SYNTHESE ( THEME ) FONCTIONS () : NOTIONS de FONCTIONS FONCTION LINEAIRE () : REPRESENTATIONS GRAPHIQUES * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * A LA NOTION DE FONCTION Une fonction f est un processus qui, à un nombre, fait correspondre un autre et unique nombre f(). LES ANTECEDENTS LES IMAGES f() LE PROCESSUS ( la machine) la fonction f Notation : f : f ( ) ( On lit : «fonction f qui à associe f ()» ) Vocabulaire : est un antécédent de f () f () est l image de par la fonction f Propriété : Un nombre peut avoir qu une seul image Un nombre peut avoir plusieurs antécédents. Eemple : A un nombre on associe le carré de ce nombre. Notons cette fonction par une lettre, f par eemple. Cette fonction peut se noter : f : «Le carré de 7 est 49». Dans le langage des fonctions, on le traduit par : 49 est l image de 7 par la fonction f. On écrit : f ( 7 ) = 49 7 est un antécédent de 49 par la fonction f. Remarque : 49 a plusieurs antécédents : 7 et - 7 B REPRESENTATION GRAPHIQUE D UNE FONCTIOIN
Dans un repère, la courbe représentative d une fonction f est formée de tous les points dont les coordonnées sont de la forme ( ; f () ) ou encore ( ; ) avec = f (). ae où l'on trouve les images Valeurs de f() f( ) M M Courbe M Valeurs de Méthode : Comment lire une image ou un antécédent sur une courbe ae où l'on trouve les antécédents Enoncé : f est la fonction définie par le graphique ci-contre. Lire l image de 5. Lire les antécédents de 4 Solution : - 5. On repère sur l ae des abscisses le nombre dont on cherche l image. On construit à partir du nombre un chemin en pointillés comme ci-contre. On lit la valeur de l image sur l ae des ordonnées. Réponse : L image de 5 est -. Soit f ( 5 ) = - -, 4-7. On repère le nombre 4 sur l ae des ordonnées. On construit à partir du nombre un chemin en pointillés comme ci-contre. On lit les valeurs des antécédents sur l ae des abscisses Réponse : 4 a trois antécédents - ; -, et 7 C CALCULER L IMAGE D UN NOMBRE ET UN
ANTECEDENT D UN NOMBRE PAR UNE FONCTION DETERMINEE PAR UNE FORMULE Méthode : Comment calculer l image d un nombre Enoncé : Calculer l image des nombres 6 et 5 par la fonction f : + Solution : La fonction f est définie par f ( ) = + L image du nombre 6 est f ( 6) et l image du nombre 5 est f ( 5) On a donc : f ( 6) ( 6) + f ( 5) ( 5) f ( 6) 6 + f ( 5) 5 + f ( 6) = 8 + f ( 5) = 5 + f ( 6) = f ( 5) = 7 Conclusion : L image de 6 par la fonction f est L image de 5 par la fonction f est 7 + Méthode : Comment calculer un antécédent d un nombreenoncé : Calculer l antécédent du nombre 8 par la fonction g : 5 Solution : La fonction g est définie par g ( ) = 5 On doit résoudre l équation g ( ) = 8 On a donc : 5 = 8 5 = 8 + 5 = = 5 = Conclusion : L antécédent du nombre 8 par la fonction g est D TABLEAU DE VALEURS D UNE FONCTION Un tableau de valeurs permet de connaître les valeurs prises par une fonction f pour certaines valeurs de la variable. Méthode 4: Comment compléter un tableau de valeurs d une fonction Enoncé : On considère la fonction h définie par h : + 5 Recopier et compléter le tableau de valeurs. - - h ( ) Solution : On calcule l image de chaque nombre ) ( ) + ( ) 5 ) ( ) ) 4 4 5 ) 5 ) = ) = 4 + ( ) 5
) ) = 5 + 5 ) + 5 ) 9 + 6 5 ) = 8 - - h ( ) - 4-5 8 E - FONCTION LINEAIRE E : DEFINITION ET NOTATION Soit a un nombre fié. On appelle fonction linéaire de coefficient a le processus opératoire qui au nombre associe le produit a. «je multiplie par a» Une fonction linéaire de coefficient a nommée f se note f : a ( On lit «la fonction f qui à associe a) Eemple : La fonction f : est une fonction linéaire de coefficient - Eemple : Soit la fonction f : 7-4 f ( ) -4 8 84 f ( - ) = 7 ( - ) = - 4-4 est l image de - par la fonction f ; on note f( - ) = - 4 f ( 4 ) = 7 4 = 8 8 est l image de 4 par la fonction f ; on note f ( 4 ) = 8 f ( ) = 7 = 84 Une fonction linéaire traduit une relation de proportionnalité Eemple : mouvement uniforme Lors du test d une voiture roulant à vitesse constante sur un circuit, les mesures ont permis de réaliser le tableau Durée t du parcours (en h),5 4 4 Distance parcourue (en km) 4 64 6 64 = 4 Le coefficient de proportionnalité est : 6 Si t est la durée du parcours, le calcul 6 t représente la distance parcourue pour une durée t Cette situation de proportionnalité est associée à une fonction linéaire de coefficient 6. On note cette fonction t 6 t.
