TP - Traitement u Signal 1 Introuction aux signaux iscrets aléatoires TP II I-otions théoriques intervenant ans le TP I.1 Variables aléatoires Variables aléatoire (VA) réelles (notions supposées connues) Pour une VA : loi, moyenne et variance. Pour eux VA : loi bi-imensionnelle, inépenance, coefficient e corrélation. I. Suites aléatoires réelles (signaux aléatoires iscrets SAD). Généralités Définition : [ n], n Z est une suite aléatoire si toutes les [n] sont es VA (sur un même espace probabilisé). Suivant le contexte, ces variables aléatoires peuvent être consiérées comme à valeurs ans R (corps es réels) ou ans C (corps es complexes). Dans ce TP les VA représentant les amplitues es signaux temporels (temps iscret) seront à valeurs réelles. Tout symbole e conjugaison complexe portant sur ces VA les laissera onc inchangées. Etue à l'orre 1 : comportement statistique es [n] prises iniviuellement (loi, moyenne et variance). Etue à l'orre : comportement statistique es couples ( [n], [m] ) où n et m sont arbitraires (loi, coefficient e corrélation). Les suites à eux inices entiers îtes respectivement fonction e covariance iscrète non centrée et fonction e covariance iscrète centrée sont en particulier introuites : C * * [ n, m] E( [ n] [ m]), C [ n, m] E( C[ n] C[ m]), ( n, m) Z C Suites aléatoires stationnaires au sens large Définition : la suite [ n], n Z, est stationnaire au Sens Large (SSL) si : n E( [] n [] n ) ) < n E( m constante n p E( [] n [ n p]) C [ n, m] fonction e p seul La suite ( ) est appelée fonction 'autocorrélation iscrète. On émontre qu'elle est paire si les [n] sont réelles et que ( 0) (ce qui permet e contrôler es résultats). L.T.S.I. Université e Rennes I
TP - Traitement u Signal La suite es coefficients e corrélation : pour eux instants n et n-p et pour une suite SSL, le coefficient e corrélation entre les VA [n] et [ n p] ne épen que e p et est égal à : ρ ( p) m [] m 0 Consiérations énergétiques : E [ ( n) ] s'interprète comme la puissance statistique moyenne (PS()) e à l'instant n. Cette quantité ne épen pas e n si est SSL. Elle est alors égale à [0 ]. On introuit la ensité spectrale e puissance (DSP), notée γ, pour SSL, comme étant la TFS (Transformée e Fourier au sens es suites) e. On a onc : γ + 0.5 πipf πipf e, p] ( f ) e p 0.5 [ f, p Z γ, 0] ( f ) et si s'exprime en volts alors ( 0 ) s'exprime en volts au carré et 0.5 [ γ f 0.5 γ s'exprime en volts au carré par hertz. On montre que γ (qui est bien sûr périoique e périoe 1) est toujours réelle, positive et paire pour une suite réelle. Intuitivement, à une suite 'allure "régulière" sans variations brusques, corresponra une fonction γ à "support concentré" autour e l'origine. C est le théorème e Wiener-Kintchine présenté en cours qui justifie e prenre comme éfinition e la DSP la TFS e la fonction e corrélation iscrète. Bruit blanc iscret : on appelle bruit blanc iscret tout SAD SSL corresponant à une suite e VA écorrélées eux à eux : p 0 ρ 0. La fonction e corrélation un bruit blanc est onc complètement spécifiée par une moyenne commune à tous les échantillons et par une variance également commune à tous les échantillons. Filtrage linéaire iscret 'une suite aléatoire. H : filtre linéaire Y [ n], n Z étant une suite aléatoire, Y[ n] ( H * )[ n], n Z (convolution entre et H) est aussi une suite aléatoire. On montre alors que : Si est SSL: Y est SSL, m m H 0 ; H TFS H Y ( ) ( ) ( COR( H,H )* ) Y γ Y ( f ) Hˆ ( f ) γ ( f ) Tableau I L.T.S.I. Université e Rennes I
