S30 : N1- connaitre le vocabulaire, déterminer la probabilité d'un événement (modèle équiréparti ou fréquences) Exercice 1 : Une enquête nous donne la répartition des animaux de compagnie (chiens et chats) de 100 ménages. Ménage Ménage ne Total possédant un chien possédant pas de chien Ménage 8 25 possédant un chat Ménage ne possédant pas de chat Total 20 100 1) Compléter le tableau. On note les événements suivants : E : «le ménage possède un chien» et F : «le ménage possède un chat» 2) Calculer la probabilité des événements E et F. 3) Décrire avec une phrase en français l événement E F puis donner sa probabilité. 4) Décrire avec une phrase en français l événement E F puis déduire des résultats précédents sa probabilité. 5) Décrire avec une phrase en français l événement E puis déduire des résultats précédents sa probabilité. Exercice 2 : Dans un sac contenant des jetons rouges, verts et jaunes, on choisit au hasard un jeton. R : «le jeton choisi est rouge» et V : «le jeton choisi est vert» J : «le jeton choisi est jaune». On sait que p(r) = 1 et p(v) = 4. Calculer p(j). 5 15 Exercice 3 : Dans une assemblée de 200 élèves de Terminale, la répartition par groupes sanguins est la suivante : 80 % des élèves ont un rhésus positif (Rh + ). Parmi ceux qui ont un rhésus positif, 45 % sont du groupe O. Parmi ceux qui ont un rhésus négatif, 40 % sont du groupe O, 40 % sont du groupe A. 8 % des élèves sont du groupe B et 37,5 % d entre eux sont de rhésus négatif. 2 % des élèves sont du groupe AB avec un rhésus positif. 1) Compléter le tableau suivant qui donne la répartition des 200 élèves. Groupe O A B AB Total Rh + Rh - Total 200 2) On tire au sort un élève parmi les 200. Tous les élèves ont la même probabilité d être choisis. Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants : E 1 : «L élève est de Rhésus» E 2 : «L élève est du groupe O» 3) Décrire à l aide d une phrase les évènements E 1 E 2 et E 1 E 2 puis donner leur probabilité. 4) Décrire à l aide d une phrase l évènement 2 E puis donner sa probabilité.
Exercice 4 : À la rentrée 2003, les écoles primaires d une ville de l agglomération parisienne ont effectué un bilan de santé auprès de leurs 1 300 élèves. Une partie de ce bilan de santé avait pour objectif de diagnostiquer les enfants atteints d asthme et de détecter ceux qui présentaient des symptômes asthmatiques. Parmi les 600 filles de ces écoles, 4,5% étaient asthmatiques. De plus, 5% des filles et 7% des garçons présentaient des symptômes asthmatiques. Enfin, 88% des élèves ne présentaient aucun trouble en rapport avec cette maladie. «L élève est une fille qui présente des symptômes asthmatiques». Écrire cet évènement à l aide des évènements A, B ou C puis calculer sa probabilité. 3) On choisit au hasard un élève atteint d asthme. Quelle est la probabilité que cet élève soit un garçon? 1) Remplir le tableau d effectifs suivant Filles Garçons Total Asthmatiques Symptômes asthmatiques Aucun trouble Total 1 300 2) Dans les questions suivantes, les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à 0,01 près. On choisit au hasard un élève parmi les 1 300 élèves des écoles primaires et on considère les évènements suivants : A : «L élève est un garçon»; B : «L élève est asthmatique»; C : «L élève présente des symptômes asthmatiques». a) Calculer la probabilité de chacun des évènements A et B. b) Définir par une phrase l évènement A B, puis calculer sa probabilité. c) En déduire la probabilité de l évènement A B. d) Définir par une phrase l évènement A Cet calculer sa probabilité e) On considère l évènement :
