Extraits de récents DS

1 Extraits de récents DS Chap. 3 : Magnétostatique

2 UT MARSELLE GE 1 Année D.S. d'électricité n 3 avec Corrigé 29 Mars 1997 2 ème exercice. Circuit avec mutuelle. M i 1 (t) Le primaire du circuit ci-contre est alimenté par une source sinusoïdale: u 1 (t) = U 1.sinωt, avec ω = 10 6 rd/s. R 1 On ne précise pas le signe du coefficient de mutuelle inductance M. u 1 (t) 1. Quelle condition simple doivent vérifier L 2 et C 2 pour qu'ils soient en L résonance série à la pulsation ω = 10 6 1 rd/s de la source. 2. On donne: L 2 = 100 µh, calculer C 2. 3. a) Ecrire maintenant la relation instantanée u 1 (t) = f [i 1 (t)] concernant la maille d'entrée puis la relation instantanée concernant la maille de sortie où u 2 (t) ne doit pas figurer car il y a une charge connue C 2. b) Transposer ces relations instantanées en relations écrites en notations complexes. On obtient ainsi un système de deux équations où doivent figurer U 1, 1 et 2 et non pas U 2. 4. On se place à la pulsation de résonance 10 6 rd/s de l'ensemble "L 2 + C 2 " (et rien que lui). a) Simplifier le système en conséquence. b) Quelle relation complexe relie maintenant 1 et 2? c) En matière de déphasage, que dirait-on des grandeurs instantanées i 1 (t) et i 2 (t) si on les observait conjointement sur l'écran d'un oscilloscope bi-courbe (on ne connaît ni, ni R 1, ni M, ni R 2 )? 5. a) Dans le cas général où M 0, calculer l'impédance d'entrée Z e = U 1 / 1. b) Dans le cas particulier où M = 0, que devient cette impédance d'entrée? c) Le signe de M intervient-il dans la variation de cette impédance? R 2 L 2 i 2 (t) u 2 (t) C 2 Corrigé du 3 ème DS du 29 Mars 1997. 2 ème exercice. Circuit avec mutuelle. 1) Quelle condition simple doivent vérifier L2 et C2 pour qu'ils soient en résonance série à la pulsation ω = 10 6 rd/s de la source. R: L 2.C 2. ω² = 1 2) On donne: L2 = 100 µh, calculer C2. R: C 2 = 10-8 F = 10 nf 3) a) Ecrire maintenant la relation instantanée u1(t) = f [i1(t)] concernant la maille d'entrée puis la relation instantanée concernant la maille de sortie où u2(t) ne doit pas figurer car il y a une charge connue: C2. R: Maille primaire: u 1 (t) = R 1.i 1 (t) +.di 1 /dt + M.di 2 /dt; Maille secondaire: - 1/C i 2 (t).dt = R 2.i 2 (t) + L 2.di 2 /dt + M.di 1 /dt b) Transposer ces relations instantanées en relations écrites en notations complexes. On doit obtenir ainsi un système de deux équations où doivent figurer U1, 1 et 2 et non pas U2. R: U 1 = R 1. 1 + j ω. 1 + jmω. 2-1/jC 2 ω. 2 = R 2. 2 + jl 2 ω. 2 + jmω. 1 ( ω) U = R + jl + jmω. 1 1 1 1 2 1 0 = R2 + j L2ω + jmω. C2ω 2 1 4) On se place à la pulsation de résonance 10 6 rd/s de l'ensemble "L2 + C2" (et rien que lui). a) Simplifier le système en conséquence. ( ω) U1 = R1 + jl1 1 + jmω. 2 R: la parenthèse de la maille de sortie devient nulle: 0 = R2. 2 + jmω. 1 jmω b) Quelle relation complexe relie maintenant 1 et 2? R: 2 = R 2 1 c) En matière de déphasage, que dirait-on des grandeurs instantanées i1(t) et i2(t) si on les observait conjointement sur l'écran d'un oscilloscope bicourbe (on ne connait ni L1, ni R1, ni M, ni R2 )? R: A cause du terme j, les courants i 1 (t) et i 2 (t) sont en quadrature. 5) a) Dans le cas général où M 0, calculer l'impédance d'entrée Ze = U1 / 1. R: En éliminant 2, on trouve: Z R M e = 2 2 + ω 1 jl R + 1ω 2 b) Dans le cas particulier où M = 0, que devient cette impédance d'entrée? R: Z e = R 1 + j ω expression normale. c) Le signe de M intervient-il dans la variation de cette impédance? R: Non, car M figure au carré.

