La résolution de problème aux cycles 2 et 3

La résolution de problème aux cycles 2 et 3 Circonscription de Claye Souilly Mercredi 10 octobre 2018

I. Résolution de problèmes

Que pensez-vous du protocole d aide à la résolution de problème ci-dessous? Quelle analyse pouvez-vous faire : ce qui est pertinent, ce qui est à changer?

On vous propose 4 problèmes. Vous allez résoudre les 4 problèmes et vous allez essayer de vous souvenir comment vous avez procédé. a) Un massif de fleurs est formé de 60 tulipes rouges et 15 tulipes jaunes. Quel est le nombre de tulipes de ce massif? b) Un massif est formé de 60 rangées de 15 tulipes. Quel est le nombre de tulipes de ce massif? c) Un massif de 60 fleurs, est formé de tulipes et de 15 jonquilles. Quel est le nombre de tulipes de ce massif? d) 60 tulipes sont disposées en 15 massifs réguliers. Quel est le nombre de tulipes de chaque massif?

Comment a-t-on fonctionné? On réfléchit à peine, l opération à faire s invite toute seule, On peut avoir une évocation imagée, Certains mots ont induit une opération (rangées, et, = mots inducteurs). Ces exemples permettent d invalider les aides méthodologiques portant sur des compétences isolées (chercher la question, relever les informations utiles, inutiles.)

Rappel : la typologie de Vergnaud : les problèmes additifs et soustractifs Problèmes additifs et soustractifs Les problèmes de transformation d état Pierre arrive à l école avec 8 billes, il en perd 6 à la récré. Combien en a t-il après la récré? Les problèmes de composition d état Pierre a 8 billes en verre et 6 billes en terre. Combien en a-t-il en tout? Les problèmes de comparaison d états Pierre a 8 billes. Eric en a 6 de plus que Pierre. Combien Eric a t-il de billes? Les problèmes de composition de transformation Pierre a gagné 8 billes le matin et 6 billes l après-midi. Combien de billes a-t-il gagnées dans la journée?

Le réservoir de ma voiture est plein : il contient 60 litres. Au cours d un voyage, j ai consommé 49 litres. Combien reste-t-il de litres d essence dans mon réservoir? Transformation d un état Recherche de l état final Recherche de la transformation Recherche de l état initial

Dans la classe, il y a 7 chaises rouges et 6 chaises jaunes. Combien y a-t-il de chaises en tout dans la classe? Composition de 2 états Recherche du composé Recherche d une partie

Ma cousine a 28 ans. Elle a 6 ans de plus (ou de moins) que son frère. Quel âge a son frère? Comparaison d états Recherche de la comparaison Recherche de l un des états

A la gare le train repart avec 140 personnes de moins qu à son arrivée. 270 personnes sont descendues. Combien de personnes sont montées? Composition de transformations Recherche de la transformation composée Recherche de l une des composantes Recherche de l état initial ou final

La typologie de Vergnaud : les problèmes multiplicatifs et de division PROBLEMES TERNAIRES PROBLEMES QUATERNAIRES N fois plus ou moins Produit cartésien Configuration rectangulaire Multiplication La division quotition La division partition La proportionnalité Pierre a 9 billes. Son copain Eric en a 4 fois plus que lui. Combien Eric a t-il de billes? Pierre a 3 shorts et 4 maillots. Combien de tenues différentes peut-il former? Pierre a planté 8 rangées de 4 salades. Combien a-t-il planté de salades? Pierre vend des roses. Dans chaque bouquet il y a 5 roses. Eric achète 3 bouquets. Combien a-t-il de roses? Dans la classe de Mme Durand, il y a 24 élèves. Elle leur demande de former des équipes de 4. Combien d équipes les élèves pourront-ils faire? Quatre enfants se partagent équitablement 28 bonbons. Combien de bonbons aura chaque enfant? Le maître a besoin de 12 cahiers pour 3 élèves. Combien de cahiers doit-il acheter pour une classe de 18 élèves?

