Toute l'actualité CASIO pour les maths Mai 2011 - N 12 Édito Chers professeurs, La fin de l année scolaire approche à grands pas et pour la finir en beauté, nous vous proposons d explorer, de manière ludique, nos calculatrices graphiques. Ainsi, vous aurez le loisir de jongler d une calculatrice à une autre en toute simplicité! Autour d un travail sur la proportionnalité, extrait de notre nouveau manuel «Aborder un problème de différentes manières avec les graphiques CASIO», vous découvrirez ou redécouvrirez une gamme scolaire intuitive et harmonieuse. Vous avez été nombreux à vous manifester lors de notre sondage CASIO forum et nous vous en remercions. Afin de répondre à votre demande, le 2 e sujet exposé dans ce numéro vous présente un corrigé réalisé avec notre graphique professionnelle, la Graph 25+ Pro. Le thème évoqué vous plongera dans une suite géométrique et la résolution graphique d une équation. Pour conclure cet édito, nous sommes heureux de vous annoncer la disponibilité de nouveaux manuels didactiques, vous offrant comme toujours, un apprentissage facile de nos modèles. Alors n hésitez pas à demander vos exemplaires en nous écrivant à education@casio.fr. CASIO Éducation vous souhaite une bonne lecture et vous donne rendezvous dès la rentrée prochaine! Mathématiquement vôtre, CASIO Éducation www.casio-education.fr
RÉSOLUTION DE PROBLÈMES MATHÉMATIQUES AVEC LES GRAPHIQUES CASIO L horloge de ma grand-mère Extrait du manuel «Comment aborder un problème de différentes manières à l'aide des graphiques CASIO?"» - Avril 2011 par Jean-Philippe Blaise Énoncé Lorsque je regarde l horloge de ma grand-mère, une question me vient rapidement à l esprit. Quel est l angle entre les deux aiguilles? Dès lors, je m interroge et pousse un peu plus loin mes divagations, à quelle(s) heure(s) les aiguilles se superposent-elles? Je sais que mes questions semblent tordues mais, tout de même! J ai beau observer À part remarquer que les mouvements sont saccadés de minutes en minutes La solution ne me saute pas aux yeux À nos calcul(atrices)! Idée et démarches suivies : La première idée est de calculer vraiment la mesure de l angle pour une heure donnée. Un travail autour de la proportionnalité le permet rapidement à condition de se rendre compte physiquement de quelques contraintes de déplacement des aiguilles. Graph 25+ Pro : Programmons pour mieux calculer. Le travail semble fortement répétitif, nous allons donc le programmer. Graph 35+ USB : Superposition et tableur. Promenade dans les lignes du tableur pour trouver les minutes adéquates. Graph 75/Graph 95SD : Superposition et solveur. Laissons à la calculatrice le soin de chercher et trouver pour nous. Le mode Solveur semble adéquat pour cette méthode. Fx-CG 20 : Superposition et valeur entière, un travail autour des intervalles. Oublions les angles et cherchons directement les différentes superpositions sans avoir à faire avancer les heures de l horloge. Graph 25+ Pro : Mode Programme L idée est de programmer la calculatrice pour qu elle nous fournisse les étapes permettant de calculer la mesure de l angle entre les aiguilles. Modélisation Par exemple, ici il est 10h40. La grande aiguille avance de 6 toutes les minutes, son angle avec la verticale est donc de : 6 x 40 = 240 La petite aiguille avance de 30 toutes les heures et de 0.5 toutes les minutes. Son angle avec la verticale est donc de : 30 x 10 + 0.5 x 40 = 320 L angle entre les deux aiguilles pour 10h40 est donc de 80 Un plus sera apporté avec la visualisation de l horloge mathématique juste. Le programme de calcul reprend l exemple précédent avec une condition supplémentaire. On cherche un angle entre deux aiguilles, il est donc, inutile de proposer des mesures supérieures à 180. Par exemple, pour 5h24, la mesure de l angle formé par les deux aiguilles est de 18. 2