3.U.T. MARSELLE G.E... 1 Année 3 è D.S. d Electricité avec Corrigé 4/4/98 2. Exercice: Circuit avec inductance mutuelle. L 2 Deux enroulements sont bobinés sur le même support ferromagnétique. f = 159 Hz; = 5 mh; L 2 = 3 mh; C = 125 µf. Coefficient de couplage: k = 0,775; amplitude de la source: 50 V. 10Ω C 1. Expliquer comment on peut pointer les enroulements. R: du schéma entraîne une induction dans le CM qui tourne dans le sens des aiguilles d'une montre; mettons arbitrairement un point sur la borne d'entrée du courant dans.. E Or, ce courant crée en parcourant L 2 une induction de sens inverse de la précédente: on met un point à la sortie de L 2 et M est < 0. 2. En déduire le signe et la valeur du coefficient de mutuelle inductance M qui relie les bobines. R: M = k..l 2 = 0,775.10-3 15 = 3 mh M = 3 mh. 3. Calculer les diverses impédances en présence dans ce circuit. R: Z L1 = j.5.10-3.10 +3 = + j5 Ω. Z L2 = j.3.10-3.10 +3 = + j3 Ω. Z M = j.3.10-3.10 +3 = j3 Ω. Z C = - j8 Ω 4. Calculer l'amplitude du courant qui circule dans le circuit. R: Σ(Z) = R + jω + jmω + jl 2ω + jmω + (jcω) -1 = 10 6j = 11,66.e -j31degrés. = E / Z = 50 / 11,66 4,30 A. DUT G.E... Physique P1 1 ère année CORRGE succinct Devoir Surveillé 18/01/2006 Exercice 1 : Magnétostatique La figure ci-contre représente un noyau isolant torique à section rectangulaire, avec R 1 = 1 cm; R 2 = 2 cm; e = 2 cm. On donne µ 0 = 4π.10-7 S. Ce noyau porte un enroulement 1 constitué de N 1 = 100 spires de fil de cuivre régulièrement 2 enroulées en une seule couche; la bobine B 1 ainsi constituée a une résistance de 1 Ω. 1. Calculer la longueur l de la ligne d induction moyenne de ce tore. N 2 = 50 spires On suppose le bobinage 1 parcouru par un courant 1. En appliquant le théorème d Ampère, µ 0N11 montrer que l induction magnétique a, le long de cette ligne, un module égal à : B =. l Dans la suite on supposera que ce module est constant et égal à cette valeur partout à l intérieur du tore. 2. Donner, dans ces conditions, l expression littérale du flux à travers le bobinage 1. En déduire l expression littérale de l'inductance propre de ce bobinage 1 puis calculer la valeur numérique de. 3. Sur le même noyau et de la même façon, on dispose un second enroulement avec N 2 = 50 spires. On obtient ainsi un bobinage 2. Cet enroulement est parcouru par un courant continu constant 2 = 200 ma. a. Avec la même approximation qu au 2, calculer le module B 2 de l induction magnétique créée par cet enroulement 2 dans le tore. b. En déduire la valeur du flux d induction mutuelle φ 12 créé par 2 à travers l enroulement 1. 4. Calculer alors le coefficient d'induction mutuelle M. 1 R 1 O 1 N 1 = 100 spires R 2 e 1. l = 2π (R 1 +R 2 ) /2 9,42 cm ; H 1 l = N 1 1 et B 1 = µ 0 H 1 d où le résultat demandé. 2. = φ 1 / 1 = (µ 0 N 1 2 (R 2 -R 1 )e)/l 26,7 µh. 3.a B2 = (µ 0 N 2 2 )/l 133 µt. 3.b φ 12 = N 1 B 2 S 2,66 µwb. 4. M = φ 12 / 2 13,3 µh. Exercice 2 : nduction mutuelle B (sens arbitraire) Deux enroulements sont bobinés sur le même support ferromagnétique comme représenté ci-contre : 1. Pointer les enroulements sur ce premier schéma. 2. On réalise à partir de ces deux enroulements le circuit ci-contre : a. Les flux créés par le courant i(t) dans les deux bobinages s ajoutent-ils ou se soustraient-ils? Justifier. (on utilisera le pointage de la question précédente) b. Quelle est alors le signe du coefficient d induction mutuelle M? 3. On donne : * = 10 cos (10 6 t) * L1 = 30 µh * L2 = 20 µh * C = 20 nf * coefficient de couplage des enroulements : k = 0,815 * R = 40 Ω a. Calculer la valeur des diverses impédances en présence dans le circuit. b. Calculer la valeur de l amplitude complexe du courant i(t). En déduire l expression de i(t). i(t) C R