Attention La typologie des problèmes de Vergnaud est un outil de l enseignant : - pour construire des séries de problèmes ressemblants - Pour aider les élèves à catégoriser les problèmes basiques. - Pour ne pas évaluer les élèves sur des types de problèmes qu ils n auraient pas travaillés. Les schémas de Vergnaud ne sont pas proposés pour faire l objet d un enseignement.

Objectifs liés à l utilisation de cette typologie Du côté de l enseignant Proposer toutes les catégories de problèmes basiques pour entraîner les élèves à les réussir. Apprendre aux élèves la nécessité de se construire une représentation. Faire identifier aux élèves les différents raisonnements associés aux différentes catégories de problèmes. Du côté de l élève S entraîner pour réussir toutes les catégories de problèmes basiques. Se construire des représentations. Les traduire par le récit, le dessin, le schéma Savoir qu il existe différents types de problèmes «basiques» - pour addition soustraction - pour multiplication division. Catégoriser les différents problèmes. Faire construire des outils référents et garder la mémoire des catégories. Construire et utiliser des outils référents pour s entraîner à reconnaître les différentes catégories.

Vers une typologie des problèmes arithmétiques Problèmes «basiques» (d un savoir, d un concept) Enjeu élève : les mémoriser Problèmes «complexes» Enjeu élève : construire des sous-problèmes basiques calculables en connectant des informations et qualifiant les résultats Problèmes atypiques Enjeu élève : inventivité stratégique et flexibilité de raisonnement, persévérance et confiance en soi

Qu est ce qu un problème basique? Une piste d athlétisme mesure 400 m. Paul fait 5 tours de piste. Quelle distance a-t-il parcourue? CE2 Dans cette salle, 400 places en 25 rangées régulières. Combien de places par rangée? CM Problèmes basiques Pas de donnée superflue Une syntaxe facile Un contexte facile à comprendre (a priori)

PROBLEME «COMPLEXE» Au cinéma Royal Ciné un adulte paye 6 par séance et un enfant paye 4 par séance. A la séance de l après-midi, il y avait 50 adultes et des enfants. A la séance du soir, il y avait 15 adultes et 20 enfants. La recette de la journée est 542 Combien y avait-il d enfants à la séance de l après-midi? ERMEL (1997 ; 2005) Apprentissages numériques et résolution de problèmes CM1. Paris :Hatier

PROBLÈMES «COMPLEXES» Un problème qui est un composé de problèmes basiques cachés à construire par l élève! L exemple du problème de recette du cinéma: Sous problèmes calculables Séance du soir : nombre de personnes Séance du soir : prix que payent les adultes Séance du soir : prix que payent les enfants Séance de l après midi : prix que payent les adultes Deux séances : prix que payent les adultes Sous problèmes utiles Recette de la séance du soir OU Recette venant des adultes ET Séance du soir : prix que payent les enfants

Enjeux des problèmes «complexes» Tester les opérations (toutes et/ou leurs propriétés) Adapter à de nouveaux contextes* des problèmes basiques mémorisés (typologie Vergnaud) Renforcer les contrôles sémantiques (sens des mots) pragmatiques* (sens du réel) et syntaxiques (sens du texte) (*) les deux sont liés

Enjeux des problèmes «complexes» Inférences et contrôles sémantiques (sens des mots) : s appuyer sur le sens des mots pour inférer un raisonnement (attention mots inducteurs) Ex : Partager c est une division ; fois c est multiplier; si on fait une multiplication on va trouver plus Inférences et contrôles pragmatiques (sens du réel) : Le calcul contrôlé par comparaison avec connaissance de la réalité évoquée, puis accepté ou rejeté ou requestionné Ex : je partage une bouteille de jus d orange entre 4 personnes. J ai calculé que chacun va boire 223 verres : c est impossible Inférences et contrôles syntaxiques (sens du texte) : synthétiser le problème en une écriture algébrique conversion en écriture à trou (pré-algébrique) ; voire transformation en écriture «directe» «il faut faire 573 plus quelque chose égale 1260» Écriture de 573 +? =1260

Enjeux des problèmes «complexes» Exemple de problème complexe cycle 2 : Lise a 10. Le paquet de gâteaux qu elle aime coûte 3. Une bouteille de soda coûte 2. Combien lui manque-t-il pour acheter deux paquets de gâteaux et trois boissons? 3X2 = 2X3 = 10X3 = 30. possible?

