Mécanique - Statique des solides GMP1 - voiture garée dans une pente TD statique avec frottement 1. Voiture garée en montée Le problème étudié est plan ; on considère que la voiture admet (G, x 1, y 1 ) comme plan de symétrie. Par conséquent, les actions mécaniques estimées en A et B correspondent dans la réalité aux efforts respectivement sur les deux roues avants et arrières. Le véhicule isolé(s), à l équilibre statique, est soumis à trois actions mécaniques extérieures : action de la pesanteur, appliquéeeng, représentée par le torseur mg.sinβ mg.cosβ (G, x 1, y 1, z) réaction normale du sol sur la roue avant, appliquée en A, représentée par le torseur (associé à une liaison ponctuelle sans frottement, de normale y 1 ) {T sola S } = N A (A, x 1, y 1, z) réaction normale du sol sur la roue arrière, appliquée en B, représentée par le torseur (associé à une liaison ponctuelle avec frottement, de normale y 1 ) T B {T solb S } = N B En effet, la composante tangentielle de frottementt B s oppose à la tendance au glissement, T B >. Pour simplifier les calculs : on choisit de conserver le torseur qui comprend le plus d inconnues : on applique le principe fondamental de la dynamique au pointb, on choisit de réduire le nombre de projections au minimum, le principe fondamental de la dynamique sera écrit en projecttion sur la base B 1 car seules deux projections sont nécessaires (pour le torseur {T pes S }). Si on avait choisit la base B il aurait fallu faire trois projections (pour les composantesn A, T B et N B ). Le Principe Fondamental de la Dynamique s écrit : {T pes S } (B, x1, y 1, z) +{T sola S} (B, x1, y 1, z) +{T solb S} (B, x1, y 1, z) = 1
n transporte les torseurs au pointa, soit : Pour l action de pesanteur : M B,pes S = M G,pes S + BG P = + b h mg.sinβ mg.cosβ mg( b.cosβ + h.sinβ) mg.sinβ mg.cosβ = mg( b.cosβ + h.sinβ) Pour l action du sol en A : M B,solA S = M A,solA S + BA RsolA S = N A ()N A + N A = ()N A Le théorème de la résultante en projection sur les axes x 1 et y 1 et l équation de moment au point A suivant z donnent : mg.sinβ +T B = / x 1 (1) mg.cosβ +N B +N A = / y 1 (2) mg( b.cosβ +h.sinβ)+()n A = / z (3) mg(b.cosβ h.sinβ) L équation (3) permet d écrire N A = Puis en substituantn A avec cette expression dans l équation (2) on peut déterminer N B = mg.cosβ N A = mg.cosβ soit N B = mg(a.cosβ +h.sinβ) et enfin l équation (1) donne T B = mg.sinβ mg(b.cosβ h.sinβ) = mg().cosβ mgb.cosβ +mgh.sinβ À noter que l angle β est inconnue. Les composantes des efforts calculées ci-dessus sont valables s il y a équilibre. Pour cela, il est nécessaire d avoir la relationt B fn B : graphiquement cette condition est réalisée si la résultante de l action du sol sur la roue B est contenue dans le cône de frottement. Pour connaître la valeur maximale admissible de l angle β, on se place dans le cas du glissement naissant, soit T B = fn B, Loi de Coulomb. n peut écrire : mg(a.cosβ +h.sinβ) mg.sinβ = f qui donne tous calculs faits : fa tanβ = fh Application numérique : β 23,3 (pente à 43%!!) 2
2. Voiture garée en descente Le problème étudié est plan ; on considère que la voiture admet (G, x 1, y 1 ) comme plan de symétrie. Par conséquent, les actions mécaniques estimées en A et B correspondent dans la réalité aux efforts respectivement sur les deux roues avants et arrières. Le véhicule isolé(s), à l équilibre statique, est soumis à trois actions mécaniques extérieures : action de la pesanteur, appliquéeeng, représentée par le torseur +mg.sinβ mg.cosβ (G, x 1, y 1, z) réaction normale du sol sur la roue avant, appliquée en A, représentée par le torseur (associé à une liaison ponctuelle sans frottement, de normale y 1 ) {T sola S } = N A (A, x 1, y 1, z) réaction normale du sol sur la roue arrière, appliquée en B, représentée par le torseur (associé à une liaison ponctuelle avec frottement, de normale y 1 ) T B {T solb S } = N B Attention : la composante tangentielle de frottementt B s oppose à la tendance au glissement, T B <. Pour simplifier les calculs : on choisit de conserver le torseur qui comprend le plus d inconnues : on applique le principe fondamental de la dynamique au pointb, on choisit de réduire le nombre de projections au minimum, le principe fondamental de la dynamique sera écrit en projecttion sur la base B 1 car seules deux projections sont nécessaires (pour le torseur {T pes S }). Si on avait choisit la base B il aurait fallu faire trois projections (pour les composantesn A, T B et N B ). Le Principe Fondamental de la Dynamique s écrit : {T pes S } (B, x1, y 1, z) +{T sola S} (B, x1, y 1, z) +{T solb S} (B, x1, y 1, z) = 3
n transporte les torseurs au pointa, soit : Pour l action de pesanteur : M B,pes S = M G,pes S + BG P = + b h mg.sinβ mg.cosβ mg(b.cosβ + h.sinβ) +mg.sinβ mg.cosβ = mg(b.cosβ + h.sinβ) Pour l action du sol en A : M B,solA S = M A,solA S + BA RsolA S = N A ()N A + N A = ()N A Le théorème de la résultante en projection sur les axes x 1 et y 1 et l équation de moment au point A suivant z donnent : mg.sinβ +T B = / x 1 (4) mg.cosβ +N B +N A = / y 1 (5) mg(b.cosβ +h.sinβ)+()n A = / z (6) mg(b.cosβ +h.sinβ) L équation (3) permet d écrire N A = Puis en substituantn A avec cette expression dans l équation (2) on peut déterminer N B = mg.cosβ N A = mg.cosβ soit N B = mg(a.cosβ h.sinβ) et enfin l équation (1) donne mg(b.cosβ +h.sinβ) = mg().cosβ mgb.cosβ mgh.sinβ T B = mg.sinβ (compostante négative, cohérent avec l hypothèse) À noter que l angle β est inconnue. Les composantes des efforts calculées ci-dessus sont valables s il y a équilibre. Pour cela, il est nécessaire d avoir la relation < T B fn B : graphiquement cette condition est réalisée si la résultante de l action du sol sur la roue B est contenue dans le cône de frottement. Pour connaître la valeur maximale admissible de l angleβ, on se place dans le cas du glissement naissant, soit T B = fn B, Loi de Coulomb. n peut écrire : mg(a.cosβ h.sinβ) mg.sinβ = f qui donne tous calculs faits : fa tanβ = +fh Application numérique : β 14,3 (pente à 25%!!) 4
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