bruno COCHELIN Laboratoire de Mécanique et d Acoustique, CNRS UPR 751 Ecole Centrale Marseille Acoustique non linéaire et milieux complexes -6 Juin 14 - Oléron Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
Ondes Modes Ondes non linéaires Modes non linéaires Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
Dans les analyses vibratoires linéaires Les concepts de modes propres de vibrations libres (fréquence propre, déformée modale) et de superposition modale jouent un rôle majeur (théorie, calcul numérique, expérience). Peut on étendre ces concepts aux systèmes non linéaires oui, en partie, pour la notion de mode de vibrations. systèmes réguliers non dissipatif - oui systèmes réguliers dissipatif - oui systèmes non-réguliers - cas par cas non, pour la superposition modale Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
Intérêt des modes non-linéaires compréhension du comportement dynamique d un système réponses forcées : résonances au voisinage des modes non-linéaires réduction de modèle (?) Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
1 Modes non-linéaires : l approche Rosenberg (196-1966) 3 Equilibrage harmonique principe de continuation Exemples 4 Une expérience numérique le montage expérimental resultats expérimentaux Vers des applications Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
Outline 1 Modes non-linéaires : l approche Rosenberg (196-1966) 3 Equilibrage harmonique principe de continuation Exemples 4 Une expérience numérique le montage expérimental resultats expérimentaux Vers des applications Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
Cadre mécanique Systèmes discrets conservatifs : masses ponctuelles + ressorts à n degrés de liberté Forces de rappel des ressorts : polynômes impaires f( u) = k 1 u k 3 u 3 k 5 u 5... u 1 u u 3 Vecteur position : [ U ] = [ u 1 u... u n ] T Equation du mouvement : [ M ][ Ü ] + [ K ][ U ] + [ F nl (U) ] = [ ] Idée : définir les modes non-linéaires comme des extentions directes des modes linéaires, en analysant les trajectoires des mouvements libres dans l espace des configurations. Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
Pour cette présentation, on utilise un exemple élémentaire : f = ku 1 k 3 u 3 1 u 1 u k m m k [ ] [ m ][ü1 k k + m ü k k ][ u1 ] k3 u +[ 3 ] [ 1 = u ] Modes normaux du système linéarisé : [ U(t) ] = [ Φ ] (A cos(ωt)+bsin(ωt)) [ ] [ m ][ü1 k k + m ü k k k Mode 1 ω 1 = Mode ω = ][ u1 u ] = [ ] [ 1 m Φ 1 = 1] 3k Φ m = [ ] 1 1 Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
Mouvements libres du système linéarisé : On effectue des lachers ( [ U() ] et [ U() ] = ) et on visualise les trajectoires dans l espace des configurations (u 1, u ). (Intégration temporelle avec Matlab, ODE45) 3 1 u -1 - -3-3 - -1 1 3 u 1 Mouvement sur un mode linéaire une droite dans l espace des configurations Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
Mouvements libres du système non-linéaire : 3 3 1 1 u u -1-1 - - -3-3 - -1 1 3 u 1-3 -3 - -1 1 3 u 1 Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
Mouvements libres du système non linéaire : 3 3 1 1 u u -1-1 - - -3-3 - -1 1 3 u 1-3 -3 - -1 1 3 u 1 Ligne modale "à la Rosenberg" mouvement périodique et synchrone Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
Recherche d une autre ligne modale, à plus faible amplitude 3 3 1 1 u u -1-1 - - -3-3 - -1 1 3 u 1-3 -3 - -1 1 3 u 1 Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
résumé : 3 1 u -1 - -3-3 - -1 1 3 u 1 u 1 m k u m k 3 lignes modales et la ligne des (bons) points de départ (pointillés) mouvements périodiques synchrones : u =, u = u max en même temps pour tous les u i la déformée modale évolue continuement la fréquence des oscillations dépend de l amplitude ω 1 ω 1 Mode non-linéaire 1 = "ensemble de ces lignes modales" Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
