Chapitre 13 Probabilités

Chapitre 13 Probabilités Compétences : Exemples d'activités, commentaires :. Pièces de monnaie, dés, roue de loteries, urnes. Ex :31,32,33,44,46 P 208 DM N 13 ex 58p208 ou 56 p 210 DST 13 poly I13 poly 5/5 I. Vocabulaire Activité 1 Soit l expérience aléatoire : lancer d un dé à six faces non truqué. 1) Cette expérience aléatoire admet 6 issues : 1 ; 2 ;3 ;4 ; 5 et 6. 2) a) Il y a 3 résultats possibles à l événement «le résultat obtenu est un nombre pair» : 2 ; 4 et 6. b) Il y a 5 résultats possibles à l événement «le résultat obtenu vaut au moins 2» : 2 ;3 ;4 ;5 et 6. Une expérience est dite aléatoire lorsque son résultat est déterminé par le hasard et ne peut donc être prévu à l avance avec certitude. Au lieu de «résultat d une expérience», on dit souvent en probabilité «issue d une expérience». Un évènement est une condition qui peut ou ne peut pas être réalisée lors d une expérience. Un évènement peut être réalisé par une ou plusieurs issues de cette expérience. Un événement réalisé par une seule issue est un événement élémentaire. Exemple : «Jeter un dé non truqué à 6 faces» est une expérience aléatoire. Les issues possibles sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 et 6. On peut définir l événement M : «Obtenir un multiple de 3». L événement M est constitué des issues 3 et 6. II. Notion de probabilité 1) Définition intuitive Activité 2 1) On lance une pièce de monnaie bien équilibrée en l'air et on s'intéresse au côté sorti. Arbre des possibles : a) Il y a 2 résultats possibles : pile ; face. b) Non il y a autant de chance d obtenir pile ou face car la pièce est bien équilibrée. c) On a une chance sur deux que ces résultats possibles se produise. 2) On lance plusieurs fois une pièce de monnaie bien équilibrée en l'air et on s'intéresse Page 1 sur 7

au côté sorti. a) La chance d obtenir face au lancer suivant est de 1 2. b) La chance d obtenir face au lancer suivant est de 1 2. c) La chance d obtenir face au lancer suivant est de 1 2. d) La chance d obtenir face au lancer suivant est de 1 2. En effet la pièce n a pas de mémoire elle ne se souvient pas des lancers précédents. 3) Dans une loterie, une roue est divisée en neuf secteurs identiques numérotés de 1 à 9. On fait tourner cette roue et un pointeur s'arrête, au hasard, devant l'un des secteurs. Arbre des possibles a) 4 secteurs portent un nombre pair. b) Un joueur a 4 chances sur 9 d'obtenir un nombre pair et 5 chances sur 9 un nombre impair. Définition intuitive : Pour certaines expériences aléatoires on peut déterminer par une proportion de «chance» qu un événement a de se produire. Ce quotient est appelé probabilité de l évènement. 2) Probabilité et fréquence Activité 3 Partie 1 1) 2) Effectif Fréquence Face 1 6 6 40 0.15 Face 2 1 1 40 0.025 Face 3 6 6 40 0.15 Face 4 8 8 40 0.2 Face 5 9 9 40 0.225 Face 6 10 10 40 0.25 En classe ( 27 élèves) Page 2 sur 7

1) a) Effectif Fréquence Face 1 174 174 1080 0.1611 Face 2 134 134 1080 0.1241 Face 3 180 180 1080 0.1667 Face 4 191 191 1080 0.1768 Face 5 206 206 1080 0.1907 Face 6 195 195 1080 0.1806 b) Je dois obtenir 1080, ce qui est bien le cas en effet 40 27 1080. 2) Les valeurs approchées des différentes fréquences d apparitions des faces sont dans le tableau ci-dessus. 3) Les fréquences d apparition sont toutes différentes. La somme de toutes ces fréquences est de 1. 1) 2)3) Partie 2 Il est possible de relancer l expérience en cliquant sur la touche F9 4) Calculons la fréquence d apparition des différentes faces en fonction du nombre de lancers. Taille 100 Taille 1 000 Taille 10 000 Face 1 0,16 0,155 0,1677 Face 2 0,18 0,189 0,1672 Face 3 0,12 0,155 0,1628 Face 4 0,15 0,168 0,1646 Face 5 0,22 0,161 0,1641 Face 6 0,17 0,172 0,1736 5) La fréquence relative d apparitions de la face 3 semble se stabiliser et se rapprocher de la valeur 0,1628 lorsque le nombre de lancers augmente. 6)Cette valeur est une valeur approchée de la probabilité de l événement : «Obtenir 3». 1 p(3) 0,1666. 6 Page 3 sur 7

