Méthodes de décomposition de domaine sans recouvrement utilisation en non-linéaire et vérification en linéaire LMT-Cachan ENS Cachan/CNRS/UPMC/PRES UniverSud Paris 28 avril 2011 J. Pebrel, A. Parret-Fréaud Christian Rey
Objectif Point de vue mécanique Problèmes à grand rapport d échelle Délaminage dans les composites stratifiés (méso-modèle) Plasticité en pied d aube de turbine Grandes transformations matériaux hyperélastiques Grand nombre de ddl (> 10 6 ), besoin d utiliser des décompositions de domaine en vue du calcul parallèle. Présence de phénomènes éventuellement locaux à influence globale (redistribution de contrainte, flambage).
Objectif Une stratégie parallèle adaptative intégrée de calcul de structure Réutilisation de l information numérique Définition d un modèle réduit permettant d accélérer les calculs (PGD [Nouy., 2010], POD en Newton [Ryckelynck, Chinesta, Cueto, and Ammar, 2006; Kerfriden, Gosselet, Adhikari, and Bordas, 2011], ou solveurs de Krylov [Gosselet, Rey, and Pebrel, 2011]) Vérification Étape indispensable mais coûteuse qui peut être totalement parallélisée et qui pose (à terme) la question du remaillage parallèle / de la re-décomposition.
Objectif Une stratégie parallèle adaptative intégrée de calcul de structure Non-linéarité Non-linéarité : la non-linéarité se traite par un schéma itératif (Newton, MAN, Uzawa...) qui aboutit à la résolution d une séquence de système linéaires de la taille de la structure (+ des problèmes aux points de Gauss). Décomposition de domaine : afin de découpler les calculs, les conditions d interface entre les sous-domaines sont atteintes à convergence d un processus itératif Comment imbriquer les boucles de la manière la plus pertinente? LaTIn [Ladevèze, 1985; Ladevèze and Nouy, 2003] et autres schémas [Badea, 1991; Cresta, Allix, Rey, and Guinard, 2007; Pebrel, Rey, and Gosselet, 2008].
Dernière remarque Deux philosophies (schématiquement) pour traiter par DD (sans recouvrement) un problème continu avec non-linéarités surfacique et volumique (A) Discrétisation EF (comportement porté par les éléments [E. cohésif...]) DD, interfaces porteuses de comportement (inconnues mécaniques propres) (B) DD, interfaces de connectivité (lieu du raccord) (D) Discrétisation (SD [U] et interfaces [U,F]) La DD permet donc une autre modélisation des non-linéarités d interface, pour comparer on peut utiliser l erreur en relation de comportement (entre A et D) et la vitesse de convergence (entre B et D). Aujourd hui on se place dans la colonne de gauche.
Programme prévisionnel 1 Décomposition de domaine en linéaire 2 Vérification 3 DD en non-linéaire
Problème discrétisé global Ku = f Partition conforme en N sous-domaines Séparation ddl bord (indice b) et interne (indice i) u (s) = u (s) i u (s) b Opérateur de trace t (s) = (0 bi I bb ) : t (s) u (s) = u (s) b Introduction de la réaction nodale λ (s) des voisins sur b le bord du sous-domaine (s) 0 0 K (s) 0 u (s) = f (s) + 0 K u = f + t T λ b t (s)t λ (s) b Remarque : dualité plus rusée [Bernardi, Rebollo, and Vera, 2008], cf poster G. Desmeure à Giens
