Université de Tunis Ecole Supérieure des Sciences Economiques et Commerciales Cahier d exercices Gestion Obligataire Notions de base Exercice 1.1 : Soit un emprunt obligataire remboursable par annuités constantes : Valeur nominale 200 Valeur de remboursement 220 Intérêt nominal 5.5% Sachant que l avant dernier amortissement théorique contient un nombre d obligations de 9083.387 et le cinquième amortissement est de 5855.233. 1. Calculer l annuité. 2. Déterminer la durée de vie de l emprunt. 3. Le nombre total d obligations émises. 4. Le nombre d obligations amorties à la fin de la première année. Exercice 1.2 : Soit l emprunt obligataire suivant : Valeur nominale 100 Valeur de remboursement 105 Intérêt nominal 6% Remboursement par annuités constantes Sachant que deux années avant l échéance finale le montant de l amortissement est de 1191257,78 est que l annuité est de 1407365,13. On vous demande de : 1. Déterminer la durée de vie de l emprunt. 2. Le montant du premier remboursement. 3. Le nombre total des obligations émises. 4. Présenter les trois dernières ligne du tableau d'amortissement. Exercice 1.3 : Soit l emprunt obligataire suivant : Valeur nominale 10 Valeur de remboursement? Intérêt nominal 5% Remboursement par annuités constantes Sachant que le nombre d obligations amorties au cours des périodes 2, 5 et 7 sont respectivement de 9365,02 ; 10161,70 et 11026,15. On vous demande de : 1. Déterminer le taux d intérêt réel. 2. Déterminer la valeur de remboursement. 3. De nombre total des obligations émises. 4. L annuité constante. Evaluation des obligations Exercice 2.1 : On considère un emprunt obligataire dont les caractéristiques sont les suivantes : Nombre d'obligations 10 000 Valeur nominale 50 D Taux d'intérêt nominal 8% Date d'émission 1 er octobre 1998 Prix d'émission 50.5 Prix de remboursement 51.5 Modalités de remboursement Annuités constantes 1. Quel est le montant de l'annuité théorique constante? 2. Déterminer le taux actuariel brut à l'émission de l'emprunt? 3. Présenter le tableau d'amortissement de l'emprunt en faisant les arrondissements nécessaires. 4. Evaluer le cours théorique de l'obligation au lendemain de la quatrième échéance du détachement du coupon si le taux du marché est de 7.30%. Exercice 2.2 : La société MYB SA a émis le 25 décembre 2000, un emprunt obligataire dont les caractéristiques sont les suivantes : Nombre d'obligations émises 400 000 1
Valeur nominale 100 Taux d'intérêt nominal 5.5% Prix d'émission 98 Prix de remboursement 105 Modalités de remboursement Par séries égales annuelles 1. Présenter le tableau d'amortissement de l'emprunt. 2. Déterminer son taux de rendement brut à l'émission. 3. Un investisseur a acquis en bourse dix obligations (hors frais et commissions), trois ans après l'émission c'est le 26 décembre 2003, au cours théorique diminué d'une décote. a. comment justifier la décote? b. Quel le prix d'achat d'une obligation sachant que le taux de marché est de 6.28%? c. Quel est son rendement si, les titres qu'il possède font partie de la série sortie au septième tirage? Exercice 2.3 : Considérons un emprunt obligataire émis au taux de 98.5% et amortissable en 10 ans par séries égales annuelles avec une prime de remboursement égale à 3% du nominal. Le taux d'intérêt nominal est 8.5%. 1. Calculer son taux de rendement actuariel brut à l'émission. 2. Quel est, pour l'émetteur son prix taux de revient si, les frais et commissions s'élèvent à 5% du nominal? Exercice 2.4 : On considère un emprunt obligataire dont les caractéristiques sont les suivantes : Montant de l émission 100 000 D Valeur d'émission 98 D Valeur faciale de l obligation 100 D Taux d intérêt 10% Durée 5ans Remboursement In fine Valeur de remboursement 102 1- Déterminer le taux de rendement à l'émission de l'obligation. 