Chapitre 8 Échantillonnage TABLE DES MATIÈRES page - Chapitre 8 Échantillonnage Table des matières I Exercices I-................................................ I- 2................................................ I- 3................................................ I-2 4................................................ I-3 II Cours II- Exemple, vocabulaire, notations.............................. II- 2 Échantillon et fluctuation d échantillonnage....................... II- 3 Applications de l intervalle de fluctuation......................... II-2 3a Analyser les résultats d un échantillon...................... II-2 3b Estimer une proportion à partir d un échantillon................. II-3 4 Simulation.......................................... II-4
Chapitre 8 Échantillonnage I EXERCICES page I- I Exercices Des études estiment que 30 % de la population française souffre d hypertension. Pour vérifier l évolution de cette maladie, un institut effectue des tests sur 5 échantillons de 30 personnes choisies au hasard dans la population française. Le tableau en annexe donne les résultats de cette étude par des 0 et des. Un 0 signifie que la personne concernée n a pas d hypertension et un indique qu elle en a. Chaque élève a un tableau ou un tableau 2 et ces deux tableaux ne contiennent pas les mêmes échantillons. 2. Compléter la ligne des nombres de malades. 2. Compléter la ligne des fréquences, c est à dire calculer pour chaque échantillon la fréquence des personnes qui ont de l hypertension. Écrire les fréquences sous forme de décimaux arrondis au centième près. 3. Ces fréquences sont-elles chaque fois égales à 0,3 c est à dire à 30 %? Si la réponse est non donner l intervalle de fluctuation, c est à dire l intervalle [fréquence minimale ; fréquence maximale] 4. Calculer la fréquence de malades pour l ensemble des personnes d un tableau. 5. Calculer la fréquence de malades pour l ensemble des personnes des tableaux et 2. Dans l exercice précédent, on constate que la fréquence f de malades dans chaque échantillon de 30 personnes varie selon l échantillon, on appelle cela la fluctuation d échantillonnage. En fait, en théorie des probabilités, on démontre que : si p est la proportion d un caractère étudié dans une population ; si n est l effectif d un échantillon alors dans [ 95 % des cas au moins, la fréquence f du caractère dans cet échantillon appartient à l intervalle p ; p + ]. n n Pour notre exercice, la proportion de malades dans la population est p = 0, 3 et l effectif d un échantillon est n = 30. Compléter en arrondissant au centième près :.................... p.................... p +.................... n n n 2. Donner l intervalle de fluctuation : [...... ;......] 3. Dans le tableau de l exercice précédent, il y a 5 fréquences. Combien de fréquences sont dans cet intervalle?............................................
Chapitre 8 Échantillonnage I EXERCICES page I-2 3 Cet exercice est la suite des exercices précédents. Il sera fait en salle d informatique, avec un tableur. Ouvrir le fichier ex-2-echantillon-hypertension-.ods ou le fichier ex-2-echantillon-hypertension-2.ods. Ce fichier donne à nouveau des résultats de tests sur l hypertension, pour 500 échantillons de 00 personnes choisies au hasard dans la population française. Nous allons vérifier à nouveau la fluctuation d échantillonnage et la propriété de l intervalle de fluctuation.. Calculs des fréquences des échantillons. Compléter les lignes n o 02 et 03 des nombres de malades et des fréquences. Pour cela saisir une formule en B02 ; saisir une formule en B03 ; recopier ces deux formules vers la droite jusqu à l échantillon n o 500. 2. Intervalle de fluctuation Pour notre exercice, la proportion de malades dans la population est toujours p = 0, 3 mais l effectif d un échantillon est cette fois-ci n = 00. (a) Compléter en arrondissant au centième près :.................. p.................. p +.................. n n n (b) Donner l intervalle de fluctuation : [...... ;......] 3. Pourcentage de fréquences dans l intervalle de fluctuation (a) Dans la cellule SJ03, saisir une formule pour compter le nombre de fréquences inférieures à p +. n Indication : la formule qui permet de «compter» le nombre de nombres inférieurs à k est : =NB.SI($B$03 :$SG$03 ;"<k") (b) Compléter les cellules SJ04 à SJ06 par des formules. (c) En théorie le pourcentage de fréquences incluses dans l intervalle de fluctuation est au moins 95 %. Quel est le pourcentage de fréquences incluses dans l intervalle de fluctuation?.........