Exercice 5 : (a vérifier) Un lycée de Paris compte 800 élèves. On sait que : 320 élèves sont en Seconde ; parmi eux, il y a 45 % de nonfumeurs ; parmi les 250 élèves de Première se trouvent 120 non-fumeurs ; 92 élèves de terminales sont non-fumeurs 1) Remplir le tableau d effectifs suivant après l avoir recopié : Elèves de seconde Elèves de Première Elèves de Terminale Elèves fumeurs Elèves nonfumeurs Total Total 800 2) Dans cette question, tous les résultats seront donnés sous forme de nombre décimal.. S31 : N2- utiliser arbres, tableaux, probabilités de réunion et d'intersections Exercice 6 : On lance 3 pièces. Quelle est la probabilité d avoir au moins un côté face? Exercice 7 : On lance 4 pièces. Quelle est la probabilité d avoir au moins un côté face? Exercice 8 : On lance trois fois un dé cubique équilibré. On note A l évènement : «avoir au moins un 6» Quelle est la probabilité de l évènement A? Exercice 9 : Un sac contient 2 boules rouges et 3 boules noires. On sort une première boule puis sans la remettre dans le sac, on tire une seconde boule. (tirage sans remise) 1) Représenter cette situation par un arbre qui peut être pondéré. 2) Donner la probabilité p d avoir deux boules de couleur différentes. On tire au sort un élève parmi les élèves du lycée. Tous les élèves ont la même probabilité d être choisis. On note S, P, T et F les évènements suivants : S : «L élève est en seconde» ; T : «L élève est en Terminale» P : «L élève est en Première» ; F : «L élève est fumeur» a) Calculer les probabilité P(T) et P(F). b) Définir par une phrase en français l événement F puis calculer P( F ). c) Définir par une phrase en français l événement S F puis calculer P (S F ). d) Les évènements S et F sont-ils incompatibles? e) Définir par une phrase en français l événement S F puis calculer P(S F).
Exercice 10 : Hervé lance une pièce de monnaie équilibré. Si le côté pile apparait, il pioche une boule dans l urne U p. Sinon il pioche une boule dans l urne U F. Les deux urnes contiennent chacune cinq boules : Dans l urne U p, il y a 3 boules rouges et 2 boules vertes. Dans l urne U F, il y a 4 boules rouges et 1 boule verte. 1) Compléter l arbre pondéré. Exercice 11 : Hervé lance un dé cubique équilibré. Si Hervé obtient la face 1, il pioche une boule dans l urne U A. Sinon il pioche une boule dans l urne U A. Les deux urnes contiennent chacune cinq boules : Dans l urne U A, il y a 3 boules rouges et 2 boules vertes. Dans l urne U A., il y a 4 boules rouges et 1 boule verte. On note A l évènement : «obtenir 1» R l évènement : «obtenir une boule rouge» V l évènement : «obtenir une boule verte» 1) Compléter l arbre pondéré. 2) Utiliser les règles de calcul dans un arbre pour calculer les probabilités des évènements suivants. a) E : «la boule provient de U p et est rouge.» b) G : «la boule provient de U F et est rouge.» 3) Quelle est la probabilité qu Hervé obtienne une boule rouge. 2) Utiliser les règles de calcul dans un arbre pour calculer les probabilités des évènements suivants. c) E : «la boule provient de U p et est rouge.» d) F : «la boule provient de U F et est rouge.» 3) Quelle est la probabilité qu Hervé obtienne une boule rouge.
Exercice 12 : On lance deux dés cubiques équilibrés et on note la somme des deux dés. M. Lerbert mise sur le 7. Pourquoi? On pourra utiliser un arbre ou un tableau. Exercice 13 : On lance deux dés cubiques équilibrés et on calcule la différence entre les deux dés. Exemple : On obtient 4 et 5, la différence est 1. On obtient 6 et 3, la différence est 3. On obtient 4 et 4, la différence est 0. Quelle est la probabilité de l évènement A : «obtenir une différence strictement plus grande que 2» Correction d'exercice 1 : : 1) Ménage possédant un chien Ménage possédant un chat Ménage ne possédant pas de chat Ménage ne possédant pas de chien Total 8 17 25 12 63 75 Total 20 80 100 2) On est dans une situation d équiprobabilité. p(e) = 20/100 = 0,2 et p(f) = 25/100 = 0,25 3) E F : «Le ménage possède un chien et un chat» p(e F) = 8/100 = 0,08. 4) E F : «Le ménage possède un chien ou/et un chat» p(e F) = p(e) + p(f) p(e F) = = 0,37. 5) E : «Le ménage ne possède pas de chien» p(e ) = 1 p(e) = = 0,8
