Probabilités et statistiques M2MT01 - TD2 Exercice 1 : Une fourmi se déplace sur un dé à six faces. A chaque sommet, elle choisit le prochain parmi les trois sommets voisins avec la même probabilité. La fourmi démarre du point I le point opposé est le point O. 1. Quel est le nombre moyen de pas avant la première visite en O? 2. Quel est le nombre moyen de pas faits par la fourmi avant de revenir en I? 3. Quel est le nombre moyen de visites en O avant de revenir I? Exercice 2 : Le Bon, la Brute et le Truand se retrouvent finalement pour un mémorable duel à 3 (tout ça pour quelques dollars de plus). Pous simplifier, nous désignerons par A le Bon, B la Brute et C le Truand. Le Bon est un tireur d élite et touche sa cible à coup sûr. La Brute est également un bon tireur mais tétanisé par l enjeu, il n a que 80% de chances de toucher. Enfin, le Truand a mal choisi son emplacement ; ébloui par le soleil couchant, il n a qu une probabilité de 10% d atteindre son but. Les règles du duel sont les suivantes : Le premier tireur sera tiré au sort. Chacun tire ensuite à tour de rôle dans l ordre lexicographique. Bien entendu, à chaque fois que c est son tour, le tireur choisit de tirer sur son adversaire le plus dangereux. 1. Modéliser les évolutions de ce duel à l aide d une chaîne de Markov. 2. Le Truand a été choisi par le sort pour tirer en premier. Il tire donc sur le Bon. (a) Calculer la probabilité que le truand survive s il rate le Bon lors de son premier tir. (b) Même question s il tue le Bon lors de son premier tir. (c) Si vous étiez le Truand, quelle stratégie adopteriez-vous lors du premier tir? Exercice 3 : On place un rat dans le labyrinthe suivant. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1. A chaque fois qu il se retrouve dans une des 9 cases, le rat choisit une des portes disponibles au hasard, et indépendamment de ses choix précédents. Soit X n le numéro de la n-ème case visitée par le rat. Modéliser l évolution de X n. 2. On considère la partition de l espace d états en les trois classes suivantes : a = {1, 3, 7, 9} b = {2, 4, 6, 8} c = {5}. On note Y n la classe à laquelle appartient X n. Montrer que {Y n, n N} est une chaîne de Markov et écrire sa matrice de transitions. 3. Déterminer la mesure stationnaire de la chaîne {Y n }. 4. En déduire la mesure stationnaire de la chaîne {X n }. 1
5. Si le rat part de l un des coins, et franchit une case toutes les secondes, combien de temps mettra-t-il en moyenne à atteindre le fromage qui se trouve au centre? 6. Le rat n est pas si bête : à chaque fois qu il a passé une porte, il choisit sa prochaine porte au hasard parmi les portes disponibles différentes de celle qu il vient d emprunter. A la n-ème porte franchie, on note Z n le couple formé des numéros de la case de départ et de la case d arrivée. Modéliser. 7. Sous les hypothèses de la question (6), montrer que {X n } n est pas une chaîne de Markov. 8. Sous les hypothèses de la question (6), on définit T n par : T n = (x, y) Z n x y, où x et y sont deux éléments quelconques de {a, b, c}. Montrer que {T n, n N} est une chaîne de Markov et représenter son diagramme de transitions. 9. Reprendre la question (5) sous les hypothèses de la question (6). Exercice 4 : Tous les matins, Christine prend le train de 7h47, ou, si elle est en retard, celui de 7h59. Lorsqu elle a raté le 7h47, elle fait un effort le lendemain, si bien que le train pris chaque jour est une chaîne de Markov de matrice de transition : 7h47 7h59 7h47 0.4 0.6 7h59 0.7 0.3 Tout se passe de la même façon pour Bernard mais sa matrice de transition est 7h47 7h59 7h47 0.3 0.7 7h59 0.8 0.2 Enfin, Bernard et Christine prennent leur train de façon indépendante l un de l autre puisqu ils ne se connaissent pas (pas encore). 