Utiitaires Sciab pour e cacu et optimisation d enceintes bass-refex Jean Fourcade <audio@voucres.fr> 18 juin 2016
Tabe des matières 1 Modéisation théorique 5 1.1 Le Haut-Pareur........................... 5 1.1.1 Schéma equivaent acoustique................ 6 1.1.2 Paramètres.......................... 8 1.1.3 Débit du diaphragme..................... 9 1.1.4 Puissance acoustique rayonnée............... 9 1.1.5 Rendement et niveau acoustique.............. 10 1.1.6 Eongation du diaphragme.................. 11 1.1.7 Schéma équivaent éectrique................ 12 1.1.8 Synthèse............................ 14 1.1.9 Dimensionnement d un haut-pareur............ 16 1.1.10 Mesure des paramètres du haut-pareur.......... 17 1.2 L enceinte cose............................ 18 1.2.1 Schéma équivaent acoustique................ 18 1.2.2 Paramètres.......................... 20 1.2.3 Schéma équivaent éectrique................ 21 1.2.4 Synthèse avec un haut-pareur donné............ 21 1.3 L enceinte à évent.......................... 23 1.3.1 Schéma équivaent acoustique................ 23 1.3.2 Paramètres.......................... 25 1.3.3 Débit dans enceinte..................... 26 1.3.4 Puissance acoustique rayonnée............... 26 1.3.5 Eongation du diaphragme.................. 27 1.3.6 Schéma équivaent éectrique................ 28 1.3.7 Aignement.......................... 30 1.3.8 Mesure de a courbe de réponse............... 32 1.3.9 Synthèse avec un haut-pareur donné............ 33 2 Utiitaires Sciab 35 2.1 Le Haut-Pareur........................... 36 2.1.1 Simuation d un haut-pareur................ 36 2.1.2 Identification des paramètres de Thiee et Sma d un hautpareur............................ 38 2.2 L enceinte cose............................ 42 2.2.1 Simuation d une enceinte cose............... 42 2.2.2 Identification des paramètres d une enceinte cose..... 43 1
2.3 L enceinte à évent.......................... 45 2.3.1 Aignement d une enceinte à évent............. 46 2.3.2 Simuation d une enceinte à évent.............. 48 2.3.3 Identification des paramètres d une enceinte à évent... 49 2.3.4 Identification des paramètres avec un haut-pareur connu 51 2.3.5 Identification des paramètres connaissent e Q mo..... 53 3 Exempe : enceinte ONKEN 55 3.1 Mesure des haut-pareurs...................... 55 3.2 Mesure des paramètres de enceinte................ 57 3.3 Mesure et simuation de a courbe de réponse........... 59 A Equations différentiees du Haut-Pareur B Variations de impédance d une enceinte à évent C Méthode des moindres carrés D Résutats Mape concernant e haut-pareur E Résutats Mape concernant enceinte à évent i v vii x xvii 2
Introduction Cette note décrit des utiitaires Sciab d optimisation des enceintes à évent. Sciab est un ogicie ibre de cacu numérique mutipateforme [1]. I est disponibe pour Window, Mac OS et inux. Ces utiitaires utiisent a mesure de a courbe d impédance et a pression sonore pour optimiser a courbe de réponse de enceinte. On réaisera ces mesures avec, par exempe, des ogicies comme ARTA [2] ou REW [3]. Pus précisément, es fonctionnaités qu offrent ces utiitaires Sciab sont es suivantes : simuation de a courbe de réponse, du temps de propagation de groupe, de éongation de a membrane et de impédance d un haut-pareur ou d une enceinte à évent ; identification des paramètres de Thiee et Sma d un haut-pareur ; identification des paramètres d une enceinte à évent ; cacu de a courbe de réponse à partir de a mesure de a pression sonore à intérieure de enceinte. La modéisation mathématique se base sur es travaux de R. H. Sma [5], [6]. La modéisation de enceinte incue es pertes par absorption Q a, par fuites Q i et par frottement dans évent Q p. L identification des paramètres fait appe à a méthode des moindres carrés. Cette note comprend trois parties : a première concerne a modéisation théorique du haut-pareur et de enceinte à évent ; a deuxième partie décrit es utiitaires Sciab ; a dernière partie expose un cas concret : optimisation de enceinte ONKEN 360 itres équipée du haut-pareur ALTEC 416-8A. Ce document comprend égaement pusieurs annexes : e déveoppement des équations différentiees qui régissent e mouvement de a membrane du hautpareur, es résutats du ogicie Mape utiisé pour déveopper es équations de a partie modéisation et enfin un bref rappe de a méthode d estimation par moindres carrés. Notations La modéisation des haut-pareurs et enceintes acoustiques faisant appe à un nombre importants de paramètres a convention de notation suivante a été adoptée afin d identifier faciement a signification d un paramètre : Le premier indice indique e type de modéisation : m : désigne un paramètre mécanique ; a : désigne équivaent acoustique d un paramètre éectrique ou mécanique ; e : désigne un paramètre éectrique ou équivaent éectrique d un paramètre mécanique. Le deuxième indice caractérise e composant modéisé : 3
s : désigne e haut-pareur (speaker) ; b : désigne un paramètre reatif à a boite de enceinte (box) ; p : désigne un paramètre d évent (port) ; o : désigne un paramètre d une enceinte à évent (open). Enfin un astérisque pacé en exposant d un paramètre de masse acoustique indique que ce paramètre prend en compte une ou pusieurs masses de rayonnement. 4
Chapitre 1 Modéisation théorique 1.1 Le Haut-Pareur Un haut-pareur éectrodynamique se compose : d un diaphragme constitué d une membrane suspendue d un coté par a suspension externe et de autre coté par e spider ; d une bobine mobie soidaire du diaphragme ; d un circuit magnétique ; d un saadier qui supporte ensembe des composants. Nous nous intéresserons à a modéisation du haut-pareur uniquement dans e domaine des basses fréquences, c est-à-dire autour de sa fréquence de résonance. On suppose que e diaphragme est infiniment rigide ce qui permet de définir son éongation ξ d identique en tout point et sa vitesse de dépacement v d définie par : v d = dξ d (1.1) dt Un haut-pareur se caractérise par es sept paramètres éectriques et mécaniques suivant : Masse du système mobie (kg) : Compiance mécanique de a suspension externe et du spider (m/n) : Resistance mécanique de pertes par frottements (N.s/m) : Produit du champs magnétique dans entrefer par a ongueur du fi de a bobine mobie (T.m) : Résistance de a bobine mobie (Ω) : Surface projetée du diaphragme (m 2 ) : M ms C ms R ms B R e S d 5
On définit e débit q d du diaphragme exprimé en m 3 /s par : q d = S d v d (1.2) On suppose que e haut-pareur est aimenté par un générateur de tension U g de résistance interne négigeabe. 1.1.1 Schéma equivaent acoustique L appication du principe fondamenta de a dynamique et de a oi d Ohm généraisée conduit à deux équations différentiees que on résoud en utiisant a transformée de Lapace ou de Fourrier (voir annexe A). En éiminant e courant éectrique on aboutit au schéma éectrique suivant qui modéise e comportement acoustique du haut pareur : Figure 1.1 Schema acoustique du haut-pareur Dans ce schéma, q d est a transformée de Lapace ou de Fourrier du débit du diaphragme et constitue e courant éectrique de ce circuit. La source de pression P g est a tension de ce circuit et s exprime par : P g = B S d R e U g (1.3) Les composants constituants ce schéma sont es suivants : 6
Résistance acoustique des pertes dues à a résistance de a bobine (Pa.s/m 3 ) : Résistance acoustique des pertes par frottement (Pa.s/m 3 ) : Masse acoustique de équipage mobie (kg/m 4 ) : Compiance acoustique de a suspension (m 3 /Pa) : Impédance de rayonnement de a face avant de a membrance (Pa.s/m 3 ) : Impédance de rayonnement de a face arrière de a membrance (Pa.s/m 3 ) : R ae = (B)2 S 2 d R e R as = R ms S 2 d M as = M ms S 2 d C as = S 2 d C ms Z ar1 Z ar2 Le cacu des impédances de rayonnement est reativement compexe et dépend des conditions de montage du haut-pareur (voir M. Rossi [4] paragraphes 2.7.9 et 2.7.11). Dans e cas d un haut-pareur pacé sur un écran infini impédance de rayonnement d une face en considérant a taie du diaphragme petite devant a ongueur d onde (cas des basses fréquences) s écrit : Z ar = Z c S d ( 1 2 (ka)2 + j 8ka 3π ) (1.4) avec a e rayon de a membrane, k = ω/c e nombre d onde et Z c = ρc impédance caractéristique de air où ρ est a densité atmosphérique et c a vitesse du son. En écrivant impédance de rayonnement sous a forme : On obtient : Z ar = R ar + jωm ar (1.5) R ar = ρω2 2cπ M ar = 8 ρ 3π 2 a (1.6) (1.7) La résistance acoustique est a résistance dans aquee e haut-pareur dissipe son énergie acoustique. La masse acoustique M ar correspond à une masse mécanique : M r = S 2 d M ar = 8 3 ρa3 (1.8) Cette masse mécanique est a masse d air qui s ajoute à a masse de a membrane et vibre avec ee. La résistance R ar étant faibe devante R as ee est 7
