Sur les franges des caustiques et les arcs surnuméraires de l arc-en-ciel J. Macé De Lépinay To cite this version: J. Macé De Lépinay. Sur les franges des caustiques et les arcs surnuméraires de l arc-en-ciel. J. Phys. Theor. Appl., 1898, 7 (1), pp.209-216. <10.1051/jphystap:018980070020901>. <jpa- 00240173> HAL Id: jpa-00240173 https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00240173 Submitted on 1 Jan 1898 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
mêmes du quatrième degré au moins. Je n insiste pas sur l application, qui ne présente aucune difficulté. 209 RÉSUMÉ ET CONCLUSIONS. Dans ce travail j ai établi, sous le nom de loi des volumes moléculaires, une loi limite destinée à remplacer le principe très vague d Avogadro-Ampère. Cette loi s applique non à l ensemble des gaz, mais à des groupes qu il m a été possible de distinguer par l étude, de la compressibilité. J ai appliqué cette loi au calcul des densités et des coefficients de dilatation d un grand nombre de gaz. Chaque fois qu une détermination expérimentale précise a été exécutée, elle s est trouvée d accord avec mon calcul, ce qui confirme le principe des états correspondants sur lequel je me suis appuyé. J ai entrepris une série d applications, dont quelques-unes ont déjà fait l objet de communications à l llcadémie des Sciences : étude des vapeurs saturantes, des vapeurs anomales, de la dissociation et de la polymérisation dans les gaz, des chaleurs spécifiques des gaz, de la vitesse du son, etc. Je compte donner bientôt ici même quelques développements sur plusieurs de ces questions. SUR LES FRANGES DES CAUSTIQUES ET LES ARCS SURNUMÉRAIRES DE L ARC-EN-CIEL (1); Par M. J. MACÉ DE LÉPINAY. Le but de ce travail est de montrer que les franges des caustiques et les arcs surnuméraires de l arc-en-ciel peuvent être considérés comme de véritables franges d interférence (2) se produisant dans des conditions toutes particulières : le dédoublement de l onde résulte en effet de sa forme même ; cette onde est repliée sur elle-même, de manière à présenter deux nappes réunies par une arête de rebroussement, et c est du passage successif de ces deux nappes en chaque point de l espace que résultent les phénomènes étudiés. (1) Résumé d un mémoire publié dans les Annales de la Faculté des.scipnces de A Iarseille (1898). (9) d Optique, t. l, p. 39S, Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:018980070020901
Soit 210 Hne onde lumineuse non sphé- - 1. des caustiques. rique. Les normales ou rayons lumineux enveloppent deux nappes de la surface caustique, dont chacune est le lieu de l une des deux lignes focales correspondant à chacun des éléments en lesquels on peut décomposer l onde. Soit M un point de l onde; considérons le plan passant par la normale MO et par la tangente en M à l une des deux lignes de courbure. Les normales à la surface aux divers points de cette ligne de courbure sont sensiblement situés dans ce plan et enveloppent l intersection par ce plan de la surface caustique (ligne caustique). L intersection, par ce même plan, de l onde passant par le point 0 de contact de cette ligne caustique avec le rayon MO présentera un point de rebroussement, à savoir le point 0 lui-même. L une de ses FIG. i. deux branches est normale, en effet, aux rayons tels que AB (flg. 1 ), qui ont déjà touché en A la caustique ; l élément correspondant a son centre de courbure en A, et tourne sa concavité du côté d où vient la lumière ; l autre branche, normale aux rayons qui n ont pas encore touché la caustique, tourne sa concavité en sens contraire. Prenons pour axes la normale Ox et la tangente Oy à la ligne caustique, dont le rayon de courbure est OC = p; soit u l angle ACO. Les coordonnées du point de l onde passant par 0, situé sur AB, satisfont aux deux relations : On en déduit, en éliminant u entre ces deux équations et en intégrant : -