Graph 75/95 SD : Mode Tableur La répétition du calcul permettra de trouver l heure où les aiguilles se superposent. Une simple visualisation de la continuité permet de poser la conjecture suivante : pour chaque heure qui passe, il y a une superposition. Le tableau sera en 3 colonnes. Il suffit de faire varier les minutes et de chercher le lieu de superposition. La colonne A ne varie pas : chaque ligne porte le nombre A2 représentant une des 12 heures. Ici, 7h38 et 7h39. Le programme de la Graph25+ Pro confirme le calcul du tableur. Question d intervalle? Par exemple, pour 1h, on voit que le passage est entre la 5 e et la 6 e minute. Par exemple pour 7h, il y a superposition entre la 38e et la 39e minute. On découvre que pour 11h, il ne se passe aucune superposition! Une gestion des intervalles est à prévoir Astuce La commande FILL permet de copier une formule dans une colonne complète sans avoir à la réécrire voire sans utiliser le copier/coller. Graph 35+ USB : Mode Solveur Au lieu de fouiller dans les lignes d un tableur, on peut demander à la calculatrice de le faire à notre place. Pour ce faire, nous allons demander la résolution d une équation où chaque membre représente la mesure de l angle d une aiguille par rapport à la verticale (gauche : heures et droite : minutes). On retrouve, pour la première heure, un chevauchement entre la 5 e et la 6 e minute car, il n y a pas de mouvement continu (arrondissons à l unité). De même, on constate à nouveau que pour 11h, il n y aura pas de superposition des aiguilles Ainsi, pour chaque heure, il est possible d interroger la calculatrice qui va se charger des calculs. On retrouve pour la 7 e heure, le résultat vu à la page précédente de ce manuel. 3
RÉSOLUTION DE PROBLÈMES MATHÉMATIQUES AVEC LES GRAPHIQUES CASIO Fx-CG 20 : Mode Table Un travail autour des intervalles permet d avoir la solution directement! Ainsi, sur les douze heures qu il faut à l horloge pour revenir à sa position initiale, il n y a que 11 superpositions possibles. Comme le temps est d une régularité exemplaire, nous avons la possibilité de considérer qu à chaque d une heure, il y aura un passage de la grande aiguille au-dessus de la petite aiguille. 11 12 Le résultat étant donné en minutes, il nous convient de le convertir en heures/minutes. On retrouve directement les 11 superpositions cherchées initialement. Ainsi, si n représente le numéro de la superposition, on trouve que l heure est donnée par la formule : 12 x 60 n 11 Synthèse Voici le tableau représentant les différents angles pour les heures qui précèdent la superposition : Par exemple, entre 10h54 et 10h55, les aiguilles de l horloge de ma grand-mère se croisent pour la dernière fois avant de se retrouver trivialement à midi (ou minuit). Ainsi, nous disposons d un nouvel outil permettant de retrouver les superpositions. Par exemple ici, nous voyons qu à 10h40, l angle est de 80 (cf. p 2). Heure avant la Angle par rapport Angle entre les superposition à la verticale des aiguilles deux aiguilles (min -1) des Heures des Minutes 12h00 0 0 0 13h05 32.5 30 2.5 14h10 65 60 5 15h16 98 96 2 16h21 130,5 126 4.5 17h27 163.5 162 1.5 18h32 196 192 4 19h38 229 228 1 20h43 261.5 258 3.5 21h49 294,5 294 0.5 22h54 327 324 3 Définissons deux fonctions et faisons varier le temps minute par minute x x Y1(x) = 30 x Intg( ) - 5.5 x (x - 60 x Intg( ) ) 60 60 Y1(x) Y2(x) = Y1(x) - 360 x Intg( ) 60 Nous avons la possibilité de représenter graphiquement la valeur absolue de la mesure de l angle entre les deux aiguilles. On retrouve par exemple en analysant le graphique créé : 15h16 est une heure qui précède une superposition (196 secondes vu sur la capture de gauche). 10h40, l angle entre les deux aiguilles est de 80 (10h40 = 640 secondes). 4