Correction d'exercice 2 : Il y a trois issues à cette expérience. La somme des probabilités des issues est égale à 1. 8 Donc p(j) = 1 P(R) P(V) = = Correction d'exercice 3 : ( à contôler) I- 1) Groupe O A B AB Total Rh + 72 74 10 4 160 Rh - 16 16 6 2 40 Total 88 90 16 6 200 4) On est dans une situation d équiprobabilité. Il y a 40 élèves du Rhésus - P(E1) = 40 200 = 1 5 Il y a 88 élèves du groupe O 15 P(E2) = 88 200 = 11 25 5) E 1 E 2 : «L élève choisi est du groupe O et a un Rhésus» P(E1 E2) = 16 200 = 2 25 E 1 E 2 : L élève choisi est du groupe O et/ou a un Rhésus» P(E 1 E 2 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) - P(E 1 E 2 ) =... = 14 25 Correction d'exercice 4 : ( à contôler) Filles Garçons Total Asthmatiques 27 50 77 Symptômes 30 49 79 asthmatiques Aucun trouble 543 601 1 144 Total 600 700 1 300 2. On est dans une situation d équiprobabilité. a) A : «l élève est un garçon» B : «L élève est asthmatique» P(A) = 700 1300 0,54 P(B) = 77 1300 0,06 b) A B: l élève est un garçon asthmatiques P(A B) = 50 1300 0,04 c) P(AUB) = P(A) + P(B) P(A B) 0,54 + 0,06 0,04 i.e. P(AUB) 0,56 d) A U C : L élève est un garçon ou/et présentant des symptômes asthmatiques P(AUC) = 50+49+601+30 0,56 1300 e) A C : «l élève est une fille et présente des symptômes asthmatiques» P( A C) = 30 1300 0,23 3. On est dans une situation d équiprobabilité. La probabilité que cet élève soit un garçon sachant qu il est atteint d asthme est p = 50 ( 0, 65) 77 5) E 2 : «L élève n est pas du groupe O» P( E 2 ) = 1 P(E 2 ) =...= 14 25
Correction d'exercice 5 : 1) Elèves fumeurs Elèves nonfumeurs Total Elèves de seconde 144 176 320 Elèves de Première 120 130 250 Elèves de Terminale 92 138 230 Total 356 444 800 2) a) On est dans une situation d équiprobabilité. D où 230 356 P(T) = = 0,2875 et P(F) = = 0,445 800 800 b) F : «l élève n est pas fumeurs» p( F ) = = 0,555 c) S F : «l élève est soit en seconde, soit un non-fumeur ou bien les deux» 320 130 138 P(S F ) = = 0,735 800 d) Les évènements S et F ne sont pas incompatibles car il peut y avoir des élèves de seconde fumeur. e) S F : «l élève est un élève de seconde qui fume» 144 P(S F) = = 0,18 800 Correction d'exercice 7 : Si on note A l évènement : «Avoir au moins un côté face» A : «on a que des côtés piles» Si on fait un arbre des possibilités, on obtient : p(a ) = 1 15 et donc p(a) =. 16 16 Correction d'exercice 8 : 1 ère solution : Faire un arbre et compter le nombre d issues favorables. (dans un premier temps avec deux lancers) p(a) = 2 ième solution : Faire un arbre pondéré à 2 issues pour chaque lancer. 6 et 6 3 ième solution : Faire un arbre pondéré par des probabilités. p(a) = 1 p(a ) = 1 ( 5 3 6 ) = 91 216 Correction d'exercice 9 : 1) arbre 2) p = p(rn) + p(nr) = 2 5 3 4 + 3 5 2 4 = 6 20 + 6 20 = 6+6 20 = 3 5 Correction d'exercice 6 : Si on note A l évènement : «Avoir au moins un côté face» A : «on a que des côtés piles» Si on fait un arbre des possibilités, on obtient : p(a ) = 1 8 et donc p(a) = 7 8
Correction d'exercice 10 : p(g) = p(f R) = 5 6 4 5 = 20 30 3) p(r) = p(p R) + p(f R) = 23 30 Correction d'exercice 12 : 2) p(e) = p(p R) = 1 2 3 5 = 3 10 p(g) = p(f R) = 1 2 4 5 = 4 10 C est le 7 qui a le plus de chance d être obtenu. p(7) = 6 36 = 1 6 (par exemple p(5) = 4 36 = 1 9 3) p(r) = p(p R) + p(f R) = 7 10 Correction d'exercice 13 : Correction d'exercice 11 : p(a) = 12 36 2) p(e) = p(p R) = 1 6 3 5 = 3 30