Le mode non linéaire : 3 1 u -1 - -3-3 - -1 1 3 u 1 u 1 m k u m k A grande amplitude le mode est localisé sur la masse 1! Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
Une disgression pour comprendre la localisation : regardons le système symétrique avec deux ressorts non-linéaires à droite et à gauche. 3 1 u -1 - -3-3 - -1 1 3 u 1 u 1 m k u m les lignes des (bons) points de départ Il y a une bifurcation sur le mode trois familles de solutions périodiques synchrones. Un système à n degrés de liberté peut avoir plus que n modes non-linéaires. Il existe des modes localisés (applications aux absorbeurs dynamiques). Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
Calcul des lignes modales pour un système à n degrés de liberté. ü i + W(U) u i = i = 1,...,n On paramètre la ligne modale à l aide de u 1 que l on renomme x (d autres choix possibles) x [ ] u (x) U =. Les inconnues sont les n 1 fonctions u i(x) u n(x) On doit résoudre : ( ) d u i du dx i W(U) + W(U) = i =,...,n géométrie dx u 1 u i (h W(x,u (x),...,u n(x))) 1+( du dx ) + +( dun dx ) ẍ + W(x,u (x),...,u n(x)) x = mouvement (1ddl) avec des conditions aux limites pour u i : u i (x = ) = et en x = x max (h = W(x max )) La résolution de ces équations est difficile. Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
Outline 1 Modes non-linéaires : l approche Rosenberg (196-1966) 3 Equilibrage harmonique principe de continuation Exemples 4 Une expérience numérique le montage expérimental resultats expérimentaux Vers des applications Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
Cadre mécanique Systèmes discrets et continus Non linearités régulières Applicables pour les systèmes amortis et/ou avec effets gyroscopiques [ M ][Ü] + [ C ][ U] + [ K ][ U ] + [ F nl (U, U) ] = [ ] Formalisme sous-jaccent Systèmes dynamiques, sous espaces invariants Théorème de la variété centrale Toujours la même logique : les modes non-linéaires sont des extentions directes des modes linéaires. Mais cette fois, les modes linéaires sont définis comme des sous-espaces invariants de dimension deux de l espace des phases. Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
On garde notre exemple élémentaire : f = ku 1 k 3 u 3 1 u 1 u k m m k [ ] [ m ][ü1 k k + m ü k k ][ u1 ] k3 u +[ 3 ] [ 1 = u ] On passe en coordonnées modales q 1 = u 1 + u et q = u 1 + u ] [ ][ ] [ q1 ω + 1 q1 q ω + q [ α(q1 q ) 3 ] [ = ] On reécrit comme un système du premier ordre p 1 = q 1 et p = q q 1 1 [ ] Z = p1 [Ż] q = ω1 [ ] 1 Z + α(q q 1 ) 3 p ω Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
1 Le système linéaire sous-jaccent : [ Ż ] = ω1 [ ] 1 Z ω Mouvement sur le mode linéaire 1 q 1 () = A Acos(ω 1 t)+ B sin(ω ω 1 t) [ ] Z() = p 1 () = B [ ] 1 q () = Z(t) = Aω 1 sin(ω 1 t)+bcos(ω 1 t) p () = Trajectoires quand on est sur le mode linéaire 1 5 5 4 4 3 3 4 1 1 p 1 q p1 - -1-1 -4 - - -5-6 -3-4 -3-4 - -4-5 -6-4 - 4 6 q 1-5 -6-4 - 4 6 q 1 q 5 6 4 q 1 Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
On considère maitenant le système non-linéaire On represente, dans l espace des phases, les 3 trajectoires obtenues précédemment 5 5 4 4 3 3 4 1 1 p1 p 1 q - -4-1 -1-5 - - -3-4 -5-6 -4-4 6 q 1-3 -4-5 -5-4 -3 - -1 q 1 1 3 4 5 q 5 6 4 q 1 - -4-6 Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