EXERCICE POUR GRAPH 25+ PRO Suite géométrique et résolution graphique d une inéquation par Yves Coudert Énoncé Une entreprise achète un véhicule neuf au prix de V 0 = 20 000 euros. Elle considère que le véhicule va se déprécier de 20 % par an. On note V 1, V 2,, V n, les valeurs en euros du véhicule au bout d un an, de deux ans,, de n années d utilisation. 1) Calculer V 1 et V 2. 2) En admettant que les nombres V 0, V 1, V 2,, V n forment une suite géométrique, vérifier que la raison de cette suite est q = 0,8. 3) En utilisant la formule générale V n = V 0 q n pour une suite géométrique, à l aide d une calculatrice, compléter le tableau de valeurs suivant (arrondir à l unité) : Nbre d années d utilisation n 1 2 3 4 5 6 7 Valeur du véhicule : V n 16 000 L entreprise décide de remplacer le véhicule lorsque la valeur du véhicule aura atteint la valeur V = 6 000 euros. 4) On considère la fonction f définie sur l intervalle [1;7] par la formule f(x) = 20 000 (0,8) x Le tableau de valeurs de la fonction f est donné dans la question 3) sachant que V n = f(n). Tracer la courbe représentative de la fonction f sur l intervalle [1;7] dans un repère orthonormé. 5) À partir de l observation graphique, indiquer le sens de variation de la fonction f sur l intervalle [1;7]. 6) Tracer la droite y = 6 000 sur l intervalle [1;7] dans le même repère que la fonction f. 7) Résoudre graphiquement sur l intervalle [1;7] l inéquation : f(x) 6 000. 8) En déduire au bout de combien d années l entreprise envisagera de remplacer le véhicule. Proposition de corrigé avec la Graph 25+ Pro Pour résoudre les deux premières questions nous allons utiliser la fonctionnalité RUN, c'est-à-dire, le module de calcul de la calculatrice Graph 25 + Pro. 2) Pour cette question il suffit de calculer le rapport V 2 /V 1, c est-à-dire de taper : Appuyer sur et à l aide du bouton directionnel sélectionner l application RUN et faire Pour effacer l écran, s il y a des données inscrites, appuyer sur la touche La machine affiche Ans / 16000 et donne q = 0,8 La raison de la suite géométrique est bien q = 0.8 correspondant au facteur de dépréciation. Pour résoudre les autres questions nous allons utiliser la fonctionnalité TABLE. Appuyer sur et à l aide du bouton directionnel sélectionner l application TABLE et faire 1) Une dépréciation de 20 % sur le prix du véhicule neuf revient à appliquer un coefficient multiplicateur de q = 1-20/100 = 0,8 soit V 1 = 20 000 x 0,8 En rentrant l opération à l aide de la calculatrice : On obtient le résultat V 1 = 16 000 et pour obtenir V 2 il suffit de taper : Dans le cas où des fonctions sont déjà présentes, il faut les effacer une à une en utilisant la touche et puis (Oui), et se déplacer à l aide du (DEL) La calculatrice affiche Ans x 0.8 et donne V 2 = 12 800. La valeur Ans représentant le résultat du dernier calcul. 5
EXERCICE POUR GRAPH 25+ PRO Compte tenu de la suite de l énoncé, nous allons séparer l écran en deux parties pour faire apparaître d un côté le tableau de valeurs et de l autre côté la représentation graphique. Pour cela, utiliser les touches (SET UP) puis à l aide du bouton directionnel se placer sur la ligne Dual Screen. S il apparaît «Off» (fonctionnalité non active), alors taper (T+G). Faire alors puis rentrer la fonction f(x) = 20 000(0,8)^x 4) Pour afficher l allure de la courbe représentative de la fonction f sur l intervalle [1;7], nous allons utiliser la partie gauche de l écran en adaptant la fenêtre d affichage aux données obtenues dans la partie droite. Utiliser alors les touches (V-Window) pour définir la fenêtre d affichage de la courbe. Saisir Xmin : puis Xmax : et scale : (unité graphique) Se déplacer avec pour saisir la valeur minimale de f : Ymin : (arrondie), puis la maximale de f Ymax : Pour donner la plage de valeurs, sélectionner (SET) puis et scale : puis terminer par rentrer pour Start : puis End : Utiliser alors à nouveau la touche (TABL) et enfin Step : pour avoir un pas de 1 puis (G-CON) pour afficher l allure de la courbe. et terminer par Pour afficher le tableau de valeurs sélectionner (TABL). 