Année 2007-2008 Choix de orteeuille Christophe Boucher Chapitre. héorie de la décision en avenir incertain Critère d espérance d utilité L attitude vis-à-vis du risque Chapitre 2. Rendements et critères de choix entre actis La mesure des rendements et leurs distributions La dominance stochastique Les mesures de risque Chapitre 3. La théorie moderne du porteeuille Fondements théoriques de l analyse espérance-variance orteeuilles eicients : caractéristiques et propriétés Frontières eicientes avec 2 actis et N actis Chapitre 4. La théorie post-moderne du porteeuille Critiques de l espérance d utilité Alternatives à l espérance d utilité Finance comportementale et choix de porteeuille Les moments d ordre supérieurs à deux Chapitre 5. Introduction aux modèles d'évaluation des actis MEDAF A
Chapitre 3. La gestion de porteeuille moyenne-variance L agent cherche à obtenir un rendement maximum pour un risque minimum. hypothèses assez restrictives succès malgré ses limites : analyse intuitive, simple avec de nombreuses extensions et applications déterminer des porteeuilles qui pour une espérance de rendement donnée orent le moins de risque (=la rontière eiciente. Ensuite l agent choisit sur la rontière eiciente le porteeuille qui maximise sa satisaction. Ce choix va dépendre de manière cruciale de son degré d aversion pour le risque. 3.. L analyse moyenne-variance 3... Les conditions usuelles A Fonction d utilité quadratique maximisation de l espérance d utilité deux premiers moments. u W a bw cw b c 2 ( = + + > 0 < 0 2 [ ( ] = + [ ] + [ ] E u W a be W ce W [ ( ] = + [ ] + ( + [ ] 2 E u W a be W c Var W E W MAIS onction d utilité quadratique AAR augmente avec W B Les rendements sont distribués normalement Si normalité : distribution entièrement caractérisé par la moyenne et la variance. MAIS problèmes de skewness et kurtosis 2
3.2. La gestion de porteeuille dans le cas de deux actis 3.2.. Mesure du risque et du rendement d un porteeuille de deux titres E( R = E( xr + ( x R = xe( R + ( x E( R 2 2 [ ] 2 2 2 V ( R = E ( R E( R = E( R ( E( R σ ( R = V ( R V R E R E R x V R x V R x x Cov R R 2 2 2 2 ( = ( ( ( = ( + ( ( + 2 ( (, p 2 2 V R x V R x V R x x R R Corr R R 2 2 ( = ( + ( ( + 2 ( σ( σ( (, p 2 2 2 [ ] [ ] Cov( R, R = E ( R E( R ( R E( R = E R R E( R E( R 2 2 2 2 2 Le coeicient de corrélation = Cov( R, R σ( R σ ( R 2 2. 3.2.2. Calcul du porteeuille de variance minimal dv( R = 0 dx 2xV ( R + 2 xv ( R 2 V ( R + 2 σ( R σ( R Corr( R, R 4 xσ( R σ( R Corr( R, R = 0 2 2 2 2 2 2 V ( R σ( R σ( R Corr( R, R 2 2 2 x = V ( R + V ( R 2 σ( R σ( R Corr( R, R 2 2 2 3
Exemple Considérons les rendements possibles des titres A et B : Évènements robabilités A B 2 3 4 ¼ ¼ ¼ ¼ 0% 5% 5% 20% 30% 20% 0% -0% E( RA = (0% + 5% + 5% + 20% = 0% = E( RB 4 V R = + + + = 4 2 2 2 2 2 ( A (0% (5% (5% (20% 0, 0,0063 V R = + + + = 4 2 2 2 2 2 ( B (30% (20% (0% ( 0% 0, 0,025 σ ( R A = 0,079 σ ( R B = 0,58 [ ] 2 COV ( RA, R B = (0,00(0,3 + (0,05(0, 2 + (0,2( 0 0, = 0,025 4 0, 025 Corr( RA, RB = = : les actis sont paraitement négativement corrélés 0, 079x0,58 4
