Série 2 -Critères de décision- Exercice 1(un investissement bien raisonné) Un particulier se voit proposer deux placements a 1 et a 2. Les rendements de chacun de ces deux placements dépendent d une décision gouvernementale importante; C est ainsi que, pour une unité monétaire investie, a 1 rapportera 1,3 unité monétaire si la décision est prise et seulement 0,8 unités monétaires si elle n est pas prise. En revanche, a 2 rapportera seulement 0,9 unités monétaires si la décision est prise et 1,1 unité monétaire si elle n est pas prise. En fait, le particulier peut répartir librement son investissement entre a 1 et a 2. On notera a( ) le placement qui consiste à investir une proportion dans a 1 et la proportion complémentaire 1- dans a 2 (0 1). Le particulier souhaite déterminer la meilleure répartition, c est-à-dire trouver une valeur optimale pour. Il envisage pour ce faire différents critères d évaluation. 1- Formaliser le problème de décision. 2- Représenter sur un même graphique, en fonction de l, les deux courbes de gain net par unité monétaire investie pour a( ). 3- On considère le critère de gain minimum (critère de WALD). 3.1 Formaliser clairement le problème de choix de la répartition optimale selon le critère de WALD 3.2 Montrer que la représentation graphique de la question 2 permet de déterminer la répartition optimale. Quelle est-elle? 4- On considère enfin le critère de regret maximum (critère de SAVAGE). 4.1 Donner l expression du regret maximum pour tout placement a( ). 4.2 Formaliser clairement le problème du choix de la répartition optimale selon le critère de SAVAGE. 4.3 En suivant une démarche analogue à celle adoptée à la question 3, indiquer la répartition optimale selon le critère de SAVAGE. 5- Le particulier souhaite raisonner avec un critère d espérance mathématique. Soit p la probabilité que la décision gouvernementale soit prise. 2008-2009 1
5.1 Déterminer l espérance mathématique de gain de a( ) en fonction de p et de. 5.2 En supposant que p = 0,5, déterminer l investissement optimal selon le critère d espérance mathématique du gain. 5.3 Présenter un analyse complète en fonction de p du choix de la répartition optimale selon le critère d espérance mathématique. Exercice 2 (Pas de panique pour la vache folle) La Commission Européenne doit décider si elle doit ou non interdire l usage des farines animales dans l alimentation des animaux. Une des trois décisions suivantes doit être prise : interdiction totale, interdiction partielle, pas d interdiction. Les experts sont divisés sur le rôle de ces farines dans la transmission du prion de l ESB, trois avis dominent : les cas observés sont et seront isolés, la transmission est faible, la transmission est généralisée. Ces sont ces trois «états» qui seront retenus par la suite. Un comité d experts doit se réunir afin d éclairer la décision. Dans un premier temps, en préparation de la réunion du comité, le président du comité évalue les conséquences de chacun des trois décisions sur une échelle de 100 (0 correspondant à l évaluation la plus défavorable et 100 à l évaluation la plus favorable). Ces évaluations sont regroupées dans le tableau de gains suivant : Tableau d évaluation initial Cas isolés faible généralisée IT (interdiction totale) 20 80 100 IP (Interdiction Partielle) 50 70 30 NI (Pas d Interdiction) 10 20 0 1- Quelle décision doit-on retenir suivant le critère de WALD? 2- Comment peut-on argumenter le choix de ce critère? 2008-2009 2
Lors de la réunion du comité, les experts récusent le tableau de gains proposé par le président. S ils acceptent les évaluations des meilleurs cas à 100, et du pire cas à 0, ils n acceptent pas d utiliser des valeurs aussi précises pour l évaluation des autres cas. Ils finissent par se mettre d accord sur le tableau d évaluation suivant : Tableau d évaluation du comité Cas isolés Faible généralisée IT (interdiction totale) x 1 x 2 100 IP (Interdiction Partielle) x 3 x 4 x 5 NI (Pas d Interdiction) 10 x 6 0 Sans vouloir donner des valeurs précises aux x i (i = 1,,6), ils jugent acceptables de considérer que : 0 < x 1 = x 6 < x 5 < x 3 < x 4 < x 2 < 100 C est uniquement ce tableau que l on considérera par la suite. 3- Quelle décision doit-on retenir selon le critère de WALD? 4- Quelle décision doit-on retenir selon le critère de SAVAGE? 5- Il serait envisageable de procéder à une étude scientifique permettant de mieux appréhender les conditions de transmission. Les experts s interrogent sur l opportunité de cette étude. 5.1 Quel serait le «gain» procuré par une étude en supposant que celle-ci fournisse une évaluation absolument exacte des conditions de transmission. On utilisera le critère de WALD pour déterminer ce gain. 5.2 Déterminer la valeur de l information parfaite. Exercice 3 (Incertitude sur les jouets) Une entreprise fabriquant des jouets est confrontée à un risque de grève des transporteurs routiers pendant ce début de première semaine de décembre. L entreprise a établi un plan de fabrication et d expédition en régime normal de 5 000 articles par semaine qui correspond exactement à la demande hebdomadaire. le coût de fabrication est alors de 30 /article. 2008-2009 3