4 c. Calculer la puissance dissipée par effet Joule dans R. 2. Les flux s ajoutent car i(t) rentre par le point dans les deux enroulements donc M > 0. 3a. M=k( ) 1/2 20 µh ; j ω = 30j ; jl 2 ω = 20j ; jmω = 20j ; 1/jCω = - 50j. 3b. = E / ZT avec ZT = j ω + jmω + 1/jCω + j ω + jmω + R 40 + 40j et E = 10. d où 0,125 2 e -jπ/4 et i(t) = 0,125 2 cos (10 6 t - π/4). 3c. P R = R eff 2 = 0,625W. DUT G.E... Physique P1 1 ère année Devoir Surveillé corrigé succinct 23/01/2007 * calc. alphanumériques et documents interdits Durée : 2 h * on exprimera les résultats avec trois chiffres significatifs Exercice 4 : nduction mutuelle Deux enroulements (supposés non résistifs) sont bobinés sur le même support ferromagnétique. On note er L 2 leurs inductances propres respectives. ls sont couplés avec un coefficient de couplage : k = 0,5. 1. On réalise le montage 1 dans lequel : = 3cos(10 6 t) (en volts); = 10 mh; L 2 = 10 mh. a. Pointer les enroulements (on choisira un sens arbitraire pour l induction magnétique). b. Dans ce montage, peut-on dire que les flux s ajoutent ou qu ils se soustraient? c. Ecrire l équation littérale (différentielle!) qui lie, i 1 (t),, L 2 et M. d. Calculer M. e. Ecrire l équation littérale qui lie 1 et E (amplitudes complexes associées à i 1 (t) et ). En déduire l expression numérique de i 1 (t). f. Calculer L T l inductance totale de ce montage. 2. On réalise maintenant le montage 2 dans lequel, et L 2 sont inchangés. a. Dans ce montage, peut-on dire que les flux s ajoutent ou qu ils se soustraient? b. Ecrire l équation littérale qui lie, i 2 (t),, L 2 et M. c. Ecrire l équation littérale complexe qui lie 2 et E. En déduire l expression numérique de i 2 (t). d. Calculer L T l inductance totale de ce montage. e. Donner l expression littérale de M en fonction de L T et L T. i 2 (t) i 1 (t) Montage 1 1a. i 1 (t) B L 2 Montage 2 Montage 1 1b. i 1 «entre» dans les 2 bobinages par le point les flux mutuels s ajoutent M > 0 1c. = di 1 /dt + Mdi 1 /dt + L 2 di 1 /dt + Mdi 1 /dt 1d. M = k ( ) M = 5 mh. 1e. E = j ω 1 + jmω 1 + jl 2 ω 1 + jmω 1 1 = E / (j ω + jmω + jl 2 ω + jmω) Or E = 3e j0 donc 1 = 3 / 3.10 4 j = -10-4 j d où i 1 (t) = 10-4 cos(10 6 t - π/2) (en A) 1f. L T = + L 2 + 2M = 30 mh 2a. les flux mutuels se soustraient M < 0 2b. = di 2 /dt Mdi 2 /dt + L 2 di 2 /dt Mdi 2 /dt 2c. E = j ω 2 - jmω 2 + jl 2 ω 2 - jmω 2 2 = E / (j ω - jmω + jl 2 ω - jmω) = -3.10-4 j d où i 2 (t) = 3.10-4 cos(10 6 t- π/2) (en A) 2d. L T = + L 2-2M = 10 mh 2e. M = (L T - L T ) / 4