2- Quel est le prix de marché de l'obligation si au lendemain de l'émission le taux de rendement sur le marché obligataire est de 10%? 3- Calculer sa duration et sa sensibilité. 4- Quel est le prix de marché de l'obligation si le taux de rendement de marché passe à 11%? Calculer ce prix de deux façons différentes. Exercice 2.5 : Vous disposez des informations suivantes concernant un emprunt zéro-coupon : Date d'émission 20 juin 1993 Montant de l émission 20 millions de dinars Nombre d'obligations émises 40 000 Valeur faciale de l obligation 5 000 Prix d'émission % VN 49.25% Durée 10 ans Remboursement In fine Valeur de remboursement Au pair 1. Déterminer son taux de rendement actuariel brut à l'émission. 2. Evaluer le titre à ce taux les 20 juin 1994, 1995,.2003. 3. Quel aurait dû être le prix d'émission et le montant de la prime si le taux du marché obligataire pour cette même échéance était de 7.44%.? 4. En déduire la valeur empirique de la sensibilité du titre. 5. Quel est la valeur théorique de cette sensibilité? Qu'en pensez-vous? Exercice 2.6 : On considère un emprunt indivis de nominal K, rémunéré au taux nominal d'intérêt i, et amorti par n annuités constantes. 1. Formuler la duration de cet emprunt en fonction de K, i, n et r (le taux d'évaluation de l'emprunt) 2. Montrer que la duration d'un tel emprunt est une fonction croissante de la distance à l'échéance. Exercice 2.7 : Soit les deux emprunts obligataires suivants : 2
A B Montant de l émission 50 000 100 000 D Valeur d'émission 48 98 D Valeur faciale de 50 100 D l obligation Taux d intérêt 12% 10% Durée 5 ans 5ans Remboursement Annuités constantes Annuités constantes Valeur de remboursement 51 102 1. Calculer les taux de rendement actuariel brut à l'émission des deux emprunts 2. Calculer sa duration et sa sensibilité à l'émission. Quelle obligation choisirezvous? 3. Supposons maintenant qu'au lendemain de l'émission, le taux d'intérêt auquel sont réinvestis les coupons baisse et passe définitivement à 6%, calculer alors les taux de rendement à l'échéance de ces deux emprunts. 4. Quelle obligation choisirez-vous? Commenter. Exercice 2.8 : Soit un emprunt zéro-coupon ayant les caractéristiques suivantes : Montant de l émission 100 000 D Valeur nominal 1000 Prix d'émission 45% Date de jouissance et de 17 avril 1998 règlement Intérêt Aucun Amortissement En totalité le 17 avril 2008 Valeur de remboursement Prix d'émission augmenté d'une prime de 550 D 1. Quel est le taux de rendement actuariel brut? 2. Déterminer la valeur de l'obligation à ce taux du 17 avril 1999 au 17 avril 2008. 3. Si le taux de marché était de 8.41%, déterminer le prix d'émission ainsi que le montant de la prime. 4. Calculer la valeur empirique et théorique de la sensibilité à l'émission. Exercice 2.9 : Soit un emprunt zéro-coupon ayant les caractéristiques suivantes : Montant de l émission 1000 000 D Valeur nominale 100 D Prix d'émission 55% de la valeur nominale Date de jouissance et de 14 juin 2000 règlement Intérêt Aucun Amortissement En totalité le 14 juin 2005 Valeur de remboursement 100 D 1. Quel est le taux de rendement actuariel brut à l émission? 2. Déterminer la valeur de l'obligation à ce taux le 14 juin 2004 et le 14 juin 2004. 3. Quel est le taux de rendement actuariel d un investisseur qui achète l obligation le 14 juin 2004 et la détient jusqu à son échéance. Exercice 2.10 : On considère un emprunt obligataire dont les caractéristiques sont les suivantes : Montant de l émission 100 000 D Valeur d'émission 9.5 D Valeur faciale de l obligation 10 D Taux d intérêt 5.5% Durée 5ans Remboursement In fine Valeur de remboursement 10.5 1- Déterminer le taux de rendement à l'émission de l'obligation. 2- Quel est le prix de marché de l'obligation si au lendemain de l'émission le taux de rendement sur le marché obligataire est de 10%? 3- Calculer sa duration et sa sensibilité. Courbe de taux Exercice 3.1 : On observe sur le marché financier un échantillon de 7 obligations ayant les mêmes caractéristiques mais qui diffèrent par leur échéance. Les flux qu'elles génèrent ainsi que leurs prix constatés sur le marché sont présentés dans le tableau suivant : 3
