Eléments d arithmétique dans l ensemble des naturels Connaissances : Multiples diviseurs Division euclidienne PGCD Nombres premiers Nombres premiers entre eux Fraction irréductible Calculs PGCD de deux nombres Rendre une fraction irréductible 1) Diviseur d un nombre entier naturel Rappel : Un nombre entier naturel est un nombre entier positif division euclidienne : division d un entier naturel par un entier naturel Si le reste de la division euclidienne (division d un entier naturel par un entier naturel) d un entier a par un entier d est zéro alors d est un diviseur de a. Il existe ainsi un entier k tel que a = d x k 2) Diviseurs communs à deux entiers naturels a) Recherche de diviseurs Exemple : 30 = 1 x 30 = 2 x 15 = 3 x 10 = 5 x 6 Diviseurs de 30 : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30 24 = 1 x 24 = 2 x 12 = 3 x 8 = 4 x 6 Diviseurs de 24 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24 Pour chercher les diviseurs d un nombre on recherche toutes les façons possibles d écrire l entier a sous la forme d un produit de deux facteurs entiers naturels
Autre exemple : quotients 36 2 18 2 9 3 3 3 1 35 = 2² x 3² décomposition en facteurs premiers diviseurs 3 0 = 1 1x1x1= 1 2 0 3 1 = 3 1x1x3= 3 3 2 = 9 1x1x9= 9 3 0 = 1 1x2x1= 2 1 2 1 3 1 = 3 1x2x3= 6 3 2 = 9 1x2x9= 18 3 0 = 1 1x4x1= 4 2 2 3 1 = 3 1x4x3= 12 3 2 = 9 1x4x9= 36 1 3 (puissances de 2) 3 puissances de 3) Nombres de diviseurs possibles : 1 x 3 x 3 Diviseurs de 36 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36 Pour chercher les diviseurs d un nombre on construit un arbre après avoir chercher les facteurs premiers Savoir les règles de divisibilité par 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 9 Règles de divisibilité : un nombre est divisible par 2 si ce nombre est pair un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3 ex : 144 ; on fait 1 + 4 + 4 = 9 multiple de 3 donc 144 est divisible par 3 un nombre est divisible par 4 si ces deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4 ex : 144 ; on prend 44, c est divisible par 4 donc 144 est divisible par 4 un nombre est divisible par 5 s il se termine par 0 ou 5 un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9 b) Recherche de diviseurs communs Diviseurs de 30 : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30 Diviseurs de 24 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24 Diviseurs communs : 1 ; 2 ; 3 ; 6 c) PGCD : Plus Grand Commun Diviseur a et b désignant deux nombres entiers. On note PGCD (a ; b) le plus grand des diviseurs communs à a et b. Le PGCD est le dernier reste non nul dans la succession de divisions euclidiennes de l Algorithme d Euclide.
Algorithme d Euclide : Ex : PGCD (252 ; 360) 360 : 252 = 1 reste 108 252 : 108 = 2 reste 36 108 : 36 = 3 reste 0 Le PGCD (252 ; 360) = 36 On peut schématiser l Algorithme d Euclide ainsi : 360 = 252 x 1 + 108 252 = 108 x 2 + 36 108 = 36 x 3 + O Le PGCD peut se calculer en décomposant les nombres sous forme de facteurs premiers. Ex : PGCD (36 ; 24) 36 2 24 2 18 2 12 2 9 3 6 2 3 3 3 3 1 1 36 = 2² x 3² 24 = 2 3 x 3 PGCD (36 ; 24) = 2² x 3 = 12 (exposant le plus petit pour chaque nombre) PPCM (36 ; 24) = 2 3 x 3 2 = 72 (exposant le plus grand pour chaque nombre) Le PPCM de deux nombres est le multiple le plus petit de ces deux nombres. Algorithme des différences 145 100 = 45 100 45 = 55 55 45 = 10 45 10 = 35 35 10 = 25 25 10 = 15 15 10 = 5 10-5 = 5 PGCD ( 145 ; 100 ) = 5 5-5 = 0 d) Nombres premiers entre eux On dit que deux nombres a et b sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1. Ne pas confondre : Un nombre premier est un nombre qui n est divisible que par 1 et lui-même. Ex : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ;
e) Propriétés des diviseurs communs à deux entiers naturels. Un diviseur commun à deux entiers naturels a et b non nuls est un diviseur de leur somme, de leur différence et du reste r dans la division euclidienne de a par b. 3) Simplification de l écriture d un rationnel (fraction irréductible) On dit qu une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. 10 Ex : PGCD (10 ; 7) = 1 donc fraction irréductible 7 221 PGCD (221 ; 69) = 1 donc fraction irréductible 69 Lorsque l on veut simplifier une fraction, on divise son numérateur et son dénominateur par le PGCD de ces deux nombres. 360 Ex : simplifier 252 PGCD (360 ; 252) = 36 360 360 : 36 10 252 252 : 36 7 4) Quelques rappels a) Division euclidienne C est la division de deux nombres entiers naturels D r d q D : dividende d : diviseur q : quotient r : reste D = d x q + r avec r < d b) Multiples Le naturel a est multiple de b signifie qu il existe un nombre entier k tel que a = b x k a est un multiple de b et b est un diviseur de a. ex : 12 est un multiple de 3 et 3 est un diviseur de 12 Propriétés o Si les naturels a et b sont multiples de c alors a + b aussi. o a > b; si a est multiple de b et si b est multiple de c alors a est multiple de c. Propriétés : o soit a et b deux entiers tel que b < a
les diviseurs communs de a et de b sont les mêmes que ceux de b et de a b en particulier PGCD (a ; b)= PGCD (b ; a b ) o si b est diviseur de a alors PGCD (a ; b ) = b c) PPCM : plus petit commun multiple PPCM ( 30 ; 24) 30 = 2 x 3 x 5 24 = 2 3 x 3 PPCM (30 ; 24) = 2 3 x 3 x 5 = 120 (exposant le plus grand des nombres) Voir Hatier : chapitre 3 Tome 1 Faire les activités initiales p 79 n 1 2 3. Fiche exercices