5 DUT G.E... Physique P1 1 ère année Devoir Surveillé 22/01/2008 * calc. alphanumériques et documents interdits Durée : 2 h * on exprimera les résultats avec trois chiffres significatifs Exercice 3 : nduction mutuelle Deux enroulements supposés non résistifs (R 1 = R 2 = 0) sont bobinés sur le même support ferromagnétique comme représenté ci-contre. 1. En choisissant un sens positif arbitraire pour l induction B dans le support, pointer les enroulements. 2. On réalise le montage ci-contre. Les flux créés par le courant i(t) dans les deux enroulements s ajoutent-ils ou se soustraient-ils? Justifier votre réponse. Quel est alors le signe du coefficient d induction mutuelle M? Dans la suite, on prendra les valeurs suivantes : * coefficient de couplage des enroulements : k = 0,8. * f.é.m de la source : = 10 2 sin(10 3 t) (V) ; = L 2 = 5 mh ; R = 2Ω. 3. Calculer la valeur de M. 4. Ecrire l équation différentielle littérale qui lie, i(t) et les différentes grandeurs du montage. 5. Ecrire l équation qui lie les amplitudes complexes E et associées à et i(t). 6. En déduire la valeur de (sous forme exponentielle) puis l expression de i(t). i(t) B L 2 1. R 2. i rentre dans un bobinage par le point et sort de l autre par le point : les flux se soustraient. M est donc négatif. 3. M = k ( ) M = - 4 mh 4. = di/dt + Mdi/dt + L 2 di/dt + Mdi/dt + Ri(t) (avec M < 0) 5. E = j ω + jmω + jl 2 ω + jmω + R 6. = E / (R + j ω + jmω + jl 2 ω + jmω) = 5e -jπ/4 d où i(t) = 5sin(10 3 t - π/4) (en A). Exercice 4 : f.é.m induite dans une bobine On considère une bobine constituée de N spires de fil conducteur (de résistance supposée nulle) et d un circuit magnétique dont l aire S d une section droite est constante. On applique aux bornes de cette bobine une tension sinusoïdale : u(t) = U 2 cos(ωt). 1. On suppose que l induction magnétique b(t) qui règne dans le circuit magnétique est uniforme et partout perpendiculaire à la section de celui-ci. Donner dans ce cas l expression du flux Φ(t) (à travers tout le bobinage) en fonction de b(t) et des données de l énoncé. 2. On a représenté sur le schéma ci-contre la bobine avec notamment sa f.é.m induite (orientée conventionnellement dans le sens du courant i(t)). a. Quelle relation lie et Φ(t)? b. Quelle relation (simple!) lie et u(t)? 3. Déduire des questions 1 et 2 l équation (différentielle) liant u(t) et b(t). 4. En utilisant l expression de u(t) donnée au début de l énoncé, intégrer l équation précédente (on supposera la constante d intégration nulle) et montrer que b(t) est sinusoïdale. Dans la suite, on notera B m l amplitude de b(t). 5. Déduire de ce qui précède la relation approchée suivante : U 4,44 N.f.S.B m (où f est la fréquence de u(t)). 1. Φ(t) = N.b(t).S 2. a. = - dφ/dt (loi de Lenz). b. = - u(t). 3. u(t) = dφ/dt = N.S.db/dt. 4. db/dt = u(t)/ns db/dt = (U 2/NS) cos(ωt) b(t) = (U 2/NSω) sin(ωt) (+ cste) 5. B m = U 2/NSω U = (2π/ 2)NfSB m U 4,44 NfSB m u(t) i(t)

6 DUT G.E... Physique P1 1 ère année Devoir Surveillé corrigé succinct 20/01/2010 Exercice 1 : nduction mutuelle Deux enroulements (supposés non résistifs) sont bobinés sur le même support ferromagnétique comme représenté ci-dessous. On note et L 2 leurs inductances propres respectives. ls sont couplés avec un coefficient de couplage : k = 2/3. 1. En choisissant un sens positif arbitraire pour l induction B dans le support, pointer les enroulements. 2. On réalise le montage 1 dans lequel : = 10cos(10 5 t) (en volts) ; = 3 mh ; L 2 = 3 mh. a. Dans ce montage, en utilisant les points placés à la question 1, peut-on dire que les flux s ajoutent ou qu ils se soustraient? b. Ecrire l équation littérale (différentielle!) qui lie, i 1 (t),, L 2 et M. c. Calculer M. d. Ecrire l équation littérale qui lie 1 et E (amplitudes complexes associées à i 1 (t) et ). En déduire l expression numérique de i 1 (t). e. Calculer L T l inductance totale de ce montage. 