EEG : mesure du potentiel électrique Ordre de grandeur : qq µ-volts Capteurs : électrodes MEG : mesure du champ magnétique Ordre de grandeur : 10 13 Tesla Capteurs SQUID couplés à des bobines VI. Applications en imagerie cérébrale (MEG/EEG) VI. Applications en imagerie cérébrale 2 Problème direct/inverse en (MEG/EEG) Électroencéphalographie (EEG) Activité électrique neuronale Résolution temporelle : 1ms Magnétoencéphalographie (MEG)
VI. Applications en imagerie cérébrale 3 MEG/EEG : courants macroscopiques Mesure à l échelle du cm 2 de l activité électrique des cellules pyramidales synchrone temporellement et spatialement Dipôle de courant Macro-colonne corticale 10 5 neurones pyramidaux Q = I d 10 nam Dipôles sur la surface corticale VI. Applications en imagerie cérébrale 4 Les réponses de la MEG et de l EEG Données spatio-temporelles
VI. Applications en imagerie cérébrale 5 Réponse simultanée MEG et EEG Réponse auditive 100 millisecondes après l arrivée du son VI. Applications en imagerie cérébrale 6 MEG/EEG : Réponses topographiques Champ <0 Champ >0 Potentiel >0 Réponse dipolaire direction dipôle Réponse dipolaire à direction dipôle
VI. Applications en imagerie cérébrale 7 Imagerie MEG/EEG : localisation Reconstruire dans le temps et l espace les sources neuronales j à l origine des signaux MEG et EEG mesurés en surface Nécessité de résoudre le problème direct et le problème inverse VI. Applications en imagerie cérébrale 8 Problème direct en MEG/EEG Déf. : Connaissant la distribution des sources de courant j, calculer le champ électromagnétique ( E(r), B(r)), r S scalp Loi physiques : éq. de Maxwell, régime quasi-statique car f < 100 Hz Courants dans la tête : j = Courants primaires { }} { j p + Courants de conduction { }} { j c Loi d Ohm : jc = σ E = σ V Conservation de la charge : j = 0 (σ V ) = j p Loi Biot et Savart : r point de mesure à l extérieur de la tête (vol. conducteur) r : point à l intérieur du volume B( r) = µ 0 ( j 4π p + j r c )( r r ) r r 3 dv V tete
VI. Applications en imagerie cérébrale 9 Problème direct en MEG/EEG Difficultés : complexité du milieu physique [Hämäläinen et coll. 1993] Prise en compte de la géométrie des tissus (peau/os/lcr/subst. blanche) Connaissance imparfaite des conductivités : mesures in vivo difficiles Milieu homogène par morceaux (cas sphérique) B( r) = B 0 ( r) µ 0 4π n (σ j σ j+1 ) j=1 avec B0 ( r) = µ 0 4π V tete S j V ( r ) n( r ) jp ( r ) r r r r 3 dv r r r r 3 ds j Composante radiale calculée par B( r) n et n r le 2ème terme s annule B indépendant des conductivités Sources radiales silencieuses : j p n B 0 ( r) n = 0 [Sarvas 1987] VI. Applications en imagerie cérébrale 10 Problème direct en MEG/EEG : mileux homogènes Potentiel en un point appartenant à une surface [Hämäläinen et coll. 1993] σ j + σ j+1 V ( r) = σ n V 0 ( r) 2 avec r S j et V 0 ( r) = 1 4πσ n n j=1 V tete σ j σ j+1 4π jp ( r ) S j V ( r ) n( r ) r r r r 3 dv r r r r 3 ds j Solution analytique dans cas sphérique uniquement Modèle de source dipolaire : dipôle de courant équivalent q Activation en r p et observation en r j p ( r ) = qδ( r r p )avec q = j p ( r ) dv Conséquences cas sphérique : B0 ( r) n = µ 0 r r p 4π r r p 3 q
