Chapitre 3 Chapitre 3. Mécanique des fluides Ce chapitre propose un ensemble d activités de statique de mécanique des fluides. De la notion de pression à la poussée d Archimède avec un petit détour sur la mesure du temps chez les anciens.
Mécanique des fluides 279 Sommaire Chapitre 3. Mécanique des fluides... 278 PRESSION DANS UN FLUIDE... 280 (Fiche professeur)... 280 PRESSION DANS UN FLUIDE... 285 (Fiche élève)... 285 PRESSION DANS L EAU... 291 (Fiche professeur)... 291 PRESSION DANS L EAU... 297 (Fiche élève)... 297 AUTOUR DE LA PRESSION ATMOSPHÉRIQUE... 302 (Fiche professeur)... 302 AUTOUR DE LA PRESSION ATMOSPHÉRIQUE... 309 (Fiche élève)... 309 LA POUSSÉE D ARCHIMÈDE... 315 (Fiche professeur)... 315 LA POUSSÉE D ARCHIMÈDE... 323 (Fiche élève)... 323 COMPRENDRE LE FONCTIONNEMENT DES CLEPSYDRES... 331 (Fiche professeur)... 331 COMPRENDRE LE FONCTIONNEMENT DES CLEPSYDRES... 343 (Fiche élève)... 343
280 Expérimenter en sciences avec TI-Nspire PRESSION DANS UN FLUIDE (Fiche professeur) Auteur : Jean-Louis Balas TI-Nspire CAS Mots-clés : pression, gaz, fluides, Boyle, Mariotte, baromètre, météorologie. Fichiers associés : pression-prof.tns ; pression-eleve.tns 1. Objectifs Savoir que la différence de pression entre deux points d un liquide dépend de la différence de profondeur. Savoir que la quantité maximale de gaz dissous dans un volume donné de liquide augmente avec la pression. Savoir que, à pression et température données, un nombre donné de molécules occupe un volume indépendant de la nature du gaz. Pratiquer une démarche expérimentale pour établir un modèle à partir d une série de mesures. 2. Énoncé Les ballons-sondes sont utilisés en météorologie pour mesurer des grandeurs physiques liées à l atmosphère, comme la température, la pression ou l hygrométrie. Pourquoi un ballon-sonde éclate-t-il à haute altitude?
Mécanique des fluides 281 Comme la plupart des êtres vivants, les poissons ont besoin de respirer du dioxygène. Comment expliquer que les poissons puissent vivre dans l eau? 3. Matériel un lab cradle et une calculatrice TI-Nspire, un capteur de pression, une bouteille plastique, un cristallisoir, de la glace, des comprimés effervescents, un dispositif de chauffage. 4. Conduite de l activité L activité comprend 4 petites expériences qui se proposent de donner des éléments de réponses aux questions amorcées dans l énoncé. Selon le temps dont le professeur dispose, il pourra inclure ces problématiques dans une démarche d investigation. - La pression dans un fluide dépend de la force qui s exerce sur un matériau, les gaz sont compressibles, les liquides sont peu compressibles. - La pression dans un fluide dépend de la température. - La pression dans un gaz dépend de sa composition. Préparer le dispositif expérimental comme sur la figure ci-contre. Dans un premier temps, conserver la bouteille totalement vide. S assurer de l étanchéité parfaite du bouchon. Connecter le capteur de pression à la centrale d acquisition.
282 Expérimenter en sciences avec TI-Nspire Mettre le pointeur dans la zone où sont affichés les paramètres de l acquisition. Appuyer sur les touches / b pour modifier les paramètres de l acquisition de données. Choisir le menu 3 : Configuration de l acquisition. Choisir une acquisition en fonction du temps avec 10 échantillons par seconde sur une durée totale de 25 secondes. a. Première expérience Appuyer sur la bouteille et observer les variations de pression sur le compteur. b. Seconde expérience Remplir la bouteille au tiers de sa capacité avec de l eau à température ambiante. Préparer un cristallisoir contenant de l eau très chaude (70 C) environ. Refermer soigneusement la bouteille puis la plonger dans le cristallisoir. Déclencher l acquisition en appuyant sur l icône. Observer les variations de pression.
Mécanique des fluides 283 Procéder comme à l expérience précédente en préparant cette fois-ci un cristallisoir contenant de la glace ou un mélange d eau et de glace. Placer la bouteille dans le cristallisoir. Déclencher une nouvelle acquisition après avoir enregistré la précédente en cliquant sur l icône. Observer les variations de pression. c. Troisième expérience Préparer de nouveau une bouteille remplie avec un tiers d eau à température ambiante. Introduire rapidement dans la bouteille deux comprimés de médicament effervescent (type aspirine), refermer rapidement la bouteille, puis déclencher l enregistrement des données. Retrouver, en analysant la représentation graphique, les différentes étapes. Ouverture de la bouteille (pression atmosphérique) Fermeture Dégagement gazeux Sélectionner la portion de données correspondant à une variation de la pression durant le dégagement gazeux des comprimés effervescents. Exclure les autres données. / b puis choisir 6 : Exclure les données et enfin 2 : Région extérieure sélectionnée.
284 Expérimenter en sciences avec TI-Nspire Analyser la représentation graphique de l évolution de la pression en fonction du temps. Comparer cette variation de pression de manière relative à celle de deux fronts de masse d air. Peut-on affirmer qu il y eut une tempête dans la bouteille?
Mécanique des fluides 285 PRESSION DANS UN FLUIDE (Fiche élève) TI-Nspire CAS Mots-clés : pression, gaz, fluides, Boyle, Mariotte, baromètre, météorologie. Fichiers associés : pression-prof.tns ; pression-eleve.tns 1. Objectifs Savoir que la différence de pression entre deux points d un liquide dépend de la différence de profondeur. Savoir que la quantité maximale de gaz dissous dans un volume donné de liquide augmente avec la pression. Savoir que, à pression et température données, un nombre donné de molécules occupe un volume indépendant de la nature du gaz. Pratiquer une démarche expérimentale pour établir un modèle à partir d une série de mesures. 2. Énoncé Les ballons-sondes sont utilisés en météorologie pour mesurer des grandeurs physiques liées à l atmosphère, comme la température, la pression ou l hygrométrie. Pourquoi un ballon-sonde éclate-t-il à haute altitude? Vos hypothèses :..
286 Expérimenter en sciences avec TI-Nspire.. Comme la plupart des êtres vivants, les poissons ont besoin de respirer du dioxygène. Comment expliquer que les poissons puissent vivre dans l eau? Vos hypothèses :.... 3. Matériel Un lab cradle et une calculatrice TI-Nspire, un capteur de pression, une bouteille plastique, un cristallisoir, de la glace, des comprimés effervescents, un dispositif de chauffage. 4. Conduite de l activité L activité comprend 4 petites expériences qui se proposent de donner des éléments de réponses aux questions amorcées dans l énoncé. Selon le temps dont le professeur dispose, il pourra inclure ces problématiques dans une démarche d investigation. - La pression dans un fluide dépend de la force qui s exerce sur un matériau, les gaz sont compressibles, les liquides sont peu compressibles. - La pression dans un fluide dépend de la température. - La pression dans un gaz dépend de sa composition. Préparer le dispositif expérimental comme sur la figure ci-contre. Dans un premier temps, conserver la bouteille totalement vide. S assurer de l étanchéité parfaite du bouchon. Connecter le capteur de pression à la centrale d acquisition.
Mécanique des fluides 287 Mettre le pointeur dans la zone où sont affichés les paramètres de l acquisition. Appuyer sur les touches / b pour modifier les paramètres de l acquisition de données. Choisir le menu 3 : Configuration de l acquisition. Choisir une acquisition en fonction du temps avec 10 échantillons par seconde sur une durée totale de 25 secondes. Appeler le professeur pour vérifier les paramètres d acquisition. a. Première expérience Appuyer sur la bouteille et noter les variations de pression sur le compteur. b. Seconde expérience Remplir la bouteille au tiers de sa capacité avec de l eau à température ambiante. Préparer un cristallisoir contenant de l eau très chaude (70 C) environ. Refermer soigneusement la bouteille puis la
288 Expérimenter en sciences avec TI-Nspire plonger dans le cristallisoir. Déclencher l acquisition en appuyant sur l icône. Commenter les variations de pression. Procéder comme à l expérience précédente en préparant cette fois-ci un cristallisoir contenant de la glace ou un mélange d eau et de glace. Placer la bouteille dans le cristallisoir. Déclencher une nouvelle acquisition après avoir enregistré la précédente en cliquant sur l icône. Commenter les variations de pression. c. Troisième expérience Préparer de nouveau une bouteille remplie avec un tiers d eau à température ambiante. Introduire rapidement dans la bouteille deux comprimés de médicament effervescent (type aspirine), refermer rapidement la bouteille, puis déclencher l enregistrement des données. Noter sur la représentation graphique les différentes étapes. Ouverture de la bouteille (pression atmosphérique) (1) Fermeture (2) Dégagement gazeux (3)
Mécanique des fluides 289 Sélectionner la portion de données correspondant à une variation de la pression durant le dégagement gazeux des comprimés effervescents. Exclure les autres données. / b puis choisir 6 : Exclure les données et enfin 2 : Région extérieure sélectionnée. Analyser la représentation graphique de l évolution de la pression en fonction du temps. Déterminer la variation de pression durant un intervalle de temps de 10 s. En supposant que la variation de pression se poursuive selon le même modèle, quelle sera la pression de l air à l intérieur de la bouteille à l instant t = 25 s?
