MODÉLISATION POUR L AIDE À LA DÉCISION Vincent Mousseau EXERCICES FLOTS. Exercice 1 : On s intéresse à l acheminement de charbon dans quatre centrales de production d électricité (C 1, C 2, C 3 et C 4 ) situées le long d un fleuve. Deux ports (A et B) peuvent sont disponibles pour accueillir les navires transportant le charbon. Le charbon est importé par des navires de deux types (Y : 15000 tonnes et X : 90000 tonnes). Les plus gros ne peuvent pas remonter l estuaire et accéder au port B. Le charbon est alors acheminé vers les centrales par bande transporteuse (pour C 1 uniquement), soit par chemin de fer, soit par péniches (pour les autres centrales). On ne transporte jamais le charbon d un port vers l autre. C 1 Y X A B C 2 C3 C 4 Chemin de fer Péniches Bande Transporteuse a) Modéliser le réseau de transport par un graphe G. On pourra adjoindre si nécessaire une entrée E et une sortie S, b) On suppose que les disponibilités annuelles en charbon sont au maximum de 8 millions de tonnes (soit au plus 6 millions de tonnes pour les petits navires de type Y et au plus 2 millions de tonnes pour les navires de type X). D autre part les consommations minimales annuelles des centrales C 1, C 2, C 3 et C 4 sont respectivement de 2, 1, 1 et 2 millions de tonnes. Par ailleurs, la bande transporteuse a une capacité annuelle de 4 millions de tonnes et les voies fluviales et ferroviaires ont chacune des possibilités qui dépassent très largement les besoins. D autre part, les autorités locales imposent, pour préserver l emploi au port B, que le transit à travers le port B soit au moins de 1 million de tonnes. Définissez les bornes et les capacités des arcs de G compte tenu de l information disponible. Comment interpréter un flot sur le graphe G? donnez un exemple numérique. c) Le modèle obtenu est jugé insuffisant. En effet, il confond les voies fluviales et ferrées et ne fournit donc pas la répartition à faire entre elles. Par ailleurs, il ne tient pas compte des manipulations à faire dans les ports comme dans les centrales lors du déchargement des navires, chargement et déchargement des péniches et wagons. Ces opérations se font avec des moyens qui ont une capacité limitée. On se propose donc d affiner le modèle pour tenir compte de ces observations à l aide des renseignements suivants :
[0, ] Dans le port A, les navires sont déchargés et alimentent un stock sur lequel sont prélevés les chargements destinés aux péniches d une part, et aux wagons d autre part. La bande transporteuse s alimente directement au stock sans manipulation intermédiaire, Dans le port B, l organisation est similaire sauf qu il n existe pas de bande transporteuse. Au niveau des centrales, les opérations se passent de façon analogue, le déchargement des wagons et des péniches alimentent le stock de la centrale. Modifier le graphe G en introduisant des sommets qui représentent le lieu de stockage et les points de chargement et de déchargement (on remarquera que l on peut confondre sans inconvénient les points de déchargement des navires et les navires eux-mêmes, ainsi que le lieu de stockage d une centrale et la centrale elle-même). d) Ajouter les nouvelles bornes et capacité nécessaires pour tenir compte des renseignements regroupés dans le tableau ci-dessous. Donner un exemple numérique de flot réalisable sur le graphe obtenu. C 2 C 3 C 4 A B Capacité annuelle de déchargement des wagons 1.5Mt 1.5Mt 1.5Mt - - Capacité annuelle de déchargement des péniches 0.5Mt 1Mt 2.5Mt Capacité annuelle de déchargement des navires - - - 7Mt 2Mt Capacité annuelle de chargement des péniches - - - 3.5Mt 1.5Mt Capacité annuelle de chargement des wagons - - - 3.5Mt 1.5Mt Exercice 2 : Soit le graphe G = (X,U) ci-dessous a) Faire circuler un flot entre e et s. Quelle est la valeur du flot trouvé? b) Sans chercher le flot maximum donner un intervalle dans lequel la valeur de tout flot réalisable doit se trouver. Justifier ce résultat, c) Appliquer l algorithme de Ford-Fulkerson pour trouver le flot maximum. Débuter l algorithme à partir d un flot réalisable de valeur 5. Tracer un nouveau graphe avec ses propres marquages lors de chaque changement de flot dans l algorithme, e [1,5] [0,7] a b [0,2] [1,1] [0, ] [2,4] f c d [0, ] [0,2] [2,6] [1,4] [0,3] s 2