Définition de Shaw et Pierre (1991) : Un mode non linéaire est un ensemble de mouvements qui se produisent dans un sous-espace invariant de dimension deux de l espace des phases. Ce sous-espace invariant contient l origine (point d equilibre stable) et il est tangent au sous espace propre plan du système linéarisé. Equations du sous-espace invariant (cas conservatif avec non-linéarité cubique) : On réécrit MÜ + KU + F nl (U) = sous la forme d un système du premier ordre en introduisant le vecteur vitesse V(t) : U = V (1) V = M 1 ( KU F nl (U)) () Soit ω, Φ un mode linéaire. On définit ρ et ψ comme les projections de U et V sur le mode linéaire ( ρ = Φ t MU et ψ = Φ t MV ) et cherche le sous-espace invariant sous la forme U = ρ(t)φ +U(ρ(t),ψ(t)) (3) V = ψ(t)φ +V(ρ(t),ψ(t)) (4) Le sous espace invariant de dimension deux est paramétré par ρ et ψ. Il est déterminé par les fonctions U et V (qui sont orthogonales à Φ). Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
La projection des équations du mouvement sur le mode φ donne le mouvement sur le sous-espace ρ = ψ (5) ψ +ω ρ+φt.f nl (ρφ+u(ρ,ψ)) = (6) Les équations qui gouvernent les fonctions U et V sont obtenues en éliminant le temps dans les équations du mouvement comme suit : U = U U ρ+ ψ = U ρ ψ ρ ψ + U ψ (ω ρ+φt.f nl (ρφ +U(ρ,ψ))) (7) V = V V ρ+ ρ ψ ψ = V ρ ψ + V ψ (ω ρ+φt.f nl (ρφ +U(ρ,ψ))) (8) d où les équations finales U ρ ψ + U ψ (ω ρ+φt.f nl (ρφ+u(ρ,ψ))) = V (9) M( V ρ ψ + V ψ (ω ρ+φt.f nl (ρφ+u(ρ,ψ)))) + KU + F nl (U) = (1) Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
Ces dernières équations ne peuvent en général se résoudre de façon exacte. On peut avoir des solutions approchées sous forme séries entières à deux paramètres (!). Méthode de pertubation. U(ρ,ψ) = ρ U, +ρψu 1,1 +ψ U, +ρ 3 U 3, +ρ ψu,1 +... (11) En reportant les séries dans les équations et on identifiant selon les puissances de ρ et ψ, on obtient des systèmes linéaires couplés pour les U i,j. Liens avec les méthodes de perturbations classiques (Echelles multiples, Lindstedt-Poincaré, forme normale,...) Compréhension des phénomènes (Incommensurabilité des pulsations propres du système linéarisé, par exemple). Les méthodes de perturbations sont limitées aux mouvements de faibles amplitudes. Plus récemment, des tentatives de résolution numérique (Galerkin) des équations qui définissent le sous espace invariant. Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
L approche Shaw et Pierre généralise (et simplifie) l approche Rosenberg. Un exemple complémentaire (non praticable par l approche Rosenberg) : 111 111 111 111 111 111 l = 1 x m x 1 k 1 k l = 1 11 11 11 11 11 l 1 u u1 l 1111 1111 11111 11111 Paramètres de mouvement u 1 et u Déformation (Green-Lagrange) des ressorts e i = 1 li l. l e 1 = u 1 + 1 (u 1 + u ) ; e = u + 1 (u 1 + u ) ; W = 1 k 1e 1 + 1 k e. Equations du mouvement ü 1 +ω 1 (u 1 + 1 (u 1 + u ))(1 + u 1)+ω (u + 1 (u 1 + u ))u 1 = ü +ω 1 (u 1 + 1 (u 1 + u ))u +ω (u + 1 (u 1 + u ))(1 + u ) = Pour les simulations ω 1 = 1 ω =. Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
mouvement sur le mode non linéaire 1.5.5. u v1 v1.1 -.1 -.5 -.. u1 -.5 -.. u1 -..4 -. -.4 -.6 u -. u1. Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
Outline Equilibrage harmonique principe de continuation Exemples 1 Modes non-linéaires : l approche Rosenberg (196-1966) 3 Equilibrage harmonique principe de continuation Exemples 4 Une expérience numérique le montage expérimental resultats expérimentaux Vers des applications Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
Equilibrage harmonique principe de continuation Exemples Pour les systèmes élastiques non amortis, chaque mode non linéaire (sous espace invariant) est localement constitué d une famille d orbites périodiques. On peut le calculer en associant une méthode de calcul de solutions périodiques avec une méthode de continuation à un paramètre (plus simple que le calcul direct du sous espace invariants (deux paramètres), limité aux systèmes non amortis) Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