290 Expérimenter en sciences avec TI-Nspire Comparer cette variation de pression de manière relative à celle de deux fronts de masse d air. Peut-on affirmer qu il y eut une tempête dans la bouteille?....
Mécanique des fluides 291 PRESSION DANS L EAU (Fiche professeur) Auteur : Pascal Leroy TI-Nspire CAS Mots-clés : pression relative, pression absolue, modélisation. Fichiers associés : pression_hydro.tns ; M10nEleve_PressionHydrostatique.pdf 1. Objectifs Déterminer expérimentalement les variations de pression au sein d un fluide. Distinguer pression atmosphérique, pression relative et pression absolue. Pratiquer une démarche expérimentale pour établir un modèle à partir d une série de mesures. Utiliser la formule : p B p A = gh. 2. Matériel Une calculatrice graphique TI-Nspire, Une interface d acquisition LabStation, Un capteur de pression Vernier, Un tube cylindrique gradué contenant de l eau, Un tuyau souple relié au capteur.
292 Expérimenter en sciences avec TI-Nspire 3. Énoncé Lors d une mission scientifique en vue d explorer la faune et la flore de la fosse des Mariannes, le sous-marin «JV AUFOND» progresse et s enfonce dans des eaux noires et froides de l océan. Ce sous-marin peut supporter des pressions jusqu à 500 bars. Sur le tableau de commande, Olivier, le pilote du sous-marin, vérifie les différents afficheurs lui indiquant la pression, la profondeur, la vitesse. Le manomètre indique une pression de 413 bars (tout va bien!!!). L'exploration peut continuer et Olivier décide de poursuivre la descente. Un peu plus tard, le manomètre indique 493 bars alors que le sonar situe la zone de la plaine abyssale à étudier encore 60 m plus bas. Le sous-marin pourra-t-il se poser, sans risque, pour effectuer des prélèvements de roches? Quelques informations La fosse des Mariannes est la fosse océanique la plus profonde actuellement connue. Elle est située dans la partie nord-ouest de l'océan Pacifique, à l'est des Îles Mariannes. 4. Attentes du professeur sur le déroulement de séance dans la 1 re partie La première partie permet de vérifier si l élève s est approprié la problématique et s il est capable de proposer, en fonction du matériel à sa disposition, un protocole expérimental permettant de répondre à la question qui lui a été posée : Mesure de la pression au sein d un liquide en fonction de la profondeur, Formulation d une hypothèse (la pression augmente en même temps que la profondeur), Proposition sur un protocole expérimental pertinent et qui permet la mesure d une pression et d une profondeur (proposition attendue par le professeur, une mesure tous les 0,05 m), Vérification du vocabulaire scientifique. Il est important que le professeur ne donne pas, avant l appel n 1, la partie concernant la phase d expérimentation à l élève (montage expérimental, réglages des paramètres d acquisitions, exploitation des mesures et modélisation ).
Mécanique des fluides 293 5. Conduite de l activité expérimentale 1) Préparation Préparer le dispositif expérimental comme sur la figure cicontre. Connecter le capteur de pression à l interface d acquisition. Engager l interface d acquisition «Lab cradle» sur la calculatrice. On peut fixer, avec du ruban adhésif transparent, le tube ou le tuyau souple du capteur sur un réglet. Tenir compte de la hauteur d'eau dans le tube pour la profondeur exacte. Ouvrir un nouveau document avec l'application Dataquest. Le capteur est automatiquement identifié (voir figure). Si celui-ci n est pas automatiquement reconnu, appuyer sur la touche b puis choisir : 1 Expérience, puis A Configuration avancée, et enfin, 3 Configurer le capteur. Choisir ensuite le capteur dans la liste proposée.
294 Expérimenter en sciences avec TI-Nspire 2) Réglage du mode d acquisition Effectuer les réglages suivants : b 1 Expérience, 7 Mode d acquisition, 2 Événements associés à une entrée. On souhaite mesurer la pression (KPa) en fonction de la profondeur (m). Nom : profondeur Unités : m. 3) Acquisition des données Démarrer l acquisition. b 1 Expérience, 2 Démarrer l acquisition. Ne pas plonger le tuyau qui est relié au capteur dans le cylindre d eau, on mesure la pression atmosphérique quand h = 0. Appuyer sur l icône pour afficher la hauteur (saisir la valeur 0, puis appuyer sur ). Réaliser une seconde mesure pour une profondeur de 5 cm dans la colonne d eau (descendre le tuyau). Le capteur mesure la pression à cette profondeur. Appuyer sur l icône pour afficher la hauteur (saisir la valeur 0,05), puis appuyer sur. Il est important de faire les mesures dans cet ordre : tuyau dans l eau à la profondeur souhaitée, puis seulement après afficher la profondeur et valider. Pour optimiser, automatiquement, l'affichage du nuage de
Mécanique des fluides 295 points à la taille de votre fenêtre graphique, on utilise l échelle automatique. 3Graphique, 7 Mise à l échelle automatique maintenant. Poursuivre les mesures jusqu à une profondeur de 0,70 m, puis arrêter l acquisition. L expérience terminée, enregistrer les données en appuyant sur l icône. 4) Analyse des données Afin de déterminer la relation entre la pression et la profondeur, modéliser par un modèle approprié le nuage de points obtenu expérimentalement. 4 Analyser, 6 Ajustement des courbes, 1 Linéaire.
296 Expérimenter en sciences avec TI-Nspire Comment évolue la pression d un corps immergé en fonction de la profondeur? Indiquer la relation trouvée. Choisir, parmi les propositions suivantes, la relation correspondant à la modélisation réalisée. Justifier la réponse par des calculs. p = g p atm h + p = ( + g) h + p atm p = g h + p atm p = g h + p atm 5) Réponse à la question posée par le problème Le sous-marin peut-il descendre encore de 60 m? La différence de pression p, en pascals, entre deux points A et B d un liquide au repos est donnée par la relation : p B p A = gh. Données : Unité de pression : 1 bar = 100 000 Pa. Masse volumique de l eau de mer : ρ eau de mer = 1 030 kg/m 3. g = 10 N/kg. Déterminer la pression s exerçant sur le sous-marin s il continue sa descente de 60 m supplémentaires. Répondre à la problématique. Rédiger la réponse. pb p A gh 1030 10 60 618000 Pa Le sous-marin peut encore descendre de 60 m car la pression sous le sous marin est de 6,18 + 493 = 499,18 bars.
Mécanique des fluides 297 PRESSION DANS L EAU (Fiche élève) TI-Nspire CAS Mots-clés : pression relative, pression absolue, modélisation. 1. Objectifs Déterminer expérimentalement les variations de pression au sein d un fluide. Distinguer pression atmosphérique, pression relative et pression absolue. Pratiquer une démarche expérimentale pour établir un modèle à partir d une série de mesures. Utiliser la formule : p B p A = gh. 2. Matériel Une calculatrice graphique TI-Nspire, Une interface d acquisition LabStation, Un capteur de pression Vernier, Un tube cylindrique gradué contenant de l eau, Un tuyau souple relié au capteur.
298 Expérimenter en sciences avec TI-Nspire 3. Énoncé Lors d une mission scientifique en vue d explorer la faune et la flore de la fosse des Mariannes, le sous-marin «JV AUFOND» progresse et s enfonce dans des eaux noires et froides de l océan. Ce sous-marin peut supporter des pressions jusqu à 500 bars. Sur le tableau de commande, Olivier, le pilote du sous-marin, vérifie les différents afficheurs lui indiquant la pression, la profondeur, la vitesse. Le manomètre indique une pression de 413 bars (tout va bien!!!). L'exploration peut continuer et Olivier décide de poursuivre la descente. Un peu plus tard, le manomètre indique 493 bars alors que le sonar situe la zone de la plaine abyssale à étudier encore 60 m plus bas. Le sous-marin pourra-t-il se poser, sans risque, pour effectuer des prélèvements de roches? Quelques informations La fosse des Mariannes est la fosse océanique la plus profonde actuellement connue. Elle est située dans la partie nord-ouest de l'océan Pacifique, à l'est des Îles Mariannes. 4. Relation liant pression et profondeur Comment évolue la pression d un corps immergé en fonction de la profondeur? Justifier la réponse en utilisant les constats effectués par Olivier.......... Proposer une étude expérimentale de la pression en fonction de la profondeur dans un liquide sachant que l on dispose du matériel précisé en page précédente. Le capteur de pression relié à la console d acquisition LabStation permet de relever et d exploiter des mesures. Le protocole proposé devra être accompagné d un schéma légendé et préciser les mesures qui devront être réalisées................