négigée dans e cacu de q d (e rendement d un haut-pareur acoustique est en effet très médiocre). Le seu terme pris en compte dans Z ar pour cacuer e débit du diaphragme est ainsi M ar. Dans e cas d un haut-pareur monté sur un écran infini, i faut douber cette vaeur pour obtenir impédance de rayonnement totae. On introduit aors a masse totae définie par : et a masse acoustique équivaente définie par : M ms = M ms + 2M r (1.9) M as = M as + 2M ar (1.10) avec M ar = M r /S 2 d. Dans e cas d un haut-pareur rayonnant en champ ibre sans écran, on trouve une impédance de rayonnement égae à cee d une seue face du montage sur écran infini. Le schéma acoustique d un haut pareur se résume finaement à : Figure 1.2 Synthése du schema acoustique du haut-pareur avec M as éga à M as + M ar ou M as + 2M ar seon que e haut-pareur est monté ou non sur un écran infini. 1.1.2 Paramètres En notant s a variabe de Lapace, a fonction de transfert du circuit cidessus entre e débit du diaphragme q d et a pression P g s écrit : q d = P g R ae + R as + M ass + 1 sc as (1.11) Cee-ci se déveoppe sous a forme : q d = sp g C as s 2 M asc as + sr ae C as + sr as C as + 1 (1.12) 8
Cette équation fait apparaître e produit M asc as qui définit a pusation de résonance non amortie du haut-pareur et es produits dépendants soit de R ae soit de R as qui définissent es facteurs de quaités correspondants. L amortissement (ié au facteur de quaité) a donc deux origines : une origine mécanique provenant de R ms et une origine éectrique provenant de R e. On introduit es vaeurs suivantes : Pusation de résonance : ω s = 1 M as C as = 1 M ms C ms Facteur de quaité mécanique : Q ms = Facteur de quaité éectrique : Q es = 1 ω s C as R as = 1 ω s C as R ae = 1 ω s C ms R ms R e ω s C ms (B) 2 Facteur de quaité tota : Voume d air équivaent à a suspension (m 3 ) : 1 = 1 + 1 Q ts Q es Q ms V as = ρc 2 C as Le paramètre V as est e voume d air de compiance égae à a suspension mécanique du haut-pareur (voir e paragraphe 1.2.1). 1.1.3 Débit du diaphragme On définit a variabe de Lapace normaisée : S = s ω s (1.13) On obtient aors (voir annexe D ignes 10, 11 et 12) : avec : q d = q s G s (S) S q s = U gs d Q es (B) (1.14) (1.15) G s est a fonction de transfert normaisée dont expression est : G s (S) = 1.1.4 Puissance acoustique rayonnée La puissance acoustique rayonnée est donnée par : S 2 S 2 + Q 1 ts S + 1 (1.16) P ar = R ar q d 2 (1.17) 9
avec R ar a résistance de rayonnement : R ar = Z c 1 S d 2 (ka)2 = ρ ω 2 2c π = ρ Sωs 2 2c π (1.18) On obtient (voir annexe D igne 24) : avec P ar = P as G s (S) 2 (1.19) P as = ρs2 d 2πc ( B Mms ) 2 U g 2 Re 2 (1.20) La forme de a courbe de réponse d un haut-pareur ne dépend que de Q ts. Ee correspond à un fitre passe-haut du second ordre. Cacuons a fréquence de coupure à -3 db de cette fonction de transfert, soit à cacuer ω 3 te que G s (S) 2 = 1/2. On obtient : ω 3 ω s = Q 2 ts 2 + (Q 2 ts 2)2 + 4 2 (1.21) En annuant a dérivée on trouve a pusation où se produit e pic de réponse : ω max ω s = 1 1 1 2 Q 2 ts (1.22) Le maximum du pic de réponse est : G s (ω max /ω s ) = Q ts (1.23) 1 1 4 Q 2 ts Si Q ts < 1/ 2, i n y a pas de maximum. 1.1.5 Rendement et niveau acoustique Le rendement est e quotient entre a puissance acoustique rayonnée et a puissance éectrique fournie. Ces deux puissances dépendant de a fréquence, a puissance acoustique rayonnée est cacuée dans a partie médiane de a argeur égae donc à P as et a puissance éectrique de référence est donnée par : On obtient ainsi a vaeur du rendement : η s = P es = U g 2 R e (1.24) ρs2 d ( B 2πcR e Mms ) 2 (1.25) 10
L ordre de grandeur de η s est de queques pour-cents. Le rendement fait apparaître e terme B homogène à une accéération et M ms qu on nomme facteur d accéération du haut-pareur. Cacuons e niveau de pression acoustique en db. Ceui-ci s exprime en fonction de a pression p par : L p = 20 og 10 p p 0 (1.26) avec p 0 a pression de référence égae à 20µP a. La pression se cacue à partir de intensité acoustique I exprimée en W/m 2 seon (voir M. Rossi [4] chapitre 1.5.13) : p = Z c I (1.27) avec Z c impédance caractéristique du miieu. Pour un rayonnement omnidirectionne dans 2π str à a distance r, on a : I = P ar 2πr 2 (1.28) L intensité acoustique mesurée à 1 m pour une puissance éectrique de référence de 1 W dans a partie médiane de a argeur de bande vaut donc : I = η s 2π Le niveau de pression acoustique qui en résute est donc : (1.29) Soit : avec ρ = 1.18kg/m 3 et c = 344m/s. 1.1.6 Eongation du diaphragme L p = 10 og 10 (ρc η s 2π ) 20 og 10 p 0 (1.30) On obtient (voir annexe D igne 14 et 15) : avec L p = 112.1 + 10 og 10 η s (1.31) ξ d = ξ s G s (S) S 2 (1.32) ξ s = U g ω s Q es (B) (1.33) L éongation du diaphragme correspond à un fitre passe-bas du second ordre. La pusation ω ξ du maximum de éongation s obtient en dérivant a fonction de transfert. On obtient : ω ξ ω s = 1 1 2 Q 2 ts (1.34) 11
Le maximum de a fonction de transfert de éongation est aors : x max = Q ts (1.35) 1 1 4 Q 2 ts Si Q ts < 1/ 2, x max vaut 1 et ω ξ est nu. Cacuons éongation à ω ξ en fonction de a puissance rayonnée. On obtient (voir annexe D igne 21) : 2πc ξ d = ρ P x max as ωss 2 (1.36) d L éongation en fonction de a puissance rayonnée ne dépend que de a fréquence de résonance et de a surface de a membrane du haut-pareur. Soit ξ h éongation maximum du domaine inéaire de fonctionnement du haut-pareur obtenue en imitant a distorsion à une vaeur donnée. Cacuons a puissance efficace rayonnée P aξ correspondant à cette éongation. En rempaçant P as par P aξ dans équation (1.36) on obtient éongation efficace maximum ˆξ d. Or ξ h est par définition une éongation crête puisqu ee est e maximum admissibe. Nous avons donc : 2 ˆξd = ξ h (1.37) On déduit : P aξ = ρω4 s Vd 2 4πc x 2 max avec V d = S d ξ h e voume dépacé par a membrane. (1.38) 1.1.7 Schéma équivaent éectrique Le schéma éectrique équivaent est e suivant (voir annexe A) : avec : Figure 1.3 Schema éectrique du haut-pareur 12
Equivaent éectrique de R ms (Ω) : R es = (B)2 R ms = (B)2 S 2 d R as Equivaent éectrique de M ms (F) : C es = M ms (B) 2 = M assd 2 (B) 2 Equivaent éectrique de C ms (H) : L es = C ms (B) 2 = C as(b) 2 S 2 d Equivaent éectrique du rayonnement (Ω) : Z er = (B)2 S 2 d Z ar En prenant es vaeurs des impédances de rayonnement cacuées précédemment, on se ramène au schéma simpifié suivant : Figure 1.4 Synthèse du schema éectrique du haut-pareur Avec : On déduit aors : S 2 d Ces = M ms (B) 2 = M as (B) 2 (1.39) Pusation de résonnance : ω s = 1 C es L es Facteur de quaité mécanique : Q ms = R es ω s L es Facteur de quaité éectrique : Q es = R e ω s L es L impédance du haut-pareur se cacue directement à partir du schéma éectrique ci-dessus. On définit impédance réduite : On obtient (voir annexe D igne 37) : Z r = Z R e (1.40) Z r = S2 + Q 1 ts S + 1 S 2 + Q 1 mss + 1 (1.41) 13
La courbe d impédance dépend de ω s, R e, Q es, Q ms. La figure 1.5 représente e modue de d impédance du haut-pareur. A a résonance, a phase de impédance est nue et son modue vaut : Z max = R e Q ms Q es (1.42) Figure 1.5 Courbe d impédance du HP 1.1.8 Synthèse Un haut-pareur est modéisé par six paramètres qui sont : S d, R e, B, M ms, C ms, R ms (1.43) Le rayonnement de a membrane conduit en prenant en compte a masse d air qui vibre avec ee à définir e paramètre M ms. L étude de a réponse en fréquence et de a courbe d impédance conduit à utiiser un nouveau jeu de paramètres, es paramètres de Thiee et Sma, qui sont : S d, R e, ω s, Q es, Q ms, V as (1.44) De ces paramètres on déduit e facteur de quaité tota : 1 = 1 + 1 (1.45) Q ts Q es Q ms Les paramètres mécaniques sé déduisent du nouveau jeu de paramètres par 14