Exercice 3 : Une société de vente par correspondance gère un réseau commercial et logistique composé de trois centres de prises de commandes (C 1, C 2 et C 3 ) deux centres de préparation de commandes (P 1 et P 2 ) et deux centres de distribution (D 1 et D 2 ). Pour répondre à la demande, le directeur désire évaluer la capacité mensuelle du réseau, c est-à-dire le nombre maximum de commandes pouvant être prises, préparées et livrées en un mois. Le réseau possède les caractéristiques suivantes (exprimées en milliers de commandes par mois) : i) Les capacité des centres de prises de commande de C 1, C 2 et C 3 sont respectivement de 30, 30 et 10, ii) Les capacité de prise de préparation de P 1 et P 2 sont respectivement de 10 et 60, iii) Les capacité de distribution de D 1 et D 2 sont respectivement de 30 et 50, Chaque centre de prise de commande peut alimenter les deux centre de préparation. Toutefois, les capacités des liaisons informatiques limitent à 20000 commandes par mois le flux entre chaque centre C i et chaque centre P j. Le centre de distribution D 1 distribue uniquement les commandes préparées par le centre P 1. De même, D 2 distribue uniquement les commandes préparées par P 2. Le centre D 2 a la possibilité de transférer une partie de son activité au centre D 1. Ce transfert ne peut dépasser les 20000 commandes par mois. Il ne réduit pas la capacité de distribution de D 2. Parmi les clients de la société, les collectivité ne s adressent qu à C 3. Il y a un minimum de 5000 commandes par mois de ce type. a) Construire un réseau de transport modélisant cette situation, b) Installer sur ce graphe un flot complet en utilisant la méthode dite "sud-ouest". A quelle quantité de commandes correspond-il? Traduisez ce flot en termes d activité de chaque centre, c) Quelle quantité maximum de commandes l entreprise peut-elle traiter par mois? d) On s attend pour le mois prochain à une demande accrue de 70000 commandes. Pour augmenter la capacité du réseau de distribution, plusieurs solutions sont proposées : Le directeur commercial propose d augmenter les capacités de l un des centres de C 1 ou C 2, Le directeur informatique propose d augmenter les capacités de transmission des lignes au départ de C 1 et C 2, Le DRH propose de transférer temporairement (durant le mois pendant lequel la demande est accrue) du personnel de C 1 à C 3, ce qui permettrai un glissement d une capacité de 10000 commandes par mois au profit de C 3, Après une analyse de la coupe de capacité minimale, commentez la pertinence de ces propositions et évaluez les actions à entreprendre. Exercice 4 : La société COMMIX est spécialisée dans la conception et la gestion de réseaux de communication. Elle est contactée par un client souhaitant optimiser l utilisation de son réseau actuel. Ce réseau permet d acheminer des paquets d informations d un serveur e vers un serveur s. Sa structure est représentée dans le graphe ci-dessous où les sommets représentent des serveurs et les arcs des lignes de transmission. I) Optimisation de l exploitation du réseau (analyse d une vague) : Le fonctionnement du réseau est le suivant. En e, un serveur envoie un paquet d information à 3
travers le réseau. Ce paquet d information constitue une vague. Pour des raisons de fiabilité, le serveur n envoie une nouvelle vague d information que lorsqu il est certain que les information issues de vagues précédentes ne pourront se trouver sur une même voie en même temps. L intervalle minimum pour que cette condition soit respectée définit la cadence des vagues. A F e B D G s C E H Le client souhaite évaluer le nombre maximum d information qu il peut acheminer par vague, ainsi que la cadence des vagues. La durée d acheminement d une quantité quelconque d information sur une ligne est d une milliseconde, indépendamment de la longueur de cette ligne. Les capacités maximum d acheminement sur les lignes sont exprimées en nombre de paquets d information par millisecondes. Par exemple, sur la liaison ea, on peut envoyer au maximum 3 paquets par milliseconde (3p/ms). Les capacités maximales sur les autres liaisons sont regroupées