Mécanique des fluides 299............... Appel n 1 Appeler le professeur afin de lui présenter le protocole expérimental, préciser les grandeurs mesurées et justifier oralement la réponse à la première question. 5. Conduite de l activité expérimentale 1) Préparation Réaliser le protocole validé par le professeur en suivant les indications ci-dessous permettant l utilisation du capteur de pression. Connecter le capteur de pression à l interface d acquisition. Engager l interface d acquisition «Lab cradle» sur la calculatrice. Ouvrir un nouveau document avec l'application Dataquest. Vérifier que le capteur est identifié (voir figure). 2) Réglage du mode d acquisition Pour régler le mode d acquisition, respecter les consignes
300 Expérimenter en sciences avec TI-Nspire suivantes. b 1 Expérience, 7 Mode d acquisition, 2 Événements associés à une entrée. Mesurer la pression (KPa) en fonction de la profondeur (m). Nom : profondeur Unités : m. 3) Acquisition des données Démarrer l acquisition. b 1 Expérience, 2 Démarrer l acquisition. Ne pas plonger le tuyau qui est relié au capteur dans le cylindre d eau, on mesure la pression atmosphérique quand h = 0. Appuyer sur l icône pour afficher la hauteur (saisir la valeur 0, puis appuyer sur ). Réaliser une seconde mesure pour une profondeur de 5 cm dans la colonne d eau (descendre le tuyau). Le capteur mesure la pression à cette profondeur. Appuyer sur l icône pour afficher la hauteur (saisir la valeur 0,05), puis appuyer sur. Pour optimiser, automatiquement, l'affichage du nuage de points à la taille de votre fenêtre graphique, on utilise l échelle automatique. 3Graphique, 7 Mise à l échelle automatique maintenant. Poursuivre les mesures jusqu à une profondeur de 0,70 m, puis arrêter l acquisition. L expérience terminée, enregistrer les données en appuyant sur l icône.
Mécanique des fluides 301 4) Analyse des données Afin de déterminer la relation entre la pression et la profondeur, modéliser par un modèle approprié le nuage de points obtenu expérimentalement. 4 Analyser, 6 Ajustement des courbes, 1 Linéaire. Comment évolue la pression d un corps immergé en fonction de la profondeur? Indiquer la relation trouvée sur l écran de la calculatrice....... Choisir, parmi les propositions suivantes, la relation correspondant à la modélisation réalisée. Justifier la réponse par des calculs. p = g p atm h + p = ( + g) h + p atm p = g h + p atm p = g h + p atm......... 5) Réponse à la question posée par le problème : le sous-marin peut-il descendre encore de 60 m? La différence de pression p, en pascals, entre deux points A et B d un liquide au repos est donnée par la relation : p B p A = gh. Données : masse volumique de l eau de mer : ρ eau de mer = 1 030 kg/m 3 ; g = 10 N/kg ; unité de pression : 1 bar = 100 000 Pa ; Déterminer la pression s exerçant sur le sous-marin s il continue sa descente de 60 m supplémentaires....... Répondre à la problématique et rédiger la réponse.......
302 Expérimenter en sciences avec TI-Nspire AUTOUR DE LA PRESSION ATMOSPHÉRIQUE (Fiche professeur) Auteur : Jean-Louis Balas TI-Nspire CAS Mots-clés : air, atmosphère, pression, météorologie, hygrométrie, masse d air. Fichiers associés : M12nEleve_PressionAtmosphere.pdf ; M12nEleve_PressionAtmosphere.tns ; M12nProf_ PressionAtmosphere.tns ; M12n_VariationsDePression.tnsp 1. Objectifs Mettre en œuvre un protocole expérimental pour mesurer la pression atmosphérique. Prendre conscience que l air a une masse. Comprendre le rôle des variations de la pression atmosphérique dans la formation des nuages. 2. Matériel Un baromètre. Une sonde de température. Un tube souple en caoutchouc s adaptant sur le capteur et un petit robinet en plastique (aquarium). Un ballon de baudruche. Une calculatrice TI-Nspire. Une centrale d acquisition Labstation. Une bouteille plastique souple.
Mécanique des fluides 303 3. Commentaires La pression atmosphérique correspond au poids exercé par une colonne d'air sur une surface donnée. Nous la mesurons en météorologie en hectopascals ( hpa ) sachant que 1 hpa = 100 Pa (100 pascals). La valeur de la pression atmosphérique peut se mesurer avec le baromètre de TORRICELLI. Un tube de verre, plein de mercure (Hg), est fermé à une extrémité. On le retourne dans un bac contenant du mercure Hg. La force F exercée sur la surface libre dans le bac par la pression atmosphérique empêche le tube de se vider et laisse dans le tube une colonne de mercure de 76 cm (0,76 m) de hauteur. Cette colonne de 76 cm de mercure représente la valeur de la pression atmosphérique normale, c'est-à-dire au niveau de la mer. La masse volumique du mercure est 13 600 kg.m -3. En pascals, nous aurons : p = w.h = (13 600 x 9,81) x 0,76 donc p = 101 396 pascals, soit 1,014 bar = 1 014 millibars (p en pascals; h en mètres). Rappel : 1 014 Hpa = 1,014 bar = 1 014 mbar. La mesure de la pression atmosphérique est réalisée à l aide du baromètre «Vernier», celle-ci est ajustée à son équivalent au niveau de la mer. Le cœur de ce circuit est le capteur de pression Sensym SCX15ANC. Il dispose d'une membrane qui fléchit avec les variations de pression. Ce capteur est conçu pour une mesure de la pression absolue. Un côté de la membrane est constitué de vide. le capteur produit une tension de sortie qui varie de manière linéaire avec la pression absolue. il comprend un circuit spécial pour minimiser les erreurs provoquées par des variations de température. Selon le type d activité réalisée par le professeur, celui-ci pourra éventuellement calibrer le capteur ou bien effectuer un ajustement à l aide des fonctions du logiciel. Cela sera nécessaire pour ramener la pression au niveau de la mer alors que le baromètre est situé à une altitude h. Consulter la documentation du capteur : http://www.vernier.com/files/manuals/bar-bta.pdf Correction à apporter pour ramener une mesure P h au niveau de la mer : http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/kinetic/barfor.html#c3
304 Expérimenter en sciences avec TI-Nspire 4. Conduite de l activité Trois expériences sont proposées : 1. La pression est une force exercée sur une surface, les gaz sont compressibles. 2. Variation de la température lors d une compression-détente. 3. Rôle de la pression atmosphérique dans la prévision du temps. Expérience 1 : Force et pression 1) Préparation a) Réaliser le montage correspondant à la photographie cicontre. b) Gonfler le ballon, fermer le robinet, placer le dispositif sur le capteur, ouvrir le robinet en prenant soin de ne pas occasionner de fuite. Engager le berceau de la console d acquisition sur l'unité portable. Ouvrir un nouveau document avec l'application Dataquest. Connecter le capteur à la centrale d acquisition. Il est automatiquement identifié. 2) Réglage des paramètres d acquisition Appuyer sur la touche b, sélectionner 1: Expérience,
Mécanique des fluides 305 puis 8 : Configuration de l acquisition. Régler une acquisition de 10 échantillons par seconde pendant une durée de 10 secondes. Valider en cliquant sur OK ou utiliser la touche e pour passer d une rubrique à une autre jusqu à contraster le contour du bouton. 3) Acquisition des données Presser l icône dans le coin inférieur gauche pour débuter l acquisition des données (ou 1: Expérience puis 2: Démarrer l acquisition). Exercer sur le ballon de baudruche, des pressions puis des détentes successives. Expérience 2 : Pression et température La sonde de température est introduite dans une bouteille en plastique soigneusement fermée par un bouchon. En exerçant alternativement des compressions et des détentes sur l'air contenu dans la bouteille, on peut mettre en évidence qu'une compression entraîne une élévation de température, et une détente un abaissement de température. Remarque : il est souhaitable de placer un chiffon autour de la bouteille pour l'isoler de la chaleur de la main. On pourra conserver les mêmes paramètres d acquisition.