es reations : C ms = V as ρc 2 S 2 d (1.46) Mms= 1 ωsc 2 ms (1.47) R ms = ω smms 1 = Q ms ω s Q ms C ms (1.48) B = ω s MmsR e R e = Q es ω s C ms Q es (1.49) Les paramètres du schéma acoustique se cacuent par es formues suivantes : R ae = (B)2 S 2 d R e R as = R ms S 2 d (1.50) (1.51) et ceux du schéma éectrique par : Mas= M ms Sd 2 (1.52) C as =Sd 2 C ms (1.53) R es = (B)2 R ms = (B)2 S 2 d R as (1.54) S 2 d Ces= M ms (B) 2 = M as (B) 2 (1.55) L es =C ms (B) 2 = C as (B) 2 S 2 d (1.56) Enfin e cacu des paramètres du schéma éectrique en fonction des paramètres de Thiee et Sma s obtient par : R es =R e Q ms Q es (1.57) Ces= Q es (1.58) ω s R e R e L es = (1.59) ω s Q es Le fichier Exce <Cacu Paramètres ME.xs> permet de cacuer es paramètres mécaniques et éectriques à partir des paramètres de Thiee et Sma. Le fichier Exce<Cacu Paramètres TS.xs> réaise a fonction inverse. Le schéma de a figure 1.2 montre que es résistance R as et R ae sont en série. L amortissement du mouvement de a membrane est donc e résutat d un amortissement mécanique R ms auque s ajoute un amortissement éectrique B 2 /R e. 15
Le facteur de quaité est ié à amortissement par équation : Q = 1 2ξ (1.60) Sachant que généraement a vaeur de Q ms d un haut-pareur est pus importante que Q es, on déduit que amortissement est principaement contrôé par Q es. On peut se rendre compte faciement de cette propriété en tapotant égèrement a membrane d un haut-pareur monté dans une enceinte. L amortissement est bien pus rapide quand on court-circuite a bobine. 1.1.9 Dimensionnement d un haut-pareur Supposons que on veuie concevoir un haut-pareur défini par : une courbe de réponse donnée ; un rendement η s donné. La premiere condition fixe directement es paramètres F s, ω s et Q ts à partir de a fonction de transfert. La deuxième détermine pour une vaeur R e et S d donnés e rapport B/M ms à partir de équation (1.25). Or, équation (1.49) permet égaement de cacuer ce rapport. Cee-ci donne : B M ms En égaant es termes obtenus, on déduit : = R e C ms ω 3 sq es (1.61) C ms = 2πcQ esη s ρs 2 d ω3 s (1.62) La vaeur de Q ms étant pus éevé que cee de Q es on peut confondre Q ts avec Q es ou se donner une vaeur a priori de Q ms et en déduire Q es. Le reste des paramètres mécaniques se déduit aisément. Le fichier Exce <Dimensionnement HP.xs> permet de cacuer es paramètres mécanique d un haut-pareur à partir de spécifications données. Prenons e cas d un haut-pareur spécifié par es vaeurs suivantes : F s = 24 hz ; Q ts = 0.26 ; n s = 3.38 %. On se fixe de pus es paramètres suppémentaires : Re = 6.7 Ω ; S d = 825 cm 2 ; Q ms = 5. On déduit a masse de équipage mobie M ms =46.88 gr, e facteur de force B=14.9 T.m et e voume d air équivaent à a compiance de a suspension V as =697.5. Modifions e rendement et recacuons es paramètres mécaniques du hautpareur. En prenant un rendement pus faibe de vaeur 1 %, on obtient : M ms =190.32 gr, B=27.4 T.m et V as =206.3. 16
Les haut-pareurs à haut rendement se caractérisent par une membrane égère et un V as important. En baissant e rendement, a masse de a membrane augmente e V as diminue et e B augmente. I est important de remarquer que ces deux haut-pareurs ont exactement a même courbe de réponse. De pus ayant même surface de diaphragme et même fréquence de résonance, eur membrane aura un dépacement identique pour un même niveau acoustique. Du point de vue de eur utiisation, seu e rendement diffère. Ainsi, en dehors du rendement (et en dehors de probème technoogiques de réaisation non abordés ici), a modéisation de Thiee et Sma ne permet pas de choisir entre une membrane ourde ou égère. On peut enfin étudier impact sur es paramètres du haut-pareur d une variation de a vaeur de a résistance de a bobine mobie. On constate que e seu paramètre modifié est e produit B. 1.1.10 Mesure des paramètres du haut-pareur I s agit d identifier es paramètres : S d, R e, ω s, Q es, Q ms, V as (1.63) Les paramètres ω s, Q es, Q ms dépendent de a manière dont est monté e haut-pareur car, comme nous avons vu, a masse de rayonnement diffère seon que e haut-pareur est monté ou non sur un écran. Nous reprendrons ce point dans a dernière partie de cette note. La note [9] décrit précisément a procédure de mesure et e cacu des paramètres de Thiee et Sma d un haut-pareur avec e ogicie LIMP. Le paramètre S d se cacue en mesurant e diamètre effectif de a membrane et R e se mesure avec un Ohmmètre ou un votmètre et un pont diviseur. Les paramètres ω s, Q es et Q ms se cacuent à partir de deux points particuiers de a courbe d impédance réduite (voir a e manue d utiisation de LIMP et es cacus de annexe D igne 45 à 51). La seue mesure de a courbe d impédance ne permet pas d idenfitier e paramètre V as. Pour cea on utiise une deuxième mesure de a courbe d impédance, e haut-pareur étant monté dans une enceinte de voume connu ou sa membrane aourdie d une masse donnée. Nous ne traiterons dans ce document que de a méthode de a masse additionnee. La masse ajoutée modifie évidemment a fréquence de résonance du haut-pareur mais modifie égaement sensibement a compiance et es pertes par frottements de a suspension. La connaissance de seuement a nouvee fréquence de résonance ω sδ ne suffit donc pas pour cacuer M ms et C ms. I faut égaement cacuer a nouvee compiance à partir du nouveau facteur éectrique. On note M msδ a nouvee masse de équipage mobie, C msδ a nouvee compiance et Q esδ e nouveau facteur éectrique. Nous avons : D autre part nous avons : δm = M msδ M ms (1.64) M msδ ω2 sδ C msδ = 1 = M msω 2 sc ms (1.65) 17
En faisant apparaître es facteurs de quaités éectriques, nous obtenons équation qui permet de cacuer a masse de équipage mobie : On déduit : δm = M ms( ω sq esδ ω sδ Q es 1) (1.66) C ms = 1 Mmsω s 2 (1.67) V as =ρc 2 Sd 2 C ms (1.68) La méthode de cacu du V as avec une masse additionnee ne permet pas d estimer précisément ce paramètre. Des erreurs de ordre de 10% sont fréquentes. Une soution pour améiorer a précision d estimation est d utiiser pusieurs masses additionnees et d effectuer une régresssion inéaire sur es vaeurs obtenues. Dans a deuxième partie de cette note nous verrons comment cacuer es paramètres du haut-pareur à partir de a méthode des moindres carrés qui permet d ajuster es paramètres sur ensembe des points de mesures. Cette méthode permet égaement d identifier a résistance de a bobine mobie sans avoir à a mesurer avec un ohmmètre (voir. Matejan, M. Sikora [8] pour un comparatif des méthodes d estimations). 1.2 L enceinte cose Une enceinte cose est une boite fermée sur une face de aquee est monté un haut-pareur éectrodynamique dont un des cotés de a membrane rayonne à air ibre. 1.2.1 Schéma équivaent acoustique Pour cacuer e schéma équivaent acoustique d une enceinte cose i faut déterminer es paramètres acoustique d une boite fermée doté d un piston osciant (e haut-pareur). Notons V b e voume d une tee boite. Le mouvement du piston provoque une variation de voume auque i résute une variation de pression. La variation de pression exerçant une force sur a surface du piston, a boite se comporte comme un ressort pneumatique dont on peut définir a compiance acoustique. On montre que a vaeur de cette compiance vaut (voir [4] paragraphes 5.3.10 et 5.3.16) : C ab = β V b ρc 2 (1.69) Le facteur β vaant 1 pour une transformation purement adiabatique et 1.4 pour une transformation purement isotherme (cas d un matériaux fibreux disposé à intérieur de a boite). Cette compiance présente égaement une résistance acoustique R ab due aux pertes viscothermiques qui dépendent de a nature pus ou moins absorbante des parois où du matériaux de rempissage (voir [1] paragraphe 5.3.26). 18
Enfin, cette compiance présente égaement une masse acoustique M ab qui orsque a surface du piston est petite par rapport aux dimensions de enceinte vaut cee d un piston rayonnant sur un écran infini (voir [1] paragraphe 5.3.14). La boite d une enceinte cose se caractérise donc par trois composants acoustiques C ab, R ab, M ab dont on ne connaît pas précisément es vaeurs. Le schéma acoustique équivaent d une enceinte cose (voir figure 1.6) s obtient à partir de ceui du haut-pareur sur un écran infini en substituant impédance de rayonnement arrière par es ééments constitutif de a boite. Figure 1.6 Schema acoustique de enceinte cose On pose : Mac=M as + M ab + M ar (1.70) 1 = 1 + 1 (1.71) C ac C as C ab R ac =R as + R ab (1.72) On obtient aors e schéma simpifié de a figure 1.7. Figure 1.7 Synthése du schema acoustique de enceinte cose On définit es paramètres suivants : 19