5) À partir de la courbe représentant la fonction f, on voit que f est décroissante sur l intervalle [1;7]. La fonction f est une fonction exponentielle de base q = 0,8. 6) Pour tracer la droite horizontale d équation y = 6 000 faire pour pouvoir saisir sur la deuxième ligne la fonction : Les valeurs affichées sont celles de la suite V n et vont Y 2 = permettre de répondre à la question 3) en se déplaçant vers le bas à l aide du bouton directionnel 3) Le tableau de valeurs, en faisant des arrondis à l unité, est le suivant : Appuyer alors sur les touches (TABL) puis (G-CON) pour afficher les deux courbes. Nbre d années d utilisation n 1 2 3 4 5 6 7 Valeur du véhicule : V n 16000 12800 10240 8192 6554 5243 4194 6
7) Pour résoudre l inéquation f(x) 6 000 utiliser (Trace). En bas de l écran on peut voir affichés X = 1 et Y = 16000. Se déplacer sur la courbe représentative de la fonction f en cliquant à droite avec jusqu à faire apparaître pour Y une valeur inférieure à 6000 c est-à-dire en se plaçant en dessous de la droite d équation y = 6000. On voit que pour X = 6 la valeur est Y = 5 243 et le point (6 ; 5243) se situe en dessous de la droite d équation y = 6000. Il apparaît donc que si x vérifie : x 6 alors x est solution de l inéquation : f(x) 6 000. Pour obtenir plus de précision sur les solutions de l inéquation, il faut diminuer le pas (STEP) de calcul lors de la sélection de la plage de valeurs et prendre, par exemple, un pas de 0,1 au lieu de 1. On constate alors que les solutions de l inéquation vérifient (aux arrondies près) : x 5,4 8) D après ce qui précède, c est au courant de la 6 e année que la valeur de la voiture va atteindre une valeur inférieure ou égale à 6 000 euros et que l entreprise envisagera alors de changer la voiture. ÉVÉNEMENTS Une manifestation labellisée Année Internationale de la chimie 2011 12 e Salon de la Culture et des Jeux Mathématiques Organisé par le Comité International des Jeux Mathématiques, il aura lieu à l Université Pierre et Marie Curie, 4 place Jussieu Paris V e - Métro Jussieu du jeudi 26 mai au dimanche 29 mai 2011 inclus. Autour du thème Maths et Chimie, découvrez comment les mathématiques sont intervenues dans le développement de cette discipline omniprésente dans notre vie quotidienne, et quels enjeux sociétaux en découlent. Comme chaque année, CASIO Éducation, partenaire de l événement, sera au rendez-vous et vous réservera de nombreuses surprises sur le stand! Pour toutes informations complémentaires: www.cijim.org SUPPORTS DIDACTIQUES Nos professeurs de mathématiques réalisent régulièrement des manuels didactiques afin de vous initier ou bien vous perfectionner dans la prise en main de votre outil CASIO. De nouveaux supports sont désormais disponibles, alors n attendez plus! Disposez dès à présent et GRATUITEMENT du manuel qu il vous faut en nous écrivant à education@casio.fr! CASIO Éducation propose un éventail de services sur mesure pour répondre à vos besoins en toutes circonstances! Recevez les actualités CASIO par email en vous inscrivant sur notre site Internet. E-mail : education@casio.fr Courrier : CASIO Éducation - Immeuble Phénix 1 24 rue Émile Baudot - 91127 PALAISEAU CEDEX 7
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