VI. Applications en imagerie cérébrale 11 Problème direct en MEG/EEG : Modèle de tête réaliste Calcul des champs sur un espace discret [Ermer et coll. 2001] m(r) = p g(r, r q p ) t q p, q p = [ q x p, q y p, q z p g(r, r qp ) : champ de sensibilité du capteur placé en r vis-à-vis du dipôle q p en r qp m = [m(r 1 ),..., m(r N )] t : potentiels/champs aux électrodes/capteurs, resp. g(r 1, r q1 ) t g(r 1, r qp ) t q 1 m =......... = G q g(r N, r q1 ) t g(r N, r qp ) t q P ] t Intégrales de frontières σ homogène isotrope Éléments/Différences fini(e)s σ variable VI. Applications en imagerie cérébrale 12 Modèles spatio-temporels k = 1,..., K, m tk = G q tk + b tk M = GQ avec M = [m t1 m tk ] q 1 (t) q avec Q = [ q t1... q tk ] t p x (t 1 ) q x p (t K ). =. et q p (t) = qp(t y 1 ) qp(t y K ) q P (t) qp(t z 1 ) qp(t z K ) Contrainte sur les dipôles : orientation u p fixe p = 1,..., P u x p q p (t) = u y p [s p (t 1 ),..., s p (t K )] = u p s t p, u = 1 u z p g(r 1, r q1 ) t u 1 g(r 1, r qp ) t u P s t 1 M =...... = A({r p, u p })S t g(r N, r q1 ) t u 1 g(r N, r qp ) t u P s t P Paramètres des sources : position/orientation {r p, u p } fixes au cours du temps
VI. Applications en imagerie cérébrale 13 Problème inverse MEG/EEG : approche Déf. : Reconstruire dans le temps et l espace les dipôles de courant neuronaux à partir des signaux MEG et EEG bruités mesurés en surface Difficultés : problème mal posé Non unicité de la solution (loi fondamentales de la physique, (Helmholtz 1853)) A chaque instant, nombre données faible (< 300) Instabilité due au bruit restreindre espace des solutions par régularisation par contrôle de dimension : modèles dipolaires ou paramétriques par pénalisation : modèles distribués VI. Applications en imagerie cérébrale 14 Problème inverse MEG/EEG : modèles dipolaires Identifier {r p, u p } et S t à partir de M = A({r p, u p })S t + N Hypothèse très forte : nombre de sources P connu a priori (P 10)! Méthode des moindres carrés arg min { J ({r p, u p }, S) = M A({r p, u p })S t 2 F }, Norme Frobenius 1 Linéaire en fonction des amplitudes S : calcul solution inverse généralisé {r p, u p }, fixé, ŜIG = A M avec A A = I et A = A({r p, u p }) 2 Problème non/quasi linéaire vis-à-vis de la position {r p }/orientation {u p } [ arg min J ({rp, u p }) = (I AA )M) 2 ] F = arg min P A M 2 r p,u p r p,u p Minimisation : algorithme du simplexe, de Levenberg-Marquart Quand P non convexité de J ({r p, u p }) Approche la plus utilisée en MEG/EEG sur données expérimentales et cliniques
VI. Applications en imagerie cérébrale 15 Résolution du problème inverse : modèle distribué Estimation des ampltiudes de dipôles de courant distribués au préalable sur la surface corticale (source distribuées) Imagerie de la densité corticale de courant Extraction de la surface corticale par segmentation de l IRM anatomique [Mangin et coll. 1995] Positions {r p } et orientations {u p } fixées :r p S cortex et u p S cortex Estimation des amplitudes S : pb linéaire mais indéterminé + mal conditionné! Approche bayésienne : estimateur du Maximum A Posteriori Ŝ = arg max p(s M) = arg max ln p(m S) + ln p(s) VI. Applications en imagerie cérébrale 16 Résolution du problème inverse : modèle distribué Méthodes linéaires : a priori spatial Gaussien S t N (0, C 1 { Ŝ t = arg min M AS t 2 + λtr [ SC 1 C 1 S S t] } ) N Ŝ t = F λ M avec F = C 1 N S ) A t (AC 1 N A t + λc 1 N ) Méthode de norme minimale/pondérée : C S = I ou C S = diagw, w p = A p 2 [Okada 1983, Jeffs et coll. 1987] Dérivée spatiale 1er ordre C 1 S = D t (1) D (1) [Wang 1993] Laplacien (Loreta) : C 1 S = D t (2) D (2) [Pascual-Marqui et coll. 1994] Limite des approches linéaires Manque de réalité neurophysiologique (solutions basse résolution) Interface entre régions fonctionnelles différentes mal gérée car norme L 2 Indépendance temporelle a priori
