GENEVE - DIP COLLEGES MATHEMATIQUES - ANNEES 3 ET 4 COMPETENCES MINIMALES - EXEMPLES DOMAINE D ETUDE PROBABILITES Analyse combinatoire - Maîtriser les notions de permutations, d arrangements et de combinaisons Ex 1. Combien de comités de 3 hommes et 2 femmes peut-on former avec 7 hommes et 5 femmes? 2. Déterminer le nombre de grilles différentes qu'il est possible de remplir à la loterie suisse à numéros. Parmi ces possibilités, combien permettent-elles de trouver les 6 numéros? 0 numéro? 3. Une multinationale décide de lancer un dentifrice pour chien. Le nom de ce produit indispensable doit comporter trois lettres a) Combien de noms peut-on former avec toutes les lettres de l'alphabet? b) Combien de noms peut-on former comportant une consonne et deux voyelles? c) Combien de noms peut-on former comportant une consonne et deux voyelles différentes? (tiré d exercices ordinaires de probabilités, Frugier) 4. Parmi les anagrammes de 5 lettres formés à partir du mot EQUATIONS, a) Combien ne contiennent que des voyelles? b) Combien contiennent toutes les consonnes? c) Combien commencent par E se se terminent par S? d) Combien commencent par une consonne? e) Combien contiennent N? 5. Dans l'alphabet Braille, chaque lettre ou signe est représenté par 6 points, certains étant en relief. Combien de points distincts peut-on ainsi composer?
Statistique descriptive - Représenter, interpréter et résumer les données d une série statistique 1. On jette un dé et on note le nombre de fois (n i ) où chacune des faces (x i ) est apparue. a) Compléter le tableau : Face (n i ) (x i ) f.c. «1» 18 «2» 17 «3» 19 «4» 20 «5» 16 «6» 18 Total b) Représenter ces données sous forme de diagramme en bâtons. c) Calculer la moyenne et la variance de ces données. 2. On note dans un tableau la taille des élèves d'une classe : Face (n i ) (x i ) f.c. 130-140 0.00 140-150 0.05 150-160 0.30 160-170 0.70 170-1400 0.90 180-190 1.00 190-200 1.00 Total 20 Compléter le tableau. Représenter ces données sous forme d'un histogramme. Construire le polygone des fréquences. Calculer une approximation de la taille moyenne et de la variance de ces données. Déterminer la classe modale. 3. Les tailles (en pouces) des 10 membres de l'équipe de basket-ball WM sont les suivantes : 64 66 66 69 70 70 71 71 75 78 a) Calculer la taille moyenne et l'écart-type de ces observations. b) On remplace les deux plus petits de l équipe par deux joueurs mesurant respectivement 2 pouces de moins, et les deux plus grands par deux joueurs ayant respectivement 2 pouces de plus. Quel effet ce changement aura-t-il sur la taille moyenne? sur l'écart-type? Justifiez vos réponse.
4. Une population de 40 individus a un poids moyen de 74,1 kg. Une autre population de 60 individus a un poids moyen de 71,3 kg. Calculer le poids moyen que l'on obtient en réunissant ces deux populations. 5. Les courbes ci-contre montrent les variations de poids de pièces de monnaie qui ont été frappées et mises en circulation en même temps. L'une des courbes montre la distribution de pièces neuves et les deux autres montrent les distributions de pièces en circulation depuis 5 ans, respectivement 10 ans. a) Quelle courbe, pensez-vous, représente les pièces neuves? Celles en circulation depuis 5 ans? Depuis 10 ans? b) Qu'arrive-t-il au poids moyen des pièces avec le temps? c) Qu'arrive-t-il à l'écart-type du poids avec le temps?
Epreuve aléatoire - Connaître et utiliser les définitions (issue, univers, événement, ) Axiome de probabilités - Connaître et utiliser les axiomes et les théorèmes qui en découlent Ex 1. On jette deux dés. Déterminer les probabilités des événements suivants : a) La somme des points est inférieure à 8 b) La somme des points est divisible par 3 c) La somme des points est inférieure à 8 et divisible par 3 d) La somme des points est inférieure à 8 ou divisible par 3. 2. La classe de Pierre comporte 18 élèves. Pour l'organisation d'une sortie de classe, on tire au sort le nom de 3 élèves. a) Quelle est la probabilité que Pierre fasse partie des organisateurs de cette sortie? b) Quelle est la probabilité qu'il fasse partie des organisateurs de cette sortie avec son copain de classe Nicolas? 3. La course dans laquelle se joue le tiercé compte 12 chevaux. En faisant 100 pronostics différents, quelle est la probabilité de trouver le tiercé a) dans l'ordre? b) dans le désordre? Probabilité conditionnelle - Déterminer l indépendance ou la dépendance de deux événements - Utiliser le théorème de Bayes 1. La figure ci-contre représente trois urnes U 1, U 2 et U 3. On choisit une urne au hasard, et on en tire une boule. a) Quelle est la probabilité que la boule soit noire? b) Quelle est la probabilité que l'on ait choisi U1, sachant que la boule tirée est noire? 2. Un bâtiment est équipé d'un système d'alerte. En cas de danger, l'alerte est donnée avec une probabilité de 0,99. S'il n'y a aucun danger, l'alarme peut se déclencher (p. ex si une souris touche le système) et donne lieu à une fausse alerte avec une probabilité de 0,005. La probabilité pour qu'un danger se présente est de 0,001. Le système déclenche une alerte. Quelle est la probabilité que ce soit une fausse alerte?
