Fonctions linéaires et affines I. Fonctions linéaires 1/ Activités Première étape Revoyons d'abord, sur un exemple, en quoi consiste la proportionnalité. On considère pour cela un triangle équilatéral dont la longueur du côté est variable. Selon la valeur de cette longueur, on peut calculer le périmètre de ABC en la multipliant par trois. En effet, si AB mesure 2,5 cm, le périmètre de ABC est égal à AB BC CA= AB 3=2,5 3=7,5 cm. C A B x représente la longueur commune des côtés du triangle ABC. Dans le tableau ci-dessous, d'autres exemples sont pris au hasard : Longueur du côté (cm) 7 0,25 1,5 un tiers 1 Périmètre (cm) 21 0,75 4,5 1 3 x 3x 3 Le fait de toujours multiplier par un même nombre, ici le nombre 3, correspond à une situation de proportionnalité. Ce tableau est appelé tableau de proportionnalité. Le nombre 3 est le coefficient de proportionnalité. Deuxième étape Voici un deuxième exemple. Tout près d'ici, un fromager vend, en plus de ses fromages, de la crème fraîche à 25 %. Cela signifie que la quantité de matière grasse pour cent gramme de crème fraîche est égale à 25 grammes. On remarque dans cet exemple que 25 représente le quart de 100. Ce fromager propose à ses clients des pots de 10 cl, 20cl, 50cl ou 100 cl. On trouve le tableau ci-dessous en prenant à chaque fois le quart de la quantité de crème fraîche donné dans un pot. Quantité de crème fraîche en cl Quantité de matière grasse 20 10 50 100 x 40 400 5 2,5 12,5 25 0,25 x 10 100? Ce tableau est aussi un tableau de proportionnalité. Le nombre 1 =0,25 est le coefficient de 4 proportionnalité, il permet de «passer» de la première ligne à la deuxième ligne du tableau par une simple multiplication : on parle alors du processus calculatoire qui consiste à multiplier un nombre (ici la quantité de crème fraîche) par un coefficient (ici le nombre 0,25 ) afin d'obtenir un autre nombre (ici la quantité de matière grasse).
Troisième étape De manière général, un coefficient est un nombre qui va servir à multiplier. Par exemple, le fait de prendre le double d'une quantité correspond au processus calculatoire de coefficient 2 : pour 5, on obtient 10 ; pour 7,5, on obtient 15. On peut aussi imaginer un processus calculatoire qui consiste à multiplier par un coefficient 3 négatif : pour 4, on obtient 12 ; pour 2, on obtient 6. Dans ce dernier exemple, on peut se demander d'où viennent les nombres 4 et 2? Ils sont, en fait, choisis au hasard! Sans le savoir, nous sommes en train de parler de fonction affine! C'est un processus calculatoire qui consiste à multiplier par un coefficient. Le nombre de départ, souvent choisi au hasard, est appelé la variable. Le nombre obtenu après multiplication par le coefficient est appelé l'image. 2/ Définition et notation Définition a représente un coefficient multiplicateur. La fonction linéaire de coefficient a est le procédé calculatoire qui consiste à multiplier un nombre x par le coefficient a. x est appelé la variable. Le nombre obtenu est appelé l'image. Notation 1 En général, une fonction linéaire est notée à l'aide d'une lettre minuscule f, g, h... On chercher alors à résumer le procédé calculatoire par le schéma fléché suivant : f : x a x. On dit que «f est la fonction qui à x associe a x». De plus, d'après la définition, a x est l'image de x. Exemple 1 On considère la fonction linéaire f de coefficient 2,5. Cette fonction se schématise de la façon suivante : f : x 2,5 x C'est la fonction qui à x associe 2,5 x. Par exemple, l'image de 4 est 10 car 2,5 4=10. Ou encore, l'image de 3 est 7,5 car 2,5 3= 7,5. Quelques précisions f est le nom de la fonction comme A serait le nom d'un point sur une figure. Les deux points de ponctuation qui suivent f dans le schéma ont le même sens qu'en français ; ils annoncent une explication : «à un nombre x, on va associer un nombre a x». C'est l'explication du procédé calculatoire. La lettre x représente le nombre le départ (le nombre choisi ou donné). Il varie d'où le nom de «variable». La flèche avec «origine» (comme pour une demi-droite) explique le procédé calculatoire que va subir le nombre x : peu importe le nombre de départ, on va le multiplier par a. Le mot «image» rappelle le vocabulaire utilisé dans les translations (seulement si le chapitre a déjà été vu!) où le «point d'arrivée» est l'image du point de «départ».