306 Expérimenter en sciences avec TI-Nspire Expérience 3 : Pression atmosphérique et météorologie Connecter le capteur barométrique à l interface d acquisition. Laisser libre l extrémité du baromètre. Paramétrer une acquisition sur une dizaine d heures. Remarque : Il peut être intéressant de réaliser l expérience sous abri à une hauteur de 1,5 m en connectant également un capteur de température et un capteur de mesure d humidité relative (condition réelle de mesure météorologique). Pendant l acquisition, rechercher sur Internet les variations de la pression atmosphérique le jour de l expérience, ainsi que les prévisions météorologiques. Analyse des résultats Les mesures correspondant à la capture ci-contre ont été effectuées dans la nuit du 17 au 18 février 2012 (22 h - 07 h), dans la région de Limoges, à 363 m d altitude. Le site météociel (www.meteociel.fr) fournit les représentations graphiques des données météorologiques. Afin de faciliter l analyse des variations de la pression atmosphérique, on pourra utiliser en classe le tableau ci-dessous, en précisant bien que celui-ci n a qu une valeur indicatrice et que d autres
Mécanique des fluides 307 facteurs météorologiques influent sur une prévision du temps. Tendance barométriqu e hpa/h Évolution du temps montée 0,25 à 0,5 venue haute pression à long terme montée 1 à 2 venue haute pression à court terme descente 0,25 à 0,5 venue basse pression à long terme descente 1 à 2 venue basse pression à court terme Vendredi 17 fev 2012 On incitera les élèves à rechercher des informations relatives au temps des jours à venir en fonction du type de pression. Calculer, par exemple, à partir des mesures effectuées, la variation de pression atmosphérique par heure. Samedi 18 fev 2012 Utiliser les fonctionnalités du tableur pour retrouver la valeur de la pression à l altitude mesurée, à partir des valeurs proposées au niveau de la mer, sachant que la pression atmosphérique est divisée par 10 lorsqu on s élève de 16 km. Compléments page suivante
308 Expérimenter en sciences avec TI-Nspire Pour les élèves très avancés Exercice : Pression atmosphérique et altitude La pression atmosphérique diminue avec l altitude. Il est d ailleurs possible d utiliser cette variation de la pression atmosphérique avec l altitude pour construire un altimètre. La pression atmosphérique est divisée par 10 lorsque l on s élève de 16 km (ou de moitié pour 5 500 m). Ouvrir une application Tableur & listes. Construire une feuille de calcul permettant de déterminer la valeur de la pression atmosphérique en fonction de l altitude. Entrer dans la cellule B1 la valeur de la pression atmosphérique au niveau de la mer mesurée le jour de votre expérimentation pour une heure donnée. Sélectionner les colonnes C et D. Insérer une application Graphiques, puis appuyer sur la touche b, puis 4 : Statistiques, puis 1 : Calcul statistique, puis A : Régression exponentielle. Compléter les rubriques proposées. Représenter graphiquement la courbe modélisée. Ajuster les axes à des valeurs raisonnables (altitude inférieure à 20 000 m).
Mécanique des fluides 309 AUTOUR DE LA PRESSION ATMOSPHÉRIQUE (Fiche élève) TI-Nspire CAS Mots-clés : air, atmosphère, pression, météorologie, hygrométrie, masse d air. Fichiers associés : M12nEleve_PressionAtmosphere.tns ; M12n_VariationsDePression.tnsp 1. Objectifs Mettre en œuvre un protocole expérimental pour mesurer la pression atmosphérique. Prendre conscience que l air a une masse. Comprendre le rôle des variations de la pression atmosphérique dans la formation des nuages. 2. Matériel Un baromètre. Une sonde de température. Un tube souple en caoutchouc s adaptant sur le capteur et un petit robinet en plastique (aquarium). Un ballon de baudruche. Une calculatrice TI-Nspire. Une centrale d acquisition Labstation. Une bouteille plastique souple. 3. Commentaires La pression atmosphérique correspond au poids exercé par une colonne d'air sur une surface donnée. Nous la mesurons en météorologie en hectopascals ( hpa ) sachant que 1 hpa = 100 Pa (100 pascals).
310 Expérimenter en sciences avec TI-Nspire La valeur de la pression atmosphérique peut se mesurer avec le baromètre de TORRICELLI. Un tube de verre, plein de mercure (Hg), est fermé à une extrémité. On le retourne dans un bac contenant du mercure Hg. La force F exercée sur la surface libre dans le bac par la pression atmosphérique empêche le tube de se vider et laisse dans le tube une colonne de mercure de 76 cm (0,76 m) de hauteur. Cette colonne de 76 cm de mercure représente la valeur de la pression atmosphérique normale, c'est-à-dire au niveau de la mer. La masse volumique du mercure est 13 600 kg.m -3. En pascals, nous aurons : p = w.h = (13 600 x 9,81) x 0,76 donc p = 101 396 pascals, soit 1,014 bar = 1 014 millibars (p en pascals; h en mètres). Rappel : 1 014 Hpa = 1,014 bar = 1 014 mbar. 4. Conduite de l activité Trois expériences sont proposées : 1. La pression est une force exercée sur une surface, les gaz sont compressibles. 2. Variation de la température lors d une compression-détente. 3. Rôle de la pression atmosphérique dans la prévision du temps. Expérience 1 : Force et pression 1) Préparation a) Réaliser le montage correspondant à la photographie cicontre. b) Gonfler le ballon, fermer le robinet, placer le dispositif sur le capteur, ouvrir le robinet en prenant soin de ne pas occasionner de fuite. Engager le berceau de la console d acquisition sur l'unité portable. Ouvrir un nouveau document avec l'application Dataquest. Connecter le capteur à la centrale d acquisition. Il est automatiquement identifié. 2) Réglage des paramètres d acquisition
Mécanique des fluides 311 Appeler le professeur pour qu il paramètre l acquisition de données ou transfère le fichier contenant les réglages dans la calculatrice. L acquisition des mesures est réglée sur 10 s. 3) Acquisition des données Presser l icône dans le coin inférieur gauche pour débuter l acquisition des données (ou 1: Expérience puis 2: Démarrer l acquisition). Exercer sur le ballon de baudruche, des pressions puis des détentes successives. Expérience 2 : Pression et température La sonde de température est introduite dans une bouteille en plastique soigneusement fermée par un bouchon. On souhaite entourer un jardin rectangulaire d une clôture grillagée. Démarrer l acquisition de données. Exercer alternativement des compressions et des détentes sur l'air contenu dans la bouteille. Remarque : il est souhaitable de placer un chiffon autour de la bouteille pour l'isoler de la chaleur de la main.
312 Expérimenter en sciences avec TI-Nspire Qu observe-t-on?............ Expérience 3 : Pression atmosphérique et météorologie Connecter le capteur barométrique à l interface d acquisition. Laisser libre l extrémité du baromètre. Appeler le professeur pour qu il paramètre l acquisition de la pression atmosphérique sur 10 heures. Remarque : Il peut être intéressant de réaliser l expérience sous abri à une hauteur de 1,5 m en connectant également un capteur de température et un capteur de mesure d humidité relative (condition réelle de mesure météorologique). Pendant l acquisition, rechercher sur Internet les variations de la pression atmosphérique le jour de l expérience, ainsi que les prévisions météorologiques. Analyse des résultats Le site météociel (www.meteociel.fr) fournit les représentations graphiques des données météorologiques. Comparer les données que l on a enregistrées avec celles du site «météociel» pour la date et la plage d heures concernées par l expérience. Prendre soin de bien choisir la station météorologique la plus proche du lieu d expérience. A partir des mesures obtenues, évaluer par lecture graphique, la variation de pression atmosphérique par heure. Utiliser le tableau ci-dessous pour prévoir l évolution du type de pression (haute ou basse). Attention, ce tableau n a qu une valeur indicatrice ; d autres facteurs météorologiques influent sur une prévision sérieuse du temps. Mais cela permet d avoir tout de même une idée.
Mécanique des fluides 313 Tendance barométriqu e hpa/h Évolution du temps montée 0,25 à 0,5 venue haute pression à long terme montée 1 à 2 venue haute pression à court terme descente 0,25 à 0,5 venue basse pression à long terme descente 1 à 2 venue basse pression à court terme............ Compléter un fond de carte avec des symboles météorologiques permettant de faire une prévision du temps pour le lendemain.
314 Expérimenter en sciences avec TI-Nspire Pour les élèves très avancés Exercice : Pression atmosphérique et altitude La pression atmosphérique diminue avec l altitude. Il est d ailleurs possible d utiliser cette variation de la pression atmosphérique avec l altitude pour construire un altimètre. La pression atmosphérique est divisée par 10 lorsque l on s élève de 16 km (ou de moitié pour 5 500 m). Ouvrir une application Tableur & listes. Construire une feuille de calcul permettant de déterminer la valeur de la pression atmosphérique en fonction de l altitude. Entrer dans la cellule B1 la valeur de la pression atmosphérique au niveau de la mer mesurée le jour de votre expérimentation pour une heure donnée. Appeler le professeur pour qu il explique la construction de la courbe permettant de déterminer la valeur de la pression atmosphérique en fonction de la hauteur. Modifier la graduation des axes afin de contrôler la valeur expérimentale mesurée au même moment dans le lycée. Conclure :............