Flux Oblig. Maturité Prix 1 2 3 4 5 6 7 O1 3 91.794 10 10 110 O2 3 96.881 11 11 115 O3 3 101.434 0 25 120 O4 4 119.468 13 13 13 150 O5 5 132.766 14 14 14 14 180 O6 6 142.664 15 15 15 15 15 210 O7 7 149.777 16 16 16 16 16 16 240 1. Déterminer la structure par échéance des taux d'intérêts. 2. Déduire les taux au comptant futurs relatifs à chaque période. Donner la signification précise de ces taux. En supposant que la structure des taux est plate et que le taux du marché est de 14%, 3. Calculer la valeur théorique du portefeuille. 4. Calculer sa duration et sa sensibilité. 5. En supposant une baisse des taux d'intérêt de 1% a. Calculer la variation de la valeur du portefeuille b. Quelle serait cette variation si le gestionnaire du portefeuille avait pu prévoir cette baisse et avait réussi à augmenter la duration du portefeuille d'une année. 6. Un investisseur a un horizon d'investissement de 5 ans, à quel risque s'exposet-il? Exercice 3.2. : Une entreprise a besoin d'emprunter 100 000 u.m dans 3 mois pour une durée de 6 mois. Elle espère déterminer dès aujourd'hui le coût de cet emprunt. Etant donné qu'elle ne peut pas accéder au marché monétaire, elle s'adresse à sa banque pour lui réaliser l'opération. A cette date les conditions de marché sont les suivantes : 3 mois 6 mois 9 mois 12 mois 4 ¼ - 4 ½ 5 5 ¼ 5 ½ - 5 ¾ 6 ¼ - 6 ½ 1. Quelles sont les opérations qui doivent être initiées par la banque? 2. Présenter sur un schéma les flux monétaires aux différentes échéances pour la banque et pour l'entreprise 3. Déterminer le coût effectif de l'emprunt dans 3 mois pour 6 mois. Quel est la signification de ce taux? 4. Supposant maintenant que la banque retient les frais (payable à la date de remboursement de l'emprunt) suivants pour ces opérations avec les clients : a. 500 u.m. de frais fixes; b. 0.5 % de marge sur le montant nominal On vous demande de déterminer dans ce cas le coût effectif qui sera supporté par l'entreprise. Exercice 3.3. : Sur le marché obligataire, vous disposez des informations suivantes : Obligation Nominal Maturité Détachement du Coupon Prix prochain coupon Obligation 1 100 6 mois 6 mois 5% 102 Obligation 2 100 1 an 1 an 6% 99 Obligation 3 100 1,5 ans 6 mois 5.5% 96 Obligation 4 100 2 ans 1 an 6.5% 95 1. Déterminer les taux zéro coupon pour les maturités 6 mois, 1 an, 1 an et 6 mois et 2 ans. 2. Déterminer les taux zéro coupon pour les maturités 15 mois et 1.75 an par interpolation linéaire. 3. Supposons maintenant que la courbe de taux (maturités, taux zéro coupon) peut être exprimée sous la forme d'une fonction cubique donnée par : 3 2 zt = ant + bnt + cnt + d où a, b, c et d sont des paramètres à déterminer, nt la maturité t et z1 le taux zéro coupon pour la maturité t. On vous demande de déterminer les paramètres a, b, c et d. 4. Déterminer les taux zéro coupon pour les maturités 15 mois et 1.75. Comparer ces résultats avec les taux obtenus en 2. Que constatez- vous? Exercice 3.4 : Sur le marché obligataire, vous disposez des informations suivantes : Obligation Nominal Maturité Détachement du Coupon Prix prochain coupon Obligation 1 100 1 1 an 4% 101 4
