Représenter l espace environnant et se repérer sur un plan

Représenter l espace environnant et se repérer sur un plan ESPACE ET GÉOMÉTRIE p. 108-109 du fichier Programme 2016 Se repérer et se déplacer en utilisant des repères et des représentations. Compétences travaillées Se repérer dans un environnement proche. Situer des personnes les unes par rapport aux autres ou par rapport à des repères fixes. Utiliser le vocabulaire permettant de définir des positions. S orienter et se déplacer en utilisant des repères. Coder et décoder pour prévoir, représenter et réaliser des déplacements dans des espaces familiers, sur un quadrillage, sur un écran. Connaissances pour le maitre En général, les élèves ont appris en maternelle à compléter des tableaux à double entrée. Cette capacité de repérage va leur servir pour repérer les cases, les nœuds d un quadrillage. Nous proposons dans le fichier de CE2 des activités de codage et de décodage à partir de plans. Le degré de complexité ne représente pas une grande difficulté pour les élèves, mais leur permet de passer progressivement de l espace vécu (jeux en EPS, jeux de cour) à l espace représenté, qui nécessite une conceptualisation de cet espace. Il est à noter que le vocabulaire spécifique «coordonnées», «abscisse» et «ordonnée» n est pas au programme de CE2. Par conséquent : Pour le repérage des cases d un quadrillage, l enseignant veillera à utiliser les mots «lignes» et «colonnes». À ce propos, on remarquera qu en géométrie, le vocabulaire a un sens parfois différent de celui du langage courant. Par exemple, ici, le mot «ligne» désigne l ensemble des cases alignées horizontalement tandis que dans le langage courant, il désigne un «trait». Pour le repérage des nœuds, l enseignant pourra utiliser le vocabulaire «lignes horizontales» et «lignes verticales». Par ces activités, les élèves confortent le vocabulaire de position utilisé tout au long du cycle 2. Le travail sur plan permet de travailler spécifiquement de nouveaux termes : nord, sud, est, ouest. Enfin, on remarquera que le travail de déplacement sur plan est assujetti à la compréhension de l orientation du plan : se déplacer vers le sud sur le plan implique que les déplacements vers la gauche sont à la droite du lecteur du plan, et inversement. Cette particularité est à travailler et à faire vivre en se plaçant dans le même sens que le déplacement. Découverte collective de la notion Afficher au tableau le plan agrandi du «Cherchons» (cf. Matériel). Expliquer aux élèves qu ils vont apprendre à se repérer sur le plan. Leur faire remarquer la construction de ce plan : le quadrillage de fond (évoquer le rapprochement avec le tableau à double entrée), les rues et leurs noms, les bâtiments. Lire les questions de la 1 re puce. Laisser un temps de recherche individuelle. Mettre en commun : collecter les réponses des élèves et les écrire au tableau. Faire expliciter chaque fois sur le plan du tableau. Mairie : (A ; 4) Cinéma : (B ; 4) Musée : (A ; 6) Rappeler qu on se repère sur le plan grâce au quadrillage de fond. Ce travail est identique au repérage de cases dans le tableau à double entrée. Lire la question de la 2 e puce et constituer des binômes, chacun ayant un plan (cf. Matériel) dans les mains. Demander à chaque binôme de se positionner comme Léo en orientant le plan. Ils vont donc devoir retourner la feuille devant eux. Pour les élèves qui ont des difficultés, on peut envisager, dans la cour ou dans la classe, de matérialiser la mairie, le cinéma et le musée par des cartons ou des bureaux et les faire se positionner comme Léo. Il convient ensuite de représenter la rivière en la traçant à la craie. Questionner les élèves : Dans quelle direction Léo regarde-t-il? Il regarde vers la rivière. Laisser un temps aux binômes pour répondre à la question du fichier. Mettre en commun : analyser chaque phrase proposée dans le fichier. Léo voit la rivière et le cinéma. C est impossible, car si Léo tourne le dos à la mairie, il tourne également le dos au cinéma. Dans le cas où la situation a été matérialisée dans l espace classe ou l espace cour, on pourra le vérifier directement. 108