Condensation Elimination des inconnues internes K (s) ii K (s) bi u (s) i (K (s) bb K (s) ib u (s) K (s) i u (s) = f (s) bb b b = K (s) 1 (s) ii ( K ib u(s) b K(s) bi K (s) ii Complément de Schur S (s) = (K (s) bb Second membre condensé b (s) = f (s) b f (s) i + λ (s) b + f (s) i ) 1 (s) K ib ) u(s) b K(s) bi K (s) bi = f (s) b K (s) 1 (s) ii K ib ) K (s) 1 (s) ii f i K (s) bi K (s) 1 (s) ii f i Equilibre local condensé S u b Sous-domaine vu comme une boite-noire = b + λ b
Description des interfaces Ensemble des nœuds partagés : Γ, A (s) opérateur d injection de Γ (s) dans Γ Le principe de l action réaction s écrit : A (s) λ (s) = b ( A (s) ) λ (s) b = A λ b = 0 s Connexion entre les nœuds : Γ, A (s) opérateur satisfaisant Range(A T ) = Ker(A ) La continuité des déplacements à l interface s écrit : A (s) u (s) = A u b b = 0 s
Qq propriétés des opérateurs d assemblage Cas de deux sous-domaines : Orthogonalité : A λ b A u b = λ(1) + λ (2) b b = u(1) u (2) b b A A T = 0 Tout vecteur d interface est la combinaison d un vecteur continu et d un vecteur équilibré : x b,!(y, z) RΓ R Γ / x b en effet = A T y + A T z z = (A 1 A T ) A x b y = (A + A T ) A x b
Intermède sur les pseudos-inverses Le système Mx = b a une solution si b Range(M) b Ker(M T ) Une pseudo inverse de M satisfait MM + b = b, b Range(M) On peut spécifier la pseudo inverse en l associant à une optimisation, par exemple la pseudo inverse de Moore-Penrose M vérifie x = M b { x = arg min y V y V = arg min z R n Mz b M renvoie le vecteur de norme minimale qui minimise la norme du résidu.
Retour à la formulation DD Formulation sous-structurée condensée S u On cherche (u b = b + λ b b, λ b ) / A λ b = 0 A u b = 0 Formulation primale u b = A T u b (A S A T ) u b = A b Formulation duale λ b = A T λ b où R (s) b (A S + A T ) λ b = A S + b + A R b α R T b (A T λ b + b ) = 0 est une base du noyau de S (s)
Solveur primal On cherche itérativement u b défini sur Γ. A l itération k, on a S A T u b k b = λ b k A (S A T u b k b ) = r pk = A λ b k Le résidu du solveur itératif mesure le déséquilibre des efforts d interface Préconditionneur Neumann-Neumann (localement optimal) (A 1 S A T ) A T + S + A + Problème grossier Il consiste à assurer que les problèmes de Neumann sont bien posés R T A + r b pk = R T A + A λ = 0 b b k Il rajoute une composante globale au préconditionneur, il permet de satisfaire le principe de Saint-Venant, et permet l extensibilité.
Solveur dual Même philosophie : on cherche itérativement un effort dans Γ (qui vérifie l action-réaction) l effort satisfait la contrainte d équilibre des sous-domaines (problème grossier) le résidu correspond au saut de déplacement entre les sous-domaines la composante rigide des déplacements α est ajustée à convergence Préconditionneur aka Dirichlet, localement optimal (A S + 1 A T ) A T + S A +
1 Décomposition de domaine en linéaire 2 Vérification 3 DD en non-linéaire
Vérification Rappels Pour quantifier l erreur de discrétisation, on utilise des indicateurs basés sur les défauts de régularité du champ de contrainte élément fini (ZZ2), sur les résidus d équilibre, ou sur l erreur en relation de comportement. Les deux derniers permettent d avoir des bornes garanties mais ils sont associés à des calculs très coûteux d où l intérêt de paralléliser. Lien avec les décompositions de domaine Plusieurs sources d erreur : Discrétisation (des sous-domaines) Convergence des grandeurs d interface Pour garantir l aspect conservatif de l estimation d erreur, on choisit de ne pas séparer ces sources, néanmoins on va construire un estimateur parallèle (basé sur l erreur en relation de comportement). [Parret-Fréaud, Rey, Gosselet, and Feyel, 2010]