Chapitre 8 Échantillonnage I EXERCICES page I-3 4 Objectif : concevoir, mettre en œuvre des simulations de situations concrètes à l aide du tableur ou d une calculatrice. Revenons encore à l exemple de la population française qui comporte 30 % de malades d hypertension. Pour constituer un échantillon, on interroge des personnes au hasard. Comment simuler cela? Quand on interroge une personne au hasard, la probabilité qu elle soit malade d hypertension est de 30 %, c est à dire 0,3 c est à dire 3 chances sur 0. Comment simuler un évènement qui a 3 chance sur 0 de se produire?. Comment simuler cela avec du matériel (boules de couleur, jetons, dé, pièce de monnaie)? 2. Simulons cela avec la calculatrice TI 82. (a) Voici comment obtenir un nombre entier au hasard entre et 0. Appuyer sur les touches : math 5 On voit à l écran : entaléat( Compléter pour obtenir ceci : entaléat(,0) Appuyer sur la touche entrer. Avec certains autres modèles TI, c est la même chose avec randint (b) Comment s organiser pour simuler un évènement qui a trois chances sur dix de se produire? 3. (a) Simuler un échantillon de 30 personnes avec la calculatrice. On peut utiliser 30 fois la commande entaléat(,0), mais il est plus pratique de saisir entaléat(,0,5) qui affiche 5 nombres entiers aléatoires entre et 0. (b) Calculer la fréquence de «malades» de l échantillon. f =......... (c) Calculs pour l intervalle de fluctuation (arrondir au centième près : p =... n =..................... p.................. p +.................. n n n Intervalle de fluctuation : [...... ;......] (d) La fréquence obtenue est elle dans l intervalle de fluctuation?..........................
Chapitre 8 Échantillonnage II COURS page II- II Cours Exemple, vocabulaire, notations Exemple (voir exercice sur fiche n o ) Des études estiment que 30 % de la population française souffre d hypertension. On choisit au hasard un échantillon de 30 personnes, et dans cet échantillon, 7 personnes ont de l hypertension. Vocabulaire et notations Le fait d avoir de l hypertension s appelle un caractère de la population. La proportion de ce caractère dans la population est : p = 30 = 0, 3. 00 La taille ou l effectif de l échantillon est : n = 30 La fréquence du caractère dans l échantillon est : f = 7 0, 23 30 2 Échantillon et fluctuation d échantillonnage Lorsqu on veut connaître la proportion d un caractère dans une population, il n est pas toujours possible d étudier cette population en entier, c est pour cela qu on décide parfois d étudier un échantillon d individus choisis au hasard. Revenons à notre exemple de l exercice sur fiche n o. Dans les différents échantillons de 30 personnes, voici quelques exemples de fréquences : 7 30 0, 23 9 30 = 0, 3 0, 37 etc. 30 On constate que certaines fréquences sont égales à 0,3, mais pas toutes. Ces fréquences fluctuent autour de 0,3, on dit qu il y a fluctuation d échantillonnage. En fait, en théorie des probabilités, on démontre la propriété ci-dessous. Propriété : Si la proportion p d un caractère étudié dans une population est comprise entre 0, 2 et 0, 8, et si un échantillon est de taille n 25, alors, dans [ 95 % des cas au moins, la fréquence f du caractère dans l échantillon appartient à l intervalle p ; p + ] n n L intervalle ci-dessus s appelle l intervalle de fluctuation au seuil 95 %. Exemple Revenons encore à notre exemple, et à l exercice sur fiche n o 3. Dans cet exercice, on a toujours p = 0, 3, et les échantillons sont de taille 00, donc n = 00. = = 0, p = 0, 3 0, = 0, 2 p + = 0, 3 + 0, = 0, 4 n 00 n n Intervalle de fluctuation : [0,2 ; 0,4] On constate que sur les 500 échantillons, 493 fréquences sur 500 sont dans cet intervalle, c est à dire dans 98,6 %des cas.
