SUR LA SPHÈRE VIDE PAR M. B. DELAUNAY, Professeur à V Université de Leningrad, Leningrad, Russie. Soit E un système de points distribués régulièrement dans l'espace, au sens de Bravais, c'est-à-dire un système parallélipipédique de points (Fig. 1). Je me propose de considérer une sphère se mouvant entre les points de E se rétrécissant et se dilatant à volonté et assujettie à la condition d'être "vide", c'est-à-dire de ne pas contenir dans son intérieur des points de E. Comme application de cette conception, je vais déduire quelques propriétés du domaine D de tous les points de l'espace qui sont plus près d'un point du système E que de tout autre point de E. Ce domaine D, que je propose d'appeler le domaine de Dirichlet de E, est en quelque sorte le domaine de prédominance d'un point de E.* Il est facile de voir que le rayon de la sphère vide dans E est limité. Par suite, il ne peut y avoir qu'un nombre fini de sphères vides qui aient 4 points de E sur leur surface, si, bien entendu, on ne compte pas pour différentes deux sphères obtenues par translation le long d'un vecteur de E. Observons que, si sur quelques-unes de ces sphères, il y avait plus de 4 points de E, il suffirait de faire une variation infinitésimale du paralléllipipède fondamental de E pour que cela n'ait plus lieu. Nous allons donc supposer qu'aucune sphère vide dans E n'a plus de 4 points sur sa surface. Nous dirons, dans ce cas, que le système E correspondant est tl non spécial". Il est évident que le lieu géométrique de tous les centres de toutes les sphères vides passant par le point O de E n'est autre chose que D 0. Prenons une petite sphère vide passant constamment par le point O, et éloignons son centre dans une direction donnée passant par O. La sphère, en se dilatant de la sorte, se heurtera à un point a de E (Fig. 2). Et alors, son centre sera le point de la frontière de D 0, situé dans la direction donnée. Ce point appartiendra à une face de D 0 qui sera perpendiculaire à Oa (Fig. 3 et 4) et aura au point ß milieu de Oa un centre de symétrie. Cela est évident si l'on remarque que ß est centre de symétrie de E. A chaque couple de points aa' (Fig. 5) heurtés ainsi simultanément par cette sphère vide correspond une arête de D 0. A chaque triplet de tels points (Fig. 6), c'est-à-dire à chaque tétraèdre de E dont l'un des sommets est O et dont la sphère circonscrite est vide, correspond un sommet de D 0. Il est facile de voir que tous les tétraèdres L de E dont les sphères circonscrites sont *Nous ne connaissons que M. Voronoï (Journal für Math. Bde. 134, 136) et M. Wulf (Zeitschr. für Krystallogr. Bd. XLV 1908) qui aient envisagé le domaine D.
696 B. DELAUNAY vides, partagent uniformément tout l'espace. Cela provient de ce que: 1, en déplaçant le centre de la sphère vide le long de l'arête correspondant à une face Oaa' du tétraèdre L en la faisant toujours passer par les points Oaa', nous la faisons quitter le sommet opposé a" et elle se heurte finalement à un point quelconque a" situé du côté opposé de la face Oaa' \ ce nouveau point a" forme avec les points Oaa' un nouveau tétraèdre L adjacent à L par la face Oaa'', 2, deux tétraèdres Li et L 2 ont en tous cas leurs sommets sur les segments de leurs sphères qui sont situés sur les côtés opposés du plan mené par le cercle d'intersection de ces sphères (Fig. 7) ; ils ne peuvent donc pas avoir de points communs intérieurs. En ce qui concerne les points de leurs frontières, ils ne peuvent les avoir en commun que s'ils ont un sommet commun, ou bien une arête commune, ou bien une face commune. Soit L Y un de ces tétraèdres. Construisons tous les tétraèdres L T correspondant à tous les points de E (Fig. 8). Ils ne remplissent pas encore tout l'espace. Construisons également tous les tétraèdres symétriques L^. Il ne reste maintenant comme vide que des cavernes octaédriques (Fig. 9). Ces octaèdres ont des points de E seulement à leurs sommets ce que l'on voit facilement (Fig. 10) en divisant chaque octaèdre en 16 tétraèdres en menant les hauteurs ad et a'd' et les perpendiculaires de, ae, etc., et en envisageant les sphères vides ayant les arêtes de l'octaèdre pour diamètres. Tous les 16 tétraèdres seront intérieurs à l'une ou à l'autre de ces sphères vides. Comme les tétraèdres L doivent remplir