Mécanique des fluides 315 LA POUSSÉE D ARCHIMÈDE (Fiche professeur) Auteur : Jean-Louis Balas TI-Nspire CAS Mots-clés : fluide, poussée, flottaison, hydrostatique Fichiers associés : M27n-Eleve Poussee_Archimede.pdf ; M27n-Prof_Poussee_Archimede.tns ; M27n-Eleve_Poussee_Archimede.tns 1. Objectifs Mettre en œuvre une démarche d investigation autour du thème Pourquoi un bateau flotte-t-il? Mettre en évidence la notion de masse volumique d un matériau et d un fluide Mesurer expérimentalement la poussée d Archimède Remarque : Pourquoi un bateau flotte-t-il?, est issu du thème d étude «Comment se déplacer dans un fluide?» du programme de rénovation de la voie professionnelle 2009 2. Matériel Un corps (tube comprimés lesté) pouvant facilement être en équilibre dans une éprouvette. Le tube utilisé pour l expérience de ce document a pour dimensions (diamètre 2,6cm : longueur 6,8 cm) Une éprouvette graduée Une calculatrice TI-Nspire Une centrale d acquisition Labstation
316 Expérimenter en sciences avec TI-Nspire Un capteur de distance CBR2 Un capteur de force Un support élévateur Un pied à coulisse 3. Commentaires L expérience proposée en EXAO permet de s affranchir de l imprécision des mesures classiquement effectuées à l aide de dynamomètres. La facilité de mise en œuvre permet de la répéter facilement pour des liquides différents (alcool, huile, eau salée ) Cette expérience prend place lors de la mise en œuvre d une démarche d investigation «Pourquoi un bateau flotte-t-il?» Dans un premier temps, les élèves vérifieront que des matériaux de densité supérieure à 1 peuvent flotter selon la forme qu on leur donne (pâte à modeler) afin de mettre en évidence la réaction de l eau sur des échantillons de masse identique. Cette réaction de l eau sur le matériau devant être progressivement identifiée comme la poussée d Archimède. 4. Conduite de l activité On réalise le dispositif expérimental illustré par la photographie ci contre. Capteur de force Solide Plaque cartonnée pour faciliter la mesure effectuée par CBR2 CBR2 Principe de la mesure : Le solide à immerger est initialement hors de l eau. Le capteur de force enregistrera le poids du solide au fur et à mesure que celui-ci sera plongé dans l eau. Le capteur CBR2 enregistrera la hauteur du solide immergé. Ainsi il sera facile compte tenu de la forme cylindrique de celui-ci ( = 2,6 cm) de calculer le volume immergé.
Mécanique des fluides 317 On veillera à observer lors de chaque mesure que le solide n est pas en contact avec l éprouvette et que celui-ci conserve une position parfaitement verticale Préparation de l acquisition : Connecter les capteurs à l interface d acquisition Appuyer sur la touche b puis : 7 : Mode d acquisition et enfin 3 : Evènements sélectionnés Vous pouvez donner un nom à l évènement, mais c est sans importance Positionner le capteur de distance CBR2 à une distance supérieure à 12 cm (condition d obtention de mesures correctes) Régler la hauteur du solide à l aide du support de façon à ce que celui-ci affleure la surface libre du liquide. Décrocher la masse du capteur de force Appuyer sur la touche b puis : 9 : Configuration des capteurs et enfin 3 : Zéro de façon à initialiser les capteurs Raccrocher le solide au capteur de force
318 Expérimenter en sciences avec TI-Nspire Acquisition des données : Appuyer sur l icône pour débuter l acquisition des mesures. Prendre une mesure initiale lorsque le solide est hors de l eau. Pour conserver la mesure en cours, appuyer sur Immerger davantage le solide et poursuivre ainsi l acquisition jusqu à une immersion complète.
Mécanique des fluides 319 Exploitation des mesures : Modifier la représentation graphique afin d obtenir la représentation de la force en fonction de la hauteur h immergée. Appuyer sur les touches / b puis : 3 : Réglages du graphique 1 : Afficher le graphique Graphique 1 Approcher le curseur des axes pour modifier les grandeurs à afficher en abscisse et ordonnées. On représente la force F qui s exerce sur le solide en fonction de la position (poids apparent du solide) F La force F est telle que F P PA
320 Expérimenter en sciences avec TI-Nspire P : poids de l objet P A : poussée d Archimède Le poids de l objet peut être pris par la mesure lorsque le solide est hors de l eau, soit ici : P = 0,895 N Remarque : la première mesure ne donne pas toujours une position rigoureusement à h = 0 (fluctuation de l échantillonnage de la centrale d acquisition.) On pourra éventuellement décaler l origine ou bien ne pas sélectionner la première et la dernière mesure. Représentation de la poussée d Archimède On souhaite représenter la poussée d Archimède en fonction du volume de solide immergé, soit PA f ( V ) avec PA P F Le diamètre du cylindre est de 2,6 cm, il suffit de créer dans Dataquest, une colonne calculée telle que : V poussée d Archimède telle que : P 0,895 F 2 2 (1,3 10 ) h et une autre pour la A Pour insérer une colonne calculée, appuyer sur la touche b puis : 2 : Données et enfin 3 : Nouvelle colonne calculée
Mécanique des fluides 321 On représente ensuite graphiquement la poussée d Archimède en fonction du volume immergé Il ne reste plus qu à effectuer une modélisation proportionnelle pour vérifier : PA g V avec g 9,8N.kg -1 et 1000kg.m -3 pour l eau Pour cela on sélectionne les données dans la partie la plus linéaire de la représentation graphique. Appuyer sur la touche b puis : 4 : Analyser puis 6 : Ajustement des courbes et enfin B : Proportionnel Vérifier que le coefficient de proportionnalité correspond à g 9800 Remarque : En lycée professionnel on pourra utiliser l ajustement proportionnel en classe de terminale. Pour la classe de première, on pourra travailler avec le tableur afin d établir la relation de proportionnalité entre la poussée d Archimède et le volume d eau déplacé, ou si l on préfère représenter le nuage de points correspondant aux mesures dans l application graphique dans laquelle on superposera une droite d équation y g x
322 Expérimenter en sciences avec TI-Nspire Proposer aux élèves d ajuster manuellement la droite, en les invitant à envisager une réflexion sur la source des écarts observés par rapport aux valeurs théoriques. Réaliser des essais avec des liquides de nature différente (éthanol, huile, eau salée) Utilisation du tableur
Mécanique des fluides 323 LA POUSSÉE D ARCHIMÈDE (Fiche élève) Auteur : Jean-Louis Balas TI-Nspire CAS Mots-clés : fluide, poussée, flottaison, hydrostatique Fichiers associés : M27n-Prof_Poussee_Archimede.pdf ; M27n-Prof_Poussee_Archimede.tns ; M27n-Eleve_Poussee_Archimede.tns 1. Objectifs Mettre en œuvre une démarche d investigation autour du thème Pourquoi un bateau flotte-t-il? Mettre en évidence la notion de masse volumique d un matériau et d un fluide Mesurer expérimentalement la poussée d Archimède Remarque : Pourquoi un bateau flotte-t-il?, est issu du thème d étude «Comment se déplacer dans un fluide?» 2. Matériel Un corps (tube comprimés lesté) pouvant facilement être en équilibre dans une éprouvette. Le tube utilisé pour l expérience de ce document a pour dimensions Une éprouvette graduée Une calculatrice TI-Nspire Une centrale d acquisition Labstation
324 Expérimenter en sciences avec TI-Nspire Un capteur de distance CBR2 Un capteur de force Un support élévateur Un pied à coulisse 3. Commentaires Cette expérience prend place lors de la mise en œuvre d une démarche d investigation «Pourquoi un bateau flotte-t-il?» Vous avez pu vérifier expérimentalement qu un matériau de densité supérieure à 1 peut sous certaines conditions flotter. Bien entendu, il s agit de prendre des échantillons de masse identique, puis de leur donner une forme différente. Vous avez constaté que le matériau reçoit de la part du liquide une poussée. Cette poussée est responsable d une des conditions de flottaison. On se propose dans cette activité d examiner de quels facteurs dépend cette poussée du fluide sur le solide. Cette poussée est connue sous le nom de poussée d Archimède. 4. Conduite de l activité Réaliser le dispositif expérimental illustré par la photographie ci contre. Capteur de force Solide Plaque cartonnée pour faciliter la mesure effectuée par CBR2 CBR2 Principe de la mesure : Le solide à immerger est initialement hors de l eau. Le capteur de force enregistrera le poids du solide au fur et à mesure que celui-ci sera plongé dans l eau. Le capteur CBR2 enregistrera la hauteur du solide immergé. Ainsi il sera facile compte tenu de la forme cylindrique de celui-ci ( = 3,8 cm) de calculer le volume immergé.