ci-dessous : liaisons partant de e et B, 3p/ms, liaisons partant de A, C et D, 2p/ms, liaisons EG, 3p/ms, liaisons EH, 2p/ms, liaisons arrivant en s, 3p/ms. a) Construire un flot sur le réseau en utilisant la méthode dite de bas en haut. Procéder systématiquement chemin par chemin, en considérant à chaque étape le chemin partant de e le plus en bas sur le graphe, b) Déterminer le nombre maximum de paquet que l on peut acheminer par vague, c) Identifier une coupe minimale et vérifier le théorème de Ford-Fulkerson, d) Pour spécifier complètement une politique d acheminement, il convient de préciser le chemin que suit chaque paquet d information transmis. On appelle routage, la liste des chemins utilisés de e vers s, ainsi que pour chaque chemin de cette liste le nombre de paquets d information l empruntant. Donner un routage réaliste correspondant à la politique d acheminement trouvée au b), e) i) Considérant que les durées de traitement des serveurs sont négligeables, déterminer la durée que met une vague à parcourir le réseau ainsi que la cadence des vagues. ii) En considérant la coupe définie par A = {e,a,b,c,d,e,h}, montrer que l ajout d une ligne ee ne modifie pas le nombre de paquets transmis par vague. Qu en est-il de la durée et de la cadence de des vagues? 4
II) Contrôle sur le réseau Toute information émise par e doit être contrôlée une fois et une seule au cours de son cheminement avant de parvenir à s. Deux systèmes de contrôle exclusifs sont envisageables : contrôle en ligne (les dispositifs de contrôle sont placés sur les lignes) ou contrôle au serveur (les dispositifs de contrôle sont placés au niveau des serveurs). Le client souhaite comparer ces deux solutions. Pour ce faire, il convient de déterminer, dans chacun des deux cas, le nombre minimum de dispositifs de contrôle placés de telle sorte que tout paquet subisse un contrôle dans son acheminement de e vers s, a) Déterminer le nombre minimum de dispositifs de contrôle dans le cas d un contrôle en ligne. Pour démontrer le résultat, on utilisera un réseau de transport dans lequel chaque arc du graphe précédent aura une capacité unitaire, b) Montrer que le nombre minimum de dispositifs pour la solution de contrôle au serveur est toujours inférieure au nombre minimum de dispositifs de contrôle dans le cas d un contrôle en ligne, c) Déterminer le nombre minimum de dispositifs pour la solution de contrôle au serveur. On pourra utiliser un nouveau réseau de transport dont on précisera les arcs et les capacités, Exercice 5 : La société DARNAC, implantée en région parisienne, a pour activité principale la distribution d appareils électroménagers destinés au grand public. Dans le cadre de sa stratégie de développement, elle envisage, pour le trimestre prochain, de lancer un nouvel appareil révolutionnaire : le robot domestique JEFETOU. Après une étude de marché préalable, DARNAC a décidé de commercialiser les robots JEFETOU dans quatre de ses centres de distribution (C 1, C 2, C 3 et C 4 ) ; les demandes associées à ces centres sont respectivement de 100, 150, 130 et 120. L entreprise fabriquant le robot JEFETOU assure l approvisionnement jusqu aux dépôts de la société DARNAC. Les stocks disponibles dans chacun des dépôts sont initialement de 200, 200 et 100 respectivement. DARNAC entreprend maintenant d étudier l acheminement des robots depuis les dépôts vers les centres de distribution. Les capacités maximales de transport entre les dépôts D i et les centres de distribution C j sont représentées dans le tableau ci-dessous : C 1 C 2 C 3 C 4 D 1 100 70 30 0 D 2 60 60 50 50 D 3 0 20 50 70 1) a) Représenter la structure du problème d acheminement à l aide d un réseau de transport. Spécifier sur le réseau des capacités modélisant les contraintes du problème. Les bornes sont toutes fixées à 0 et pourront être omises dans la suite, b) Donner l interprétation des différents types d arcs et des flux circulant sur ces arcs, 5