Soit ω Ω. On introduit deux espaces et une forme positive : Déplacements admissibles KA (ω) = {u (H 1 (ω)) d, u = u 0 sur uω} Espace des champs statiquement admissibles SA(ω) = τ (L 2 (ω)) d d, τ symmetric, u KA 00 (ω), τ ε(u )dω = f.u dω + ω ω f ω g.u ds Mesure de la non-vérification du comportement e CR(ω) (u, σ) = σ H ε (u) H 1,ω où x H 1,ω = ω (x H 1 x) dω Le problème mécanique sur Ω est : trouver (u ex, σ ex ) KA (Ω) SA(Ω) tel que e CR(Ω) (u ex, σ ex ) = 0
Approximation élément fini u h KA h (Ω) σ h = H ε(u h ) Ω σ h ε(u h )dω = Ω f.u h dω + f Ω g.u h ds, u h KA00 h (Ω) donc u h KA (Ω) et e CR(Ω) (u h, σ h ) = 0 mais σ h SA(Ω) Estimation d erreur Si on déduit (û h, σ h ) KA (Ω) SA(Ω) de (u h, σ h ) ε(u ex ) ε(û h ) 2 H,Ω + σex σ h 2 H 1,Ω = (e CR(Ω)(û h, σ h )) 2 La difficulté principale réside dans le calcul d un champ σ h SA, il existe plusieurs techniques pour cela (EET, SPET...). Celles-ci requièrent de connaître les efforts continus sur les bords et font appel à des calculs sur des star-patchs. On note F h (σ h, f, g) l algorithme de calcul de champ SA sur un domaine connexe. ˆσ h = F h (σ h, f, g) SA(Ω)
En décomposition de domaine Soit u = (u (s) ) s, on pose l opérateur d assemblage global u = A(u ) u Ω (s) = u (s) Réécriture des admissibilités A(u ) KA (Ω) { u(s) KA (Ω (s) ), s tr(u (s) ) = tr(u (s ) ) on Γ (ss ), (s, s ) A(σ ) SA(Ω) { σ(s) SA(Ω (s) ), s σ (s).n (s) + σ (s ).n (s ) = 0 on Γ (ss ), (s, s ) L admissibilité globale correspond donc à une admissibilité par sous-structure et la vérification de conditions d interface Finalement si (A(ûh ), A( σ h )) KA (Ω) SA(Ω) alors (e CR(Ω) (A(û h ), A( σ h )))2 = s (e CR(Ω (s) ) (û(s), σ (s) )) 2 h h
Construction de champ KA A partir de u a priori discontinu aux interfaces. Calcul du saut de déplacement A u b Calcul d un champ d interface corrigé continu û b = u b à T (A u b ) avec A à T = I à T = A + Déduction d un champ de déplacement dans le sous domaine û i = K 1 ii (fi K ib û b ) Le champ (ûh ) est obtenu à l aide des fonctions de formes appliquées à û. On retrouve les calculs usuels pour appliquer l opérateur en primal et le préconditionneur en dual.
Construction de champ SA A partir de λ b a priori déséquilibré aux interfaces. Calcul du saut d effort A λ b Calcul d un champ d interface corrigé équilibré ˆλ b = λ b à T (A λ b ) avec A à T = I à T = A + sous la contrainte R T b (ˆλ b + b ) = 0 A l intérieur Champ de déplacement associé dans le sous-domaine ũ = K + (f + t T ˆλ b ) Calcul du champ ( σ h ) par application de la relation de comportement Sur le bord Déduction d un champ d effort continu d interface ˆλ à partir des efforts nodaux ˆλ b (interpolation des efforts d interface) Application de l algorithme σ h = F h( σ h, f, g, ˆλ ) On retrouve les calculs usuels pour appliquer l opérateur en dual et le préconditionneur en primal, avec les problèmes grossiers.