VI. Applications en imagerie cérébrale 17 Problème inverse : comparaison modèles distribués (Logiciel Curry) Dans le volume entier Surface corticale L 2 Norme minimale Loreta L 1 VI. Applications en imagerie cérébrale 18 Résolution du problème inverse : modèle distribué A priori spatiaux non gaussiens Solution sparses et focales : norme L p, p < 2 [Matsuura et Okabe 1995] A priori markoviens [Geman et Geman 1984, Idier 2001] ln p(s) = Ω(S) = J φ c ( (j) S c ) c C j=1 Exemple : champ de Markov d ordre 1, i.e., aux plus proches voisins Ω(S) = φ(s r s q ) {r,q} C C = {{r, q}, r q = 1} = {, } N s =
VI. Applications en imagerie cérébrale 19 Résolution du problème inverse : modèle distribué φ 22 (s) = s 2 φ 21 (s) = τ 2 + s 2 τ φ 20 (s) = min{s 2, τ 2 } Application en MEG/EEG j = 1, C = C : φ c ( S c ) = [Baillet et Garnero 1997, Geman et McClure 1987] K φ c ( x s c (t k )) + φ c ( y s 2 s c (t k )), avec φ c (s) = 1 + s 2 /τc 2 k=1 A priori spatio-temporel markovien [Baillet et coll. 1999] K Ω S,T (S) = Ω S (S) + β P t k 1 S tk 2 ou S tk : k ème col. de S, k=1 P t k 1 = I S tk 1 S t t k 1 / S tk 1 2 : projecteur sur hyperplan orthogonal à S tk 1 VI. Applications en imagerie cérébrale 20 Validation ST-MAP sur fantôme [Baillet et coll. 2001] Acquisition Crâne + gélatine + 6 sources Casque à 61 éléctrodes Traitement Cortex virtuel Norme minimale ST-MAP
VI. Applications en imagerie cérébrale 21 Données réelles MEG : somesthésie Somatotopie des doigts Contrôle VI. Applications en imagerie cérébrale 22 Modèles distribués : somesthésie ST-MAP et focalisation [Gavit et coll. 2001] Doigt 1 Doigt 3 Doigt 2 Doigt 5
Bibliographie 23 Bibliographie 24 [Baillet et Garnero 1997] S. Baillet et L. Garnero (1997), < A Bayesian approach to introducing Anatomo-functional priors in the EEG/MEG inverse problem >, IEEE Transactions on Biomedical Engineering, 44, 5, pages 374 385. [Baillet et coll. 1999] S. Baillet, L. Garnero, G. Marin et J.-P. Hugonin (1999), < Combining MEG and EEG source imaging by minimization of mutual information >, IEEE Transactions on Biomedical Engineering, 46, 5, pages 522 534. [Baillet et coll. 2001] S. Baillet, J.-J. Riera, G. Marin, J.-F. Mangin, J. Aubert et L. Garnero (2001), < Evaluation of Inverse Methods and Head Models for EEG Source Localization Using a Human Skull Phantom >, Physics in Medicine and Biology, 46. [Ermer et coll. 2001] J. J. Ermer, J. C. Mosher, S. Baillet et R. M. Leahy (2001), < Rapidly Re-computable EEG Forward Models for Realistic Head Shapes >, Physics in Medicine and Biology, 46, 4, pages 1265 1271. [Gavit et coll. 2001] L. Gavit, S. Baillet, J.-F. Mangin, J. Pescatore et L. Garnero (2001), < A Multiresolution framework to the MEG/EEG source imaging >, IEEE Transactions on Biomedical Engineering, 48, 10, pages 1080 1087. [Geman et Geman 1984] S. Geman et D. Geman (1984), < Stochastic relaxation, Gibbs distributions, and the Bayesian restoration of images >, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, PAMI-6, 6, pages 721 741.