En plus des éléments précédemment considérés, DARNAC souhaite tenir compte de deux spécificités : Les centres C 2 et C 3 constituent les vitrines technologiques de DARNAC. Il apparaît donc souhaitable qu un produit d avant garde ne soit pas en rupture de stock dans ces deux centres, Compte tenu des situations géographiques des dépôts et des centres, les coûts d acheminement sont sensiblement identiques à une exception près : le dépôt D 2 est extrêmement proche du centre C 1. Il apparaît donc souhaitable d utiliser le plus possible cette liaison. 2) On se propose dans la suite de modéliser ces deux spécificités en déclarant prioritaires les arcs concernés. Un flot respectant les priorités est un flot dont chacun des arcs prioritaire est saturé. a) Identifier les arcs prioritaires, b) Montrer, en le construisant, qu il est possible de déterminer un flot respectant les priorités. Rendre ce flot complet, 3) On cherche maintenant un algorithme permettant de déterminer un flot respectant les priorités de valeur maximale. Cette contrainte de priorité nécessite une très légère modification de l algorithme de Ford-Fulkerson a) Modifier la procédure de marquage de l algorithme de Ford-Fulkerson de façon à ne jamais détériorer les flux circulant sur les arcs prioritaires. On ne demande ici que l explicitation, modifiée, des deux marquages possibles (le reste de l algorithme, en particulier la procédure de changement de flot, restant inchangée), b) En modélisant autrement la notion de priorité sur un arc, montrer que l on retrouve immédiatement un énoncé habituel de la procédure de marquage, c) En partant du flot trouvé à la question 2)b), déterminer une politique d acheminement optimale respectant les priorités ; Indiquer les sommets marqués à l optimum. 4) On oublie maintenant les priorités a) En partant du flot trouvé à la question 3)c), déterminer une politique d acheminement optimale oubliant les priorités, b) b) Identifier une coupe de capacité minimale sur le réseau et lister les arcs qui composent cette coupe, 5) Peu satisfait des résultats obtenus jusqu à présents, les responsables du lancement commercial du robot JEFETOU s aperçoivent qu ils n ont pas tiré parti d un degré de liberté du problème, à savoir la possibilité de modifier la répartition des 500 robots entre les trois dépôts. Cette possibilité leur paraît d autant plus séduisante qu elle ne coûte rien à DARNAC puisque l approvisionnement aux dépôts est pris en charge par le fabricant a) Comment modifier le réseau de transport de façon à autoriser les changements de répartition (des 500 robots entre les trois dépôts) susceptibles d augmenter le nombre de robots acheminés? b) En oubliant les priorités et en partant de la meilleure politique trouvée jusqu à présent en 4)a), donner une répartition entre dépôts qui maximise la quantité de robots acheminés, c) En considérant à nouveau les priorités et en partant de la politique trouvée à la question 3)c), donner une répartition entre dépôts qui maximise la quantité de robots acheminés. 6
d) Expliquer à l aide de la notion de coupe, pourquoi une modification de la répartition entre dépôts peut avoir un impact sur la quantité de robots acheminés. Exercice 6 : Un grossiste en fleurs assure leur transport depuis Mougins et Valauris vers Paris. Ce transport est effectué par camionnettes de Valauris à Cannes et de Mougins à Cannes ou Grasse, puis par train ou avion de Cannes à Paris et par train de Grasse à Paris. Ce grossiste souhaite étudier le transport global par semaine durant l été de façon à envoyer un maximum de fleurs à Paris pour un coût minimal. Les camionnettes disponibles à Valauris permettent d acheminer au plus 400 cartons par semaine vers Cannes au coût unitaire de 2 francs ; celles de Mougins 400 cartons, dont la moitié vers Grasse au prix unitaire de 3 francs et l autre moitié vers Cannes au prix unitaire de 2 francs. De plus, Le grossiste doit limiter les envois par le train, trop lent, à 300 cartons dont 200 au plus depuis Cannes ; le coût unitaire étant alors de 10 francs de Grasse et de 9 francs de Cannes. Par avion, le coût unitaire est de 16 francs mais la rotation des avions ne permet pas d envoyer plus de 200 cartons par semaine de Cannes à Paris. Enfin, la production de Mougins ne peut excéder 200 cartons, tandis que celle de Valauris est toujours excédentaire 1) Modélisation a) Modéliser le problème à l aide d un graphe comportant 8 sommets, b) Comment simplifier le graphe précédent? 