Analyse des productions des élèves (cycle 3) Production 5

Apprendre à valider «Trouve le nombre de sachets pleins si on empaquette 38 objets par paquets de 5» «38 personnes décident de partir en voiture ; une voiture peut transporter 5 personnes ; de combien de voitures ont elles besoin?» Apprentissage d un sens critique des modèles appris. Sensibilité au contexte contrôle par le réel (pragmatique) Verschaeffel parle d un phénomène de suspension de sens commun, résistant même aux mises en garde.

Qu est ce qu un problème atypique ou problème pour «chercher»? Charles a récolté 108 kg de châtaignes. Il les met dans trois paniers, un petit, un moyen, un grand. Les châtaignes du panier moyen pèsent le double de celles du petit panier. Les châtaignes du grand panier pèsent le double de celles du panier moyen. Après avoir rempli les trois paniers, il lui reste quelques kg de châtaignes, exactement la moitié du poids des châtaignes du grand panier. Combien de kg de châtaignes Charles a t-il mis dans chaque panier? Combien de kg lui reste-il? Les châtaignes de Charles ARMT cat.5 6 7

Charles a récolté 108 kg de châtaignes. Il les met dans trois paniers, un petit, un moyen, un grand. Les châtaignes du panier moyen pèsent le double de celles du petit panier. Les châtaignes du grand panier pèsent le double de celles du panier moyen x 2x 4x

Après avoir rempli ces trois paniers, il lui reste quelques kg de châtaignes, exactement la moitié du poids des châtaignes du grand panier. x = 12 ; 2x = 24; 108

Un problème «atypique» ou «pour chercher» Inventivité stratégique Flexibilité de raisonnement Persévérance et confiance en soi

Ajustement des programmes concernant la résolution de problèmes Un problème : BO n 30 «atypique du 26-07-2018» ou «: pour chercher» Cycle 2 : les problèmes atypiques (pour chercher) se travaillent dès le CP : «On veillera aussi à proposer aux élèves dès le CP des problèmes pour apprendre à chercher qui ne soient pas de simples problèmes d application à une ou plusieurs opérations mais nécessitent des recherches avec tâtonnements».

Exemple de problème atypique de cycle 2 Depuis l ouverture de ce stand, un seul client a acheté des fraises. Combien a-t-il payé?

Exemple de problème atypique de cycle 2

Ajustement des programmes concernant la résolution de Un problème «atypique» ou «pour chercher» problèmes : BO n 30 du 26-07-2018 : Cycle 3 : recherche par tâtonnements : «On veille aussi à proposer aux élèves des problèmes pour apprendre à chercher qui ne soient pas directement reliés à la notion en cours d étude, qui ne comportent pas forcément une seule solution, qui ne se résolvent pas uniquement avec une ou plusieurs opérations mais par un raisonnement et des recherches par tâtonnements.»

Petit aparté sur les mots inducteurs Dans la classe A il y a 19 élèves, ce qui fait 7 élèves de moins que dans la classe B. Combien d élèves dans la classe B? Aujourd hui Marie a 20 marrons. Elle a 12 marrons de plus qu hier. Combien en avait elle hier? Vigilance par rapport à ces tâches qui ne produisent pas les effets qu elles sont censées produire