3. On réalise maintenant le montage 2 dans lequel, et L 2 sont inchangés. a. Dans ce montage, en utilisant les points placés à la question 1, peut-on dire que les flux s ajoutent ou qu ils se soustraient? b. Ecrire l équation littérale qui lie, i 2 (t),, L 2 et M. c. Ecrire l équation littérale complexe qui lie 2 et E. En déduire l expression numérique de i 2 (t). d. Calculer L T l inductance totale de ce montage. i 2 (t) e. Donner l expression littérale de M en fonction de L T et L T. i 1 (t) Montage 1 1. B L 2 Montage 2 2a. i 1 «entre» dans les 2 bobinages par le point les flux mutuels s ajoutent M > 0 2b. = di 1 /dt + Mdi 1 /dt + L 2 di 1 /dt + Mdi 1 /dt 2c. M = k ( ) M = 2 mh. 2d. E = j ω 1 + jmω 1 + jl 2 ω 1 + jmω 1 1 = E / (j ω + jmω + jl 2 ω + jmω) Or E = 10e j0 donc 1 = 10 / 10.10-3.10 5 j = -10-2 j d où i 1 (t) = 10cos(10 5 t - π/2) (en ma) 2e. L T = + L 2 + 2M = 10 mh 3a. les flux mutuels se soustraient M < 0 3b. = di 1 /dt - M di 1 /dt + L 2 di 1 /dt - M di 1 /dt 3c. E = j ω 2 - j M ω 2 + jl 2 ω 2 - j M ω 2 2 = E / (j ω - j M ω + jl 2 ω - j M ω) = -5.10-2 j d où i 2 (t) = 50cos(10 5 t- π/2) (en ma) 3d. L T = + L 2-2 M = 2 mh 3e. M = (L T - L T ) / 4

7 DUT G.E... 1 ère année Fondements du Génie Electrique - Devoir Surveillé du 12/04/2011 Module GE21 * calculatrices alphanumériques et documents interdits Corrigé succinct * on exprimera les résultats avec trois chiffres significatifs Exercice 3 : nduction mutuelle Deux enroulements (supposés non résistifs) sont bobinés sur le même support ferromagnétique. On note er L 2 leurs inductances propres respectives. ls sont couplés avec un coefficient de couplage : k = 0,75. On donne = L 2 = 100 µh. 1. Pointer les enroulements (on choisira un sens arbitraire pour l induction magnétique). 2. Montrer que l inductance mutuelle M est égale à 75 µh. 3. On réalise le montage 1 dans lequel : = 3,5cos(10 4 t) (en volts). a. Dans ce montage, peut-on dire que les flux propres et mutuels s ajoutent ou qu ils se soustraient? b. Ecrire l équation littérale (différentielle!) qui lie, i 1 (t),, L 2 et M. i c. Ecrire l équation littérale qui lie 1 et E (amplitudes complexes associées à i 1 (t) et ). 1(t) En déduire l expression numérique de i 1 (t). d. Montrer que L T l inductance totale de ce montage est égale à 350 µh. 4. On réalise maintenant le montage 2 dans lequel, et L 2 sont inchangés. a. Dans ce montage, peut-on dire que les flux s ajoutent ou qu ils se soustraient? b. Ecrire l équation littérale qui lie, i 2 (t),, L 2 et M. c. Ecrire l équation littérale complexe qui lie 2 et E. i 2(t) En déduire l expression numérique de i 2 (t). d. Montrer que L T l inductance totale de ce montage est égale à 50 µh. e. Donner l expression littérale de M en fonction de L T et L T. Montage 1 Montage 2 M 4 4 4 Correction : 1. B 2. k = donc M = k L1L2 = 0, 75 10 10 = 0, 75.10 = 75µ H L L 1 2 3. a. Le courant entre dans les deux bobinages par la borne pointée : les flux propre et mutuel s ajoutent. M est positif. di1 di1 di1 di1 b. e( t ) = L1 + M + L2 + M avec M = +75 µh dt dt dt dt c. E = j ω 1 + jmω 1 + jl 2 ω 1 + jmω 1 d où 1 = E /( j ω + jmω + jl 2 ω + jmω) = E / jω ( +L 2 +2M) d. L T = +L 2 +2M = 350 µh. = 3,5 /j10 4 (350.10-6 )= -j donc i 1 (t) = 1. cos(10 4 t π/2). 