Notation 2 On utilise ici des parenthèses mais qui n'ont pas le sens connu jusqu'ici f x =a x. On dit «f de x est égale à a x» et que a x est l'image de x Exemple 2 Reprenons le premier exemple de l'activité. On pourrait appeler cette fonction g. On note g x =0,25 x la fonction qui à x associe 0,25 x. 3/ Méthodes... Pour calculer le coefficient On considère une fonction linéaire f tel que f 5 =12. Quel est le coefficient? Il suffit d'écrire ce que l'on recherche : 5?=12 ou encore 5 a=12. On a donc a= 12 5 De manière générale, il faut faire le quotient de l'image par l'antécédent (nombre de départ). Pour calculer un antécédent On considère une fonction linéaire g de coefficient a= 2. On cherche le nombre dont l'image est 7,8. Puisqu'on multiplie par la coefficient pour passer d'un nombre à son image, il suffit de diviser par ce même coefficient pour obtenir un antécédent (nombre de départ). Ici le nombre cherché est 7,8 2 = 3,9. 4/ Des fonctions linéaires à reconnaître f : x x a pour coefficient a=1. g : x x 2 a pour coefficient a= 1 2. h x = 2 x 7 x a pour coefficient a=5.
5/ Représentation graphique a. Rappels Repère, abscisse, ordonnée, coordonnées, axes... Un repère est constitué de deux droites graduée : l'axe des abscisses et l'axes des ordonnées (un axe est en fait une droite graduée). Le point A se repère grâce à deux nombres : son abscisse et son ordonnée. L'abscisse et l'ordonnée d'un point forment ce que l'on appelle les coordonnées. On note A 2 ;3. Attention, l'abscisse est toujours en première position. Dans la figure ci-dessous, on a : B 3; 2 ; C 2;1 ; D 1; 1 ; F 1;3 ; G 4;3 et H 3;4. b. Sur des exemples Exemple 1 On souhaite construire la représentation graphique de la fonction h x = 2 x. Comment faire? Lorsqu'on calcule l'image d'un nombre, on obtient un couple de nombres qui peut définir les coordonnées d'un point. Par exemple : h 7 = 14 donne le point 7; 14. On peut ainsi obtenir une infinité de points de la représentation graphique de h. 1 ère étape : calcul de coordonnées de points x ou abscisse 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 h x ou ordonnée 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10
2 ème étape : placement des points dans un repère On remarque les points sont alignés sur une droite passant par l'origine. Exemple 1 Représenter la fonction g x = 2 5 x. x ou abscisse 0 5 5 g x ou ordonnée 0 2 2
c. Cas général Définition On considère la fonction f : x a x. La représentation graphique de f est l'ensemble des points de coordonnées x;ax. Méthode pour construire rapidement la représentation d'une fonction linéaire Construire les représentations de f x = 2 x ; g x =3 x ; h x = 5 x ; i x =1,5 x et k x =x. Puisque f 1 = 2, la représentation de f est une droite passant par l'origine et le point 1; 2. De même pour : g et le point 1;3 ; h et le point 1; 5 ; i et le point 1;1,5 ; k et le point 1;1. Propriété La représentation graphique d'une fonction affine de coefficient a est une droite passant par l'origine et le point de coordonnées 1; a. 6/ Lecture graphique a. Images On considère la fonction linéaire f dont la représentation est ci-contre. Le point de coordonnées 2;6 est sur la droite ; donc si x=2 alors f 2 =6. C'est à dire l'image de 2 est 6. Point méthode Pour lire graphiquement l'image d'un nombre, je le place sur l'axe des abscisses, je lui fais correspondre, par l'intermédiaire de la droite,un autre nombre sur l'axe des ordonnées : c'est l'image.