1. On suppose qu à l origine (date 0), Bernard a pris le 7h47 alors que Christine l a raté, et on note Z la date à laquelle Bernard et Christine prennent pour la première fois le même train. (a) Quelle est l espérance mathématique de Z? (b) Quelle est la probabilité pour que Bernard et Christine prennent le même train le premier jour? (c) Quelle est la probabilité pour qu ils se rencontrent pour la première fois dans le train de 7h47? 2. En réalité, lorsque Christine et Bernard prennent le même train, ils n ont qu une probabilité p de se rencontrer et l on représente par T la date à laquelle ils se rencontrent pour la première fois. Comment modéliser cette nouvelle situation pour répondre aux question du 1? (On demande simplement de décrire la chaîne de Markov à étudier et de donner sa matrice de transition). 3. A force de se rencontrer, et après un très long temps (Bernard et Christine sont de nature très timide), ils finissent prosaïquement par se marier. Ils ont néanmoins conservé leurs habitudes de célibataires quant à leurs horaires de lever. Ainsi, s ils parviennent à prendre le même train, ils bénéficient tous deux du tarif couple qui est de 30F par personne mais s ils prennent des trains différents, ils doivent s acquitter du tarif normal qui est de 35F. Quel est alors le coût moyen d un trajet par personne? 2
Exercice 5 : On dispose dans une maison de deux systèmes de chauffage, l un de base et l autre d appoint. On dira que l on est dans l état 1 si seul le chauffage de base fonctionne, dans l état 2 si les deux systèmes fonctionnent. Si un jour on est dans l état 1, on y reste le lendemain avec probabilité 1 2 ; par contre si l on est dans l état 2, le lendemain la maison est chaude et l on passe dans l état 1 avec probabilité 3 4. Ici, X n est l état du système au jour numéro n et on admet que (X n, n 0) est une chaîne de Markov homogène. 1. Déterminer le graphe et la matrice de transition de la chaîne. 2. On pose P(X n = 1) =: p n. Déterminer une relation de récurrence entre p n et p n 1. En déduire p n en fonction de p 0. Que vaut la limite de p n quand p? 3. Retrouver le résultat précédent à l aide de la matrice de transition. 4. Sachant que l on est dans l état 1 le dimanche, donner la probabilité dêtre dans le même état le dimanche suivant. 5. Montrer que si un jour on est dans l état 1 avec probabilité 3 5 alors il en est de même tous les jours qui suivent. 6. Trouver la probabilité stationnaire associée à la chaîne. Rapprocher le résultat obtenue à ceux obtenus dans les questions 2 et 3. 7. Chaque journée dans l état 1 coûte 10 euros et 20 euros dans l état 2. De plus chaque transition d un état à l autre coûte 5 euros. Donner le coût moyen d une journée de chauffage dans le cadre de la question précédente.. Exercice 6 : Une rumeur court dans une classe de terminale. Sachat sortirait avec un autre membre de la classe mais on ne sait pas si c est Gudulle ou Ginette. La rumeur est transmise à travers n intermédiaires et peut donc prendre deux formes Gudulle ou Ginette. On suppose que chaque intermédiaire transmet le message de façon correcte avec probabilité p, avec 0 < p < 1 ou le déforme en son contraire avec probabilité 1 p. Modéliser cette situation à l aide d une chaîne de Markov à deux états et calculer la probabilité que l information transmise par le nième intermédiare soit conforme à l information initiale. Que se passe-t il lorsque n? Quelle est la probabilité invariante associée à la chaîne? Exercice 7 : On considère la chaîne de Markov (X n, n 0) sur N telle que : 1 p x, si y = x + 1 p x,y := p x, si y = 0 0 sinon. 