Facteur d augmentation de compiance : Facteur de masse acoustique : Facteur de perte acoustique : β = ρc2 C ab V b q = M as M ac p = R as R ac Le coefficient β caractérise e matériaux acoustique de rempissage. Le coefficient q caractérise a variation de a masse acoustique de rayonnement entre e haut-pareur mesuré en dehors de enceinte (M as) et monté dans cee-ci (M ac). Le coefficient p caractérise a variation des pertes acoustiques. Les coefficients β, q, p seront déterminés par mesures de a courbe d impédance. 1.2.2 Paramètres On définit es paramètres suivants : Facteur de compiance : Pusation de résonance du hautpareur dans enceinte : Pusation de résonance de enceinte : α = C as C ab = V as βv b ω sc = ω c = 1 M ac C as 1 M ac C ac 1 Facteur de quaité mécanique : Q mc = ω c C ac R ac 1 Facteur de quaité éectrique : Q ec = ω c C ac R ae Facteur de quaité tota : 1 = 1 + 1 Q tc Q ec Q mc La pusation de résonance du haut-pareur ω sc ne prend en compte que a compiance C as du haut-pareur. Ee diffère de a pusation de résonance ω s du fait de a différence des impédances de rayonnement (Mac Mas). Le rapport de ces pusation vaut : ω sc ω s = Mas C as Mac = q (1.73) C as Le rapport de a pusation de résonance de enceinte par rapport à cee du haut-pareur mesuré en dehors de enceinte vaut : ω c Mas = C as ω s Mac = q(1 + α) (1.74) C ac 20
Le rapport des facteur de quaité mécanique est : Q mc = ω sc as R as 1 + α = p (1.75) Q ms ω c C ac R ac q Le rapport des facteurs de quaité éectrique est : Q ec = ω sc as R ae 1 + α = Q es ω c C ac R ae q (1.76) Le schéma acoustique d une enceinte cose étant identique à ceui du hautpareur seu, e débit du diaphragme, a courbe de réponse se déduisent directement de cee du haut-pareur. 1.2.3 Schéma équivaent éectrique Le schéma éectrique se déduit du schéma acoustique. On obtient : Figure 1.8 Schema éectrique de enceinte cose Les ééments C ec, L ec, R ec sont es équivaents éectriques de respectivement M ac, C ac, R ac seon es reations du paragraphe 1.1.7. Le schéma éectrique est identique, aux vaeurs des composants prés, à ceui du haut-pareur. 1.2.4 Synthèse avec un haut-pareur donné La démarche de cacu des caractéristiques d une enceinte cose à partir d un haut-pareur donné est synthétisé dans e schéma de a figure 1.9. Connaissant d une part es paramètres du haut-pareur : S d, R e, ω s, Q es, Q ms, V as (1.77) Connaissant d autre part e voume de enceinte V b et une estimation des paramètres β, p, q, on cacue es paramètres de enceinte cose dont on déduit a courbe de réponse. La vaeur du paramètre q varie seon que es paramètres de Thiee et Sma du haut-pareur aient été mesurés sur écran ou non. Si a mesure du haut-pareur a été réaisée sur un écran infini on peut faire hypothèse que es masses de rayonnement M ac et M as sont identiques et prendre q = 1. 21
Dans e cas d une mesure en champ ibre sans écran, on supposera : M ac = M as + M ar (1.78) avec M as a masse totae issue de a mesure du haut-pareur en champ ibre et M ar = 8ρ 3π a2 a masse de rayonnement d une face. On prendra donc : q = M ac M as + M ar (1.79) Le coefficient β est pris entre 1,2 et 1,4 en fonction du rempissage de enceinte. On supposera que es pertes dues à a boîte sont inférieures aux pertes mécaniques du haut-pareur, soit R ab R as. On déduit p = 1. L enceinte réaisée, a mesure de a courbe d impédance permetra d identifier es paramètres ω c, Q ec, Q mc à partir desques on cacuera es paramètres seon es formues (voir annexe?? igne 4) : α = ω cq ec ω s Q es 1, β = V as αv b, q = ω cq es ω s Q ec, p = Q mcq es Q ms Q ec On pourra aors simuer a courbe de réponse et rempir pus ou moins e voume de enceinte d abosorbant et/ou diminuer son voume afin d obtenir a courbe de réponse visée. 22
Figure 1.9 Synthése conception enceinte cose 1.3 L enceinte à évent Une enceinte à évent est une boite ouverte sur une des faces de aquee est monté un haut-pareur éectrodynamique. 1.3.1 Schéma équivaent acoustique Comme, enceinte cose, a boite se caractérise donc par trois composants acoustiques C ab, R ab, M ab dont on ne connaît pas précisément es vaeurs. A ces paramètres s ajoutent ceux caractérisants évent qui sont : une masse acoustique M ap, une masse acoustique de rayonnement M arp et une resistance acoustique R ap. On tient compte égaement des pertes par fuites de a boite modéisées par une résistance R a. 23
Des considérations ci-dessus, on déduit e schéma acoustique : On pose : Figure 1.10 Schema acoustique de enceinte à event M ao=m as + M ar + M ab (1.80) M ap=m ap + M arp (1.81) On obtient aors e schéma simpifié de a figure 1.11. On définit es paramètres suivants : Facteur d augmentation de compiance : Facteur de masse acoustique : β = ρc2 C ab V b q = M as M ao Le coefficient β caractérise e matériaux acoustique de rempissage et e coefficient q caractérise a variation de a masse acoustique de rayonnement entre e haut-pareur mesuré en dehors de enceinte et monté dans cee-ci. 24
Figure 1.11 Synthèse du schéma acoustique de enceinte à event 1.3.2 Paramètres On définit es paramètres suivants : Facteur de compiance : Pusation de résonance du hautpareur dans enceinte : α = C as C ab = V as βv b ω so = 1 M ao C as Pusation de résonance de évent : ω p = 1 M ap C ab Rapport de résonance entre évent et e haut-pareur : h = ω p ω so Facteur de quaité mécanique : Q mo = Facteur de quaité éectrique : Q eo = 1 ω so C as R as 1 ω so C as R ae Facteur de quaité tota : Facteur de quaité des pertes par fuites : 1 = 1 + 1 Q to Q eo Q mo Q = ω p C ab R a Facteur de quaité des pertes par absorption dans a boite : Facteur de quaité due au frottement dans évent : Q a = Q p = 1 ω p C ab R ab 1 ω p C ab R ap 25
De ces paramètres on déduit : ω so ω s = Mas Mao = q, Q eo = Q es 1.3.3 Débit dans enceinte 1 q, Q mo Q ms = 1 q I s agit de cacuer q b. On pose, comme pour e haut-pareur : S = s ω so (1.82) avec s a variabe de Lapace. A partir du schéma acoustique on déduit (voir annexe E igne 23 et 24 à 42) : q d = q o G o (S) S (1.83) Avec : q o = U g S d Q eo B(1 + Q 1 a Q 1 ) (1.84) G o (S) est donné par : G o (S) = a 4 S 4 + b 3 S 3 a 4 S 4 + a 3 S 3 + a 2 S 2 + a 1 S + a 0 (1.85) Avec : a 0 =h 3 (1 + Q 1 p Q 1 ) (1.86) a 1 =h 3 Q 1 to (1 + Q 1 p Q 1 + h 2 (Q 1 p a 2 =h 3 (1 + Q 1 p + Q 1 a Q 1 + h(α(1 + Q 1 p a 3 =h 2 (Q 1 p ) + Q 1 ) + h 2 Q 1 Q 1 a + Q 1 p ) + 1 + Q 1 Q 1 a Q 1 + Q 1 a to (Q 1 p a Q 1 Q 1 a Q 1 + αq 1 p ) (1.87) + Q 1 + Q 1 p Q 1 a Q 1 ) ) (1.88) + Q 1 a + Q 1 + Q 1 p ) + hq 1 to (1 + Q 1 a Q 1 ) + αq 1 a (1.89) a 4 =h(1 + Q 1 a Q 1 ) (1.90) b 3 =h 2 Q 1 p (1 + Q 1 a Q 1 1.3.4 Puissance acoustique rayonnée ) (1.91) La puissance acoustique rayonnée se cacue en considérant ensembe des débits sortants, c est à dire à partir de q d + q + q p (voir a figure 1.11). Or nous avons : q b = q d + q + q p (1.92) La puissance rayonnée se cacue donc à partir de équation P ar = R ar q b 2 avec R ar a résistance de rayonnement. 26
On obtient (voir annexe E igne 60) : avec P ao = P ar = P ao G o (S) 2 (1.93) q 2 (1 + Q 1 a Q 1 ) 2 ρs2 d 2πc ( B M ms ) 2 U g 2 R 2 e (1.94) La figure 1.12 montre effet des paramètres Q, Q a, Q p sur a courbe de réponse. La courbe beue est a réponse sans perte d une enceinte à évent aignée sur un Butterworth. On remarque es effets différents de Q, Q a, Q p qui conduisent tous à baisser a fréquence de coupure. On cherchera donc toujours à minimiser es pertes ors de a conception d un bass-refex. Figure 1.12 Effet des pertes sur a courbe de réponse 1.3.5 Eongation du diaphragme L éongation du diaphragme se cacue à partir de q d. On obtient (voir annexe E igne 49 et 50) : ξ d = ξ o a 2 S 2 + a 1 S + a 0 S 4 + b 3 S 3 G o (S) (1.95) 27