L article est vendu 45. La grève, si elle a lieu, débutera dans une semaine. Elle peut durer soit une semaine, soit deux semaine. En cas de grève, l entreprise ne produit pas. De plus, elle perd la totalité de ses ventes si les distributeurs ne sont pas livrés auparavant car les linéaires sont vides (la distribution ne possède actuellement aucun stock). En ce début de première semaine, l entreprise a le choix entre: soit produire et expédier, selon son plan, 5 000 articles, soit produire et expédier 10 000 articles pour satisfaire la demande des deux premières semaines; mais il faut savoir que la capacité de production maximale de l entreprise est de 7 000 articles par semaine et qu au delà de cette limite, elle sous-traite la production dont le coût passe alors à 40 /semaine. soit produire et expédier 15 000 articles pour satisfaire la demande des trois semaines, avec les mêmes conditions de recours à la sous-traitance. On cherche à maximiser la marge sur la période des 3 semaines à venir. 1- Après avoir défini les actions et les états de la nature, construire le tableau de gains correspondant aux marges cumulées sur 3 semaines. 2- Quelle décision prendre sur la base du critère de gain maximal (critère de WALD)? 3- Quelle décision prendre sur la base du critère du regret maximal (critère de SAVAGE)? 4- Le directoire de l entreprise estime les probabilités suivantes : P[ aucune semaine de grève ] = 20%, P[ une semaine de grève ] = 40%, P[ 2 semaines de grève ] = 40%. Quelle décision prendrait-il sur la base de l espérance mathématique de gain? Exercice 4 (Exploitation agricole) Un exploitant agricole doit déterminer le nombre d hectares de blé qu il doit cultiver. Ila le choix entre trois catégories de surface : - Cultiver une petite surface d1 ; (politique N 1) - Cultiver une moyenne surface d2 ; (politique N 2) - Cultiver une surface large d3 ; (politique N 3) 2008-2009 4
La demande future en blé est très incertaine, compte tenu des récoltes précédentes et des produits concurrents. L exploitation réalise que s il décide de cultiver le blé sur une surface large (d3) et si la demande prochaine en blé est faible il pourrait perdre beaucoup d argent. En revanche s il décide de cultiver le blé sur une petite surface et si la demande monte, il aurait pu gagner un profil supérieur en prenant une autre décision. Il a estimé la demande à trois niveaux : n1, n2, n3 et a préparé le tableau des profits suivants : Faible n1 Moyenne n2 Haute n3 d1 400 400 400 d2 100 600 600 d3-300 300 900 1- Si la demande n est pas connue montrer quelle serait la meilleure politique selon le critère de : - Gain minimum - Gain maximum - Regret maximum 2- La demande est maintenant estimée par les probabilités suivantes : p(n1)= 0.2 p(n2)=0.35 p(n3)=0.45 ; Quelle serait la meilleure politique selon le critère de l espérance du profit? Exercice 5 (Quel Savage!) Une association d étudiants envisage d organiser une manifestation afin de renflouer sa caisse. Le bureau de l association se réunit afin de décider du type de manifestation. Deux propositions sont examinées : organiser une soirée dansante ou organiser un rallye touristique. Après étude, il apparait raisonnable d espérer un bénéfice net de 18 K pour la soirée dansante. Le succès du rallye dépend des conditions météorologiques. Les membres du bureau s accordent à considérer que le bénéfice net sera de 15K en cas de mauvais temps, et de 20K en cas de beau temps. 2008-2009 5
1- Quelle est la solution optimale selon le critère de savage? Une nouvelle proposition est suggérée par l un des membres du bureau : organiser une compétition de golf. Il apparait qu une telle compétition pourrait être très intéressante en cas de beau temps (bénéfice net estimé à 30K ) mais beaucoup moins en cas de mauvais temps (bénéfice net estimé à 5K ). 2- Déterminer, en s appuyant sur un tableau des regrets construits à partir des 3 solutions envisagée, la solution optimale selon le critère de savage. 3- Quel phénomène curieux observe-t-on à l issue de ces deux premières analyses? comment l expliquer? 2008-2009 6