., des Il 211 Imaginons alors que l on reçoive la lumière sur un écran passant par O~ et normal au plan de la figure. La différence de marche géométrique des deux mouvements vibratoires qui se croisent en B pourra être prise égale à 2V. Si nous tenons compte, d autre part, avec M. Mascart, de ce que, des deux ondes qui se croisent en B, l une seulement, celle qui est en retard, a franchi, en A, une ligne focale et pris une avance de ~, nous voyons que la différence de phase deux mouvements vibratoires considérés est : Considérons, d autre part, un élément de l onde, au voisinage de M, limité par deux couples de lignes de courbure ; soient Ru, les longueurs de ses côtés, R et R étant les deux rayons de courbure principaux (R ---_ MO). La quantité de lumière émise par cet élément se répartit, au voisinage de B, sur une aire rectangulaire dont les côtés sont «X AB ~ «uo pour l un, (R - R) «pour l autre. L intensité lumineuse en B, sur l une ou l autre onde, est donc : et l intensité lumineuse résultante : Cette expression est de même forme que celle établie par M. Mascart pour l arc-en-ciel. - II. Arcs surnuméraires de l arc-en-ciel. semble tout d abord que les arcs surnuméraires de l arc-en-ciel se produisent dans des circonstances spéciales, à savoir lorsque l un des rayons de courbure, R, de l onde primitive, devient infini; mais, en fait, on doit, par cela même, les observer au moyen d appareils optiques appropriés, lunette astronomique ou simplement reil, réglés pour l infini. Or on se trouve, dans ces conditions, observer les franges produites dans le plan focal par l onde réfractée, dont les deux rayons de courbure sont finis ;R = f). La théorie et la formule générale ci-dessus leur sont donc directement applicables. Je me contenterai
212 calculer l une des deux constantes ici de montrer comment on peut qui figurent dans l expression de l intensité, à savoir p. Nous supposerons, pour simplifier, que l axe optique de l objectif se confond avee le rayon efficace de Descartes, et prendrons pour plan de la figure le plan d incidence correspondant, qui contient la courbe méridienne de l onde d Airy. L équation de cette dernière est, comme on le sait : a étant le rayon de la goutte, et h une constante. Nous désignerons par f la distance focale de l objectif, et par D la distance, que nous supposerons tout d abord finie, de la goutte à l objectif. Fm. 2. L"inclinaison 0 (flq. 2), sur le rayon efficace, du rayon lumineux M N issu d un point M de l onde, d abscisse X, est donnée par : Après réfraction en N ce rayon vient rencontrer le plan focal au point B où ce dernier coupe l axe secondaire wb parallèle à M N. La distance OB = x est donnée par : p étant le rayon de courbure cherché de la caustique, et u l inclinaison
du rayon réfracté N B sur le rayon 000, qui est tangent caustique. On en déduit : 213 en 0 à la On a, d autre part, dans le triangle rectangle N BQ : En remplaçant u par sa valeur dans l équation précédente, et en négligeant les termes d ordre supérieur au second en X, ce qui revient à négliger dans la parenthèse le second terme par rapport à l unité, on obtient la relation : L intensité lumineuse en B est donc donnée en fonction de la dis- de la tance x de ce point au foyer principal 0, par une expression forme :, obtenue en remplaçant dans la formule générale p par sa valeur ; M est une constante que l on peut calculer par un mode de raisonnement tout à fait analogue à celui qui a été employé précédemment, en tenant compte de ce que l onde primitive est de révolution autour du rayon incident passant par le centre de la goutte. On trouve ainsi, à étant la déviation minimum, et J l angle d incidence correspondant : ou, en fonction de l angle 0, Nous avons dû, toutefois, pour établir cette théorie, supposer que la distance D était finie. La formule établie n en est pas moins générale. En effet : 1 la valeur du coefficient M est indépendante de cette distance ; 21 les deux mouvements vibratoires qui se croisent en un