Petit bilan Linéaire Vérification Non-linéaire Références On se greffe sur les opérations classiques des décompositions de domaine (réinterprétation du préconditionnement). Seule opération en plus : calcul d un champ d effort continu à partir d un champ discret (équilibré) Parallélisation totale de l utilisation de F h ( σ h, f, g, ˆλ ) L erreur de discrétisation peut-être estimée au cours des itérations du solveur dd A convergence l estimation dd est différente de l estimation séquentielle à cause du traitement des interfaces
Qualité de la reconstruction parallèle y zx 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 (a) Chargement (b) Exemple de maillage (c) σ Von- Mises erreur 1000 100 10 1 dual : 2sd primal : 2sd dual : 4sd primal : 4sd dual : 8sd primal : 8sd dual : 16sd primal : 16sd dual : 32sd primal : 32sd dual : 64sd primal : 64sd sequentiel exact 0.1 0.01 1 10 100 1/h Figure: h-convergence de l erreur e h et des estimateurs e seq et eddm rdc rdc
Convergence de l estimateur au cours des itérations du solveur dd
Convergence des cartes d erreur au cours des itérations du solveur dd
Linéaire Vérification Non-linéaire Références Cas hétérogène, bonne inverse généralisée des assemblages (scaling) 0 0.1053 0.2105 0.3158 0.4211 0.5263 0.6316 0.7368 0.8421 0.9474 y zx y zx (a) Description (b) Exemple de maillage 5 sd 9 sd 18 sd 36 sd séquentiel exact 1 0.1 erreur (c) σ Von-Mises 0.01 0.001 0.0001 10 100 1/h Figure: h-convergence de l erreur eh et des estimateurs e seq et e ddm rdc rdc
Deuxième bilan L estimateur en DD est d une qualité comparable avec l estimateur séquentiel (pour un temps divisé par N) Les cartes d erreur obtenues sont très semblables à l estimateur séquentiel Pour les certains cas hétérogènes l estimateur DD est meilleur que le séquentiel (une amélioration a été proposée pour la méthode EET) Si l interface est très chahutée l estimateur DD peut être moins bon (travail en cours) On observe que l erreur de discrétisation converge rapidement par rapport au solveur DD : l estimateur est d abord piloté par la qualité des champs d interface puis rapidement l erreur de discrétisation devient prépondérante. On cherche à en déduire de nouveaux critères d arrêt pour les solveurs par décomposition de domaine.
1 Décomposition de domaine en linéaire 2 Vérification 3 DD en non-linéaire
Cas non-linéaire discrétisé Problème global On se place dans le cadre d un problème HPP, sur un incrément le problème s écrit : f int (u) + f ext = 0 l histoire (variables internes) est masquée mais ne pose pas de problème Résolution classique Utilisation d un solveur de Newton f int u (u k)δu = (f int (u k ) + f ext) u k+1 = u k + δu La résolution peut être très ralentie si un phénomène méchant même localisé se passe [Cresta et al., 2007], et à chaque fois on doit résoudre un système linéaire global (éventuellement par DD [Farhat, Pierson, and Lesoine, 2000]).