Contexte concret ou familier? On essaie parfois de trouver des situations concrètes pour aider les élèves, mais... ces situations ne leur sont pas familières. Utiliser des euros reste abstrait pour les élèves de CP Reproduire à la règle le tracé d un château fort peut paraitre très familier à un enfant de 6 à 10 ans alors que cela n aura rien de concret vis-à-vis de son quotidien. Même si les savoirs des mathématiques sont abstraits, ils peuvent être convoqués dans des situations plus en phase avec l âge, la culture et les centres d intérêt des élèves. Thierry DIAS : Nous sommes tous des mathématiciens (P.11)

A propos de données utiles et inutiles : utilisation de documents authentiques Cycle 2 (1 au CE2 dans les programmes) «Au CE2, les élèves sont amenés à résoudre des problèmes plus complexes, éventuellement à deux étapes, nécessitant par exemple l exploration d un tableau ou d un graphique, ou l élaboration d une stratégie de résolution originale.» Des documents authentiques sont utilisables en CP et CE1 pour la résolution de problèmes basiques par exemple.

A propos de données utiles et inutiles : utilisation de documents authentiques (1 au CM1)

A propos de données utiles et inutiles Utilisation de documents authentiques : 2 au CM2 Exemple : la visite de la cité des sciences 1 )

A propos de données utiles et inutiles Utilisation de documents authentiques : 2 au CM2 Exemple : la visite de la cité des sciences 1 ) Combien paye un enfant de 6 ans? 2 ) Combien paye un adulte qui veut également aller au planétarium? 3 ) Quel sera le coût pour une famille de deux adultes et 2 enfants?

A propos de données utiles et inutiles Utilisation de documents authentiques : 2 au CM2 Exemple : la visite de la cité des sciences 4 ) Quel sera le montant payé par une classe maternelle de 24 élèves en Réseau d éducation prioritaire? 5 ) Quel sera le montant payé par une classe élémentaire de 26 enfants qui souhaite aller au planétarium?

Enjeux des problèmes «pour chercher» Réinvestissement de savoirs (en particulier mathématiques, construits en amont ou en parallèle) Apprentissage de raisonnements (suite organisée d inférences conduisant à une conclusion : par analogie, en contexte...) Apprentissage de validation (contrôler, rapport à la vérité) Démarche hypothéticodéductive

L apprentissage de modèles Un des apprentissages du cycle 2 est celui d une transformation (épuration) raisonnée du dessin en un schéma fonctionnel pour raisonner. Cet apprentissage n est pas terminé au cycle 3

Petite modélisation Combien y a t il de poules et de lapins dans notre ferme? Tu vas le trouver toi-même : Lorsque je rassemble toutes les poules et les lapins de la ferme, il y a en tout 25 têtes et 64 pattes. (Pluvinage 2008)

Petite modélisation Une mise en schéma avec une tête représentée par un rond et une patte représentée par un trait, puis le dessin de toutes les têtes suivi d une distribution raisonnée des pattes donne la réponse. Cette représentation sera susceptible de devenir un modèle si l élève a l occasion de rencontrer plusieurs fois ce type de problèmes.

Grande modélisation Tu disposes de deux boites vertes, trois boites rouges et 50 jetons. Il faut mettre les 50 jetons dans les boites. Aucune boite ne doit être vide et il doit y avoir le même nombre de jetons dans les boîtes de la même couleur.

Validité des modèles Dans l usage français, seules les validations syntaxique (sens du texte) et sémantique (sens des mots) sont prises en compte. Il nous faut aussi prendre en compte la dimension pragmatique (sens du réel), de façon non anecdotique dans nos enseignements.

Le projet de circonscription

Le projet de circonscription Les compétences mathématiques mises en jeu :

Débutez avec maths en vie Activités mathématiques autour de photos numériques prises dans l environnement des élèves. 3 intérêts : les élèves construisent l intérêt d apprendre les mathématiques parce que cette discipline s inscrit dans leur réalité de tous les jours ; les élèves mettent du sens derrière chaque donnée et mettent alors en œuvre des procédures de résolution cohérentes ; Les élèves construisent des ordres de grandeurs et exercent un regard critique sur les solutions de leurs problèmes. Commencer dans sa classe puis collaborer avec d autres classes.