Equilibrage harmonique principe de continuation Exemples Méthodes de perturbations (analytique) Echelles multiples Forme normale Lindsted-Poincaré, moyenne.... Méthodes Numériques Equilibrage harmonique + continuation Méthode de tir + continuation collocation d orbites périodiques + continuation... Quand on calcule un mode non-linéaire : on doit se préoccuper de stabilité et de bifurcations. Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
Equilibrage harmonique principe de continuation Exemples une présentation élémentaire de la méthode de l équilibrage harmonique sur l équation de Duffing : où µ, f et ω sont des paramètres. But : calculer des solutions périodiques ü + µ u + u + u 3 = f cos(ωt) On décompose l inconnue sur une base de Fourier tronquée u(t) = u c cos(ωt) + u s sin(ωt) (içi, une seule harmonique) on reporte dans l équation, ü = ω u c cos(ωt) ω u s sin(ωt) u = ωu c sin(ωt)+ωu s cos(ωt) u = u c cos(ωt)+u s sin(ωt) u 3 = u 3 c cos3 (ωt)+3u c us cos (ωt) sin(ωt)+3u cu s cos(ωt) sin (ωt) + u 3 s sin3 (ωt) Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
Equilibrage harmonique principe de continuation Exemples on decompose en harmonique : cos 3 (x) = 3 4 cos(x)+ 1 4 cos(3x) cos (x) sin(x) = 1 4 sin(x)+ 1 4 sin(3x) on regroupe les termes harmonique par harmonique : { (1 ω )u c + µωu s + 3 4 u3 c + 3 4 ucu s }cos(ωt) +{(1 ω )u s µωu c + 3 4 u3 s + 3 4 usu c }sin(ωt) +{... }cos(3ωt) +{... }sin(3ωt) = fcos(ωt) On neglige les harmoniques autres que celles qui apparaissent dans l écriture de départ pour l inconnue u(t) Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
Equilibrage harmonique principe de continuation Exemples Au final, on obtient un système algébrique : (1 ω )u c + µωu s + 3 4 u3 c + 3 4 ucu s = f (1 ω )u s µωu c + 3 4 u3 s + 3 4 usu c = pour les deux coefficients de Fourier u c, u s et les paramètres ω, µ, f. Remarque : La méthode d équilibrage harmonique peut se présenter comme une méthode de résidu pondéré avec la même base de Fourier pour l inconnue et pour les fonctions tests Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
Equilibrage harmonique principe de continuation Exemples Maintenant, on explore les solutions du système algébrique par continuation (continuation, path following) : Par exemple on fixe µ =.5, f =.. ω est un paramètre libre (paramètre de contrôle) on a : inconnues U = [u c, u s,ω] U R 3 equations R(U) = R R l ensemble des solutions de R(U) = est constitué d une ou plusieurs courbes (branches de solutions). Continuation : parcourir les branches de solutions en partant d une solution initiale connue (ici la solution statique U = [.195 ]) Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
Equilibrage harmonique principe de continuation Exemples 1.5 1 DØplacement u c, u s.5 u cus resultat de la continuation. ω libre f =., µ =.5. -.5-1.5 1 1.5.5 Pulsation ω Remarque : chaque point solution sur la branche pourra être le point de départ pour la continuation par rapport à un autre paramètre. Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
Equilibrage harmonique principe de continuation Exemples Généralisation de la méthode d équilibrage harmonique : pour trouver les solutions périodiques d un système d ODE Ẏ = f(y,λ) ou Ẏ = f(y,λ, t) on décompose l inconnue Y(t) en série de Fourier H H Y(t) = Y + Y c,k cos(kωt)+ Y s,k sin(kωt) k=1 On reporte dans l équation, on décompose les termes non-linéaires (étape difficile!), on "équilibre" les harmoniques pour aboutir à un système d équations algébriques sur les coefficients de Fourier Y, Y c,k,y s,k et ω On résoud le système algébrique par continuation (stabilité, bifurcation). k=1 Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