avec : et : a 0 =h 2 (1 + Q 1 p Q 1 ) (1.96) a 1 =h(q 1 p + Q 1 a + Q 1 p ) (1.97) a 2 =1 + Q 1 a Q 1 (1.98) b 3 =hq 1 p (1.99) + Q 1 U g Q 1 a Q 1 ξ o = Q eo ω so B(1 + Q 1 a Q 1 (1.100) ) La courbe de réponse de éongation se caractérise par un minimum autour de ω b et deux maximum de part et d autre cette fréquence comme e montre a figure 1.13. Figure 1.13 Eongation du diaphragme dans une enceinte bass-refex 1.3.6 Schéma équivaent éectrique Le schéma éectrique (voir figure 1.14) se déduit du schéma acoustique. Les ééments C eo, L es, R es, L eb, R eb, C ep, R ep, R e sont es équivaents éectriques de respectivement M ao, C as, R as, C ab, R ab, M ap, R ap, R a seon es reations du paragraphe 1.1.7. L impédance du haut-pareur se cacue directement à partir du schéma éectrique. L impédance réduite s écrit (voir annexe E igne 83 à 107) : Z r = b 4S 4 + b 3 S 3 + b 2 S 2 + b 1 S + b 0 a 4 S 4 + a 3 S 3 + a 2 S 2 + a 1 S + a 0 (1.101) 28
Figure 1.14 Schéma éectrique de enceinte à event Avec : a 0 =h 3 (1 + Q 1 p Q 1 ) (1.102) a 1 =h 3 Q 1 mo(1 + Q 1 p Q 1 + h 2 (Q 1 p a 2 =h 3 (1 + Q 1 p + Q 1 a Q 1 + h(α(1 + Q 1 p a 3 =h 2 (Q 1 p ) + Q 1 ) + h 2 Q 1 Q 1 a + Q 1 p mo(q 1 p ) + 1 + Q 1 a Q 1 a Q 1 + αq 1 p ) (1.103) + Q 1 a Q 1 + Q 1 + Q 1 p Q 1 a Q 1 ) ) (1.104) + Q 1 a + Q 1 + Q 1 p Q 1 a Q 1 ) + hq 1 mo(1 + Q 1 a Q 1 ) + αq 1 a (1.105) a 4 =h(1 + Q 1 a Q 1 ) (1.106) b 0 =h 3 (1 + Q 1 p ) (1.107) b 1 =h 3 Q 1 to (1 + Q 1 p Q 1 + h 2 (Q 1 p b 2 =h 3 (1 + Q 1 p Q 1 + Q 1 a + h(α(1 + Q 1 p b 3 =h 2 (Q 1 p ) + Q 1 ) + h 2 Q 1 Q 1 Q 1 a + Q 1 a + Q 1 + Q 1 p to (Q 1 p Q 1 a Q 1 + αq 1 p ) (1.108) + Q 1 a ) + 1 + Q 1 a Q 1 + Q 1 p Q 1 a Q 1 + Q 1 + Q 1 p Q 1 a Q 1 ) ) (1.109) ) + hq 1 to (1 + Q 1 a Q 1 ) + αq 1 a (1.110) b 4 =h(1 + Q 1 a Q 1 ) (1.111) Le numérateur de a fonction de transfert de impédance réduite est identique au dénominateur de a fonction de transfert de a réponse en fréquence. Le dénominateur de a fonction de transfert de impédance réduite est identique à son numérateur en rempaçant Q 1 to par Q 1 mo. 29
La courbe du modue d impédance présente deux bosses de résonance. La figure 1.15 montre effet sur cette courbe des facteurs de pertes. On remarque que Q a pour effet de diminuer ampitude des deux résonances, Q a a deuxième et Q p a première. Figure 1.15 Effet des pertes sur a courbe d impédance 1.3.7 Aignement L aignement d une enceinte à évent consiste à déterminer es paramètres du haut-pareur et de enceinte pour suivre une courbe de réponse donnée. I faut dans un premier temps normaiser a fonction de transfert de a puissance rayonnée. On introduit a pusation ω 0 et a nouvee variabe de Lapace S définie par : S = Sω 0 = s ω 0 ω so (1.112) de tee manière que a fonction de transfert soit sous a forme : G o (S ) = S 4 + b 3 S 3 S 4 + a 3 S 3 + a 2 S 2 + a 1 S + 1 (1.113) On obtient : ω 0 = 4 a 4 /a 0 = 4 1 + Q 1 a 1 + Q 1 p Q 1 Q 1 1 (1.114) h 30
Avec : a 1= a 1ω 3 0 a 4 (1.115) a 2= a 2ω 2 0 a 4 (1.116) a 3= a 3ω 0 a 4 (1.117) b 3 = b 3ω 0 a 4 (1.118) L aignement consiste à identifier es coefficients a 3, a 2, a 1 et b 3 à des fonctions de transfert particuières. La fonction de transfert d un fitre passe-haut du quatrième ordre s écrit : G(S) = S 4 S 4 + c 3 S 3 + c 2 S 2 + c 1 S + 1 (1.119) On remarque que identification de équation (1.119) à équation (1.113) ne peut être exacte à cause du terme b 3. En absence de perte e terme b 3 est nu et identification exacte est possibe. Dans ces conditions a fonction de transfert de a courbe de réponse s écrit (voir annexe E igne 45) : hs 4 G o (S) = hs 4 + hq 1 to S3 + (h 3 + h(1 + α))s 2 + h 3 Q 1 to S + (1.120) h3 La fonction de transfert ne dépend que de trois paramètres h, α, Q to. La normaisation conduit à : ω 0 = 1 (1.121) h L identification avec a fonction de transfert (1.119) donne : c 3 = 1 h Q 1 to (1.122) (1 + α) c 2 =h + (1.123) h c 1 = hq 1 to (1.124) Soit : Q to = 1 c1 c 3 (1.125) h =(a 1 Q to ) 2 (1.126) α =h(c 2 h) 1 (1.127) Ainsi à une courbe de réponse donnée correspond un unique paramètre Q to et donc un unique paramètre Q ts. 31
Dans e cas d une enceinte avec perte, identification ne pouvant être exacte, on utiise une méthode de type moindres carrés sur une page d ajustement, par exempe, de -20 db à 0 db. La courbe de réponse dépendant de Q a, Q p, Q, i n y a pus de correspondance unique et i existe donc en théorie une infinité de haut-pareur pour une réponse donnée. Cependant, comme nous avons vu, on cherche généraement à maximiser es coefficients Q a, Q p, Q car ceux-ci conduisent toujours à réduire a fréquence de coupure. L ajustement par moindres carrés consiste donc à cacuer h, α, Q to pour Q a, Q p, Q donnés, de tee manière que a réponse en fréquence de enceinte soit a pus proche possibe de a réponse du fitre choisi. On peut n ajuster que h, α pour un Q to donné dans a mesure ou ceui-ci est proche du Q to optima. 1.3.8 Mesure de a courbe de réponse La courbe de réponse d une enceinte mesurée dans un oca semi réverbérant étant perturbée par es ondes stationnaires qui s y trouvent, i est quasi impossibe de comparer cette courbe à cee théorique cacuée par simuation. Par contre, étant donné es faibes dimensions d une enceinte, a mesure de a pression à intérieur de cee-ci est exempt de perturbation jusqu à environ 100 hz. Etant donné qu à partir de a mesure de a pression interne on peut recacuer a pression externe, i devient possibe de comparer cette mesure à a courbe de réponse simuée (voir R. H. Sma [7]). Le microphone pacé dans enceinte mesure a pression P b (voir a figure 1.11). A partir de cette pression on déduit e débit q b par : P b = (R ab + 1 jωc ab )q b (1.128) La pression extérieure mesurée à a distance r s écrit : P e = ρω 2πr q b (1.129) Des définitions des quantités C ab et R ab on tire : En combinant ces équations, on obtient : C ab = βv b ρc 2 (1.130) ωr ab C ab = ω (hq a ) 1 ω so (1.131) P e = βv bω 2 so 2πr S 2 1 + S(hQ a ) 1 P b (1.132) Ainsi connaissant es paramètres h, Q a et en appiquant a fonction de transfert : S 2 1 + S(hQ a ) 1 (1.133) à a mesure de a pression intérieure de enceinte, on reconstitue a pression extérieure que on peut superposer à ampitude et a phase de a courbe de réponse simuée. 32
1.3.9 Synthèse avec un haut-pareur donné La démarche de cacu est synthétisée dans e schéma de a figure 1.16. Connaissant d une part es paramètres du haut-pareur : S d, R e, ω s, Q es, Q ms, V as (1.134) Connaissant d autre part e voume de enceinte V b et une estimation des paramètres β, q, ω p, Q a, Q p, Q, on cacue es paramètres de enceinte à évent dont on déduit a courbe de réponse. La vaeur du paramètre q varie seon que es paramètres de Thiee et Sma du haut-pareur aient été mesurés sur écran ou non. Si a mesure du haut-pareur a été réaisée sur un écran infini on peut faire hypothèse que es masses de rayonnement M ao et M as sont identiques et prendre q = 1. Dans e cas d une mesure en champ ibre sans écran, on supposera : M ao = M as + M ar (1.135) avec M as a masse issue de a mesure du haut-pareur en champ ibre sans écran et M ar = 8ρ 3π a2 a masse de rayonnement d une face. On prendra donc : q = M as M as + M ar (1.136) L enceinte réaisée, a mesure de a courbe d impédance permettra d identifier es paramètres h, α, q, Q a, Q p, Q à partir desques on cacuera es paramètres β et ω p. On pourra aors cacuer a courbe de réponse. En rempissant pus ou moins enceinte de matériaux absorbant, en diminuant son voume et/ou a surface des évents on s approchera de a courbe de réponse visée. 33
Figure 1.16 Synthèse conception enceinte à évent 34
Chapitre 2 Utiitaires Sciab Le ogicie Sciab peut être tééchargé <ici>. On trouvera à cette <page>, un guide pour débutant. Sciab execute des instruction en igne de commande ou des scripts contenants une iste d instructions. Les fichiers de scripts portent extension.sce ou.sic, cette dernière étant putôt réservée à a définition de fonctions. Les utiitaires Sciab décrits dans ce document sont régis par a icence Ce- CILL (voir www.ceci.info). Ces utiitaires comportent un script généra de définition des fonctions de nom <SciAudioBox.sci> et des scripts indépendants pour a simuation et identification des haut-pareurs et enceintes à évent. Pour éditer ces scripts, on utiise éditeur SciNotes de Sciab. On execute dans un premier temps une seue fois e script généra de définition des fonctions <SciAudioBox.sci> puis e script dédié au cacu qu on désire effectuer. I existe deux types de scripts : es scripts de simuations et es scripts d identification de paramètres. Ces derniers utiisent a mesure d impédance et a méthode des moindres carrés (voir annexe C). Les fichiers de mesures de impédance us par es scripts Sciab sont des fichiers textes dont chaque igne doit contenir es données suivantes : a fréquence de mesure (hz) ; e modue de impédance (Ω) ; a phase de impédance (en degrés comprise entre π et π). Les données sont séparées par des espaces. Le script de simuation d une enceinte à évent utiise a mesure de a pression sonore. Les données de ce fichier, dont e format est identique à ceui de impédance, sont es suivantes : a fréquence de mesure (hz) ; e niveau SPL (db) ; a phase (en degrés). Les structures de ces fichiers sont compatibes aves es fichiers exportés par LIMP ou REW. L utiisateur peut choisir es mesures prises en compte pour identification des paramètres. Cee-ci s effectue en utiisant ampitude de impédance, a 35
