Nouveaux programmes de terminale Probabilités et statistiques I. Un guide pour l'année II. La loi uniforme : une introduction III. La loi exponentielle IV. De la loi binomiale à la loi normale V. Échantillonnage Ressources en ligne
I. Un guide pour l'année Ω est l'univers d'une expérience aléatoire, muni d'une probabilité p. X est une variable aléatoire sur Ω, à valeurs dans un intervalle I. f est la fonction de densité associée : - f est continue et positive sur I ; - son intégrale sur I vaut 1. Alors : p({x J }) est l'aire de {M (x ; y); x J et 0 y f (x)} Problème : comment introduire la fonction de densité?
II. La loi uniforme : une introduction a) de la simulation à la fonction de densité Un nombre est tiré au hasard dans un intervalle [a;b]. Pour [c;d] inclus dans [a;b], comment mesurer? p(x [c ;d]) Simulation : n tirages au hasard dans [0;10], avec histogramme des fréquences. L'aire cumulée des rectangles entre c et d donne la fréquence de l'événement X [c ;d]
II. La loi uniforme : une introduction a) de la simulation à la fonction de densité On augmente n et le nombre de classes L'aire à calculer s'approche de celle d'un rectangle La surface à considérer est délimitée par : - les droites d'équations x=c et x=d - l'axe des abscisses - une courbe d'équation y=f(x) : f est la fonction de densité de la variable aléatoire.
II. La loi uniforme : une introduction b) Bilan La loi uniforme sur [a;b] admet pour fonction de densité : Pour [c;d] inclus dans [a;b] : f (x)= 1 b a p(x [c ; d ])= c d f (x)dx= d c b a Commentaires Pas de prérequis : les considérations d'aires suffisent Introduction de l'intégrale possible L'espérance de la loi uniforme sur [a;b] : a b x f (x)dx= a+b 2 Approche possible par analogie avec une variable aléatoire discrète Prérequis (suivant l'approche) : suites arithmétiques ou intégration
III. La loi exponentielle (séries S, STI2D, STL) a) Une simulation Un atome radioactif a pour probabilité de désintégration a dans une unité de temps. On considère n atomes indépendants à l'instant 0. Une simulation mène à l'histogramme des fréquences de désintégration par unité de temps.
III. La loi exponentielle b) Avec la fonction de densité X suit une loi exponentielle de paramètre λ si sa densité est : f (x)=λ e λ x, x [0 ;+ [ Alors : p(x [c ;d ])= c d f (x)dx=e λ c e λ d Propriété de durée de vie sans vieillissement : p X t (X t+h)=p(x h) Prérequis : fonction exponentielle, intégration, comportement asymptotique
III. La loi exponentielle c) Espérance E(X )=lim x + 0 x t λ e λ t dt= 1 λ La primitive : - est à donner directement - ou à rechercher sous la forme (at+b)e λ t - ou à trouver en passant par le principe de l'intégration par parties (hors programme)
IV. De la loi binomiale à la loi normale a) Centrer et réduire la loi binomiale Variable aléatoire : Espérance : 0 Écart-type : 1 X µ σ Variable aléatoire: X Espérance : µ Écart-type : σ Z n = X n np np(1 p) E(Z n )=0 σ(z n )=1 Avantage espérance et écart-type de Z ne dépendent plus de X. Cas de la loi binomiale X n suit B(n ; p) E( X n )=n p σ( X n )= np(1 p)
IV. De la loi binomiale à la loi normale b) Le théorème de Moivre-Laplace Z n = X n np np(1 p) X n suit B(n ; p) n entier non nul p ]0 ;1[ Théorème Pour tous réels a et b (a < b) : lim n + p(z n [a ;b])= 1 x 2 b a e 2 dx 2 π Pour tout x réel, soit : f (x)= 1 x 2 2 π e 2 La variable aléatoire sur R admettant f pour fonction de densité est la loi normale centrée réduite N(0;1).
IV. De la loi binomiale à la loi normale c) Les lois normales Définition Une variable aléatoire X suit une loi normale lorsque N (µ ;σ 2 ) d'espérance µ et d'écart-type σ X µ σ suit la loi normale centrée réduite N(0;1). Remarque La fonction de densité associée à N (µ ;σ 2 ) n'est pas un objectif du programme.