b. Antécédent Le point A 3,2 ;1,6 est un point de la représentation d'une fonction linéaire f. Donc f 3,2 =1,6 et l'antécédent de 1,6 est 3,2. Méthode Pour lire l'antécédent d'un nombre, on le place sur l'axe des ordonnées. En faisant correspondre par l'intermédiaire de la droite, on lit l'antécédent sur l'axe de abscisses. De même : l'antécédent de 0,6 est 1,2 celui de 0,4 est 0,8 c. Coefficient De manière générale, l'image de 1 par une fonction linéaire est le coefficient a. Autrement dit, le point de coordonnées 1; a est sur la représentation. Par lecture graphique (ci-dessus), l'image de 1 est environ 0,5. Donc le coefficient de f est environ 0,5. Vérifions par le calcul. On sait que 2;6 est sur la droite, donc on a : 3,2 a=1,6 a= 1,6 3,2 = 0,5 On a donc f : x 0,5 x Méthodes Si on connaît un nombre et son image par une fonction linéaire f, on obtient son coefficient en divisant l'image par son antécédent. Par exemple : si f 4 5 = 2 5 alors 2 5 a= = 2 4 5 5 2 5 = 4 5 2 2 = 1 2. 5 Si on connaît les coordonnées d'un point de la représentation de f, on obtient son coefficient en divisant l'ordonnée par l'abscisse. Par exemple : si A 0,5;100 alors a= 100 0,5 = 200.
d. Équation de droite On considère une fonction linéaire f de coefficient a. On a donc f : x ax. On considère aussi un point M de la représentation graphique de f. On note x son abscisse et y son ordonnée. On a donc M x; y. On sait qu'en multipliant l'abscisse x par le coefficient a, on obtient l'ordonnée y ; autrement dit y=ax. Cette relation s'appelle une équation de droite. Exemple On considère la fonction g x = 3 x. L'équation de la droite représentative de g est y= 3 x (lien entre l'abscisse et l'ordonnée d'un point de la droite). e. Cas selon le signe de a Exemples Représente graphiquement f x = 2 x ; g x =3 x ; h x =1,5 x et i x = 5 x. Remarque/Vocabulaire On remarque que l'inclinaison de la droite change en fonction de la valeur de a. On dit alors que a est le coefficient directeur de la droite : si a 0, on dit que la fonction est croissante ; si a 0, on dit que la fonction est décroissante.
7/ Tableau récapitulatif Nombre de départ Nombre d'arrivée on multiplie par a Fonction linéaire En général noté x et appelé l'antécédent. En général noté f x, il est appelé l'image. On a f x =ax. a est le coefficient de f. Représentation graphique Cela correspond à l'abscisse x d'un point de la représentation graphique En général noté y, c'est l'ordonnée d'un point de la représentation graphique. On a y=ax. a est le coefficient directeur de la droite. on divise par a l : x f. Une fonction non linéaire 0,5 x² 2
II. Fonctions affines Exemple type «Brevet» Le gèrent d'une salle de cinéma propose deux options à ses clients : Option 1 : le client paie 7 par séance Option 2 : le client paie un abonnement annuel de 40 puis 3 par séance. Comment traduire ce problème par des fonctions? La 1 er option peut se traduire par la fonction linéaire f 1 : x f 2 : x 3 x 40. Représentons ces fonctions et tentons une interprétation : 7 x et la 2 ème par En utilisant le graphique, réponds à ces questions : Quelle est l'option la plus avantageuse pour un client qui assiste à 5 séances? Quelle est l'option la plus avantageuse pour un client qui assiste à 12 séances? A partir de combien de séance, la 2 ème option devient plus avantageuse?