2) Résolution Nous allons chercher, par l algorithme de Roy, un flot maximum de coût minimum sur ce graphe. Cet algorithme peut s énoncer comme suit : début [1] prendre pour flot initial Φ 0 le flot nul de valeur v(φ 0 ) = 0. Poser i 0. [2] déterminer un chemin allant de e à s de coût minimal dans le graphe d écart G e (Φ i ) associé au flot Φ i. si un tel chemin n existe pas alors FIN (le flot obtenu est le flot cherché). [3] Au chemin trouvé en [2] correspond une chaîne améliorante dans G. Améliorer le flot dans G de la quantité maximale ε i permise par cette chaîne. Le nouveau flot Φ i+1 est de valeur v(φ i+1 ) = v(φ i ) + ε i [4] Tracer le graphe d écart G e (Φ i+1 ) associé à ce nouveau flot. Poser i i+1. Aller en [2]. Fin a) Appliquer cet algorithme à l exemple proposé. Expliciter la solution obtenue, b) Tracer la courbe de coût en fonction de la quantité acheminée. Commenter cette courbe. 7
Exercice 7 : Une agence matrimoniale a pour client un ensemble H d hommes et un ensemble F de femmes. Après présentation des dossiers des hommes aux femmes et réciproquement, il est apparu que certains mariages étaient tout à fait envisageables et d autres non. Pour qu un mariage entre un homme h et une femme f soit envisageables, il faut que f considère h comme un époux potentiel et que h considère f comme une épouse acceptable. L objectif de l agence est de réaliser un maximum de mariages. Actuellement, l agence est en contact avec 5 hommes (H = {Achille, César, Rodrigue, Roméo, M arius}) et 5 femmes (F = {Cléopâtre, Iphigénie, Juliette, F anny, Chimène}). Après avoir consulté les dossiers, chacun a déclaré avec qui il/elle pouvait envisager de se marier. Ces déclarations sont regroupées ci-dessous : Achille Cléopatre, Iphigénie, Juliette, Chimène César Cléopâtre, Fanny Rodrigue Juliette, Fanny, Chimène Roméo Juliette, Fanny, Chimène Marius Cléopâtre, Juliette, Fanny Cléopâtre Iphigénie Juliette Fanny Chimène Achille, César, Marius Achille, César, Rodrigue, Roméo, Marius Rodrigue, Roméo, Marius César, Marius Rodrigue, Roméo a) Construire un graphe dont les sommets représentent les hommes et les femmes et où une arête lie deux sommets représentant des individus dont le mariage est envisageables. A quel problème se réfère la détermination de l ensemble des mariages le plus grand possible? b) Ce problème est un cas particulier d un problème plus général appelé problème d affectation où il s agit d affecter des processeurs à des machines, des ouvriers à des tâches, des hommes à des femmes. Nous allons résoudre ce problème en le ramenant à la recherche d un flot maximum sur un réseau. Définir un réseau dont l ensemble des sommets sera X = H F {e,s}. On définira ce que représentent les arcs, leur borne et leur capacité, c) Quel est le nombre maximum de mariages? Pour répondre à cette question, on utilisera l algorithme de Ford-Fulkerson en débutant l algorithme avec le flot complet issu de la méthode dite de bas en haut, d) En fait, les personnes s adressant à l agence donnent des notes aux mariages qu ils jugeaient envisageables. La moyenne des deux notes attribuées par les deux personnes directement intéressées par chaque union est précisée dans le tableau ci-dessous. Trouver l ensemble des cinq mariages qui maximise la satisfaction totale des intéressés. On considérera que la satisfaction totale est représentée par la somme des notes des mariages célébrés. Cléopâtre Iphigénie Juliette Fanny Chimène Achille 6 14 César 13 10 Rodrigue 12 16 Roméo 18 17 Marius 11 14 8
Exercice 8 : On s intéresse au problème d arrondi pour des valeurs décimales contenues dans une matrice. On souhaite trouver une procédure d arrondi des valeurs qui assure que la valeur arrondie de chaque somme (en ligne et en colonne) corresponde à la somme (en ligne et en colonne) des valeurs arrondies de la matrice ; On souhaite aussi vérifier que la somme pour toutes les colonnes des sommes en ligne soit égale à la somme pour toutes les lignes des sommes en colonnes. On qualifie de valide procédure d arrondi vérifiant cette propriété. L exemple ci-dessous illustre ce problème. 