Mécanique des fluides 325 Veiller à observer lors de chaque mesure que le solide n est pas en contact avec l éprouvette et que celui-ci conserve une position parfaitement verticale Préparation de l acquisition : Connecter les capteurs à l interface d acquisition Appeler le professeur pour qu il vous fournisse le fichier de configuration ou paramètre l acquisition des données (Mode Evènements) Positionner le capteur de distance CBR2 à une distance supérieure à 12 cm (condition d obtention de mesures correctes) Régler la hauteur du solide à l aide du support de façon à ce que celui-ci affleure la surface libre du liquide. Décrocher la masse du capteur de force Demander au professeur d initialiser le zéro des capteurs.
326 Expérimenter en sciences avec TI-Nspire Acquisition des données : Appuyer sur l icône pour débuter l acquisition des mesures. Prendre une mesure initiale lorsque le solide est hors de l eau. Pour conserver la mesure en cours, appuyer sur Immerger davantage le solide et poursuivre ainsi l acquisition jusqu à une immersion complète. Reproduire rapidement sur l écran ci-contre l allure des représentations graphiques obtenues
Mécanique des fluides 327 Exploitation des mesures : Modifier la représentation graphique afin d obtenir la représentation de la force en fonction de la hauteur h immergée. Appuyer sur les touches / b puis : 3 : Réglages du graphique 1 : Afficher le graphique Graphique 1 Approcher le curseur des axes pour modifier les grandeurs à afficher en abscisse et ordonnées. On représente la force F qui s exerce sur le solide en fonction de la position (poids apparent du solide) La force F est telle que P : poids de l objet F P PA F P A : poussée d Archimède Noter ci-dessous la valeur du poids P lorsque celuici est totalement hors de l eau. P... N Représentation de la poussée d Archimède
328 Expérimenter en sciences avec TI-Nspire On souhaite représenter la poussée d Archimède en fonction du volume de solide immergé, soit P f ( V ) avec PA P F Le diamètre du cylindre est de D =..cm A On rappelle que l expression générale du volume d un cylindre est : V 2 R h (R désigne le rayon) Créer dans Dataquest, deux colonnes calculées appelées respectivement : 2 Volume et telle que V R h Poussée et telle que : PA P F Aide : Pour insérer une colonne calculée, appuyer sur la touche b puis : 2 : Données et enfin 3 : Nouvelle colonne calculée Appeler le professeur pour qu il vérifie votre calcul ou qu il vous aide dans cette étape Représente ensuite graphiquement la poussée d Archimède en fonction du volume immergé Reproduire sur la représentation ci-contre l allure générale de votre représentation. Comment sont placés les points les uns par rapport aux autres? Que peut-on en déduire? Appuyer sur les touches / I puis choisir l application Tableur & Listes
Mécanique des fluides 329 Placer le curseur dans la colonne A tout en haut de la colonne A et appuyer sur la touche h pour lier les données de cette colonne à la variable runx.volume, (X) désignant ici le numéro de l essai (expérience) que vous souhaitez utiliser. Procéder de la même façon pour la colonne B avec les données de la poussée. Dans la colonne C calculer le rapport poussée volume Qu observez-vous?. Dans une cellule du tableur calculer une valeur P A moyenne des valeurs (ne pas prendre en compte V la première valeur et la dernière de la colonne C) Aide : Pour calculer la moyenne des valeurs contenues dans les cellules c2 à c10, entrer dans une cellule vide de la colonne D : =mean(c2 : c10) La masse volumique de l eau est : 1000kg.m -3 La valeur de l accélération de la pesanteur est : g 9,81 N.kg -1 Comparer la valeur du produit g avec celle de la valeur moyenne trouvée pour Conclure : Si vous avez le temps : Conserver le même solide et effectuer les mêmes mesures en changeant la nature du liquide (éthanol : 800 kg.m -3 ; ou eau salée (utiliser un densimètre pour mesurer la masse volumique de votre eau salée) P A V Les conditions de flottabilité d un matériau
330 Expérimenter en sciences avec TI-Nspire Activité : La «flottabilité» caractérise le comportement d un objet immergé au sein d un liquide. Un objet immergé dans un liquide est uniquement soumis à son poids P et à la force de poussée d Archimède P A. Nous savons que P et PA ont même point d application, même direction et sont de sens... Reste la comparaison des.. qui détermine le comportement de l objet. P. P A P. P A P. P A L objet. vers le fond L objet est en entre deux eaux L objet. vers la surface On retiendra : «Conditions de flottabilité» : Un corps flotte si la valeur de son poids est... à la valeur de la force de poussée d Archimède. Un corps coule si la valeur de son poids est... à la valeur de la force de poussée d Archimède.
Mécanique des fluides 331 COMPRENDRE LE FONCTIONNEMENT DES CLEPSYDRES (Fiche professeur) Auteur : JL Balas sur une idée de J Périès TI-Nspire - TI-Nspire CAS Avertissement : ce document a été réalisé avec la version 1.6 Mots-clés : écoulement fluide, étalonnage, horloge, énergie cinétique, énergie potentielle. Fichiers associés : E1nElev_Clepsydre.tns, E1nProf_Clepsydre.tns, E1n_Clepsydre_tuyau.tns O. Préambule Le cadran solaire présente un inconvénient : il ne permet pas de mesurer des durées en l absence de soleil, soit la nuit, soit par temps couvert. Les anciens ont eu l idée d utiliser l écoulement de l eau pour donner l heure de jour comme de nuit, été comme hiver. Les instruments de mesure du temps basés sur ce principe sont appelés clepsydres. Les premières clepsydres ou horloges à eau fonctionnaient selon le principe suivant : un récipient conique percé d un trou à sa base est rempli d eau : lors de l écoulement de l eau le niveau de la surface libre s abaisse, il est alors possible d établir une relation entre la position h de la surface libre de l eau et la durée t de l écoulement de l eau. Les anciens ont fait preuve de beaucoup d imagination et d une grande ingéniosité pour obtenir des clepsydres qui donnent des mesures du temps relativement précises et reproductibles.
332 Expérimenter en sciences avec TI-Nspire h 0 z Orifice Actuellement on sait que les plus anciennes horloges à eau du bassin méditerranéen (Egypte) datent Vases étalons utilisés pour remplir les clepsydres Musée de l'agora : Athènes Clepsydre Musée de l'agora : Athènes de 1400 av. JC et que certaines ont été utilisées en Europe jusqu au début du 19 siècle (Musée du temps à Besançon). Les différentes clepsydres retrouvées à ce jour se présentent sous les formes les plus diverses cela va de la clepsydre la plus simple : récipient conique percé d un trou à sa base à la clepsydre la plus sophistiquée où l eau qui s écoule entraîne un mécanisme complexe.
Mécanique des fluides 333 1 : Objectifs Découvrir les lois du mouvement de l écoulement de l eau, libérée à l air libre à la base d un réservoir, et source d énergie hydraulique, grâce à la pesanteur terrestre. Expliquer le fonctionnement des clepsydres : horloges à eau antiques constituées d un réservoir émetteur et d un réservoir récepteur, qui limitaient autrefois la durée des interventions dans des tribunaux en Grèce. Déterminer le profil idéal à donner à la clepsydre pour constituer une horloge à eau fiable. 2 : Protocole expérimental Animation sur le fichier Clepsydre_tuyau.tns On se propose de mesurer, en fonction du temps, le poids d un réservoir contenant l eau, qui stagne ou s écoule. Celui-ci est mesurable, à tout instant, par un capteur de force, qui soutient cet ensemble suspendu en équilibre. a) Matériel nécessaire Un capteur de force 50 N -10 N : Un adaptateur Vernier Easy-Link 1 ou Go-Link 2, Un cristallisoir, Un support avec noix de serrage, Un clou de diamètre connu, Du fil et un petit tube de diamètre connu (éventuellement). b) Réalisation du montage Percer le fond ou la face latérale de la bouteille. Lorsque la bouteille est remplie d eau, celle-ci ne pourra s évacuer que lorsque le bouchon sera dévissé. Lorsque cessera l action de la pression atmosphérique exercée par l eau sur le trou. 1 Fonctionne avec l unité nomade TI-Nspire 2 Fonctionne avec un ordinateur
334 Expérimenter en sciences avec TI-Nspire La bouteille est préalablement percée sur le fond ou la face latérale à l aide d un clou de diamètre connu préalablement chauffé. Boucher le trou avec un doigt, pour remplir d'eau la moitié de la bouteille. Revisser le bouchon sur son goulot. La bouteille ne se vide pas, malgré sa base percée, à cause de la pression atmosphérique exercée sur l'eau par le trou. Suspendre cette bouteille à demi pleine à un capteur de force limité à 10 N, avant d'amorcer sa vidange dans une bassine située plus bas. Relier le capteur de force au port USB de la calculatrice ou de l'ordinateur par les câbles adaptés : Easy-link ou GO-link. c) Acquisition des données Configuration de l acquisition Mettre l unité nomade sous tension. Le capteur de force est automatiquement reconnu par le système. La fenêtre de «Lancement automatique» s ouvre pour proposer l application dans laquelle on visualisera les données. Choisir l application Tableur & listes. La console d acquisition 3 de données s affiche. Le capteur, reconnu automatiquement, y affiche le poids actuel de la bouteille. Effectuer éventuellement un réglage du zéro du capteur en appuyant sur la touche b puis en choisissant l icône 2 : Capteurs puis Zéro. 3 Le raccourci / D permet d afficher la console d acquisition de données.