Obligation 2 100 2 2 ans 5% 98 Obligation 3 100 3 1 an 4.5% 95.5 Obligation 4 100 5 1 an 5.5% 92 1. Déterminer les taux zéro coupon pour les maturités 1, 2, 3, 4 et 5 (sachant que l'on utilise la capitalisation en temps continu). N.B. Utiliser l'algorithme de Raphson-Newton selon lequel pour résoudre une fonction de la forme f( x ) = 0, on essaye successivement des solutions de la f( xi ) forme xi+ 1 = xi f x. Il vous suffit pour cela de faire deux itérations. ( ) i Exercice 3.5 : Une entreprise sait qu'elle aura dans 6 mois un excédent de trésorerie de 1 000 000 u.m qui sera disponible pendant 6 mois. Le trésorier de cette entreprise envisage de placer ce montant mais craint le risque de taux d'intérêt. Il envisage de se protéger contre ce risque (déterminer dès aujourd'hui le rendement de son placement). Etant donné que l'entreprise ne peut pas accéder au marché monétaire, elle s'adresse à sa banque pour lui réaliser l'opération. A cette date, les conditions de marché sont les suivantes : 3 mois 6 mois 9 mois 12 mois 3 ¼ - 3 ½ 4 4 ¼ 4 ½ - 4 ¾ 5 ¼ - 5 ½ 1. A quel risque l'entreprise est-elle exposée? 2. Quelle est la signification des taux 3 ¼ et 3 ½ pour les opérations à 3 mois? 3. Quelles sont les opérations qui doivent être initiées par la banque à la date 0? 4. Présenter sur un schéma les flux monétaires aux différentes échéances pour la banque et pour l'entreprise 5. Déterminer le taux de rendement effectif de l'opération de placement dans 6 mois pour 6 mois. 6. Supposant maintenant que la banque retient des frais fixes de gestion (payables à la date du placement effectué par l'entreprise t = 6 mois) de 1000 u.m. ; on vous demande de déterminer, dans ce cas, le taux de rendement effectif qui sera obtenu par l'entreprise. Exercice 3.5 : Sur le marché obligataire, vous disposez des informations suivantes : Obligation Nominal Maturité Détachement du Coupon Prix prochain coupon Obligation 1 100 1 an 1 an 4% 98.927 Obligation 2 100 2 an 1 an 5% 99.764 Obligation 3 100 3 an 1 an 6% 102.371 NB : VN=VR 1. Déterminer les taux zéro-coupons pour les maturités 1, 2 et 3 années (Utiliser l'actualisation en temps continu). 2. Que pensez-vous de cette structure par terme des taux? 3. En supposant le marché obligataire en équilibre, déterminer le prix d'équilibre d'une obligation (obligation4) de nominal 100, de valeur de remboursement 102, de coupon annuel de 4% et de maturité égale à 3 ans (le prochain paiement de coupon sera effectué dans un an). Exercice 3.6 : Une entreprise sait qu'elle aura dans 9 mois un excédent de trésorerie de 2 000 000 u.m qui sera disponible pendant 3 mois. Le trésorier de cette entreprise envisage de placer ce montant mais craint le risque de taux d'intérêt. Il compte ainsi se protéger contre ce risque (déterminer dès aujourd'hui le rendement de son placement). Etant donné que l'entreprise ne peut pas accéder au marché monétaire, elle s'adresse à sa banque pour lui réaliser l'opération. A cette date, les conditions de marché sont les suivantes : 3 mois 6 mois 9 mois 12 mois 3 ¼ - 3 ½ 4 4 ¼ 4 ½ - 4 ¾ 5 ¼ - 5 ½ 1. A quel risque l'entreprise est-elle exposée? 2. Quelle est la signification des taux 4 et 4 ¼ pour les opérations à 6 mois? 3. Quelles sont les opérations qui doivent être initiées par la banque à la date 0? 4. Présenter sur un schéma les flux monétaires aux différentes échéances pour la banque et pour l'entreprise. 5. Déterminer le taux de rendement effectif de l'opération pour l entreprise. 5