Nous pouvons calculer l espérance et la variance d un porteeuille équipondéré ( x = 0,5. Évènements robabilités orteeuille équipondéré 2 3 4 ¼ ¼ ¼ ¼ 0,5 x 0% + 0,5 x 30% = 5% 2,5% 7,5% 5% E( R = 0, 2 2 2 2 2 V ( R = (5% + (2,5% + (7,5% + (5% 0, = 0,006 4 ou bien V R = + + = 2 2 ( (0,5 (0, 0063 (0,5 (0, 025 2x0,5x0,5x(-(0,079(0,58 0, 006 soit σ ( R = 0, 067 orteeuille de Variance minimale : V ( R σ( R σ( R Corr( R, R 2 2 2 x = V ( R + V ( R 2 σ( R σ( R Corr( R, R 2 2 2 0, 025 0, 079x0,58x( 2 x = = 0, 0063 + 0, 025 2x0, 079x0,58x( 3 V R = + + = 2 2 ( (0, 67 (0, 0063 (0,33 (0, 025 2x(0, 67x(0,33x(-(0,079(0,58 0 5
3.2.3. Caractéristiques des porteeuilles et corrélation entre les actis Le risque d un porteeuille est en eet inérieur à la simple combinaison linéaire des risques des actis élémentaires. Le gain en terme de risque lié à la diversiication dépend du niveau du coeicient de corrélation entre les rendements des actis. A Cas général Nous avons représenté sur ce graphique les porteeuilles possibles pour un cœicient de corrélation entre les actis de 0,2 et pour des titres dont les caractéristiques sont les suivantes : Rendement Écart type en % en % itre 0 4 itre 2 4 6 Rendement espéré du porteeuille (% 8 6 4 2 0 8 6 A B Le titre 2 est vendu à découvert pour acheter davantage de titres (x>00% Le titre est vendu à découvert pour acheter davantage de titres 2 (x < 0 4 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 Ecart type du porteeuille (% 6
B Cas particuliers er cas : Corr( R, R 2 = V R x V R x V R x x R R 2 2 ( = ( + ( ( + 2 ( σ( σ( p 2 2 [ σ σ ] 2 V ( R = x ( R + ( x ( R p 2 8 Rendement espéré du porteeuille (% 6 4 2 0 8 6 A x = B x = 0 4 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 Ecart type du porteeuille (% 7
2 ème cas : Corr( R, R 2 = [ σ σ ] 2 V ( R = x ( R ( x ( R p 2 6 Rendement espéré du porteeuille (% 5 4 3 2 0 9 C A B 8 0,00,00 2,00 3,00 4,00 5,00 Ecart type du porteeuille (% 6,00 7,00 8
3 ème cas : Corr( R, R 2 = 0 6 Rendement espéré du porteeuille (% 5 4 3 2 0 9 8 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50 6,00 6,50 7,00 Ecart type du porteeuille (% 9
Synthèse : Les rontières eicientes sont représentées par la partie de chaque courbe au dessus de point de variance minimale. Rendement espéré du porteeuille (% 6 5 4 3 2 0 9 coe = coe = - coe = 0 8 0 2 3 4 5 6 7 Ecart type du porteeuille (% 0
C Introduction de l acti sans risque Rendement de l acti sans risque : R Non seulement σ R = 0 mais Corr( R, R = 0 E( R = xe( R + ( x R V ( R = x² V ( R F [ ] E( R = R + x E( R R F F σ ( R x = σ ( R La droite de marché (Capital Market Line -CML- ou droite de marché du capital d équation : E( R R E R E R R ( = ( + σ( σ( R La pente de cette droite est une constante qui ne dépend pas de x.