tout l'espace, ces cavernes octaédriques doivent aussi être remplies. Mais elles n'ont pas de communication entre elles, étant entourées par les tétraèdres L Y et L x >. Chaque caverne doit donc à elle seule être divisée en tétraèdres. Cela est possible de 3 façons (Fig. 11), en menant l'une des trois diagonales intérieures de l'octaèdre, mais seulement une seule de ces alternatives convient parce que la partition de l'espace en tétraèdres L est uniforme, chaque tétraèdre L correspondant à un sommet des domaines D et réciproquement. Admettons que, dans notre cas, ce soit la diagonale aa' qu'il faille employer. Nous obtenons ainsi deux nouveaux couples de tétraèdres symétriques L u, L u > et L U1, L ÎU f. Les 6 tétraèdres L^L^L^L^L^L^ remplissent tout l'espace. Envisageons tous les tétraèdres L dont l'un des sommets est le point O de E (Fig. 12). Ces 24 tétraèdres constituent un polyèdre Z) à 24 faces ayant 14 sommets et 36 arêtes. Mais, comme ses faces triangulaires donnent deux à deux des parallélogrammes, nous obtenons, en réalité, un dodécaèdre rhomboidal. Ce dodécaèdre a 4 paires de sommets opposés ternaires (c'est-à-dire où se rencontrent 3 laces) et trois paires de sommets quaternaires (Fig. 13). On peut l'envisager de 4 façons, respectivement aux 4 paires de sommets ternaires, comme translation d'un parallélipipède le long de sa diagonale intérieure. Si l'on mène des plans perpendiculaires par les milieux ß des 14 rayons de D, on obtient Z). Il faut mener les diagonales des 12 faces par les 8 sommets ternaires pour obtenir les 24 faces triangulaires (Fig. 14). A chaque sommet D correspond une face de D. A toutes les arêtes de D, en comptant aussi les diagonales susdites passant par un sommet de D correspondent les faces par lesquelles sont adjacents les tétraèdres L formant D qui ont pour arête commune le rayon de
LA SPHERE VIDE 697 D correspondant à ce sommet, c'est-à-dire correspondant aux arêtes de la face de D relatives à ce sommet de D. A chaque face triangulaire de D correspond un des tétraèdres L formant D, c'est-à-dire un des sommets de D. La simple inspection de D fournit les propriétés de D: (1) D est un polyèdre à 14 faces (Fig. 15 et 16) dont 6 sont des parallélogrammes et 8 des hexagones. En général, c'est une combinaison d'un parallélipipède avec 4 pinacoïdes, mais, dans des cas particuliers, d'un parallélipipède et d'un octaèdre. (2) D lui-même, ainsi que ses faces, ont des centres de symétrie. (3) Les 36 arêtes de D sont partagées en 6 zones par 6 arêtes. Toutes les arêtes d'une même zone sont égales et situées sur un même cylindre circulaire. (4) Les 24 sommets de D sont situés sur les surfaces de 3 sphères concentriques dont les rayons sont justement les rayons des sphères circonscrites aux 3 tétraèdres L l, L u, L IU, et ainsi de suite. Si l'on a un cas limite, c'est-à-dire si le système E devient spécial, il est facile de voir que les 6 arêtes d'une zone disparaissent. Nous obtenons ainsi, par conséquent encore 4 dégénérescences de D. Ce sont: un dodécaèdre allongé spécial (Fig. 17), un dodécaèdre rhomboidal (Fig. 18), un prisme droit hexagonal dont les faces hexagonales ont des centres de symétrie et sont inscrites dans un cercle (Fig. 19), et le parallélipipède rectangulaire (Fig. 20). Il est important de rappeler que tout corps convexe qui peut remplir uniformément l'espace en position parallèle, c'est-à-dire chaque paralléloèdre est une affinité de D ou l'une de ses dégénérescences (Théorème de Voronoï, Creile Bd. 134). La méthode précédente montre entre autres qu'il n'y a qu'un seul point (et son symétrique) en général, qui corresponde à un extremum (maximum) d'éloignement des points de E. C'est le centre de la sphère vide qui ne peut plus être dilatée, même si on lui permet de se mouvoir à volonté. Cette sphère est l'une des 3 sphères correspondant à l'un des tétraèdres L lt L n, L U1. Mais dans des systèmes E particuliers, qui peuvent ne pas être spéciaux, deux ou même toutes les trois de ces sphères peuvent avoir cette propriété. La Fig. 21 donne, pour finir, la partition uniforme de l'espace par les domaines D.
698 B. DELAUNAY bjo E bjo E E
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700 B. DELAUNAY Fig. 13 Fig. 14 Fig 15 Fig. 16 Fig. 17 Fig. 18 Fig. 19 Fig. 20 Fig. 21