Equilibrage harmonique principe de continuation Exemples Les modes du système à une masse et deux ressorts avec MANLAB. 11 11 11 11 11 l = 1 x m x 1 k 1 k l = 1 11 11 11 11 l 1 u u 1 l 1111 1111 1111 1111 1111 1111 Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
Equilibrage harmonique principe de continuation Exemples Vibrations de tube GV dans les centrales (El-Hadi Thesis, EdF) Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
Outline Une expérience numérique le montage expérimental resultats expérimentaux Vers des applications 1 Modes non-linéaires : l approche Rosenberg (196-1966) 3 Equilibrage harmonique principe de continuation Exemples 4 Une expérience numérique le montage expérimental resultats expérimentaux Vers des applications Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
Une expérience numérique le montage expérimental resultats expérimentaux Vers des applications oscillateur linéaire u1(t) u(t) oscillateur non linéaire ü 1 +λ u 1 + u 1 +β(u 1 u ) = γü + α 1 u + α 3 u 3 +β(u u 1 ) = Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
Une expérience numérique le montage expérimental resultats expérimentaux Vers des applications Conditions initiales : u 1 () = 3 4 3 1 u 1, u -1 - -3-4 4 6 8 1 1 14 16 18 t Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
Une expérience numérique le montage expérimental resultats expérimentaux Vers des applications Conditions initiales : u 1 () = 4 4 3 1 u 1, u -1 - -3-4 4 6 8 1 1 14 16 18 t Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
Une expérience numérique le montage expérimental resultats expérimentaux Vers des applications pompage énergétique en acoustique Nouveau type de contrôle passif du bruit pour les basses fréquences haut parleur boîte de couplage tube p1 (t) p(x,t), u air (x,t) p (t) membrane qm(t) L x m a m a m m u a(t) ua(t) qm(t) Système à contrôler : la pression acoustique dans le tube (fonctionnant sur son premier mode) Absorbeur nonlinéaire : membrane fine circulaire viscoélastique Faible raideur de couplage : volume d air de la boîte de couplage Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
Une expérience numérique le montage expérimental resultats expérimentaux Vers des applications Modèle à deux degrés de liberté du montage Le système mécanique classique Le montage vibro-acoustique haut parleur boîte de couplage p1 (t) tube p(x,t), u air (x,t) p (t) membrane qm(t) oscillateur linéaire u1(t) u(t) oscillateur non linéaire L m a m a x m m u a(t) ua(t) qm(t) ü 1 +λ u 1 + u 1 +β(u 1 u ) = γü + α 1 u + α 3 u 3 +β(u u 1 ) = ü a +λ u a + u a +β(u a q m) = γ q m + α 1 (aq m +η q m) + α 3 (qm 3 + ηq m qm)+β(qm ua) = Modèles très similaires à deux différences près : présence d un terme de raideur linéaire dû à la tension dans la membrane présence d un terme de dissipation nonlinéaire Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
Une expérience numérique le montage expérimental resultats expérimentaux Vers des applications Les modes nonlinéaires du système Equilibrage harmonique à une composante u a(t) = U(ω) cosωt, q m(t) = Q(ω) cosωt (sans amortissement) : β U(ω) = ω +1+β Q(ω) ( ) 4 Q(ω) = ± 3 α β 3 ω +1+β +γω α 1 a β S11+ : air et membrane vibrent à la même fréquence et en phase S11 : air et membrane vibrent à la même fréquence et en opposition de phase Amplitude de døplacement (m) 16 x 1-3 14 1 1 8 6 4 S11+ / Uair S11+ / Qmembrane S11- / Uair S11- / Qmembrane FrØquence (Hz) 16 14 1 1 8 S11+ S11-6 - 5 6 7 8 9 1 11 1 13 14 15 16 FrØquence (Hz) Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron 4-7 -6-5 -4-3 - -1 1 Energie totale (log)