Exemple L acti sans risque a un rendement de 4%. L acti risqué est caractérisé par : E( R = 0% σ( R = 4% x E( R σ ( R -2-8% 8% -,5-5% 6% - -2% 4% -0,5 % 2% 0 4% 0% 0,5 7% 2% 0% 4%,5 3% 6% 2 6% 8% Les porteeuilles avec vente à découvert de l acti risqué sont dominés. 8 Rendement espéré du porteeuille (% 6 4 2 0 8 6 4 2 R R Emprunt au taux sans risque et x > 0 0 2 3 4 5 6 7 Ecart type du porteeuille (% 2
D héorème de séparation des onds : même porteeuille d actis risqués pour tout le monde L optimisation du porteeuille avec un acti sans risque s analyse ainsi comme un processus en deux étapes : - optimisation du porteeuille de titres risqués (même composition pour tous les agents - combinaison optimale entre le porteeuille de titre risqués et l acti sans risque propre à chaque agent. Rq : l introduction d un acti sans risque améliore la relation rendement-risque pour tous les agents quelles que soient leurs préérences. E Choix du porteeuille optimal point de tangence entre la courbe qui relie les titres et une courbe d indiérence. La sélection du porteeuille optimal onction de son aversion pour le risque. l agent A a moins d aversion au risque que l agent B E(Rp R 2 A R σ (Rp 3
3.3. Calcul des rontières eicientes Les rontières eicientes donnent la relation entre le rendement et le risque des porteeuilles dominants. Elles permettent de connaître les meilleurs rendements qu un investisseur peut attendre pour le niveau de risque qu il a choisi. Deux catégories de rontières eicients doivent être distinguées : - celles construites uniquement à partir d actis risqués - celles construites par la combinaison d actis risqués et d un acti sans risque 3.3.. Frontière eiciente avec un acti sans risque La gestion de porteeuille est monopériodique Le taux sans risque est un taux qui correspond à la période de stabilité de la structure de porteeuille. A Notations R E( R E( R E( RN 2 = X x x 2 = x N σ σ N Ω = ( σij σn σ NN 4
E( R = R X = X R V ( R = X Ω X B Calcul de la rontière eiciente avec un acti sans risque FE = une droite. rechercher l équation de la rontière eiciente sans acti sans risque. chercher la droite d ordonnée à l origine R et qui est tangente à la rontière eiciente. L acti sans risque améliore donc la relation rendement/risque des investissements de tous les agents de l économie. E(Rp A B R A 0 σ (Rp 5
Résolution maximiser la pente de la droite passant par R compte tenu des actis risqués existants. E( R = ( x R + x E( R M M M σ σ σ σ 2 2 2 2 ( R = ( xm ( R + ( xm ( RM + 2 xm ( xm ( R, RM x M σ( R = σ( R M σ( R ( ( σ R E RM R E( R = ( R + E( RM = R + σ( R σ( R σ( R σ( R M M M Le programme: E( RM R Max Θ = sous la contrainte : V ( R M N i= x i = R N = xir i= Le programme revient à : N x ( R R Θ = = X R R X ΩX x xσ i i i= Max ( N N i= j= i j ij / 2 La condition de premier ordre est : dθ / 2 3/ 2 = ( R R X X X ( R R ( 2 X X X 0 dx Ω + Ω Ω = 2 ( R R + X ( R R ( 2 X X X Ω Ω = 0 2 En posant λ = X ( R R X ΩX, 6
( R R λω X = 0 En posant également : λ X = Z ( R R = Ω Z Soit de manière développée : R R = Zσ + Z2σ2 +... + Z NσN R R = Zσ + Zσ +... + Z σ R R = Zσ + Z σ +... + Z σ 2 2 2 22 N 2N N N 2 N 2 N NN X i = N Z i= i Z i car N N N Xλ = Z λ = Z i i i i= i= i= Nous pouvons calculer E( R M et σ ( R M E( R R E R = R + σ R ( ( σ( R 7
