Les parties A et B sont indépendantes. Partie A Exercice 3 (5 points) Commun à tous les candidats On considère la fonction A définie sur l'intervalle [1 ; + 00 [ par A(x) = 1-e -0039' ' x 1. Calculer la limite de A(x) quand x tend vers + 00. 2. On admet que la fonction A est dérivable sur [1 ; + 00 [ et on note A' sa fonction déri vée sur cet intervalle. Montrer que, pour tout x appartenant à [1 ; + 00 [ on a -0 156e- 0,039x A '() -'-,..--,-,--,------:-- X = (l_e-0,039x)2 3. Justifier que A' (x) < apour tout x appartenant à [1 ; + 00 [. Dresser le tableau de variation de A sur [1 ; + 00 [. Partie B Un particulier souhaite réaliser auprès d'une banque un emprunt d'un montant de 100 000!à un taux annuel fixé. On admet que, si l'on réalise cet emprunt sur une durée de n années (n 1), le montant d' une annuité (somme à rembourser chaque année, pendant n ans) est donné en milliers d'euros par A(n)= l_e-0,039n. Pour un emprunt fait sur n années (n 1), on note: Sen) le montant total payé à la banque au bout des n années (en milliers d'euros) ; l(n) le total des intérêts payés à la banque au bout des n années (en milliers d'euros). Dans les questions qui suivent, on donnera les résultats arrondis au millième. 1. Calculer A( 1), A( 1 0) et A(20) et interpréter ces résultats. 2. Démontrer que 1 (n) = 1- -100 pour tout n 1. 3. Recopier et compléter le tableau suivant sur votre feuille. Durée de l'emprunt 11 la ans 15 ans 20 ans Montant d'une annuité A(n) Montant S(n) des Il armuités payées à la banque Intérêts 1(11) versés à la banque lomaoeinl Page: 6/1 0
. Pour faciliter l'étude des valeurs de A(n), Sen) et J(n), on utilise les fonctions A, S et J définies sur (1 ; 20] par: x x A(x) = 0039 S(x) = 00"9 J(x) = -00'9-100. 1-e-'.t l-e-"x 1-e,'X On a représenté respectivement en ANNEXE 1 ci-après les fonctions A et S par les courbes <ea et <es sur l'intervalle (1 ; 20]. a. Expliquer conunent utiliser le graphique de l'annexe 1 pour retrouver J(10). b. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. Expliquer conunent déterminer graphiquement sur l'annexe 1 le sens de variation du montant total des intérêts à payer en fonction de la durée du remboursement de l'emprunt. lomaoeinl Page: 7/ 10
ANNEXE 1 : exercice 3 À rendre avec la copie "10 <es 120 "100 80 60 0 20 o o 2 ) 8 "12 16 "18 lomaoeinl Page : 9/10
EXERCICE 3 Partie A 1. lim x + e 0,039x = lim X ex = 0 et donc lim x + 1 e 0,039x = 1 0 =. lim A(x) =. x + 2. e 0,039x est de la forme e u(x) avec u(x) = 0, 039x. La dérivée de e u(x) est u (x)e u(x) et donc ( e 0,039x ) =( 0, 039x) e 0,039x = 0, 039e 0,039x. On en déduit encore que (1 e 0,039x ) = 0 (e 0,039x ) = 0, 039e 0,039x. Ensuite, pour tout réel x 1, 1 A(x) = 1 e 0,039x. 1 1 e 0,039x est de la forme 1 u(x) avec u(x) =1 1 e 0,039x. La dérivée de u(x) est u (x) u 2 (x) et donc ( ) A 1 (x) = 1 e 0,039x = ( (1 e 0,039x ) (1 e 0,039x ) 2 Pour tout réel x 1, A (x) = ) = 0, 039e 0,039x 0, 156e 0,039x (1 e 0,039x = ) 2 (1 e 0,039x ) 2. 0, 156e 0,039x (1 e 0,039x ) 2. 3. Pour tout réel x 1, e 0,039x >0et donc 0, 156e 0,039x <0. D autre part, (1 e 0,039x ) 2 >0. On en déduit que 0, 156e 0,039x (1 e 0,039x <0et donc que ) 2 pour tout réel x 1, A (x) <0. La fonction A est donc strictement décroissante sur [1, + [. On en déduit le tableau de variation de la fonction A sur [1, + [ : x 1 + A x) 10, 577... A (x) A(0) = = 10, 577... 1 e 0,039 Partie B 1. La machine fournit A(1) =10, 577 arrondi au millième, A(10) =12, 386 arrondi au millième et A(20) =7, 386 arrondi au millième. Ainsi, si l emprunt dure 1 an, le montant de l unique annuité est 10 577 euros arrondi à l euro, si l emprunt dure 10 ans, le montant de chaque annuité est 12 386 euros arrondi à l euro et si l emprunt dure 20 ans, le montant de chaque annuité est 7 386 euros arrondi à l euro. 2. Le total des intérêts payés à la banque au bout de n années est égal à la somme remboursée au bout de n années moins le montant de l emprunt. Chaque année, l entreprise rembourse A(n) euros et donc au bout de n années, l entreprise n rembourse S(n) =na(n) = milliers d euros. Le total des intérêts payés à la banque au bout de n années est 1 e 0,039n n donc I(n) = 100 milliers d euros. 1 e 0,039n 3. La machine fournit Durée de l emprunt n 10 ans 15 ans 20 ans Montant d une annuité A(n) 12, 386 9, 032 7, 386 Montant S(n) des n annuités payées à la banque 123, 861 135, 73 17, 712 Intérêts I(n) versés à la banque 23, 861 35, 73 7, 712. a. Pour tout réel x supérieur ou égal à 1, I(x) =S(x) 100. Donc la courbe C I s obtient en descendant la courbe C S de 100 unités. S(10) est l ordonnée du point de la courbe C S d abscisse 10. I(10) est alors S(10) 100. Voir graphique page suivante. http ://www.maths-france.fr 3 c Jean-Louis Rouget, 2011. Tous droits réservés.
10 C S S(10) 120 100 80 60 0 C I I(10) 20 C A 2 6 8 10 12 1 16 18 b. Quand on lit le graphique de gauche à droite, la courbe C S semble monter. Mais alors la courbe C I semble monter et donc il semble que la fonction I soit croissante sur [1, + [. http ://www.maths-france.fr c Jean-Louis Rouget, 2011. Tous droits réservés.