Une expérience numérique le montage expérimental resultats expérimentaux Vers des applications Oscillations libres configuration : h =.6 mm, R = 3 cm, f1 = 57 Hz Explications dans le cas de faible amplitude d entrée initiale : Energies : Vitesse (m/s) Pression (Pa) EntrØe (V).5 -.5..4.6.8 1 1. -..4.6.8 1 1..4. -. -.4..4.6.8 1 1. Temps (s) DØplacement membrane (mm).8.6.4. -. -.4 -.6 -.8-1 -.5.5 1 DØplacement air (mm) Energie (J) Energie (%) 3 x 1-3 1..4.6.8 1 1. 1.5 E tube E tube / E total E membrane E membrane / E total..4.6.8 1 1. Temps (s) Aucun transfert d énergie Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
Une expérience numérique le montage expérimental resultats expérimentaux Vers des applications Oscillations libres configuration : h =.6 mm, R = 3 cm, f1 = 57 Hz Explications dans le cas de faible amplitude d entrée initiale : Image temps/fréquence : Vitesse (m/s) Pression (Pa) EntrØe (V).5 -.5..4.6.8 1 1. -..4.6.8 1 1..4. -. -.4..4.6.8 1 1. Temps (s) DØplacement membrane (mm).8.6.4. -. -.4 -.6 -.8-1 -.5.5 1 DØplacement air (mm) FrØquence (Hz) FrØquence (Hz) FrØquence (Hz) 1 1 8 6..4.6.8 1 1. 1 1 8 6..4.6.8 1 1. 1 1 8 6..4.6.8 1 1. Temps (s) Fréquences constantes Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
Une expérience numérique le montage expérimental resultats expérimentaux Vers des applications Oscillations libres configuration : h =.6 mm, R = 3 cm, f 1 = 57 Hz Explications dans le cas de faible amplitude d entrée initiale : Diagramme énergie/fréquence : Vitesse (m/s) Pression (Pa) EntrØe (V).5 -.5..4.6.8 1 1. -..4.6.8 1 1..4. -. -.4..4.6.8 1 1. Temps (s) DØplacement membrane (mm).8.6.4. -. -.4 -.6 -.8-1 -.5.5 1 DØplacement air (mm) FrØquence (Hz) 16 14 1 1 8 6 S11+ S11-4 -7-6 -5-4 -3 - -1 1 Energie (log) Trajectoire suivant le mode nonlinéaire S11 Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
Une expérience numérique le montage expérimental resultats expérimentaux Vers des applications Oscillations libres configuration : h =.6 mm, R = 3 cm, f 1 = 57 Hz Explications dans le cas de forte amplitude d entrée initiale : Energies : Pression (Pa) EntrØe (V) Vitesse (m/s) -..4.6.8 1 1. 5-5..4.6.8 1 1. -..4.6.8 1 1. Temps (s) DØplacement membrane (mm) 8 6 4 - -4-6 -8 - -1 1 DØplacement air (mm) Energie (J) Energie (%).1.5..4.6.8 1 1. 1.5 E tube E tube / E total E membrane E membrane / E total..4.6.8 1 1. Temps (s) Transfert irréversible d énergie du milieu acoustique vers la membrane Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
Une expérience numérique le montage expérimental resultats expérimentaux Vers des applications Oscillations libres configuration : h =.6 mm, R = 3 cm, f 1 = 57 Hz Explications dans le cas de forte amplitude d entrée initiale : Image temps/fréquence : EntrØe (V) - FrØquence (Hz) 1 1 8 6..4.6.8 1 1. Pression (Pa) Vitesse (m/s)..4.6.8 1 1. 5-5..4.6.8 1 1. -..4.6.8 1 1. Temps (s) DØplacement membrane (mm) 8 6 4 - -4-6 -8 - -1 1 DØplacement air (mm) FrØquence (Hz) FrØquence (Hz) 1 1 8 6..4.6.8 1 1. 1 1 8 6..4.6.8 1 1. Temps (s) Décroissances simultanées de la fréquence et de l amplitude Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
Une expérience numérique le montage expérimental resultats expérimentaux Vers des applications Oscillations libres configuration : h =.6 mm, R = 3 cm, f 1 = 57 Hz Explications dans le cas de forte amplitude d entrée initiale : Diagramme énergie/fréquence : Pression (Pa) EntrØe (V) Vitesse (m/s) -..4.6.8 1 1. 5-5..4.6.8 1 1. -..4.6.8 1 1. Temps (s) DØplacement membrane (mm) 8 6 4 - -4-6 -8 - -1 1 DØplacement air (mm) FrØquence (Hz) 16 14 1 1 8 6 S11+ S11-4 -7-6 -5-4 -3 - -1 1 Energie (log) Trajectoire suivant le mode nonlinéaire S11+ Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