phase de impédance ou simutanément ampitude et a phase. Ce point sera repris ors de a description des scripts. Le script <SciAudioBox.sci> initiaise es vaeurs de a densité atmosphérique à ρ = 1.18 kg/m 3, a vitesse du son à c = 345 m/s et a pression de référence p 0 = 20 µpa. Ce sont es vaeurs utiisées par LIMP. 2.1 Le Haut-Pareur Deux scripts Sciab concernent e haut-pareur : e script <Simuation HP.sce> et <Mesure HP.sce>. Le tabeau suivant rappee et résume es paramètres du haut-pareur : Résistance de a bobine (Ω) : Fréquence de résonance (hz) : Facteur de quaité mécanique : Facteur de quaité éectrique : Voume d air équivaent à a suspension (m 3 ) : Masse du système mobie (kg) : Compiance mécanique de a suspension externe et du spider (m/n) : Resistance mécanique de pertes par frottements (N.s/m) : Produit du champs magnétique dans entrefer par a ongueur du fi de a bobine mobie (T.m) : Rendement (%) : Le niveau sonore pour 1 W à 1 m (db) : R e F s Q ms Q es V as M ms C ms R ms B η s L p 2.1.1 Simuation d un haut-pareur Le script <Simuation HP.sce> simue a courbe d impédance, éongation de a membrane, a courbe de réponse et e temps de propagation de groupe du haut-pareur monté sur un écran. 36
Les paramètres à saisir sont : es paramètres du haut-pareur R e, F s, Q es, Q ms, es paramètres nécessaires au cacu de éongation du diaphragme : P as, S d et es paramètres de tracé des courbes : F min, F max, N bp. La figure 2.1 représente es paramètres tes qu is apparaissent dans éditeur Sciab avec eurs significations. Figure 2.1 Paramètres de simuation d un haut-pareur 37
Figure 2.2 Courbes de simuation d un haut-pareur La figure 2.2 représente es courbes de simuation avec es paramètres de a figure 2.1. Les tracés, de gauche à droite et de haut en bas, sont : e modue de impédance (Ω), éongation de a membrane (mm), a courbe de réponse (db) et e temps de propagation de groupe (ms). Le script cacue e facteur de quaité tota Q ts, a fréquence de coupure, f 3 à -3 db ainsi que e pic de a réponse. 2.1.2 Identification des paramètres de Thiee et Sma d un haut-pareur Le script <Mesure HP.sce> cacue es paramètres de Thiee et Sma d un haut-pareur à partir de a mesure de a courbe d impédance et a méthode de a masse additionnee. Le paramétrage de ce script est donné figure 2.3. Le paramètre T ypajust détermine es mesures utiisées pour estimation (mesures d ampitude et/ou de phase). Le paramètre ReAjust permet à utiisateur d estimer ou non a résistance R e de a bobine mobie. Le nom du fichier de mesure de impédance du haut-pareur doit être renseigné dans e variabe fic 1. Le fichier fic 2 correspond aux mesures de impédance avec a masse additionnee de vaeur dm. 38
Si dm est nu, e fichier fic 2 n est pas u et e ogicie ne cacue aors que es paramètres F s, Q es, Q ms et éventueement R e. Si dm est différent de zéro, e fichier fic 2 doit être renseigné. Le ogicie cacue aors es paramètres suppémentaires V as, M ms, C ms, R ms, B, η s, L p. L utiisateur renseigne ensuite a vaeur de a résistance de a bobine mobie R e et a vaeur de a surface de a membrane S d. L ajustement est réaisé à partir de impédance de a première fréquence u dans es fichiers de mesures jusqu à a fréquence renseignée dans a variabe F max. Les vaeurs saisies dans es variabes F s, Q es, Q ms (et R e si ce dernier paramètre est ajusté), sont es vaeurs initiaes nécessaires à agorithme de cacu des moindres carrés. A a convergence, ces vaeurs n infuent pas sur e résutat. On pourra saisir es vaeurs nominaes fournies par e constructeur du hautpareur. L ajustement terminé, e script informe de a quaité de ajustement en imprimant e code retour de a fonction Sciab utiisée pour e cacu des moindres carrés. Ce code retour est de 1 quand ajustement s est correctement effectué. En cas de mauvais ajustement, ce qui se traduit généraement par des paramètres identifiés erronés, on changera es vaeurs initiaes jusqu à obtenir e bon code retour. Le script imprime ensuite es écart-types et es vaeurs maximum des résidus, c est-à-dire es écarts entre es grandeurs mesurées et cacuées. Le script trace enfin es courbes de impédance mesurée et cacuée (ampitude et phase) ainsi que es résidus. La figure 2.4 montre es courbes obtenu sur a mesure du haut-pareur Atec 416 de numéro 24851. Dans cet exempe a résistance de a bobine R e n est pas ajustée et on a utiisé es mesures d ampitude et de phase. 39
Figure 2.3 Paramètres de mesure d un haut-pareur On obtient es paramètres suivants : R e 6.674 Ω M ms 55.23 g F s 23.98 hz C ms 0.0007978 m/n Q es 0.282 R ms 1.7453667 kg/s Q ms 5.213 B 14.02694 T m Q ts 0.2677 V as 764 η s 3.59 % L P 97.6 db/w à 1 m Le cacu donne égaement, pour information, es paramètres du haut-pareur avec a masse additionnee. On obtient : 40
Figure 2.4 Courbes de mesure d un haut-pareur F sd 18.87 hz Q msd 5.599 F s /F sd 1.2716 C msd 0.0007984 m/n Q esd 0.3586 R msd 1.8881 kg/s On remarque que e fait d ajouter une masse modifie égèrement a soupesse de a suspension C ms et pus sensibement a résistance mécanique de perte R ms. I faut savoir qu en changeant es types de mesures utiisées pour identification des paramètres (mesure d ampitude et/ou mesures de phase), on obtient des résutats sensibement différents. Une deuxième identification des paramètres du même haut-pareur en n utiisant que es mesures de ampitude de impédance, conduit par exempe à un Q ts de 0.260 au ieu de 0.268. Ces écarts sont acceptabes car i ne faut pas s attendre à mesurer pus précisément es paramètres d un haut-pareur. En généra, i est préférabe de mesurer précisément a résistance de a bobine R e putôt que de identifier dans e processus d estimation. La fréquence maximum des mesures utiisées pour identification doit être autour de 100 hz, car inductance de a bobine mobie, non prise en compte dans a modéisation, crée des écarts au-deà. On peut e constater sur a phase de a figure 2.4. Enfin, i est préférabe d utiiser à a fois es mesures d ampitude et de phase, même si ceci conduit généraement à des résidus pus éevés. 41
2.2 L enceinte cose Deux scripts concernent enceinte cose : e script <Simuation Cose.sce> et e script <Mesure Cose.sce> Les tabeau suivant rappee es paramètres qui définissent une enceinte cose : Voume brut de enceinte (m 3 ) : Facteur d augmentation de compiance : Facteur de masse acoustique : Facteur de perte acoustique : Facteur de compiance : Fréquence de résonance du hautpareur dans enceinte (hz) : Fréquence de résonance de enceinte (hz) : Facteur de quaité mécanique : Facteur de quaité éectrique : Facteur de quaité tota : V b β q p α = V as βv b F sc F c Q mc Q ec 1 = 1 + 1 Q tc Q ec Q mc 2.2.1 Simuation d une enceinte cose Le script <Simuation HP.sce> simue a courbe d impédance, éongation de a membrane, a courbe de réponse et e temps de propagation de groupe d une enceinte cose. Les paramètres à saisir sont : es paramètres du haut-pareur R e, F s, Q es, Q ms monté dans enceinte, e voume d air équivaent à a compiance de a suspension V as, es paramètres nécessaires au cacu de éongation du diaphragme P as, S d et es paramètres de tracé des courbes : F min, F max, N bp. Concernant es paramètres de voume, utiisateur peut au choix saisir e facteur d augmentation de compiance β (b), e voume net de enceinte V b et dans ce cas cacuer e facteur de compiance α (a) ou saisir directement ce rapport. Dans ce cas β et V b n ont pas besoin d être renseignés. La figure 2.5 représente es paramètres tes qu is apparaissent dans éditeur Sciab avec eurs significations. 42