Mécanique des fluides 335 Appuyer à nouveau sur la touche b puis choisir 1 : Expérience. Régler le mode d'acquisition: graphe temps toutes les 10 secondes sur 200s. Acquisition des mesures Déboucher la bouteille, qui se vidange par son trou de diamètre du clou préalablement noté 4, et déclencher l'acquisition en cliquant sur la flèche verte qui devient rouge mais redevient verte après l acquisition définitive de toutes les mesures. 3. Exploitation des mesures L analyse mathématique réalisée à l aide de TI- Nspire va consister à utiliser le tableur pour calculer : o le volume d eau restant dans la clepsydre, o la hauteur z de la surface libre, o la vitesse de chute moyenne v i de la surface libre toutes les 20 secondes dans cette clepsydre, par calcul du nombre dérivé symétrique (sauf au départ et à la fin où on calcule le nombre dérivé simple). En fin de vidange, le poids de l eau restante est de 0,28 N. Le poids total est donné par la relation P M g avec g 9,8 N/kg et la masse volumique de l eau M est approximativement de 1 kg/m 3. V 4 Diamètre du clou 2,8 mm.
336 Expérimenter en sciences avec TI-Nspire Il vient donc pour le calcul du volume : P 0.28 V (V en litres). 9.8 La hauteur d eau z se calcule donc aisément en supposant que le volume d eau est assimilable à un m cylindre : z 2 M R (z en cm). Le rayon de la bouteille est de 8,74 cm. Utiliser l application Graphiques & géométrie pour : o Tracer les graphes z et v i en fonction du temps, o Conjecturer : comment fabriquer une clepsydre idéale dans laquelle l'eau descendrait verticalement à vitesse constante et créer ainsi une horloge à eau, o Chercher un profil idéal de clepsydres à graduations temporelles horizontales et équidistantes, donc dans lesquelles la vitesse de descente de la surface libre serait uniforme. Réaliser des calculs statistiques pour rechercher un modèle. ANALYSE DES GRAPHES Le graphe des hauteurs d'eau au dessus du trou (z en cm) en fonction du temps : z = f(t) évolue de façon non linéaire. Le graphe de vitesse de chute de la surface libre vi en fonction du temps évolue, lui, de façon linéaire. Le premier graphe suit donc une loi de régression quadratique à déterminer. Comment ce cylindre pourrait il constituer une horloge à eau graduée toutes les 30 secondes? Effectuons ces modélisations pour z f () t et vi f () t.
Mécanique des fluides 337 vi f () t z f () t Principe de graduation de l horloge à eau
338 Expérimenter en sciences avec TI-Nspire 4. Recherche d un profil idéal (complément à proposer sur la fiche élève) Application aux Clepsydres 2 v L'énergie cinétique: m acquise par une 2 tranche d'eau Δm initialement immobile, qui s'écoule sans frottement, à l'air libre, est égale à sa perte d'énergie potentielle: m g z. Il vient donc v 2gz ou v 2 i 2gz. Calculez puis représentez le carré de la vitesse de descente de la surface libre vi en fonction de z cm. Justifier la forme linéaire de ce graphe et son équation de régression. Cherchez un profil idéal de clepsydres à graduations temporelles horizontales et équidistantes, donc dans lesquelles la vitesse de descente de la surface libre serait uniforme. On doit chercher des formes évasées puisque le débit est fort, puis s affaiblit au fur et à mesure que la surface libre perd de l altitude. On peut rechercher, ce qui se passerait par hasard, avec des clepsydres en forme de cônes tronqués ou non et ouverts vers le haut, ou de paraboloïdes ; calculer dans ces cas la relation choisie entre le rayon et la profondeur du vase puis calculer par une intégrale le volume des récipients liés à leur profondeur et voir si le débit à l intérieur du récipient peut correspondre à son débit de sortie : s désigne la section de l ouverture faite par le clou de rayon r, S désigne la section moyenne de la bouteille de rayon R. Le débit étant le même à l entrée et à la sortie : d S vi s v (Voir Annexe) d s 2gz. Réponse définitive : 2gz vi s r S 2 2gz R 2
Mécanique des fluides 339 Donc, pour que v i soit constant et indépendante de z, il faudrait que R 2 soit proportionnel à z et donc que z a R 4. Choisir a pour que la clepsydre soit assez évasée. Ici a = 0,005. Annexe : Connaissances théoriques utiles en sciences physiques La clepsydre est une horloge à eau connue aussi bien des Egyptiens que des Amérindiens ou que des Grecs. Un vase percé d'un trou laisse couler de l'eau. Des graduations situées à l'intérieur permettent de mesurer des intervalles de temps. Cette clepsydre a une forme évasée, plus large en haut, car le débit de l'eau est plus grand quand la dénivellation est plus grande. Les graduations sont ici à peu près équidistantes. Si le cadran solaire donne l'heure pendant le jour, la clepsydre fait la même chose la nuit, et elle mesure en plus des durées plus brèves avec une bonne précision. La clepsydre tient une grande importance dans la vie des cités. On connaît le goût des Grecs pour la politique, la polémique, la justice : la clepsydre sert pour limiter la durée des discours ou des plaidoiries. Parmi les réalisations les plus connues, citons la clepsydre offerte par le calife de Bagdad à Charlemagne, en 807, mettant en action des automates, et la gigantesque clepsydre réalisée en Chine par Su-Sung pour l'empereur, vers 1090, de plus de 10 mètres de haut. Connaissances générales nécessaires à la compréhension du thème étudié. Le poids P est proportionnel à la masse m exprimée en kg et P m g (avec g = 9.8 N/kg). L eau est un liquide très fluide pratiquement incompressible, donc sa masse volumique est constante. Le débit d volumique de l eau écoulée, à un instant donné, à travers un conduit, est identique à l intérieur de tout ce conduit. Si la section du conduit augmente, la vitesse d écoulement devient plus lente. Si sa section diminue, la vitesse de l eau augmente.