Activité 4 1) On ne peut pas prévoir un raisonnement logique car la punaise n est pas bien équilibrée. 2) Nombre de 5 10 50 500 1000 5000 10000 lancers Nombre de 1 4 27 142 311 1534 3041 réalisation H Fréquence 1 4 27 142 311 1534 3041 fractionnaire 5 10 50 500 1000 5000 10000 Fréquence 0,2 0,4 0,54 0,284 0,311 0,3068 0,3041 décimale 3)a) Nous constatons que la fréquence de l issue «La punaise à la pointe en haut» tend à se stabiliser et à ce rapprocher pour un grand nombre de lancers vers la valeur 0,3. b) On ne peut approcher la probabilité de l issue «La punaise à la pointe en haut» que par l expérimentation. Nous proposons 0,3 comme valeur pour P(H). On constate et on admettra dans le cas général que, quand on répète un très grand nombre de fois une expérience, la fréquence d obtention d un résultat se stabilise et se rapproche d un nombre que l on prendra comme résultat de la probabilité. Méthode : Simuler à la calculatrice un lancer de dé à 6 faces non truqué Annexe La touche RanInt permet de saisir des instructions de la forme RanInt (a ;b) qui génère alors un nombre aléatoire compris entre a et b. On utilise donc l instruction RanInt (1 ;6) Qui renvoie aléatoirement un nombre entier compris entre 1 et 6 asi Saisir au clavier : Q, 1 q36) Saisir au clavier : _ Page 4 sur 7

cecicorrespond au tirage 4 anarce8 jg isaisir au clavier : C3(3c_ correspond au tirage 5 3) Définition et Propriétés Activité 5 1) a) P(une boule bleue)= 1 7 Partie 1 b) P(une boule blanche)= 4 7 c) P(une boule rouge)= 2 7. 1 3 1 2 1 2) a) P(5). b) P( pair). c) P( un nombre premier) 6 6 2 6 3 d) Un événement dont la probabilité est égale à 1est obtenir une boule qui n est pas verte. 1 26 1 25 3) a) P( A) b) P(non A) 26 26 26 5 26 5 21 c) P( une voyelle) d) P( une consonne) 26 26 26 ou P( une consonne) = P ( non voyelle) 5 26 5 21 1 26 26 26 Partie 2 1) Il a effectivement raison, car on ne peut pas avoir une probabilité d un événement supérieure à 100% soit 100 1 100 or 6 1 5 2) Les résultats favorables à l événement «Obtenir une boule» qui est de 100% soit 1 sont : «Obtenir une boule verte, obtenir une boule rouge ou obtenir une boule bleue» Or 1 3 2 6 1 8 8 8 8 Définition : La probabilité d un évènement est définie comme la somme des probabilités des évènements élémentaires qui la constituent. Propriétés admises : La probabilité d un événement certain est égale à 1. La probabilité d un événement impossible est égale à 0. La probabilité d un événement est toujours comprise entre 0 et 1. La somme des probabilités des évènements élémentaires est égale à 1. Page 5 sur 7

4) Évènements incompatibles Évènements contraires. Activité 6 1) 2)a) Non les 2 évènements ne peuvent se réaliser en même temps. b) P( U ou V) = 1 2 1 3 5 5 12 5 1 4 3) a) P(A) = 4 5 5 b) P( non A) = 1 5 1 4 P(A) = 1 p(non A) = 1 5 5 a) Évènement incompatible Définition : Deux évènements sont incompatibles s ils ne peuvent pas se réaliser en même temps Propriété admise : Lorsque deux évènements sont incompatibles, la probabilité pour que l un ou l autre se réalise est égale à la somme de leurs probabilités. b) Évènement contraire Définition : L évènement contraire d un évènement A est celui qui se réalise lorsque A ne se réalise pas. On le note : A (non A) Propriété admise : La somme des probabilités d un évènement A et de son contraire est 1 : P(A) + P( A ) = 1 Page 6 sur 7

5) Expérience aléatoire à 2 épreuves Activité 7 1) Recopier et compléter l arbre des possibles pondéré par les probabilités ; compléter la liste des issues. 2) Si l on réalise 120 fois l expérience,1/4 de ces expériences suivront la branche vers R Donc on obtiendra environ 1 120 soit 30 issues commençant par R. 4 3) Si l on réalise 120 fois l expérience,1/4 de ces expériences suivront la branche vers R, et parmi celles-ci 1/6 iront vers 1. Donc on obtiendra environ 1 1 120 soit 5 issues (R ;1). 6 4 5 La fréquence (R ;1) est de 120 soit 1 24. 4) De façon plus générale, on réalise N fois cette expérience. Par analogie on obtiendra : Si l on réalise N fois l expérience,1/4 de ces expériences suivront la branche vers R Donc on obtiendra environ 1 4 N issues commençant par R. Si l on réalise N fois l expérience,1/4 de ces expériences suivront la branche vers R, et parmi celles-ci 1/6 iront vers 1. Donc on obtiendra environ 1 1 6 4 N soit 1 24 N issues (R ;1). N La fréquence (R ;1) est de 24 N soit 1 24. Page 7 sur 7 On admet que la probabilité d obtenir l issue (R ;1) est égale au produit des probabilités 1 4 et 1 6, rencontrées successivement sur les branches menant à l issue (R ;1) Vocabulaire : Sur l arbre des possibles d une expérience aléatoire à deux épreuves, une succession de deux branches est appelée un chemin. Propriété admise de manière générale : Avec un arbre, la probabilité de l issue auquel conduit un chemin est égale au produit des probabilités «rencontrées» le long de ce chemin.