Chapitre 8 Échantillonnage II COURS page II-2 3 Applications de l intervalle de fluctuation On peut utiliser la propriété de l intervalle de fluctuation de deux manières : si on connaît la proportion p du caractère dans la population, on analyse un résultat d échantillonnage, en vérifiant si la fréquence f du caractère dans l échantillon est dans l intervalle de fluctuation ou pas ; si on ne connaît pas la proportion p du caractère dans la population, la fréquence f du caractère dans l échantillon sert à estimer la proportion p. 3a Analyser les résultats d un échantillon Objectifs du programme : analyser un résultat d échantillonnage ; comprendre comment on peut prendre une décision à partir d un échantillon. Exemple (exercice sur fiche n o 4, Pixel p. 276) Au Royaume uni, 3 % des collégiens ont de l asthme. Dans un collège de 284 élèves, 8 élèves ont de l asthme.. La fréquence des élèves ayant de l asthme est-elle dans l intervalle de fluctuation? 2. Que peut-on en conclure?. La population est l ensemble des collégiens du Royaume uni : p = 3 = 0, 3. 00 Le caractère étudié est l asthme. L échantillon est l ensemble des collégiens de ce collège : n = 284. Fréquence : f = 8 0, 29 284 Intervalle de fluctuation : = 0, 06 p 0, 3 0, 06 = 0, 25 p + 0, 3 + 0, 06 = 0, 37 n 284 n n On obtient l intervalle : [0, 25 ; 0, 37]. Par conséquent la fréquence 0,29 appartient bien à l intervalle de fluctuation. 2. Conclusion : la fréquence d asthme dans ce collège est légèrement inférieure à la proportion dans le pays, mais comme elle est dans l intervalle de fluctuation, la situation de ce collège est conforme à la situation du pays (ni pire, ni meilleure). Exemple 2 (exercice sur fiche n o 9, Pixel page 277) Dans les écoles d une ville, une loterie annonce que 75 % des billets sont gagnants. Dans l école de Yan, 58 billets sur 02 étaient gagnants. Cette publicité était-elle mensongère? Population : tous les billets vendus dans la ville. Caractère : billet gagnant La publicité annonce que p = 0, 75 Échantillon : les 02 billets n = 02 Fréquence de billets gagnants dans l échantillon : f = 58 02 Intervalle de fluctuation : on obtient [0,65 ; 0,85] 0, 57 Par conséquent la fréquence de billets gagnants dans l école de Yan n est pas dans l intervalle de fluctuation. On peut en conclure que : il y a 95 % de chances que cette publicité soit mensongère ; mais il y a 5 % de chances que l école de Yan ait manqué de... chance!. Manuel Maths 2de, Collection Pixel, Bordas 200
Chapitre 8 Échantillonnage II COURS page II-3 3b Estimer une proportion à partir d un échantillon Objectifs du programme : estimer une proportion inconnue à partir d un échantillon ; savoir se poser des questions sur cette estimation. Remarque et propriété : la propriété de l intervalle de fluctuation signifie que la distance entre la fréquence f et la proportion p est inférieure ou égale à n, par conséquent, on a aussi la propriété ci-dessous. Si la proportion p d un caractère étudié dans une population est comprise[ entre 0, 2 et 0, 8, et si un échantillon est de taille n 25, alors, dans 95 % des cas au moins, p f ; f + ] n n Exemple (exercice sur fiche n o 24, Pixel page 277) Un test d entrée en seconde comporte une question sur le thème «représenter graphiquement une fonction affine». Dans un centre de 2356 élèves, le taux de réussite est 4,7 %. Donner une estimation du taux de réussite à cette question au niveau national. Population : tous les élèves de seconde en France. Caractère : réussite à la question sur les fonctions affines. Le taux de réussite p au niveau national est inconnu. Échantillon : les 2356 élèves, n = 2356. Fréquence : c est le taux de réussite donné dans l énoncé f = 4, 7 % = 4, 7 = 0, 47 00 Intervalle : 0, 02 0, 47 0, 02 0, 40 0, 47 + 0, 02 0, 44 2356 Estimation du taux de réussite p au niveau national : il y a une probabilité de 95 % que le taux national p soit compris entre 40 % et 44 %. Autrement dit, il a 5 % de chances pour que cela soit faux.
Chapitre 8 Échantillonnage II COURS page II-4 4 Simulation Exemple Revenons encore à l exemple de la population française qui comporte 30 % de malades d hypertension. Pour constituer un échantillon, on interroge des personnes au hasard. Comment simuler cela? Quand on interroge une personne au hasard, la probabilité qu elle soit malade d hypertension est de 30 %, c est à dire 0,3 c est à dire 3 chances sur 0. Comment simuler un évènement qui a 3 chance sur 0 de se produire? Avec du matériel. On place dans une urne 3 boules rouges et 7 boules vertes. On prend une boule au hasard, on note le résultat (rouge = malade ; vert = non malade), puis on remet cette boule dans l urne. Avec une calculatrice. Sur la calculatrice TI 82, on appuie sur la touche math, puis on choisit PRB, puis entaléat( ou randint( 2. On saisit entaléat(,0), puis on appuie sur la touche entrer autant de fois qu on veut. Le nombre qui s affiche chaque fois est un nombre aléatoire entre et 0, c est à dire un nombre pris au hasard entre et 0. Pour simuler l évènement «la personne interrogée est malade d hypertension» qui a 3 chance sur 0 de se produire, on procède ainsi : si le nombre affiché est inférieur ou égal à 3, on fait comme si la personne était malade ; si le nombre affiché est supérieur à 3, on fait comme si la personne n était pas malade. Avec un tableur. Dans le tableur OpenOfficeCalc ou LibreOfficeCalc, on obtient un nombre aléatoire entre et 0 avec la commande : =ALEA.ENTRE.BORNES( ;0) Commandes aléatoires de la calculatrice et du tableur 2 Nombre entier aléatoire entre a et b Nombre décimal aléatoire entre 0 et Calculatrice TI 82 entaléat(a,b) randint(a,b) NbrAléat rand Tableur OfficeCalc ALEA.ENTRE.BORNES(a ;b) RANDBETWEEN(a ;b) ALEA() RAND() 2. random signifie aléatoire