E : REPRESENTATION GRAPHIQUE La représentation graphique d une fonction linéaire est une droite qui passe par l origine du repère. Eemple : La représentation graphique de la fonction linéaire f : est la droite D passant par l origine et par le point A( ; - 6 ) = - f() En effet f ( ) = - = - 6 La droite D a alors pour équation = - 4 et on dit que - est le coefficient directeur de la droite D. -4 - - - 4 - - - -4-5 -6 A( ; -6 ) Eemple : Mouvement uniforme (suite ) distance parcourue (en km) 64 48 4 durée t (en h)
E : INTERPRETATION DU COEFFCIENT DIRECTEUR D UNE DROITE Cas ou le coefficient directeur est positif : a > On considère la fonction f définie par : f : La droite (d) est la représentation graphique de la fonction f. (d) + B Le coefficient directeur de la droite (d) est : Soit A un point quelconque de la droite (d). A Si on augmente de son abscisse et si on augmente de son ordonnée, on obtient les coordonnées d un nouveau point B de la droite. + Cas ou le coefficient directeur est négatif : a < On considère la fonction g définie par : g :, 5 La droite (d ) est la représentation graphique de la fonction g. (d') + Le coefficient directeur de la droite (d ) est :,5 Soit C un point quelconque de la droite (d ). C -,5 Si on augmente de son abscisse et si on diminue de,5 son ordonnée, on obtient les coordonnées d un nouveau point D de la droite. -,5 D
Brevet des collèges : Etrait session eercice n Avec un logiciel : - On a construit un carré ABCD, de côté 4 cm. - On a placé un point M mobile sur [AB] et construit le carré MNPQ comme visualisé sur la copie d écran ci-contre. - On a représenté l aire du carré MNPQ en fonction de la longueur AM. A M B Q N On a obtenu le graphique ci-dessous. D P C En utilisant ce graphique répondre au questions suivantes. ) Déterminer pour quelle(s) valeurs(s) de AM, l aire de MNPQ est égale à cm². ) Déterminer l aire de MNPQ lorsque AM est égale à,5 cm. ) Pour quelle valeur de AM l aire de MNPQ est-elle minimale? Quelle est alors cette aire? ) L aire du carré MNPQ est égale à cm² pour AM = cm et AM = cm. ) Lorsque AM =,5 cm, l aire de MNQ est égale à,5 cm². ) L aire du carré MNPQ est minimale pour AM = cm. Cette aire est égale à 8 cm².
Brevet des collèges : Etrait session Eercice n On a utilisé un tableur pour calculer les images de différentes valeurs de par une fonction f et par une autre fonction g. une copie de l écran obtenu est donnée ci-dessous : ) Quelle est l image de par f? ) Calculer f ( 7 ). ) Donner l epression de f ( ). 4) On sait que g ( ) = + 4. Une formule a été saisie dans la cellule B et recopiée ensuite vers la droite pour lét l l d ll l C H Q ll t tt f l? ) L image de par la fonction f est égale à ) f ( 7 ) = 5 7 + 7 f ( 7 ) = 8 ) f ( ) = 5 + 7 4) La formule est «= B*B + 4»