1. Dessiner le graphe de cette chîne et montrer qu elle est irréductible. 2. Calculer la quantité P 0 (T 0 + > n) et justifier l existence de sa limite quand n +. 3. En déduire une condition nćessaire et suffisante sur la suite (p x ) x N pour que la la chaîne soit récurrente. 4. On suppose maintenant p x = p, x N. Montrer que la chaîne est récurrente positive. En déduire la valeur de la probabilité stationnaire en 0. 5. Donner la probabilité stationnaire associée à la chaîne. Exercice 8 : Dans une entreprise, le n ième lundi de l année, on reçoit A n propositions de travail du type A et B n du type B. Le travail de type A mobilise l entreprise pour une semaine et lui 3
rapporte 200 euros alors que la proposition de type B la mobilise 2 semaines et lui rapporte 360 euros. Si l entreprise ne travaille pas pendant une semaine cela lui coûte 100 euros et si une proposition de travail arrive lorsque l entreprise est déjà en activité, cette dernière sera non traitée. On suppose que les A n, B n sont indépendants, ainsi que les couples (A n, B n ) et que : P(A n = 1) = 1 P(A n = 0) = 1 2, P(B n = 1) = 1 P(B n = 0) = 2 5 1. Modéliser cette situation à l aide d une chaîne de Markov. 2. Le patron de l entreprise doit prendre une décision : Que faire lorsque une proposition de type A et une proposition de type B arrivent simultanément? A l aide du théorème ergodique, aider le patron à trancher entre la politique consistant à toujours donner la préférence à la proposition de type A et celle qui opte pour la proposition de type B. 3. Dans les deux politiques précédentes dans laquelle travaille-t-on le moins? Exercice 9 : Dans cet exercice on note (X n, n 0) une chaîne de Markov sur un espace dénombrable E et i un élément de E. 1. On note V i = n 0 1 X n=i et T r i l instant du r ième retour en i. (a) Montrer que P i (V i > r) = P i (T 1 i < ) r. (b) En déduire que X est récurrente si et seulement si P i (T 1 i < ) = 1. (c) En déduire que X est récurrente si et seulement si E i [V i ] =. (d) En déduire que X est récurrente si et seulement si n 0 P i(x n = i) =. 2. A l aide des probabilités de passage, montrer que la marche aléatoire symétrique dans Z est récurrente? Est-elle récurrente positive? 3. On s intéresse maintenant à la marche aléatoire symétrique sur Z 2. On note (x n, y n ) les coordonnées de la marche et on pose S n = x n + y n et T n = x n y n. (a) Montrer que (S n, n 0) et (T n, n 0) sont deux marches aléatoires symétriques dans Z indépendantes. (b) En déduire la probabilité P(X n = 0 X 0 = 0) et conclure concernant la récurrence/transience de la marche. 4. On s intéresse maintenant à la marche aléatoire symétrique sur Z 3. (a) Montrer que : P 0 (X 2n = 0) = 1 6 2n i+j+k=n (2n)! (i!j!k!) 2 (b) Montrer que n 0 P 0(X 6n = 0) converge. Qu en conclure? 5. Que pouvons-nous dire concernant les dimensions supérieures? Exercice 10 : Un jeu de société comporte 12 cases numérotées de 0 à 11. Au départ, le joueur se trouve à la case 0 et à chaque tour, il lance un dé équilibré à six faces et avance son pion du nombre de cases correspondant au résultat du lancer du dé. On note X n le numéro de la case où se situe le joueur au bout de n lancers. 4
1. Montrer que (X n, n 0) est une chaîne de Markov sur S = {0,..., 11}. 2. Donner ses probabilités de transition ainsi que sa matrice de passage. Dire sans calcul si la chaîne admet une probabilité stationnaire. 3. Montrer que la matrice P est bistochastique, i.e. que pour tout y S, x S p x,y = 1. En déduire la mesure stationnaire associée à X à l aide de la question 1 de l exercice 2. 4. Que vaut l espérance du temps de retour en 0 en partant de 0? 5. Calculer en le justifiant la limite quand n tend vers l infini de P(X n = 0). 5