Une expérience numérique le montage expérimental resultats expérimentaux Vers des applications Réponses fréquentielles configuration : h =.18 mm, R = 4 cm, f 1 = 45 Hz 7.8 V Rapport Pression / EntrØe (Pa/V) 6 5 4 3 1.139 V.197 V.55 V.36 V.554 V.659 V 8 8 84 86 88 9 9 FrØquence (Hz) Pression (db) 17 16 15 14 13 1 3.5 Log(entrØe (V)) 1.5 8 85 9 FrØquence (Hz) 95 4 35 Ecrêtage du pic de résonance initial grâce au régime quasi-périodique Pompage énergétique = limitation du niveau sonore Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron Pression (Pa) 3 5 15 1 5 Cours C6 : Vibrations non.linéaires.4.6.8
Une expérience numérique le montage expérimental resultats expérimentaux Vers des applications Longueur de tube variable : L=1.55 m L=1.8 m L=.6 m Pression / EntrØe (Pa.s /m) 6 L=.6m pic L=.6m ecretage L=1.8m pic 5 L=1.8m ecretage L=1.55m pic L=1.55m ecretage 4 3 1 7 75 8 85 9 95 1 15 11 115 1 15 FrØquence (Hz) R = 4 cm, h =.18 mm, f 1 = 3 Hz Trois systèmes primaires différents pour une configuration de membrane constante : Adaptabilité de la membrane à n importe quelle fréquence et écrêtage du pic de résonance, quelle que soit sa fréquence Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
Une expérience numérique le montage expérimental resultats expérimentaux Vers des applications Application à la réduction du bruit de bouche d un moteur automobile Boitier papillon R A S Schéma d un circuit d admission Débitmètre Filtre à air Support filtre sur brancard Col d entée d air comprenant : Raccord entrée filtre Liaison démontable Ecope bruit de bouche : bruit sortant par l entrée d air (entre 98 db -essenceet 95db -diesel- niveau max à rpm) traitement actuel : matériaux absorbants sur les parois, résonateur de Helmholtz ou quart d onde idée de ce travail (déposée par un brevet PSA-CNRS) : utiliser un absorbeur nonlinéaire monté sur le filtre à air pour le traitement du bruit de bouche (harmoniques du bourdonnement) Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
Une expérience numérique le montage expérimental resultats expérimentaux Vers des applications Réalisation du montage expérimental proche du schéma d un conduit d admission : tube source boîte haut parleur membrane boîte filtre à air tube d entrée d air haut parleur grande chambre anéchoïque petite chambre anéchoïque Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
Une expérience numérique le montage expérimental resultats expérimentaux Vers des applications Résultats expérimentaux : Rapport Pression / EntrØe (Pa/V) 15 1 5 røførence.5 V.1 V.5 V 1 V 5 6 7 8 9 1 11 1 13 FrØquence (Hz) EntrØe (V). -. EntrØe (V) -.5 1 1.5.5 1 1.5 Pression (Pa) 1-1.5 1 1.5 Pression (Pa) 5-5.5 1 1.5 DØplacement (mm) 5-5.5 1 1.5 Temps (s) DØplacement (mm) 1-1.5 1 1.5 Temps (s) f=71 Hz f=114 Hz Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
Une expérience numérique le montage expérimental resultats expérimentaux Vers des applications FAA Standard : Résonateur en λ/4 (bande étroite), de Helmholtz (gros volume pour les BF), silencieux diffuseurs par trou ou fentes (pertes de charge) Le prototype réalisé pour C4 essence 1,6 l : Résultats pas encore satisfaisants (effet en BF par suppression des bosses H). Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron
Une expérience numérique le montage expérimental resultats expérimentaux Vers des applications Pour aller plus loin, l ouvrage du cours CISM (1) Modal Analysis of Nonlinear Mechanical Systems CISM Courses and Lectures n. 555 (348 pages) G. Kerschen, S.Shaw, C. Touzé, O. Gendelman, B. Cochelin, A. Vakakis Acoustique non linéaire --6 Juin 14 - Oleron