Commande prédictive ENSPS 3A ISAV Master ISTI AR J. Gangloff
Plan 1.Introduction / Historique 2.Modélisation du système 3.Fonction de coût 4.Équations de prédiction 5.Commande optimale 6.Exemples 7.Réglage du GPC 8.Bibliographie
1. Introduction 1.1. Définition du «MPC» Model Predictive Control (MPC) : Utilisation explicite d'un modèle pour prédire le comportement futur du système Calcul d'une séquence d'échantillons futurs de commande minimisant une fonction de coût sur un horizon fuyant Seul le premier échantillon de commande est réellement appliqué au système. Toute la séquence est recalculée à chaque pas.
1. Introduction 1.2. Principe du «MPC» [ r t 1 ] r t N 2 + - Optimisation [ u t N u 1 ] u t u t Système [ y t 1 ] y t N 2 Prédicteur y t N 2 mesures futures N 1 commandes futures N 2 consignes futures
1. Introduction 1.2. Principe du «MPC» r y Horizon fuyant t N 1 t N 2 t Objectif de l'optimisation : minimiser la surface
1. Introduction 1.3. Déclinaisons du «MPC» DMC (Dynamic Matrix Control) Utilise la réponse indicielle du système Processus stable et sans intégrateur MAC (Model Algorithmic Control) Utilise la réponse impulsionnelle PFC (Predictive Functional Control) Utilise un modèle d'état du système Peut s'appliquer aux systèmes non linéaires GPC (Generalized Predictive Control) Utilise un modèle CARMA Le plus répandu
1. Introduction 1.4. Avantages/inconvénient du «MPC» Avantages : Concept simple, réglage intuitif et aisé S'applique à tout type de systèmes, des plus simples aux plus complexes (systèmes instables, avec retards, non minimum de phase, très peu amortis, multivariables, non linéaires, variants) Si la consigne est connue à l'avance, son caractère prédictif permet de l'anticiper et donc d'améliorer le suivi. Numériquement stable Inconvénient : modélisation précise
2. Modélisation 2.1. Cas du MAC Modèle impulsionnel La sortie est reliée à l'entrée par l'équation suivante : y t = h i u t i i=1 On tronque aux N premiers échantillons : N y t k t = h i u t k i t i=1 Inconvénient : représentation non minimale
2. Modélisation 2.2. Cas du GPC Modélisation CARMA (Controller Auto- Regressive Moving-Average) : Avec : A q -1 y t =q -d B q -1 u t 1 C q-1 D q -1 e t On fait souvent : A q -1-1 -2 =1 a 1q a 2q a na q -na B q -1-1 -2 =b 0 b 1q b 2q b nb q -nb C q -1-1 -2 =1 c 1q c 2q c nc q -nc D q -1 = q -1 =1 q -1
3. Fonction de coût N 2 J= j=n 1 [ y t j t r t j ] 2 N u [ u t j 1 ] 2 j=1 Erreur quadratique Énergie de la commande Paramètres de réglage : N 2, N u,
4. Équations de prédiction Cas du GPC : Première équation diophantienne : Avec C=1 : C=E j A q -j F j On a : 1=E j A q -j F j deg E j = j 1 deg F j =na [ Ay t =Bq -d u t 1 e t ] E j q j A E j y t j =E j B u t j d 1 E j e t j
4. Équations de prédiction On utilise l'équation diophantienne : D'où on tire : Meilleure prédiction : 1 q -j F j y t j =E j B u t j d 1 E j e t j y t j =F j y t E j B u t j d 1 E j e t j y t j t =E j B u t j d 1 F j y t
4. Équations de prédiction Séparation des commandes : Deuxième équation diophantienne : E j B=G j q -j j Équation de prédiction : y t j t =G j u t j d 1 j u t d 1 F j y t Réponse forcée Réponse libre
5. Commande optimale Équation de prédiction : Avec : y=[ y t 1 t y t N 2 t ] T u=[ u t t u t N u 1 t ] T f=[ f t 1 t f t N 2 t ] T y=g u f G=[ g0 u] g N2 1 g N2 2 g 0 g N2 1 g N2 2 g N2 N 0 0 g 1 g 0 0 N 2 Les g 0... g N2-1 sont les échantillons de la réponse indicielle. N u
5. Commande optimale Fonction de coût : J= y r T y r u T u On a : u opt qui annule dj d u : u opt= G T G I -1 G T r f Avec : r=[r t 1 r t N 2 ] T consignes futures Seule la première valeur de la commande optimale est appliquée au système.
6. Exemples 6.1. Exemple simple Soit le système mis sous la forme CARIMA : -1 A=1 0.7q On a : B=0.9 0.6q -1
6. Exemples 6.1. Exemple simple Ce qui peut être mis sous la forme : G = 0.8947 G T G I 3-1 G T f 0.0929 0.0095 0.8316 0.8091 0.0929 0.0766 0.8316 0.8947
6. Exemples 6.2. Résultats de simulation
6. Exemples 6.2. Résultats de simulation
7. Réglage du GPC Paramètre : Augmentation : ralentissement du système Diminution : commande plus énergique donc accélération du système Paramètre N 2 : Doit être au moins aussi grand que le transitoire du système corrigé Paramètre N 1 : Doit être supérieur au retard du système Paramètre N u : Tend vers une réponse pile quand N u ->0
8. Bibliographie R. Bitmead, M. Gevers et V. Wertz, «Adaptive Optimal control The thinking man 's GPC», Prentice Hall International, 1990. E. F. Camacho et C. Bordons, «Model Predictive Control», Springer Verlag, 1999. J.-M. Dion et D. Popescu, «Commande optimale, conception optimisée des systèmes», Diderot, 1996. P. Boucher et D. Dumur, «La commande prédictive», Technip, 1996.