340 Expérimenter en sciences avec TI-Nspire L eau, immobile au départ et de masse m, est soumise, au niveau de sa surface libre, à la pression atmosphérique, qui s exerce de haut et en bas, et au niveau du trou, elle est aussi placée à l air libre, et soumise à la pression de l air exercée de bas en haut. Ainsi la pression de l air ne joue aucun rôle notable. L eau s écoule en conservant son énergie mécanique, car elle glisse sans frottement notable dans son conduit ici très lisse. Donc pour une tranche d eau m, qui se déplace entre l état 1 et l état 2, l augmentation d énergie cinétique compense la perte d énergie potentielle de pesanteur : m v 2 2 2 1 2 v m g z z. De cette relation de conservation de l énergie mécanique, on peut en déduire l expression de la vitesse du fluide v 2gz. 2 1 Application aux Clepsydres. Les anciens ont utilisés des récipients évasés et percés, pour mesurer la nuit ou dans des tribunaux, l'écoulement du temps, par l'observation de l'écoulement de l'eau. Leurs graduations non équidistantes restaient, hélas, imprécises en l'absence de loi physique. 2 v L'énergie cinétique : m acquise par une tranche d'eau Δm initialement immobile, qui s'écoule sans 2 frottement, à l'air libre, est égale à sa perte d'énergie potentielle : m g z. Le calcul, puis la représentation graphique du carré de la vitesse de descente de la surface libre vi en fonction de z cm, est de la forme v 2 2gz. On vérifie expérimentalement la linéarité du carré de la vitesse en fonction de z. i Justification théorique de la forme du profil à donner à la clepsydre Considérons une ligne de courant du fluide qui s écoule, et sur cette ligne choisissons deux points A et B auxquels nous appliquerons le théorème de Bernoulli. 1 2 1 2 U A PA g za UB PB g z (ici, on ne tient pas compte des pertes d énergie) B 2 2 : masse volumique du fluide. P : pression du fluide au point considéré. Z : ordonnée du point considéré. U : vitesse du fluide au point considéré. On sait que le débit volumique peut s écrire, en désignant par S A l aire de la section du réservoir en A et par S B l aire de l orifice, SAU A SBU B. Ce qui donne : S U B B U A. S A
Mécanique des fluides 341 S Compte tenu des valeurs numériques de S A et de S B, on remarque que B 1. Par conséquent S 2 2 1 2 1 2 U A U B et U A U B, ce qui nous amène à négliger le terme U A devant U B. 2 2 A et B sont à la pression atmosphérique par conséquent PA P. B A L équation devient 1 2 gza U B gz. B 2 Et la vitesse de sortie U B s écrit : U g( z z ). Si on choisit z A 0 et za B 2 A B z(variable), U 2gz B On remarque que la vitesse de sortie du jet varie comme z. Cela explique la grande vitesse observée au début de la vidange (z est grand) ainsi que la faible vitesse à la fin où z devient très faible. L abaissement du niveau très rapide au départ se poursuit en ralentissant régulièrement tandis que le jet, qui a la forme d une parabole de grande portée au départ, voit sa portée diminuer régulièrement au cours du temps. (Ceci dans l hypothèse où l ouverture sur le bas de la clepsydre est latérale.) La loi de variation du niveau z de la surface libre de l eau en fonction du temps t est de la forme 2 1 2 s (2g ) 2 M g s z t z z 2 M 2 S S. g représente s S l accélération de la pesanteur la surface de l orifice la surface de la section du réservoir (surface libre du liquide) z M la cote de la surface libre du liquide à l instant t = 0 Retrouvons pourquoi le niveau de l eau s abaisse à vitesse constante lorsque le profil de la clepsydre 4 est de la forme z ar b. dz z z 0 orifice Si pendant un petit intervalle de temps dt le niveau de la surface libre S s abaisse de dz le volume de fluide déplacé dv a pour expression Sdz et c est le même volume qui s écoule par l orifice O de surface s on peut de même écrire : dv s 2g( z z )dt. Il suffit ensuite d écrire que le débit du fluide a même valeur dans une section large qu à travers 0
342 Expérimenter en sciences avec TI-Nspire l orifice soit dz S s 2g( z zo) dt. Z1 D1 D2 Z2 B Si le niveau s abaisse à vitesse constante c est que d z 2 k et, finalement, en posant S = r on dt 2 4 2 rk trouve l équation z z 2 0 d où 2gs A 2 2 k a. 2 2gs Si les points A et B appartiennent à une courbe 4 z1 z2 du type z ar + b, on obtient a à 4 4 r1 r2 partir des mesures telles que D 1, D2, Z1, Z2 sur le réservoir. Une autre solution Voici une solution physique, qui permet d utiliser des récipients cylindriques. Bien fermer le goulot de la bouteille déjà pleine d eau, avec un bouchon troué dans lequel on introduit, un long tube creux, qui fait entrer l air, jusque là où il débouche dans l eau, La pression de l'air s'exercera sur l eau de la bouteille seulement à l extrémité de ce tube creux, à une hauteur z, choisie au dessus du trou de vidange par l enfoncement plus ou moins profond de ce tube creux. L'eau sortira avec la vitesse inférieure du tube creux. v 2gz constante, tant qu il restera de l eau au dessus de l'extrémité
Mécanique des fluides 343 COMPRENDRE LE FONCTIONNEMENT DES CLEPSYDRES (Fiche élève) Auteur : J-L Balas sur une idée de J Périès TI-Nspire - TI-Nspire CAS Avertissement : ce document a été réalisé avec la version 1.6 Mots-clés : Écoulement fluide, étalonnage, horloge, énergie cinétique, énergie potentielle. Fichiers associés : E1nElev_Clepsydre.tns, E1nProf_Clepsydre.tns, E1n_Clepsydre_tuyau.tns O. Préambule Le cadran solaire présente un inconvénient : il ne permet pas de mesurer des durées en l absence de soleil, soit la nuit, soit par temps couvert. Les anciens ont eu l idée d utiliser l écoulement de l eau pour donner l heure de jour comme de nuit, été comme hiver. Les instruments de mesure du temps basés sur ce principe sont appelés clepsydres. Les premières clepsydres ou horloges à eau fonctionnaient selon le principe suivant : un récipient conique percé d un trou à sa base est rempli d eau : lors de l écoulement de l eau le niveau de la surface libre s abaisse, il est alors possible d établir une relation entre la position h de la surface libre de l eau et la durée t de l écoulement de l eau. Les anciens ont fait preuve de beaucoup d imagination et d une grande ingéniosité pour obtenir des clepsydres qui donnent des mesures du temps relativement précises et reproductibles.
344 Expérimenter en sciences avec TI-Nspire h 0 z Orifice Actuellement on sait que les plus anciennes horloges à eau du bassin méditerranéen (Egypte) datent Vases étalons utilisés pour remplir les clepsydres Musée de l'agora : Athènes Clepsydre : Musée de l'agora : Athènes de 1400 av. JC et que certaines ont été utilisées en Europe jusqu au début du XIX e siècle (Musée du temps à Besançon). Les différentes clepsydres retrouvées à ce jour se présentent sous les formes les plus diverses cela va de la clepsydre la plus simple : récipient conique percé d un trou à sa base à la clepsydre la plus sophistiquée où l eau qui s écoule entraîne un mécanisme complexe.
Mécanique des fluides 345 1 : Objectifs Découvrir les lois du mouvement de l écoulement de l eau, libérée à l air libre à la base d un réservoir, et source d énergie hydraulique, grâce à la pesanteur terrestre. Expliquer le fonctionnement des clepsydres : horloges à eau antiques constituées d un réservoir émetteur et d un réservoir récepteur, qui limitaient autrefois la durée des interventions dans des tribunaux en Grèce. Déterminer le profil idéal à donner à la clepsydre pour constituer une horloge à eau fiable. Animation sur le fichier Clepsydre_tuyau.tns 2 : Protocole expérimental On se propose de mesurer, en fonction du temps, le poids d un réservoir contenant l eau, qui stagne ou s écoule. Celui-ci est mesurable, à tout instant, par un capteur de force, qui soutient cet ensemble suspendu en équilibre. a) Matériel nécessaire Un capteur de force 50 N -10 N : Un adaptateur Vernier Easy-Link 5 ou Go-Link 6, Un cristallisoir, Un support avec noix de serrage, Un clou de diamètre connu, Du fil et un petit tube de diamètre connu (éventuellement). b) Réalisation du montage Percer le fond ou la face latérale de la bouteille. Lorsque la bouteille est remplie d eau, celle-ci ne pourra s évacuer que lorsque le bouchon sera dévissé. Lorsque cessera l action de la pression atmosphérique exercée par l eau sur le trou. 5 Fonctionne avec l unité nomade TI-Nspire. 6 Fonctionne avec un ordinateur.
346 Expérimenter en sciences avec TI-Nspire La bouteille est préalablement percée sur le fond ou la face latérale à l aide d un clou de diamètre connu préalablement chauffé. Boucher le trou avec un doigt, pour remplir d'eau la moitié de la bouteille. Revisser le bouchon sur son goulot. La bouteille ne se vide pas, malgré sa base percée, à cause de la pression atmosphérique exercée sur l'eau par le trou. Suspendre cette bouteille à demi pleine à un capteur de force limité à 10 N, avant d'amorcer sa vidange dans une bassine située plus bas. Relier le capteur de force au port USB de la calculatrice ou de l'ordinateur par les câbles adaptés : Easy-link ou GO-link. d) Acquisition des données Configuration de l acquisition Mettre l unité nomade sous tension. Le capteur de force est automatiquement reconnu par le système. La fenêtre de «Lancement automatique» s ouvre pour proposer l application dans laquelle on visualisera les données. Choisir l application Tableur & listes. La console d acquisition 7 de données s affiche. Le capteur, reconnu automatiquement, y affiche le poids actuel de la bouteille. Effectuer éventuellement un réglage du zéro du capteur en appuyant sur la touche b puis en choisissant l icône 2 : Capteurs puis Zéro. 7 Le raccourci / D permet d afficher la console d acquisition de données.
Mécanique des fluides 347 Appuyer à nouveau sur la touche b puis choisir 1 : Expérience. Régler le mode d'acquisition: graphe temps toutes les 10 secondes sur 200s. Acquisition des mesures Déboucher la bouteille, qui se vidange par son trou de diamètre du clou préalablement noté 8, et déclencher l'acquisition en cliquant sur la flèche verte qui devient rouge mais redevient verte après l acquisition définitive de toutes les mesures. 3. Exploitation des mesures L analyse mathématique réalisée à l aide de TI- Nspire va consister à : Utiliser le tableur pour calculer : o le volume d eau restant dans la clepsydre, o la hauteur z de la surface libre, o la vitesse de chute moyenne v i de la surface libre toutes les 20 secondes dans cette clepsydre, par calcul du nombre dérivé symétrique (sauf au départ et à la fin où on calcule le nombre dérivé simple). Noter le poids de l eau restant en fin de vidange : P... f Le poids total est donné par la relation P M g avec g 9,8 N/kg et la masse volumique de l eau M est approximativement de 1 kg/m 3. V P P f Montrer que le volume d eau s exprime par la relation V (V en litres). 9.8 8 Diamètre du clou 2,8 mm.