IV. De la loi binomiale à la loi normale d) Lois normales et probabilités f (x)= 1 x 2 2 π e 2 Z suit N(0;1) f est paire donc : p(z [ t ;t ]) = 2 p (Z [ 0 ;t ]) Espérance et écart-type E (Z ) = lim t t 0 x f (x)dx + limt + 0 t E (Z ) = 0 x f (x)dx σ(z ) = 1 (admis)
IV. De la loi binomiale à la loi normale d) Lois normales et probabilités Théorème (démonstration exigible en TS) Z suit la loi normale N(0;1). Soit α ]0 ; 1[. Il existe un unique réel positif u α tel que : Démonstration p(z [ u α ; u α ])=1 α f (x)= 1 x 2 2 π e 2 F est dérivable, donc continue f > 0 donc F est strictement croissante F prend ses valeurs dans [0;1/2] 0 < α < 1 donc 0< 1 α 2 < 1 2 x Soit F définie sur [0 ;+ [ par : F (x)= 0 f (t)dt Il existe un unique u α >0 tel que : F (u α )= 1 α 2 p(z [ u α ; u α ])=2 F (u α )=1 α
IV. De la loi binomiale à la loi normale e) Valeurs à connaître Z suit N(0;1) Z= X µ σ X suit N (µ ; σ 2 ) p(z [ 1 ;1]) 0,68 p(z [ 1,96 ;1,96]) 0,95 p(z [ 2,58 ; 2,58]) 0,99 p( X [ µ σ ; µ+σ ]) 0,68 p( X [ µ 2σ ;µ+2σ ]) 0,95 p( X [ µ 3 σ ; µ+3 σ ]) 0,99
V. Fluctuation et prise de décision a) La statistique inférentielle
V. Fluctuation et prise de décision b) Intervalle de fluctuation asymptotique Soit X n la variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n,p) : E 1 - p Soit : p S Z n = X n np np(1 p) Par le théorème de Moivre-Laplace : lim n + p( u α Z n u α )= 1 x 2 u α u e 2 dx 2 π α Soit α entre 0 et 1. Il existe un unique u α >0 tel que : Comment revenir alors à la loi binomiale? p(z [ u α ; u α ])=1 α
V. Fluctuation et prise de décision b) Intervalle de fluctuation asymptotique u α Z n u α Z n = X n np np(1 p) u α np (1 p) X n np u α np(1 p) p u α p(1 p) n X n n p+u α p(1 p) n =[ α I p u n p(1 p) n ; p+u α p(1 p) n ] lim n + p( X n n I n) = 1 α =[ Avec α = 0,05 et u α =1,96 : I p 1,96 n p(1 p) n ; p+1,96 p(1 p) n ]
V. Fluctuation et prise de décision c) Intervalle de fluctuation asymptotique : utilisation pratique Avec α = 0,05 et u α =1,96 n=100 n 30, np 5, n(1 p) 5 Dans un échantillon de taille n, la fréquence des nombres de réussites de la loi binomiale appartient avec une probabilité 0,95 à l'intervalle : =[ I p 1,96 n p(1 p) n ; p+1,96 p(1 p) n ] I 100 [0,3 ;0,5 ] p=0,4
V. Fluctuation et prise de décision d) Un exemple de prise de décision Une machine fabrique des condensateurs. Probabilité qu'un condensateur soit défectueux : p=0,07. Sur un lot de 400 condensateurs, 41 sont défectueux. Cela est-il dû au seul hasard? Traitement en seconde : n=400 25 mais p n'est pas dans [0,2;0,8]. Traitement en terminale : n 30, np=28 5, n(1 p)=372 5 p 1,96 Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% : p+1,96 p(1 p) n p(1 p) n 0,045 0,095 Fréquence des condensateurs défectueux dans l'échantillon : f = 41 400 0,103 Conclusion : 0,103 n'est pas dans [0,045;0,095]. L'échantillon observé n'est donc pas «normal», au seuil 0,95.
V. Fluctuation et prise de décision e) Fluctuation et confiance Seconde Intervalle de fluctuation p connue Seuil de 95% n 25 0,2 p 0,8 [ 1 p n ; p+ 1 ] n Intervalle de confiance p inconnue Sensibilisation Première Avec la loi binomiale - Asymptotique au seuil de 1 α Au niveau de confiance 95% Terminale I n =[ n 30 np 5 n(1 p) 5 α p u p(1 p) α p(1 p) ; p+u n n ] [ f 1 n ; f + 1 ] n Remarque : pour α=0,05, I n est inclus dans : [ p 1 n ; p+ 1 n ]
V. Fluctuation et prise de décision f) Intervalle de confiance, estimation et niveau de confiance Contexte : on cherche la probabilité p d'occurrence d'un certain caractère dans une population. Pour un échantillon de taille n, la fréquence d'apparition f de ce caractère est connue. Alors [ f 1 contient p n ; f + 1 ] n avec un niveau de confiance de 95%. Conditions d'application : n 30, np 5, n(1 p) 5 Exemple p=0,5 20 échantillons de taille 100 Une simulation sur 20 ne comprend pas p dans son intervalle de confiance : la probabilité porte sur f, pas sur p.
Ressources en ligne 1. Documents ressources sur Eduscol : lycée et collège 2. Documents ressources math-physique au lycée professionnel sur Eduscol 3. Les documents de la formation sur le Site académique de mathématiques