4. a. Le courant entre dans un bobinage par la borne pointée et sort de l autre bobinage par la borne pointée : les flux propre et mutuel se soustraient. M est négatif. di2 di2 di2 di2 b. e( t ) = L1 + M + L2 + M avec M = - 75 µh dt dt dt dt c. E = j ω 2 + jmω 2 + jl 2 ω 2 + jmω 2 d où 2 = E /( j ω + jmω + jl 2 ω + jmω) = E / jω ( +L 2 +2M) = 3,5 /j10 4 (200-150).10-6 )= - 7j donc i 2 (t) = 7. cos(10 4 t π/2). d. L T = +L 2 +2M = 50 µh. e. L T = +L 2 +2 M et L T = +L 2-2 M donc L T - L T = 4 M d où M = (L T - L T ) / 4

8 DUT G.E... 1 ère année Fondements du Génie Electrique - Devoir Surveillé du 27/03/2012 Module GE21 * calculatrices alphanumériques et documents interdits Durée : 2 h * on exprimera les résultats avec trois chiffres significatifs Exercice 4 : Magnétostatique La figure ci-contre représente un noyau isolant torique à section rectangulaire, avec R 1 = 1 cm; R 2 = 2 cm; e = 2 cm. On donne µ 0 = 4π.10-7 S. Ce noyau porte un enroulement constitué de N = 100 spires de fil de cuivre régulièrement enroulées en une seule couche; la bobine ainsi constituée a une résistance de 1 Ω. 1. Calculer la longueur l de la ligne d induction moyenne de ce tore (dessiner cette ligne ci-contre). 2. On suppose le bobinage parcouru par un courant. En appliquant le théorème d Ampère, montrer que l induction magnétique a, le long de cette ligne, un module égal à : B = µ 0 N l. O N= 100 spires Dans la suite on supposera que ce module est constant et égal à cette valeur partout à l intérieur du tore. 3. Donner, dans ces conditions, l expression littérale du flux φ t à travers le bobinage. R 1 R 2 e 4. En déduire l expression littérale de l'inductance propre L de ce bobinage puis calculer la valeur numérique de L. 1. l = 2π (R 1 +R 2 ) /2 9,42 cm 2. H.l = N et B = µ 0 H d où le résultat demandé. 3. φ t = NBS = NBe(R 2 -R 1 ) = µ 0 N 2 e(r 2 -R 1 ) / l. 4. L = φ t / = µ 0 N 2 e(r 2 -R 1 ) / l 26,7 µh. Exercice 5 : nduction mutuelle Deux enroulements supposés non résistifs (R 1 = R 2 = 0) sont bobinés sur le même support ferromagnétique comme représenté ci-contre. 1. En choisissant un sens positif arbitraire pour l induction B dans le support, pointer les enroulements. 2. On réalise le montage ci-contre. Les flux créés par le courant i(t) dans les deux enroulements s ajoutent-ils ou se soustraient-ils? Justifier votre réponse. Quel est alors le signe du coefficient d induction mutuelle M? i(t) Dans la suite, on prendra les valeurs suivantes : * coefficient de couplage des enroulements : k = 0,8. * f.é.m de la source : = 10 2 sin(10 3 t) (V) ; = L 2 = 5 mh ; R = 2Ω. 3. Calculer la valeur de M. 4. Ecrire l équation qui lie les amplitudes complexes E et associées à et i(t) (dans cette relation doivent aussi figurer, L 2, M, ω et R). 5. En déduire la valeur de (sous forme exponentielle) puis l expression de i(t). R 1. B L 2 2. i rentre dans un bobinage par le point et sort de l autre par le point : les flux se soustraient. M est donc négatif. 3. M = k ( ) M = - 4 mh 4. = di/dt + Mdi/dt + L 2 di/dt + Mdi/dt + Ri(t) (avec M < 0) 5. E = j ω + jmω + jl 2 ω + jmω + R 6. = E / (R + j ω + jmω + jl 2 ω + jmω) = 5e -jπ/4 d où i(t) = 5sin(10 3 t - π/4) (en A).