6. Supposant maintenant que la banque retient des frais fixes de gestion (payables à la date du placement effectué par l'entreprise t = 9 mois) de 1000 u.m. ; on vous demande de déterminer, dans ce cas, le taux de rendement effectif qui sera obtenu par l'entreprise. Exercice 3.7 : On observe sur le marché financier un échantillon de 5 obligations ayant les mêmes caractéristiques mais qui diffèrent par leur échéance. Les flux qu'elles génèrent ainsi que leurs prix constatés sur le marché sont présentés dans le tableau suivant : Flux Oblig. Maturité Prix 1 2 3 4 5 O1 3 85.5 5 105 O2 3 95.5 11 111 O3 3 100 0 25 120 O4 4 118 13 13 13 150 O5 5 131 14 14 14 14 180 1. Déterminer la structure par échéance des taux d'intérêts. 2. Déduire les taux au comptant futurs relatifs à chaque période. Donner la signification précise de ces taux. En supposant que la structure des taux est plate et que le taux du marché est de 14%, 3. Calculer la valeur théorique du portefeuille. 4. Calculer sa duration et sa sensibilité. Analyse de sensibilité et immunisation Exercice 4.1. : Soit une obligation ayant les caractéristiques suivantes : O1 Valeur nominale 1000 D Taux facial 5% Maturité 10 ans Remboursement In fine 1. Déterminer la valeur de l'obligation sachant que le taux de marché au lendemain de l'émission est de 6.26% 2. Calculer la richesse d'un investisseur qui décide d'acheter l'obligation et de la détenir jusqu'à la fin de la période 8 en supposant que le taux de marché reste égale à 6.26% 3. Calculer sa richesse dans les trois cas suivant : a. Le taux de marché passe à 6% au lendemain de l'émission; b. Le taux de marché passe à 6.5% au lendemain de l'émission; c. Le taux de marché passe à 7% au lendemain de l'émission; 4. Déterminer la duration de cette obligation sans utiliser la formule 5. Calculer maintenant sa duration. Commenter. Exercice 4.2 : Soit deux obligations O1 et O2 dont les caractéristiques sont résumées dans le tableau qui suit : O1 O2 Valeur nominale 1000 D 1000 D Taux facial 10% 12% Maturité 4 ans 6 ans Le taux de rendement du marché pour quatre ans de placement est égal à 11%. Procéder à l'immunisation d'un montant de 2000 000 D placé en deux actifs pendant une durée de 4 ans, sachant que : Fin de la première année 10% Fin de la deuxième année 9% Fin de la troisième année 8% Fin de la quatrième année 7% Exercice 4.3 : Un investisseur détient un portefeuille composé de 2000 obligations de type A et 8000 obligations de type B et qui entend détenir ce portefeuille pendant 2 années. Les caractéristiques de ces deux obligations sont résumées dans le tableau suivant : 6
Obligation Nominal Maturité Détachement du prochain Coupon coupon Obligation A 100 2 an 1 an 7% Obligation B 100 3 an 1 an 5% La structure des taux est supposée plate et le taux de marché est actuellement de 6%. NB : VN=VR 1. Déterminer le prix de marché de ces deux obligations. (calculs en temps discret) 2. Quelle est la valeur de marché de ce portefeuille? 3. Déterminer sa duration 2. A quel risque est exposé cet investisseur? Expliquer. 5. Comment peut-il procéder afin de se prémunir contre ce risque? Expliquer. 6. a. Procéder à l'immunisation de ce portefeuille en décrivant les opérations à faire à la date 0, 1 et 2 sachant que les taux de rendement de marché sont de 5% à la fin de la période 1 et de 7% à la fin de la période 2; b. Calculer le rendement de cet investisseur entre les dates 0 et 2. Commenter. Exercice 4.4 : Soit une obligation émise et remboursée au pair ayant les caractéristiques suivantes : O1 Valeur nominale? Taux facial? Maturité 4 ans Remboursement In fine La structure par termes des taux d'intérêt est supposée être plate et le taux de rendement de marché est aujourd'hui de 5%. Au lendemain de l'émission le prix de l'obligation est de 96.454 d. Si les taux de rendement sur le marché se maintiendraient à leur niveau actuel, l'obligation sera négociée au lendemain du détachement du troisième coupon à 99.0476 d. 1. Déterminer la valeur nominale et le taux de coupon de cette obligation. 