Cas non-linéaire discrétisé Problème global On se place dans le cadre d un problème HPP, sur un incrément le problème s écrit : f int (u) + f ext = 0 l histoire (variables internes) est masquée mais ne pose pas de problème Version sous-structurée Trouver (u, λ ) tel que b f int (u ) + f ext + t T λ b = 0 A λ b = 0 A u b = 0 où la dépendance est locale f (s) int (u(s) )
Condensation primale Trouver u b R Γ tel que f int (u ) + f ext + t T λ b = 0 t u = A T u b A λ b = 0 Si le système local (de Dirichlet) possède une seule solution, on peut définir un opérateur S (s) nl λ (s) b = S (s) (A (s)t u nl b ; f (s) ext ) Cet opérateur est une version non-linéaire du complément de Schur ; il calcule la réaction associée à un déplacement imposé. Dans le cas linéaire, on a : S (s) l (u (s) b ; f(s) Le problème non-linéaire condensé primal s écrit ext ) = S(s) t u (s) b (s) Trouver u b R Γ tel que A S nl (A T u b ; f ext ) = 0
Condensation duale Trouver λ b R Γ tel que f int (u ) + f ext + t T A T λ b = 0 A t u = 0 Pour que le problème local (de Neumann) soit bien posé, il faut s asssurer que Alors on peut définir un opérateur D (s) nl u (s) b R T (f ext + t T A T λ b ) = 0 = D (s) (A (s)t λ nl b ; f (s) ext ) + R(s) b qui est une version non-linéaire du complément de Schur dual, il calcule le déplacement associé à une réaction imposée (à un déplacement de solide rigide près). Dans le cas linéaire on retrouve : D (s) l α(s) (λ (s) b ; f(s) ext ) = S(s)+ (λ (s) + b (s) ) b Le problème non-linéaire condensé dual s écrit Trouver λ b R Γ, α tel que A (D nl (A T λ b ; f ext ) + t R α ) = 0 R T (f ext + t T A T λ b ) = 0
Condensation mixte Il est possible d introduire un nouveau champ d interface µ (homogène à un effort) b qui conduit à prendre en compte des conditions de Fourier (Robin) sur les interfaces. Un paramètre est alors l impédance d interface Q b. Trouver µ b R b tel que f int (u ) t T Q b u b + t T µ b + f ext = 0 A T (A 1 Q b A T ) A µ b u b = 0 On introduit l équivalent d un complément de Schur mixte non-linéaire u (s) b = M (s) nl (µ (s) b ; f(s) ext, Q(s) b ) Trouver µ b R tel que b A T (A Q 1 b A T ) A µ b M nl (µ b ; f ext, Q b ) = 0
Résolution du problème non-linéaire condensé Cas primal Trouver u b R Γ tel que A S nl (A T u b ; f ext ) = 0 Application d un Newton On reconnaît A ( S nl ) A T u b u δu b = A S T nl (A ub k ; fext ) b k u b k+1 = u b k + δu b A droite, le calcul du résidu correspond à la résolution parallèle de problèmes de Dirichlet et à l évaluation du déséquilibre des réactions A gauche, l opérateur tangent est exactement un opérateur DD primal, on montre que cet opérateur se calcule par condensation de la matrice de rigidité tangente des sous-domaines
Premier bilan L algorithme devient Évaluation du résidu NL = calculs NL locaux // (avec différentes CL) Système tangent = système linéaire de type DD (assemblage d opérateurs locaux condensés obtenus à partir des matrices locales tangents) On a donc reporté une partie du calcul de la non-linéarité au niveau du sous-domaine. Sur le rôle des conditions aux limites En linéaire, toutes les formulations sont équivalentes. Il est possible de substituer n importe quelle formulation DD pour la résolution des systèmes tangents En non-linéaire les conditions aux limites jouent un rôle fondamental (sur l apparition d instabilité), les formulations ne sont pas équivalentes. En l absence de phénomènes critiques, toutes les formulations doivent converger vers la solution mais les performances peuvent être très variables. Pour le mixte il faut ajuster l impédance Q b [Gendre, Allix, and Gosselet, 2011]. Paramètres Plusieurs précisions sont à fixer : calcul non-linéaire local (par sous-domaine) et calcul non-linéaire global (sur l interface), calcul linéaire tangent (par un solveur de Krylov). Pour la convergence il faut mesurer le résidu sur l ensemble de la structure (conjonction des résidus locaux et d interface)
Résultats en primal Influence de l initialisation L initialisation ne joue pratiquement pas.
Influence des résolutions locales Une bonne précision locale permet de diminuer le nombre d itérations globales.