214 point quelconque du plan focal se propagent avant réfraction suivant deux directions parallèles ; leur différence de marche est donc indépendante de la distance de la goutte ; 3 quelle que soit cette même distance, sur l une et l autre onde, le sens de la convexité demeure inaltéré ; il en est de même, par suite, de la correction introduite par M. Mascart. III. Le tableau suivant permet une comparaison suffisante des formules d Airy et de M. Mascart. La variable, dont les valeurs, sont inscrites dans la première colonne du tableau, est celle d Airy, ~r, définie par : Le coefficient numérique de la formule de M. Mascart a été choisi au second maximum, de telle sorte que les intensités correspondant données par les deux formules, deviennent identiques. Si l on construit les deux courbes (flg. 3) dont les abscisses sont les valeurs de Z, et les ordonnées celles des intensités ainsi calculées, la concordance des deux formules devient frappante. Ces deux courbes coïncident presque exactement dès leur premier point de rencontre (z 1,46), = et à l échelle de la figure il devient impossible de les tracer séparément. IV. Les franges des caustiques, obtenues au moyen d une lentille (distance focale 30 centimètres, lentille à 60 centimètres de la fente éclairante inclinée de 60 environ sur le faisceau lumineux qui la traverse), ne sont guère visibles en lumière blanche que si l on fait usage d une lentille achromatique. Elles présentent alors des phéno-
215 mènes d achromatisme analogues à ceux que M. Mascart a signalés et étudiés dans le cas de l arc-en-ciel, mais ils sont plus variés. A une distance d environ i2 centimètres de la lentille, le bord de la caustique est sensiblement incolore ; la première frange est en même FIG. 3. temps parfaitement noire. Plus près de la lentille, le bord de la caustique est teinté de rouge ; l achromatisme se produit pour une frange d ordre d autant plus élevé que l on se rapproche davantage de la lentille et qu en même temps la coloration du bord de la caustique devient plus accentuée. Si on déplace le microscope en sens contraire à partir de sa position initiale, le bord de la caustique se teinte de bleu ; les colorations de toutes les franges augmentent peu à peu et celles-ci ne tardent pas à devenir complètement invisibles. Tous ces faits sont des conséquences de la théorie de l achromatisme due à M. Cornu et des formules générales que j ai établies dans un précédent travail (~ ). On a en effet, dans le cas actuel, en transportant l origine en un point situé dans l ombre géométrique, à une distance x. de la limite de réflexion totale correspondant à la radiation X : L abscisse x, de la frange achromatique est donnée par : ) Journal de 3, série, t. 111, p. 2~~ ; 1894.
-. 216 équation dans laquelle on doit remplacer dx et par leurs valeurs A qui correspondent à la radiation la plus intense du spectre. bord de la caustique est teinté de rouge, dx est négatif; Si le la distance x, xo de la région achromatique au bord de la caustique (pour le jaune) est positive; elle correspond à une frange d ordre d autant plus élevé que 2013 est plus grand a en valeur absolue. Si le bord de la caustique est teinté de bleu, dx est dx positif, XI - Xo est négatif: l achromatisme se produirait dans une région où les franges n existent pas; toutes les franges sont colorées. De ce même travail résulte le fait suivant qui m a paru susceptible d une intéressante vérification expérimentale, grossière, il est vrai. Dans le cas actuel le nombre de franges discernables en lumière blanche doit être 3 fois plus grand que dans un phénomène d interférence normal, c est-à-dire dans lequel n intervient aucun phénomène de dispersion. Produisant, au moyen d une même source blanche, à la fois les franges des miroirs de Fresnel et celles des caustiques dans les conditions indiquées, j ai faitcompterpar cinq observateurs non prévenus les franges discernables dans les deux appareils, à partir de la frange achromatique ou centrale. Le rapport des nombres obtenus a varié suivant l observateur de 1,40 à 1,80; la moyenne de ces rapports a été trouvée égale à f, 524. INFLUENCE DE LA LONGUEUR DES AIMANTS SUR L INTENSITÉ MOYENNE D AIMANTATION ; Par M. P. MORIN. Dans un fil d acier de 2 millimètres de diamètre, trempé et recuit au bleu, j ai découpé des tronçons ayant les longueurs suivantes : 1, 2, 4, 8, 16 et 24 centimètres. Le rapport de la longueur au diamètre varie donc de 5 à ~~0. * Ces divers tronçons, ou aiguilles, ont été aimantés à saturation par leur passage, successif et répété, dans une bobine magnétisante d un