Figure 2.5 Paramètres de simuation d une enceinte cose Le script trace aors, comme pour e haut-pareur : e modue de impédance (Ω), éongation de a membrane (mm), a courbe de réponse (db) et e temps de propagation de groupe (ms). Le script cacue e facteur es paramètres de enceinte croise F sc, F c, Q ec, Q mc, a fréquence de coupure, f 3 à -3 db ainsi que e pic de a réponse. 2.2.2 Identification des paramètres d une enceinte cose Le script <Mesure Cose.sce> cacue es paramètres d une enceinte cose à partir de a mesure de a courbe d impédance. Le paramétrage de ce script est donné figure 2.6. Le paramètre T ypajust détermine es mesures utiisées pour estimation (mesures d ampitude et/ou de phase). Le paramètre ReAjust permet à utiisateur d estimer ou non a résistance R e de a bobine mobie. Le nom du fichier de mesure de impédance de enceinte doit être renseigné dans e variabe fic. L utiisateur renseigne ensuite a vaeur des paramètres du haut-pareur R e, F s, Q es, Q ms. L ajustement est réaisé à partir de impédance de a première fréquence u dans es fichiers de mesures jusqu à a fréquence renseignée dans a variabe F max. Les vaeurs saisies dans es variabes F c, Q ec, Q mc (et R e si ce dernier paramètre est ajusté), sont es vaeurs initiaes nécessaires à agorithme de cacu 43
des moindres carrés. A a convergence, ces vaeurs n infuent pas sur e résutat. On pourra saisir es vaeurs du haut-pareur. L ajustement terminé, e script informe de a quaité de ajustement en imprimant e code retour de a fonction Sciab utiisée pour e cacu des moindres carrés. Ce code retour est de 1 quand ajustement s est correctement effectué. En cas de mauvais ajustement, ce qui se traduit généraement par des paramètres identifiés erronés, on changera es vaeurs initiaes jusqu à obtenir e bon code retour. Le script imprime ensuite es écart-types et es vaeurs maximum des résidus, c est-à-dire es écarts entre es grandeurs mesurées et cacuées. Le script trace enfin es courbes de impédance mesurée et cacuée (ampitude et phase) ainsi que es résidus. Figure 2.6 Paramètres de mesure d une enceinte cose 44
2.3 L enceinte à évent Quatre scripts Sciab concernent enceinte à évent : e script <Aignement Event.sce>, e script <Simuation Event.sce>, e script <Mesure Event.sce>, e script <Mesure Event avec HP.sce> et e script <Mesure Event avec Qmo.sce>. Les tabeau suivant rappee es paramètres qui définissent une enceinte à évent : Voume brut de enceinte (m 3 ) : Facteur d augmentation de compiance : Facteur de masse acoustique : Facteur de compiance : Fréquence de résonance du hautpareur dans enceinte (hz) : Fréquence de résonance de évent (hz) : Rapport de résonance entre évent et e haut-pareur : Facteur de quaité mécanique : Facteur de quaité éectrique : Facteur de quaité tota : Facteur de quaité des pertes par fuites : Facteur de quaité des pertes par absorption dans a boite : Facteur de quaité due au frottement dans évent : V b β q α = V as βv b F so F p h = F p F so Q mo Q eo 1 Q to = 1 Q eo + 1 Q mo Q Q a Q p Le facteur de masse acoustique q permet de cacuer es paramètres du hautpareur monté dans enceinte à partir de ceux mesurés en dehors de cee-ci. On obtient : 45
F so = F s q, Qeo = Q es q, Q mo = Q ms q 2.3.1 Aignement d une enceinte à évent Le script <Aignement Event.sce> cacue es paramètres h, α et éventueement Q to à partir des coefficients d un fitre donné et des facteurs de pertes supposés Q, Q a, Q p. Le paramétrage est donnée figure 2.7. Figure 2.7 Paramètres d aignement d une enceinte à évent L utiisateur renseigne e numérateur et e dénominateur de a fonction de transfert cibe. Cee-ci doit être normaisée (coefficients, d 0, d max, n max égaux à 1). L exempe donné est ceui d un fitre de Besse. L utiisateur renseigne ensuite es paramètres de pertes Q, Q a, Q b de son enceinte. Dans cet exempe is sont considérés infinis (enceinte sans pertes). I faut ensuite saisir es données de tracés et a page d ajustement avec es paramètres F min, F max, db min, N bp. Les fréquences sont normaisées par a pusation ω 0 (voir équation (1.114)). L ajustement est réaisée de a fréquence correspondant à dbmin de a courbe de réponse à a fréquence F max. I faut ensuite indiquer au script de cacu si e paramètre Q to est identifié ou pas. Cette option permet de cacuer une enceinte avec un haut-pareur dont e Q to est différent du Q to optima. L utiisateur saisit ensuite a vaeur de a fréquence de résonance F so du haut-pareur monté dans enceinte. Ceci n est pas utie au cacu des paramètres 46
de enceinte mais permet de cacuer a fréquence de coupure et e temps de propagation de groupe sans avoir à ancer une simuation suppémentaire. I faut enfin renseigner es vaeurs initiaes des paramètres à identifier pour e cacu du moindres carrés. Le script trace aors a courbe de réponse du fitre cibe, a courbe de réponse de enceinte et es résidus entre ces deux vaeurs. La figure 2.8 montre e résutat avec es paramètres de a figure 2.7. Figure 2.8 Courbes d ajustement Besse Ce cas correspondant à une enceinte sans perte avec un cacu du Q to optima, on obtient des résidus nus puisque identification parfaite est possibe (voir 1.3.7). Le script donne es paramètres de enceinte optimae. On obtient : Q to 0.3162 h 0.9759 a 2.333 Ainsi, dans e cas d une enceinte sans perte, un aignement avec un fitre de Besse n est possibe qu avec un haut-pareur conduisant à un Q to de 0.3162. La figure 2.9 montre es résidus d ajustement, toujours dans e cas d une enceinte sans perte, pour un haut-pareur de Q to 0.37. Les paramètres sont : 47
h 0.8246 a 1.9707 Figure 2.9 Courbes d ajustement Besse avec Q to de 0.37 2.3.2 Simuation d une enceinte à évent Le script <Simuation-Event.sce> cacue a courbe de réponse et d impédance d une enceinte à évent. Les paramètres à saisir sont : es paramètres du haut-pareur monté dans enceinte R e, F so, Q eo, Q mo, e voume d air équivaent à a compiance de a suspension V as, es facteurs de pertes Q, Q a, Q p, es paramètres nécessaires au cacu de éongation du diaphragme P as, S d, e nom du fichier de mesure de a pression dans enceinte fic et es paramètres de tracé des courbes F min, F max, N bp. En ce qui concerne évent utiisateur peut entrer au choix a fréquence d accord de évent F b et dans ce cas cacuer e rapport de résonance h ou saisir directement ce rapport. Dans ce cas F b, n a pas besoin d être renseigné. Concernant es paramètres de voume, utiisateur peut au choix saisir e facteur d augmentation de compiance β (b), e voume net de enceinte V b et dans ce cas cacuer e facteur de compiance α (a) ou saisir directement ce rapport. Dans ce cas β et V b n ont pas besoin d être renseignés. La figure 2.10 montre un exempe de paramétrage. 48
Figure 2.10 Paramètres de simuation d une enceinte à évent Le script cacue aors a fréquence de coupure à -3dB, e pic de a courbe de réponse et e temps de propagation de groupe à 20 hz, 30 hz, 40 hz et 50 hz. Les tracés comprennent a courbe d impédance, éongation de a membrane, a courbe de réponse et e temps de propagation de groupe. Si un fichier de mesures de pression a été renseigné, cette mesure, une fois transformée, est superposée à a courbe de réponse et de temps de propagation de groupe. 2.3.3 Identification des paramètres d une enceinte à évent L expression de impédance réduite de enceinte à évent donnée par équation (1.101) montre que cee-ci dépend des paramètres F so, Q eo, Q mo, Q, Q a, Q p, h et α. On peut être tenté d essayer d identifier ensembe de ces paramètres à partir de a mesure de impédance. On pourrait ainsi mesurer es paramètres 49
du haut-pareur et es paramètres de enceinte en une seue fois. Le script <Mesure Event.sce> a cet objectif. L exempe qui suit est un essai d identification à partir de a simuation réaisée avec es paramètres de a figure 2.10. Ces paramètres sont : R e (Ω) F so (hz) Q eo Q mo Q Q a Q p h α 6.5 23 0.3 8 20 15 10 1.5 2 L identification conduit aux paramètres suivants : F so (hz) Q eo Q mo Q Q a Q p h α 23 0.3 7.78 18.10 15.60 10.26 1.4998 2.0001 On obtient es résidus de a figure 2.11 Figure 2.11 Courbes de mesure de enceinte à évent On remarque que es résidus sont nus aors que a soution ne converge pas vers es paramètres de a simuation. Mis à part F so et Q eo, es paramètres diffèrent. L examen des vaeurs propres de a matrice des moindres carrés montre que a vaeur a pus faibe vaut 2.2e-12 ce qui signifie que e système est inobservabe (voir annexe C). Le vecteur propre associé à cette vaeur propre est e suivant : 50