Influence des résolutions locales Une bonne précision locale permet de diminuer le nombre d itérations globales. Au delà d un seuil la précision du solveur de Krylov ne joue plus
Extensibilité Gain en temps CPU / 3 sous-domaines
Résultats en dual
Influence de l initialisation Influence sur le résidu global Influence sur le résidu local du premier sous-domaine Au delà d un seuil, la précision de l initialisation ne joue pratiquement pas
Sur les risques d instabilité
Résultats en mixte
Conclusion sur les DD en NL Il est donc possible de traiter un problème non-linéaire en se ramenant à la résolution de problèmes non-linéaires // par sous-domaine et de problèmes tangents de type DD. L intérêt est de résoudre moins de systèmes tangents d interface. L usage des différentes formulations (primale/duale/mixte) conduit à des performances différentes. Des preuves de convergence des méthodes doivent pouvoir être obtenues si on suppose des comportements à écrouissage positif. Dans les autres cas la forme du sous-domaine peut jouer sur la stabilité Difficulté supplémentaire en grande transformation liée à la gestion des noyaux Autre problème : redéfinition de l équilibrage de charge. Intérêt de faire de l adaptation de maillage et de décomposition.
Lori Badea. On the schwarz alternating method with more then two subdomains for nonlinear monotone problems. SIAM J. Numer. Anal., 28(1) :179 204, 1991. C. Bernardi, T. Chacòn Rebollo, and E. Chacòn Vera. A feti method with a mesh independant condition number for the iteration matrix. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 197 :1410 1429, 2008. P. Cresta, O. Allix, C. Rey, and S. Guinard. Nonlinear localization strategies for domain decomposition methods in structural mechanics. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 196 :1436 1446, 2007. C. Farhat, K. Pierson, and M. Lesoine. The second generation feti methods and their application to the parallel solution of large-scale linear and geometracally non-linear structural analysis problems. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 184 : 333 374, 2000. L. Gendre, O. Allix, and P. Gosselet. A two-scale approximation of the schur complement and its use for non-intrusive coupling. International Journal for Numerical Methods in Engineering, early view online, 2011. P. Gosselet, C. Rey, and J. Pebrel. Total and selective reuse of krylov subspaces for the solution to a sequence of nonlinear structural problems. submitted to International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2011. P. Kerfriden, P. Gosselet, S. Adhikari, and S. Bordas. Bridging proper orthogonal decomposition methods and augmented newton-krylov algorithms : an adaptive model order reduction for highly nonlinear mechanical problems. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 200(5-8) :850 866, 2011. P. Ladevèze. Sur une famille d algorithmes en mécanique des structures. Compte rendu de l académie des Sciences, 300(2) :41 44, 1985. P. Ladevèze and A. Nouy. On a multiscale computational strategy with time and space homogenization for structural mechanics. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 192 :3061 3087, 2003. A. Nouy. A priori model reduction through proper generalized decomposition for solving time-dependent partial differential equations. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 199(23-24) :1603 1626, 2010. A. Parret-Fréaud, C. Rey, P. Gosselet, and F. Feyel. Fast estimation of discretization error for fe problems solved by domain decomposition. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 199(49-52) :3315 3323, 2010. J. Pebrel, C. Rey, and P. Gosselet. A nonlinear dual domain decomposition method : application to structural problems with damage. International Journal for Multiscale Computational Engineering, 6(3) :251 262, 2008. D. Ryckelynck, F. Chinesta, E. Cueto, and A. Ammar. On the "a priori" model reduction : Overview and recent developments. Archives of Computational Methods in Engineering, 13 :91 128, 2006.
Publicité Giens 2011 Linéaire Vérification Non-linéaire Références L. Gendre : application des DD dans un cadre non-intrusif (avec O. Allix) K. Saavedra : calcul multiéchelle (LaTIn) de l interaction flambage-délaminage dans les composites (avec O. Allix) A. Parret-Fréaud : vérification et DD (avec C. Rey) G. Desmeure : représentation des interefforts en DD (LaTIn) (avec C. Rey) P. Kerfriden (U. Cardiff) : réduction de modèle POD/Krylov pour la fissuration La plénière de Christian