C Calcul de la rontière eiciente sans acti sans risque FE = courbe de second degré. trouver pour chaque valeur de l espérance de rendement du porteeuille, la composition du porteeuille qui permet d obtenir le risque minimum. Min 2 X Ω X sous les conditions X R = E( R X = = X Ω X + λ E( R X R + γ X 2 d = ΩX λr γ = 0 dx d = E( R X R = 0 dλ d = X = 0 dγ X ( λr γ = Ω + et en multipliant cette expression par ( λ γ R X = R Ω R + = E R ( λr γ ( X = Ω + = R et par, on obtient : Déinissons les scalaires : A = Ω R = R Ω B = R Ω R C = Ω D = BC A 2 8
Des équations précédentes, on tire alors : λ = γ = B AE( R A D B AE( R D et en substituant dans X ( λr γ = Ω +, on obtient : X = g + he( R avec BΩ AΩ R g = D CΩ R AΩ h = D En posant E( R = 0, g proportions optimales d un porteeuille d espérance de rendement nulle. En posant ( E R =, X g h = + proportions optimales d un porteeuille d espérance de rendement égale à. 9
La FE possède la double propriété : toute combinaison linéaire de deux porteeuilles eicients est un porteeuille eicient ; 2 toute la rontière eiciente peut être générée en combinant linéairement deux porteeuilles eicients diérents quelconques. our trouver la structure d un porteeuille eicient d espérance de rendement E( R : [ E( R ] du porteeuille g et E( R du porteeuille g La structure du porteeuille est alors de la orme : [ ] E( R g + E( R ( g + h = g + he( R. + h. 20
Exemple : ériode : novembre 997-octobre 2007 (données mensuelles : Rendement Ecart type France EU Asie x-j MSCI France 0,89% 5,60% 0,578 0,53 MSCI EU 0,53% 4,30% 0,656 MSCI Asie sau Japon,09% 6,27% Vous êtes un investisseur européen et vous vous couvrez intégralement contre le risque de change. Vous raisonnez donc en monnaie locale et on ignore le coût de la couverture. Donnez les proportions des porteeuilles eicients d espérance de rendement 0 et. 2 Comment composez-vous votre porteeuille si votre objecti est une espérance de rendement de 0,75% (environ 9% annuel. 3 Quelle est l équation de la rontière eiciente Correction : Commençons par calculer la matrice des variances covariances : 0,003 0,003982 0,0080246 0,003982 0,008 0,00768642 0,008025 0,0076864 0,0039 Son inverse est donnée par : 56,32-297,476-03,558-297,474 73,470-394,776-03,560-394,774 483,270 Nous pouvons calculer les scalaires : A = 3,422 B = 0,037509 C = 58,43 D = 0,65 On sait que : X = g + he( R avec 2
Ω Ω g = D CΩ R AΩ h = D B A R Nous pouvons déterminer la composition du porteeuille d espérance de rendement nulle : X 0 0,209 = g = 2, 02 0,82 La composition du porteeuille d espérance de rendement égale à un est donné par : 69,857 X = g + h = 20,3343 33,485 2 0,35 X 0,0075 = g + 0, 0075h = 0, 4959 0,926 La structure du porteeuille permettant d atteindre l objecti cible de rendement (0,75% consiste à investir : 3,5% en France ; 49,59% aux États-Unis et 9,26% en Asie. On vériie bien : R X = 0, 0075 Nous pouvons calculer le risque de ce porteeuille : V ( R = X Ω X = 0,009 22
3 L équation de la rontière eiciente est de la orme : V R = ae R + be R + c 2 ( ( ( Les trois points des trois porteeuilles se situant sur la rontière eiciente vont nous permettre de trouver les trois coeicients a, b et c. Le système à résoudre est le suivant: 0 a + 0 b + c = V ( R0 a + b + c = V ( R E( R0,0075 ² a + E( R0,0075 b + c = V ( R0,0075 Le risque de chacun des trois porteeuilles précédents se calcule par le produit matriciel suivant : X Ω X. Il convient donc de résoudre : 0 a + 0 b + c = 0, 0036898 a + b + c = 56,530 0, 0075² a + 0, 0075 b + c = 0, 00872 On en déduit l équation de la rontière eiciente : V R E R E R 2 ( = 57,98 ( 0, 067 ( + 0, 0037 23
2,50% Frontière eiciente 2,00%,50% E(Rp,00% 0,50% 0,00% 0,00% 5,00% 0,00% 5,00% 20,00% sigma(rp Une partie de cette courbe (pour E( R < 0,60% ne sera pas choisie par les investisseurs. 24