BACCALAUREAT GENERAL BLANC Colegio Francia de Caracas Session 203 Mathématiques série S durée de l'épreuve: 4 heures coefficient 7 ou 9 Ce sujet comporte 6 pages numérotées de à 6 L'utilisation d'une calculatrice est autorisée Le sujet est composée de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices selon sa spécialité. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. /6
. Exercice (6 points, tout le monde) Coûts de fabrication A. Etude d une fonction : f est la fonction définie sur I =[0;+ [ par :. f ( x )= 0 x e x +. a) Etudier les limites de f aux bornes de son intervalle de définition. b) Démontrer que pour tout réel x de I, f ' ( x )= 0 g ( x ) où g est une fonction définie sur I que l on (e x 2 +) déterminera. c) Démontrer qu il existe un réel α unique de I tel que g (α )=0. Donner un encadrement de α d amplitude 0. d) En déduire le tableau de variations de f et démontrer que f (α )=0 (α ). 2. Construire la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal d unités 2 cm. B. Application économique : Après avoir lancé la fabrication d un nouvel objet, une entreprise a réalisé une étude qui a montré que le coût total de fabrication C(q) en milliers d euros pouvait être assez bien décrit par la fonction : q f (q)+q, f étant la fonction de la partie A et q le nombre d objets fabriqués exprimé en centaines. 3. a) Sur la figure de la question A. 2., représenter la courbe de la fonction C sur l intervalle [0;0]. b) A combien peut-on évaluer le coût de fabrication de 300 objets? 4. Le coût unitaire est donné par C u (q)= C (q). A l aide de la calculatrice, estimer à partir de combien d objets 00q fabriqués le coût unitaire est inférieur à 2 euros. 2/6
2. Exercice 2 (5 points, non spécialistes) Les cinq questions sont indépendantes. Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte. Toute trace de recherche sera valorisée.. On considère l'arbre de probabilités suivant : Affirmation : la probabilité de l'événement.4 sachant que l'événement B est réalisé est égale à 0,32. 2. On considère une urne contenant n boules rouges et trois boules noires, où n désigne un entier naturel non nul. Les boules sont indiscernables au toucher. On tire simultanément et au hasard deux boules dans l'urne. Affirmation : il existe une valeur de n pour laquelle la probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes est égale à 9 22. 3. Soit f et g deux fonctions définie sur [0;+ [, g ne s'annulant pas : Affirmation : Si lim x + f ( x )= et lim g ( x)=+ alors lim x + x + f (x ) g ( x) = 4. f ( x )=xsin (3 x ), Affirmation : les solutions de l'équation f ( x )= 2 x sont : 0 ou π 8 +2k π 3 5π ou 8 +2k' π 3 5. Affirmation : ( 3 ) 2 + ( 3 ) 3 + ( 3 ) 4 + + ( 3 ) 8 = 39 656 3/6
3. Exercice 3 (5 points, tout le monde) Polynésie, juin 202 Partie A On considère l algorithme suivant : les variables sont le réel U et les entiers naturels k et N. Entrée Saisir le nombre entier naturel non nul N Traitement Affecter à U la valeur 0 Pour k allant de 0 à N Affecter à U la valeur 3 U 2 k +3 Fin pour Sortie Quel est l affichage en sortie lorsque N = 3? Partie B Afficher U On considère la suite (u n ) définie par u 0 =0 et, pour tout entier naturel n, u n+ = 3 u n 2 n +3.. Calculer u et u 2. 2. a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u n n. b) En déduire la limite de la suite (u n ). 3. Démontrer que la suite (u n ) est croissante. 4. Soit la suite (v n ) définie, pour tout entier naturel n, par v n = u n + n +. a) Démontrer que la suite (v n ) est une suite géométrique. b) En déduire que, pour tout entier naturel n, u n =3 n + n. 5. Soit p un entier naturel non nul. a) Pourquoi peut-on affirmer qu il existe au moins un entier n 0 tel que, pour tout n n 0, U n 0 p? b) On s intéresse maintenant au plus petit entier n 0. Justifier que n 0 3 p. c) Déterminer à l aide de la calculatrice cet entier n 0 pour la valeur p = 3. d) Proposer un algorithme qui, pour une valeur de p donnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entier n 0 tel que, pour tout n n 0, on ait u n 0 p. 4/6
4. Exercice 4 (5 points, spécialistes) Liban juin 200 Les 2 parties sont indépendantes : Partie A Pour chacune des 2 propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et donner une justification de la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Proposition : «x 2 + x+3 0 [5] si et seulement si x [5]» Proposition 2 : «203 203 [7]» Partie B Dans une région on considère trois type de temps: beau, variable, pluvieux. S'il fait beau, la probabilité qu'il fasse beau le lendemain est 3 et la probabilité qu'il pleuve est 6. Si le temps est variable, la probabilité qu'il soit variable le lendemain est 4 2. et la probabilité qu'il pleuve est S'il pleut, la probabilité qu'il pleuve le lendemain est 4 et la probabilité qu'il fasse beau est 2 On note : B : «Le temps est beau» V : «Le temps est variable» P : «Le temps est pluvieux». X n : La variable aléatoire donnant l'état du temps au jour n a) Représenter la situation par un graphe b) Donner la matrice de transition T relative à ce processus aléatoire. 2. Pour tout entier naturel n, la loi de probabilité de la variable aléatoire X n est définie par la matrice ligne P n =(b n v n p n ), où b n désigne la probabilité qu'il fasse beau au jour n Aujourd'hui, au jour 0, il fait beau. v n celle que le temps soit variable au jour n p n celle qu'il pleuve au jour n a) Déterminer P 0 et P 2 (valeurs exactes, en détaillant les calculs) b) Avec la calculatrice, calculer T 7. (arrondir les coefficients au millième). c) Quelle est la probabilité qu'il fasse beau dans une semaine? Dans un mois (30 jours)? 5/6
5. Exercice 5 (5 points, tout le monde) Polynésie juin 200 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u ; v ). Partie A - Restitution organisée de connaissances Prérequis Soit z un nombre complexe tel que z = a + ib où a et b sont deux nombre réels. On note z le nombre complexe défini par z = a ib. le raisonnement par récurrence. Questions a. Démontrer que, pour tous nombres complexes z et z,z z ' = z z '. b. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, et tout nombre complexe z, z n = (z) n. Partie B On considère l équation (E) : z 4 = 4 où z est un nombre complexe.. Montrer que si le nombre complexe z est solution de l équation (E) alors les nombres complexes z et z sont aussi solutions de l équation (E). 2. On considère le nombre complexe z 0 =+i. a) Écrire le nombre complexe z 0 sous forme exponentielle. b) Vérifier que z 0 est solution de l équation (E). 3. Déduire des deux questions précédentes trois autres solutions de l équation (E). Partie C Soient A, B, C et D les points d affixes respectives : z A =+i ; z B = + i ; z C = i et z D = i. On appelle E le point tel que BCE soit un triangle équilatéral et que ( CB; CE )= π 3 et F le point tel que CDF soit un triangle équilatéral et que ( CD; CF)= π 3. Démontrer que l affixe du point E, notée z E, est égale à + 3. 2. Déterminer l affixe z F du point F. 3. Pour cette question toute trace de recherche sera prise en compte dans l'évaluation et valorisée. Les points A, E et F sont-ils alignés? 6/6