TP - Traitement u Signal 3 I.3 Comment mesurer les caractéristiques statistiques un SAD à partir une réalisation? Problème posé On ispose 'une réalisation ω [ 0], ω [1],..., ω [ 1] e la restriction u signal aléatoire iscret [n] aux instants n0,..n-1, ω marquant l'influence u "hasar" et étant généralement gran. Les graneurs statistiques que l on ésire mesurer sont supposées ici invariantes relativement à un écalage temporel arbitraire (autrement it ces quantités sont supposées stationnaires). Certaines quantités Θ statistiquement invariantes relativement à un écalage temporel (comme par exemple Θ m ou encore Θ pour une certaine valeur e p) et qui ont une signification théorique a priori (moyenne, ensité e probabilité, fonction autocorrélation,... ) ne sont cepenant pas connues numériquement par l expérimentateur qui ésire alors les mesurer à partir une réalisation à sa isposition. Cette mesure corresponra à une réalisation Θ ( ω) une VA Θ construite sous la forme une fonction h ( [0],..., [ 1]) es échantillons observés. Sera ainsi introuite une erreur e mesure Θ Θ qui s'interprétera elle aussi comme une variable aléatoire. Une caractérisation statistique courante e cette erreur est : ε Θ ~ E ( Θ Θ ) ~ ~ ( E[ ( Θ Θ) ]) + VAR( Θ) ~ B + VAR Θ Θ BΘ est appelé le biais e la mesure, est appelée erreur quaratique moyenne. ε Θ ~ ( ) oins le biais et l erreur quaratique moyenne seront élevés et meilleure sera la mesure. oyennes expérimentales Une méthoe générale pour obtenir es mesures est 'utiliser les moyennes expérimentales associées aux moyennes statistiques recherchées comme par exemple : Tableau II Graneur mesurée oyenne statistique oyenne expérimentale Θ m 1 E [ [ n ] ~ 1 Θ [] n Θ [ ] 1 VAR ( ) E [ n] ~ 1 ( ) m Θ E[ [ n] [ n p ] ~ Θ Θ c n 0 1 p n 0 1 n p n [ n] [ n p] Θ ρ ( p) m ( ) m A votre avis? 0 L.T.S.I. Université e Rennes I
TP - Traitement u Signal 4 II. anipulation On consière le système suivant : B[n] H [n] B est une suite e VA écorrélées eux à eux e même loi gaussienne (m B, σ B). H est une filtre linéaire et homogène e réponse impulsionnelle : n TZ b H : b a U[ n] H a < 1 1 az ( z), z > a, 1 Le but e ce TP est e : simuler sous matlab B et, appliquer les formules (moyennes temporelles sur une réalisation) onnées ans le tableau II pour mesurer les moyennes et fonctions 'autocorrélation (théoriques) pour B et, obtenir une mesure es DSP pour B et, comparer ces mesures aux quantités théoriques corresponantes (celles u tableau I). Préparation 1- On se reportera à l'annexe 1 pour étuier comment simuler es VA e loi gaussienne. - Expliquer pourquoi l'opération e filtrage peut se réaliser avec l'algorithme : (n) a(n-1 ) + bb(n), n positif ou nul, avec [-1] conition initiale imposée. 3- Appliquer la éfinition e la moyenne et e la fonction 'autocorrélation et utiliser les formules u tableau I pour calculer : VAR?, γ ( f )? B?, γ B ( f )? Donner l'allure graphique e ces résultats. 4- Le biais est-il non nul pour les mesures e la colonne e roite u tableau II? 5- On choisit e prenre a 0,9 et b. Calculer m B et σ B pour avoir m 1 et ( [ n] ). 6- Ecrire, en utilisant le tableau II, es procéures matlab qui, à partir 'un tableau contenant une réalisation e échantillons e la suite [n] supposée SSL, fournissent une mesure (une estimée sous forme e moyenne expérimentale) e sa moyenne et une mesure e son autocorrélation pour p allant e zéro à p, p <. L.T.S.I. Université e Rennes I