F so Q eo Q mo Q Q a Q p h α 2e-7 1e-6-0.30-0.63 0.57 0.43-1.9e-2 4.2e-3 Les composantes significatives portent sur es composantes Q mo, Q, Q a, Q p et dans une moindre mesure sur h, α. Les composantes associées aux termes F so et Q eo sont pratiquement nues. On en déduit que inobservabiité ne touche pas F so et Q eo (ce que confirme a simuation) mais concerne uniquement es autres paramètres avec principaement des variations sur Q mo, Q, Q a, Q p (ce que confirme égaement a simuation). Les signes des composantes du vecteur propre renseignent sur es compensations des paramètres. Une diminution de Q mo se traduit par une diminution de Q et une augmentation de Q a et Q p. En revenant au schéma éectrique de enceinte à évent (voir a figure 1.14), on constate que a résistance R es (qui définit Q mo ) est en paraèe des résistances R e, R eb, R ep en séries (qui définissent respectivement Q, Q a, Q p ). On comprend qu une augmentation de R es peut être compensée par une diminution de R e, R eb, R ep pour fournir au fina a même impédance. Etant données es expressions des facteurs de pertes en fonction des résistances associées, on déduit bien qu une diminution de Q mo conduit à une diminution de R es, une diminution de Q à une augmentation de R e et une augmentation de Q a, Q p à une augmentation de R eb, R ep. L annexe B donne es équations entre Q mo, Q, Q a, Q p, h, α qui conduisent à a même impédance. 2.3.4 Identification des paramètres avec un haut-pareur connu On utiisera pour cea e script <Mesure Event avec HP.sce> qui suppose connu es paramètres du haut pareur. Etant donné qu à partir des paramètres du haut-pareur F s, Q es, Q ms et du facteur de masse acoustique q, on peut remonter aux paramètres F so, Q eo, Q mo, ce nouveau script, en ieu et pace d identifier es paramètres F so, Q eo, Q mo, va identifier e paramètre q. Ceci va ever inobservabiité de a combinaison Q mo, Q, Q a, Q p. Cependant es compensations entre ces paramètres étant inhérent à a structure de a fonction de transfert, i est évident qu une erreur sur Q mo conduira à des erreurs sur Q, Q a, Q p inobservabe dans es résidus. La figure 2.12 donne e paramètrage du script Sciab. Le paramètre T ypajust détermine es mesures utiisées pour estimation (mesures d ampitude et/ou de phase). Le paramètre ReAjust permet à utiisateur d estimer ou non a résistance R e de a bobine mobie. Le nom du fichier de mesure de impédance du haut-pareur doit être renseigné dans e variabe fic. L ajustement est réaisé à partir de impédance de a première fréquence u dans ce fichier jusqu à a fréquence renseignée dans a variabe F max. I faut ensuite renseigner es paramètres du haut-pareur : R e, F s, Q es, Q ms. 51
Figure 2.12 Paramètres de mesure avec un haut-pareur connu Les paramètres du haut-pareur V as et e voume de enceinte V b ne sont saisis que pour cacuer e facteur d augmentation de compiance β et e voume apparent de enceinte βv b. I faut enfin saisir es vaeurs initiaes des paramètres identifiés : q, Q, Q a, Q p h, α. Le cacu des paramètres avec ce script dans e cas de a simuation du paragraphe 2.3.3 conduit à retrouver exactement es paramètres de cette simuation. L identification avec seuement es mesures d ampitude de impédance donne une vaeur pµ min de 0.02 (voir annexe C). Le cacu avec es mesures d ampitude et de phase conduit à une vaeur de 0.12. I sera donc préférabe d utiiser à a fois es mesures d ampitude et de phase. Ajoutons que, comme ce script cacue β, i est possibe à partir d une enceinte non encore rempie d absorbant d identifier e paramètre V as du hautpareur. En effet, i suffira de saisir a vaeur de V as qui donne β = 1 pour e voume V b mesuré de enceinte. 52
2.3.5 Identification des paramètres connaissent e Q mo Dans e cas où on ne connait pas es paramètres du haut-pareur, on pourra utiiser e script <Mesure Event avec Qmo.sce> qui suppose seuement connu e paramètre Q mo. La figure 2.13 donne e paramètrage du script Sciab. Figure 2.13 Paramètres de mesure avec un haut-pareur connu Le paramètre T ypajust détermine es mesures utiisées pour estimation (mesures d ampitude et/ou de phase). Le paramètre ReAjust permet à utiisateur d estimer ou non a résistance R e de a bobine mobie. Le nom du fichier de mesure de impédance du haut-pareur doit être renseigné dans e variabe fic. L ajustement est réaisé à partir de impédance de a première fréquence u dans ce fichier jusqu à a fréquence renseignée dans a variabe F max. I faut ensuite renseigner es paramètres du haut-pareur : R e, Q mo. 53
Les paramètres du haut-pareur V as et e voume de enceinte V b ne sont saisis que pour cacuer e facteur d augmentation de compiance β et e voume apparent de enceinte βv b. I faut enfin saisir es vaeurs initiaes des paramètres identifiés : F so, Q eo, Q, Q a, Q p h, α. 54
Chapitre 3 Exempe : enceinte ONKEN Ce chapitre est un exempe d utiisation des scripts décrits dans cette note. I traite e cas des enceintes ONKEN 360 itres équipées de haut-pareurs ALTEC 416-8A. La simuation précise de a courbe de réponse d une enceinte à évent nécessite, comme nous avons vu, de connaître es facteurs de pertes Q, Q a, Q p, e facteur d augmentation de compiance β et e facteur de masse acoustique q. La ittérature cassique considère que es pertes es pus éevées sont es pertes par fuite (dépendant du facteur Q ) et que es pertes par absorption dans enceinte (Q a ) et par évent (Q p ) sont négigeabes (voir H.R Sma [5] part I page 320 repris par M. Rossi [4] paragraphe 7.2.44). Ces considérations conduisent à prendre es vaeurs suivantes : Q a et Q p entre 50 et 100 et Q entre 5 et 20. Le ogicie de cacu winisd [10] prend pour défaut es vaeurs : Q = 10, Q a = 100, Q p = 100. L effet de absorbant pacé dans enceinte sur es paramètres Q a et β est peu détaié dans a ittérature. Le ogicie Unibox [11] donne une vaeur comprise entre 1.01 et 1.21 en fonction du rempissage. Quand au facteur q, i dépend de comment e haut-pareur est mesuré et nous avons vu au chapitre 1.3.9 comment e cacuer. Les mesures de ce chapitre vont permettre de voir ce qu i en est de ces recommendations. 3.1 Mesure des haut-pareurs Les paramètres de Thiee et Sma des haut-pareurs 25427 et 24851 sont donnés dans a référence [9]. Cependant avant de monter ces haut-pareurs dans es enceintes, j ai procédé au nettoyage de a suspension (voir [12]), ce qui change de manière significative eurs caractéristiques. La photo 3.1 montre a suspension dont un secteur a été nettoyé. 55
Figure 3.1 Nettoyage de a suspension Le tabeau suivant montre évoution des paramètres de Thiee et Sma. Ceux-ci sont cacués en utiisant e script de mesure <Mesure HP.sce> avec es mesures d ampitude et de phase. Réf F s (hz) Q es Q ms 25427 avant 25.64 0.299 5.58 25427 après 25.25 0.286 7.60 24851 avant 23.98 0.282 5.21 24851 après 22.66 0.258 7.68 Le nettoyage de a suspension a pour effet de égèrement baisser a fréquence de résonance (en augmentant a compiance) et de fortement diminuer es pertes par frottement, ce qui augmente e facteur Q mo. La figure 3.2 montre a variation du modue de impédance du haut-pareur 24851. 56
Figure 3.2 Effet du nettoyage de a suspension sur impédance 3.2 Mesure des paramètres de enceinte Nous aons décrire es mesures effectuées sur es paramètres de enceinte équipée du haut-pareur 24851. Cinq configurations différentes ont été mesurées : configuration A : enceinte sans matériaux absorbant ; configuration B : pacement d un absorbant sur es cotés et e fond (voir a photo 3.3 ) ; configuration C : pacement d absorbants suppémentaire sur e dessus et e dessous (voir a photo 3.4 ) ; configuration D : enceinte avec un évent du bas bouché ; configuration E : enceinte avec es deux évents du bas bouchés. Figure 3.3 Configuration B Figure 3.4 Configuration C L absorbant utiisé est de a aine de coton de 50 mm d épaisseur de marque <Metisse>. Les mesures des paramètres de enceinte sont effectuées avec e script <Mesure Event avec HP.sce> en utiisant es mesures d ampitude et de phase de 57