Définition a et b représentent deux nombres fixés La fonction affine de coefficient a est le procédé calculatoire qui consiste à multiplier un nombre x par le coefficient a puis à ajouter b. Notations f : x a x b On dit que «f est la fonction qui à x associe a x b». a x b est l'image de x. f x =a x b On dit «f de x est égale à a x b» et que a x b est l'image de x. Exemples On considère f x = 2 x 8. Dans cette fonction, on a a= 2 et b=8. f 4 = 2 4 8= 8 8=0 ; f 2 =12 ; f 0 =8 ; f 1 =10. Exemples de calcul d'images On considère f x =3 x 2. Pour cette fonction, après avoir choisi un nombre x, on le multiplie par 3 puis on ajoute 2. Par exemple : f 5 =3 5 2=15 2=17 f 0 =0 3 2=2 f 1 =3 1 2= 3 2= 1 Calcul d'antécédent Avec la même fonction f x =3 x 2, calcule les antécédents de 4 et 3,5. Pour calculer l'image d'un nombre, on multiplie par 3 puis on ajoute 2. Logiquement, pour trouver un antécédent, on retranche 2 puis on divise par 3. Donc l'antécédent de 4 est 4 2 = 6 3 3 = 2. Exercice en cours g x =7 x 5 Calcule l'image de 2 et de 3. Calcule l'antécédent de 5 et de 1. Pour calculer un antécédent, il faut ajouter 5 puis diviser par 7. L'antécédent de 5 est donc : 5 5 7=10 7. De même l'antécédent de 1 est 4 7.
Autre exemple On considère g x = 5 x 3. 5 joue le rôle de a et 3 celui de b. Donc g est le procédé calculatoire qui consiste à multiplier par 5 puis à retrancher 3. Calculs d'images : g 2 = 5 2 3= 10 3= 13 g 0 = 5 0 3= 3 g 1 = 5 1 3=5 3=2 g 10 = 5 10 3=50 3=47 Calculs d'antécédents : Quel est l'antécédent de 3? On peut résoudre l'équation suivante : 5 x 3=3 5 x 3 3=3 3 5 x=6 x= 6 5 = 6 5 Méthodes Il y a deux méthodes pour calculer un antécédent. Puisqu'on multiplie par a puis on ajoute b pour calculer une image, il suffit de faire «l'inverse» : on retranche b puis on divise par a. On résout une équation (voir exemple précédent) Représentation graphique (exemples) f x = 2 x 4 Calculons des images afin d'obtenir des coordonnées de points. Abscisses x 2 1 0 1 2 Ordonnées f x 8 6 4 2 0
Remarques/Méthode On considère la fonction f : x a x b. La représentation graphique de f est l'ensemble des points de coordonnées x ;ax b. La représentation graphique d'une fonction affine est une droite passant par le point 0 ;b. Son équation est y=ax b. a est toujours appelé coefficient directeur ; b est appelé l'ordonnée à l'origine. Le coefficient directeur, comme pour les fonctions linéaires, donne l'inclinaison de la droite : elle «monte» si a 0 et elle «descend» si a 0. L'ordonnée à l'origine permet de savoir si la droite passe en dessous ( b 0 ) ou au dessus ( b 0 ) de l'origine du repère. Pour représenter graphiquement une fonction affine, on place l'ordonnée à l'origine sur l'axe des ordonnées puis on calcule les coordonnées de deux autres points. Pour cela, on choisit deux valeurs de x et on calcule leurs images. Trouver la forme d'une fonction affine par lecture graphique Pour la fonction f On lit facilement l'ordonnée à l'origine : c'est le nombre situé à l'intersection entre la droite et l'axe des ordonnées. C'est b=3. La fonction f est de la forme f x =ax 3. Il reste donc à déterminer le coefficient a. Par lecture graphique, on a f 1 =2 ; donc f 1 =a 1 3=2. Il faut résoudre l'équation suivante : a 1 3=2 a 3=2 a= 1 Donc f : x 1 x 3 Pour la fonction g De même, on lit graphiquement l'ordonnée à l'origine : c'est b= 1. De plus, g 1 =4 donc a 1 1=4 ; ce qui donne a=3. Donc g : x 3 x 1. Exemple La représentation graphique de g : x et 2;2 (par exemple). 2,5 x 7 est la droite passant par 0;7 Remarque importante On peut lire directement le coefficient de la fonction affine sur le graphique : on part d'un point de la droite ; on se déplace d'une unité vers la droite ; on se déplace verticalement pour retourner sur la droite : si on monte c'est positif, sinon c'est négatif ; on compte le nombre d'unités.
Exemple f 1 : x 1 3 x 3 f 2 : x 2 x 3 f 3 : x 1 x 5 f 4 : x 0,5 x 0,5 Méthode Le coefficient a se trouve graphiquement en divisant un déplacement vertical par un déplacement horizontal (voir le graphique ci-dessus pour la droite d 1 ).