TP - Traitement u Signal 5 7- Ecrire une procéure qui, à partir 'un tableau pour p allant e zéro à p, calcule une mesure ~ ( k / ), k 0... γ 1 e la ensité spectrale e puissance γ ( f ), pour f k /, k 0... 1 (ca pour valeurs e fréquence réparties entre 0 et 1) éfinie par : par : ( T )( k), k 0,... 1 ~ γ ( k / ) FFT et où la suite T[p], p allant e zéro à -1, est éfinie T 0 si p T F [ p] F T + 1 p 1 p si si 0 p p 1 p p F[p], p allant e zéro à p, est une fenêtre e ponération éfinie par : πp πp F 0.4 + 0.5 Cos + 0.08 ; 0 p p Cos p p ~ γ correspon à une tableau inexé e 0 à -1 (1 à en matlab). étant le nombre e points utilisé par la FFT evra onc être une puissance e. Remarque : intuitivement l introuction e ~ γ pour mesurer la DSP e se justifie en consiérant que cela revient à calculer la TFS une estimation e la fonction e corrélation iscrète. ise en oeuvre en matlab On utilisera comme base e travail les valeurs e a, b, m B et VAR( B ) introuites plus haut. Ces valeurs pourront cepenant être changées à loisir pour examiner es variantes ( m B 0,... ). 1- Simuler et visualiser la réponse u filtre H, avec une conition initiale [-1] 0, aux entrées E[n] δ 0 [n] et E[n] U[n]. - Générer plusieurs réalisations e B et e et les visualiser pour 51. 3- Pour plusieurs couples e réalisations e (B, ) et pour ifférentes valeurs e (18,56, 104, ), calculer les réalisations es moyennes et autocorrélations expérimentales, B, et BB e et e B pour p allant e zéro à p 30. On observera la variabilité es résultats obtenus en fonction e la réalisation, e, et par rapport aux quantités théoriques corresponantes. Pour cela, on pourra évaluer, au moyen e moyennes expérimentales sur 0 réalisations, les valeurs e BΘ et ε Θ pour Θ et Θ. 4- Représenter un histogramme es amplitues pour les signaux 'entrée et e sortie. Interpréter la istribution es amplitues en sortie u filtre. 5- Représenter à l'écran, pour p 0, 8, 15, l'ensemble es points e cooronnées L.T.S.I. Université e Rennes I
TP - Traitement u Signal 6 (x B[n],y B[n-p]) pour n p, p+1,..., -1. Recommencer avec à la place e B et interpréter en consiérant les valeurs e ρ [ p ], p 0, 8, 15. 6- Proposer et appliquer un principe e mesure e la suite es coefficients e corrélation pour B et. 7- Pour la fenêtre e ponération spécifiée plus haut, calculer les mesures es ensités spectrales e B et pour plusieurs réalisations. Comparer avec les valeurs théoriques γ B et γ que l'on obtienra en prenant les TFS e B et. 8- Proposer et appliquer un principe e mesure e la suite es coefficients 'intercorrélation entre l'entrée et la sortie u filtre. L.T.S.I. Université e Rennes I
TP - Traitement u Signal 7 Annexe 1 : Génération e nombres aléatoires On consière ici le principe e la génération 'une suite (n) e V.A inépenantes e même loi P. On utilise la primitive ran e matlab qui retourne un nombre aléatoire e loi uniforme entre zéro et un. Des tirages successifs sont consiérés inépenants. Loi uniforme : 1 si a u b P ( u) b a 0 sinon ; on fait a + (b-a) * ran. Loi exponentielle e paramètre a : P ( u) a exp ( au) si 0 sinon 0 u ; on fait ( ran ) Log. a Loi normale centrée et e variance unité : u On veut obtenir P ( ) u exp π 1 inépenants) e ran pour générer eux tirages inépenants e : Θ π.ran,u ran. Pour cela, on utilise eux tirages successifs (onc U et Θ sont eux V.A inépenantes, 1 Log Log ( U ) Cos( Θ) ( U ) Sin( Θ) On montre alors que 1 et sont eux V.A inépenantes e même loi normale centrées et e variance unité. Pour générer V.A e ce type on peut onc se contenter e répéter ces opérations fois. L.T.S.I. Université e Rennes I
TP - Traitement u Signal 8 Annexe : Corresponances entre les noms e variables ans les programmes à écrire et les paramètres théoriques. Pour es raisons 'homogénéité entre les binômes, il est préférable utiliser les ientificateurs suivants : Théorique Bruit B B p BB Ientificateur utilisé nbp B oyb oy nbpac BB BΘ Biais ε Θ B ρ γ ~ Eqm ac acb cc B, γ B DspB, DspeB, γ Dsp, Dspe γ ~ B, B IcB, B L.T.S.I. Université e Rennes I