3. On considère deux lots de pièces fabriquées. L'un, L 1, renferme 1 % de pièces défectueuses ; l'autre, L 2, en renferme 5 %. On choisit au hasard l'un des deux lots. Dans le lot choisi, on procède au tirage d'une pièce. a) Construire l'arbre des éventualités avec les probabilités correspondantes. b) Déterminer la probabilité de l'événement : "la pièce tirée est bonne". c) Déterminer la probabilité de l'événement : "le lot choisi est L 1, sachant que la pièce tirée est bonne". Variable aléatoire - Calculer l'espérance et la variance de variables aléatoires discrètes - Construire et utiliser la loi binomiale - Utiliser la loi normale dans des situations simples 1. On jette un dé équilibré Si l'on a obtenu un nombre supérieur ou égal à 4, l'expérience est terminée, sinon on note le nombre de points obtenus et on jette le dé une deuxième fois. Si la somme des points est supérieure ou égale à 4, l'expérience est terminée; sinon on continue jusqu'à ce que le total des points soit supérieur ou égal à 4. Soit X la variable aléatoire indiquant le nombre de jets du dé nécessaires pour terminer cette expérience. a) Calculer les probabilités associées à X. b) Déterminer la moyenne et l'écart-type de X. 2. Dans une tombola on fait des paquets de 10 billets; chaque paquet contient 3 billets gagnants. Une personne décide d'acheter les billets d'un paquet de 10 jusqu'à ce qu'elle obtienne un billet gagnant. Combien de billets peut-elle s'attendre à acheter? 3. On vous propose le jeu de fléchettes suivant : - La cible est constituée de cercles concentriques dont les valeurs sont 1,2 et 3 points. - Le tireur dispose de 2 fléchettes. - Le score est donné par l'addition des points obtenus par chacune des 2 fléchettes. Albert désire participer à ce jeu. Avec une fléchette, il obtient 1 point dans 40% des cas, 2 points dans 25% des cas et 3 points dans 15% des cas. a) Albert rate-t-il quelquefois la cible? b) Donner la loi de probabilité de X la variable aléatoire donnant le nombre de points obtenus à l'issue du jeu. c) Si, à ce jeu, on gagne l Fr par point obtenu, combien Albert doit-il verser à l'organisateur pour que ce dernier fasse un bénéfice moyen de 0,50 Fr par partie? d) A sa première fléchette Albert rate la cible; quelle est la probabilité qu'il obtienne au moins 2 points?
4. Paul et Pierre disputent un tournoi de tennis de table. La probabilité que Paul gagne est p = 0,6. a) On décide qu'il y aura 3 parties. Quelles sont les chances de Pierre, qui est le joueur le plus faible? b) Même question si on décide qu'il y aura 5, 7, 9...parties. 5. Un tireur touche la cible avec une probabilité de 1/3. a) S'il tire 50 fois, combien de fois touche-t-il la cible en moyenne? b) Combien de fois doit-il tirer pour que la probabilité d'atteindre la cible au moins une fois soit supérieure à 90%? 6. En admettant que les températures du mois de juillet ont en un endroit une distribution normale de moyenne 18,2 C et d'écart type 3,6 C, calculer la probabilité que la température soit comprise un jour de juillet entre 20 C et 25 C. 7. Un fabriquant de chaussures pour messieurs sait que la pointure de la population qu'il dessert est distribuée à peu près normalement avec une moyenne de 42,4 et un écart type de 1,3. Il va fabriquer 5000 paires de chaussures pour hommes de pointure 39 à 46 ( pointures entières seulement ). Combien doit-il en fabriquer pour chaque pointure? ( On admettra que les personnes ayant une pointure entre 39,5 et 40,5 chaussent du 40!) 8. On lance une pièce de monnaie 100 fois de suite. Quelle probabilité a-t-on d'observer a) moins de 60 piles? b) moins de 36 piles? c) plus de 35 piles mais moins de 60 piles?