10.1 3.1 13.2 10 3 13 7.6 9.3 16.9 8 9 17 17.7 12.4 30.1 18 12 30 1) Pour résoudre ce problème, on se propose, dans un premier temps, d appliquer la procédure d arrondi standard{ qui consiste à arrondir chaque valeur à la valeur entière la plus proche, c està-dire : Si x ent(x) > 0.5 alors, arrondi(x) = ent(x) + 1 Si x ent(x) 0.5 alors, arrondi(x) = ent(x) Appliquer cette procédure à la matrice ci-dessous. Que constatez vous? 3.1 6.8 7.3 17.2 9.6 2.4 0.7 12.7 3.6 1.2 6.5 11.3 16.3 10.4 14.5 41.2 2) Compte tenu du constat fait à la question précédente, on se propose trouver une résolution plus satisfaisante et de modéliser ce problème d arrondi par un problème de flot. Soit une matrice A = [a ij ] ayant p lignes et q colonnes. On note α i = p k=1 a ik et β j = q k=1 a kj. On définit un graphe G = (X,U) de la manière suivante. A chaque ligne i de la matrice A est associé un sommet L i, à chaque colonne j de la matrice A est associé un sommet C i. On définit l ensemble des sommets par X = {C i, i = 1,...,p} {C j, j = 1,...,q} {e,s}. Les sommets de X sont reliés par les arcs suivant : (e,l i ), i = 1,...,p, avec b(e,l i ) = Ent(α i ),k(e,l i ) = Ent(α i ) + 1, (C j,s),j = 1,...,q, avec b(c j,s) = Ent(β j ),k(c j,s) = Ent(β j ) + 1, (L i,c j ),i = 1,...,p,j = 1,...,q, avec b(l i,c j ) = Ent(a ij ),k(l i,c j ) = Ent(a ij ) + 1, Tracer le graphe associé à la matrice 3 3 de la question 1) en prenant soin d aligner verticalement les sommets L i de sorte que L 1 soit positionné plus bas que L 2 puis que L 3 (procéder de façon similaire avec les sommets C j ). Montrer que la détermination d un flot réalisable de valeur entière sur ce réseau de transport permet d identifier une procédure d arrondi valide. Justifier ce résultat. 3) Déterminez la matrice arrondie de la matrice de la question 1) correspondant au flot complet Φ 0 issu de la méthode dite de bas en haut. Quelle est la valeur du flot Φ 0 obtenu? Que représente cette valeur? 9
4) On cherche à déterminer la matrice arrondie A = [a ij ] la plus proche de la matrice initiale A = [a ij ]. Pour cela on se propose de minimiser la fonction d erreur suivante : i=1,...,p,j=1,...,q a ij a ij + i=1,...,p α i α i + j=1,...,q β j β j où β j représente la valeur arrondie de la colonne j (dans la matrice A ) et α i représente la valeur arrondie de la ligne i (dans la matrice A ). Quelle est la valeur de la fonction d erreur pour la matrice arrondie obtenue à la question 3)? 5) On souhaite formaliser ce problème par la recherche d un flot de coût minimum sur le graphe précédent. Construire le graphe d écart G e (Φ 0 ). Quelles sont ses propriétés particulières en ce qui concerne les bornes et les capacités? Les coûts associés aux arcs de G e (Φ 0 ) seront définis de sorte qu ils représentent la variation de la valeur de la fonction d erreur liée à l augmentation ou la diminution d une unité du flux sur l arc correspondant dans le graphe G. Par exemple, l arc (C 1,L 1 ) dans le graphe G e (Φ 0 ) représente la possibilité de retirer une unité d un flux sur l arc (L 1,C 1 ) dans le graphe G. Cette modification induira de (3.1-4)+(3.1-3)=-0.8 ; Construire ce graphe. 6) Que représente un circuit de valeur négative (au sens des coûts) dans le graphe d écart G e (Φ 0 )? un chemin de e à s de valeur négative? un chemin de s à e de valeur négative? 7) Montrer par un argument simple que le chemin s C 1 L 1 e est minimal au sens des coûts dans G e (Φ 0 ), parmi tous les chemins de e à s ou de s à e. Expliquez ce que représente ce chemin du point de vue de la matrice obtenue au 3). Procédez au changement de flot correspondant pour obtenir un nouveau flot Φ 1. Quelle est la valeur du flot Φ 1 obtenu? Quelle est la nouvelle matrice arrondie obtenue? Quelle est la valeur de la fonction d erreur pour cette nouvelle matrice arrondie? 8) Construire G e (Φ 1 ) et montrer qu il existe dans ce graphe un circuit de longueur négative. Identifier ce circuit de coût minimum et déterminer le nouveau flot Φ 2, la matrice arrondie correspondante ainsi que la valeur de la fonction d erreur associée. 9) Le graphe G e (Φ 2 ) contient-il des circuits de longueur négative? Peut-on encore modifier la matrice arrondie de sorte de diminuer la fonction d erreur correspondante? 10