2. Déterminer sa duration. 3. Déterminer la valeur de l'obligation au lendemain de l'émission si le taux de rendement sur le marché obligataire passe à 6%? 4. En déduire la valeur empirique de la sensibilité du titre. 5. Quel est la valeur théorique de cette sensibilité? Qu'en pensez-vous? Exercice 4.5 : Soit une obligation émise et remboursée au pair ayant les caractéristiques suivantes : O1 Valeur nominale 100 D Taux facial 5% Maturité 5 ans Remboursement In fine 1. Déterminer la valeur de l'obligation sachant que le taux de marché au lendemain de l'émission est de 9%. 2. Calculer la richesse finale d'un investisseur qui décide d'acheter l'obligation et de la détenir pendant 4 années et 6 mois en supposant que le taux de marché reste égale à 9% jusqu'à la fin de la période de détention. 3. A quels risques cet investisseur reste-t-il exposé? 4. Calculer sa richesse finale dans les deux cas suivants : a. Le taux de marché passe à 8 % au lendemain de l'émission; b. Le taux de marché passe à 9 % au lendemain de l'émission; 5. Que constatez-vous? 6. Peut-on déduire la duration de cette obligation? Expliquer Exercice 4.5 : Soient deux obligations O1 et O2 à coupons annuels ayant les caractéristiques suivantes : 7
O1 O2 Maturité 1 an 2 ans VN 100 100 Coupons 5% 7% Prix 102 105 1. Déterminer les taux zéro-coupons pour les maturités 1 et 2. Un investisseur décide d'acheter un portefeuille composé d'une obligation O2 et 7 105 obligation O1. 2. Présenter les flux procurés par ce portefeuille sachant que l'investisseur détiendra les obligations jusqu'à leurs échéances. 3. Quelle est la valeur à la date zéro de ce portefeuille? 4. Quelle est sa valeur après deux années? 5. Calculer son taux de rendement brut? 6. A quoi correspond ce taux? Commenter. Exercice 4.6 : On observe sur le marché financier un échantillon de 3 obligations qui diffèrent par leur échéance. Les flux qu'elles génèrent ainsi que leurs prix constatés sur le marché sont présentés dans le tableau suivant : Flux Oblig. Maturité Prix 1 2 3 O1 3 99 110 0 0 O2 3 101 11 112 0 O3 3 97 0 0 120 1. Déterminer la structure par échéance des taux d'intérêts. 2. Déduire les taux au comptant futurs relatifs à chaque période. Donner la signification précise de ces taux. En supposant que la structure des taux est plate et que le taux du marché est de 12%, 3. Calculer la valeur théorique du portefeuille. 4. Calculer sa duration et sa sensibilité. 5. En supposant une baisse des taux d'intérêt de 1% c. Calculer la variation de la valeur du portefeuille d. Quelle serait cette variation si le gestionnaire du portefeuille avait pu prévoir cette baisse et avait réussi à augmenter la duration du portefeuille d'une année. 6. Un investisseur a un horizon d'investissement de 2 ans, à quel risque s'exposet-il? NB : Calculs en temps discret Exercice 4.7. : Soit une obligation émise et remboursée au pair ayant les caractéristiques suivantes : O1 Valeur nominale 100 D Taux facial 6% Maturité 5 ans Remboursement In fine 1. Déterminer la valeur de l'obligation sachant que le taux de marché au lendemain de l'émission est de 10%. 2. Calculer la richesse finale d'un investisseur qui décide d'acheter l'obligation et de la détenir pendant 3 années et 6 mois en supposant que le taux de marché reste égal à 10% jusqu'à la fin de la période de détention. 3. A quels risques cet investisseur reste-t-il exposé? 4. Calculer sa richesse finale dans les deux cas suivants : a. Le taux de marché passe à 9 % au lendemain de l'émission; b. Le taux de marché passe à 11 % au lendemain de l'émission; 5. Que constatez-vous? 6. Peut-on déduire la duration de cette obligation? Expliquer. N-B : Calculs en temps continu. 8