Léo voit le musée, la rivière et l église. C est impossible, car si Léo tourne le dos à la mairie, il tourne également le dos à l église. Dans le cas où la situation a été matérialisée dans l espace classe ou l espace cour, faire ajouter un élément qui représentera l église. Léo voit le musée, la rivière et le stade. C est juste. Si Léo tourne le dos à la mairie, il voit devant lui le musée, puis plus loin la rivière et plus loin encore, le stade. Dans le cas où la situation a été matérialisée dans l espace classe ou l espace cour, faire ajouter un élément qui représentera le stade. Attirer l attention des élèves sur la rose des vents. Expliquer que cette dernière est un repère d orientation du plan non pas par rapport à nous mais par rapport aux pôles ; il est à cette occasion intéressant de leur montrer sur une boussole, dans la cour, que le nord montre toujours la même direction, quelle que soit notre position et notre orientation. Reprendre l analyse de chaque phrase en s appuyant sur les points cardinaux : par exemple, pour la première phrase, formuler que «C est impossible, car si Léo tourne le dos à la mairie, il tourne également le dos au cinéma qui se trouve plus au nord, alors que Léo regarde au sud.» Difficultés éventuelles Des élèves peuvent avoir des difficultés à se repérer sur le quadrillage d un plan. Reprendre un travail avec le tableau à double entrée sous forme de bataille navale (cf. Matériel). Certains ont du mal à orienter le plan. Il est nécessaire de travailler sur l espace. Tracer un quadrillage (de 8 cases par 8 cases) au sol dans la cour et faire placer dans ce quadrillage tous les éléments du plan de la situation de recherche (stade, musée, bibliothèque, mairie, cinéma, église, MJC et école) afin que les élèves puissent se placer, s orienter et se déplacer dans ce plan. Autres pistes d activités Faire jouer à la bataille navale (cf. Matériel). Proposer aux élèves de photographier certains espaces vus du dessus (si possible, depuis le dernier étage d un bâtiment par exemple) et de réaliser le plan correspondant. Faire repérer plusieurs bâtiments dans le quartier où se trouve l école, puis les faire retrouver sur le plan correspondant. Faire planifier le chemin à suivre à partir d un plan lors des déplacements dans le quartier de l école (par exemple pour aller au stade ou à la bibliothèque). CD-Rom Remédiation Matériel : Plan agrandi du «Cherchons» Plan individuel du «Cherchons» Grilles de bataille navale CORRIGÉS DES EXERCICES 1 a. La bibliothèque se trouve en (B ; 5). b. L école se situe en (B ; 1). c. Les rues qui relient l église et la mairie sont le chemin de la Bibliothèque et la route de la Mairie. d. Sevan voit l église et la MJC. 109

1 2 3 4 5 6 7 8 2 Rue du Musée A Route du Collège Mairie Route de la Rivière Léo Musée École Route de la Mairie B C D E F G H Route du Cinéma Cinéma Bibliothèque Rue des Écoliers Rue des Virages Rue du Lotissement MJC Église Chemin de la Bibliothèque Rue de l Eau Rue de la MJC Avenue des Berges Rivière Avenue du Stade Stade 3 Les erreurs d Ysia sont corrigées en ligne pointillée sur le plan ci-dessous. Ysia se trompe à plusieurs reprises : Elle tourne à gauche chemin de la Bibliothèque au lieu d aller tout droit rue de l Eau. Elle prend la rue de l Église. Le reste du parcours est exact. 1 2 A Route du Collège Rue de l Église B C D E F G H École Rue des Écoliers Rue des Virages Rue des Fleurs O O N S N S E Chemin du Village E 4 Clémentine doit tourner à droite avenue des Berges, puis à gauche rue de l Eau, continuer sur la route du cinéma et enfin tourner à droite rue de la MJC. 1 2 3 4 5 6 7 8 Rue du Musée A Route du Collège Mairie Route de la Rivière Léo Musée École Route du Cinéma Route de la Mairie B C D E F G H Cinéma Bibliothèque Rue des Écoliers Rue des Virages Rue du Lotissement MJC Rue de la MJC Église Chemin de la Bibliothèque Rue de l Eau Avenue des Berges Rivière Avenue du Stade Stade Rue de l Église Rue des Fleurs O N S E Chemin du Village 3 4 5 6 Rue du Musée Mairie Route de la Rivière Musée Route du Cinéma Route de la Mairie Cinéma Bibliothèque Rue du Lotissement Ysia MJC Rue de la MJC Église Chemin de la Bibliothèque Rue de l Eau 7 Avenue des Berges Rivière 8 Avenue du Stade Stade Rue de l Église Rue des Fleurs Chemin du Village 110

Programmer des déplacements ESPACE ET GÉOMÉTRIE p. 110-111 du fichier Programme 2016 Se repérer et se déplacer en utilisant des repères et des représentations. Compétences travaillées Se repérer dans un environnement proche. Situer des personnes les unes par rapport aux autres ou par rapport à des repères fixes. Utiliser le vocabulaire permettant de définir des positions. S orienter et se déplacer en utilisant des repères. Coder et décoder pour prévoir, représenter et réaliser des déplacements dans des espaces familiers, sur un quadrillage, sur un écran (programmer des déplacements). Connaissances pour le maitre Cette leçon est un prolongement de la précédente, mais s inscrit également dans une progression de cycle qui servira d appui au cycle 3. En effet, les élèves ont appris à coder et décoder des déplacements sur des quadrillages. Progressivement, ils apprennent à les «programmer». Cela se traduit par : l approche d un environnement numérique permettant cette action ; les applications qui y sont dédiées (tel que Scratch) seront utilisées au cycle 3 ; l analyse et la production d algorithmes simples tels que la répétition d une boucle. Découverte collective de la notion Afficher le plan agrandi du «Cherchons» (cf. Matériel). Expliquer que cette fois on va apprendre à décoder et à coder des déplacements qui ont une particularité. Faire repérer la maison de Manon et la rose des vents qui va servir à s orienter. Mettre les élèves en binômes et leur laisser du temps pour tester le déplacement de Manon sur leur fichier, au crayon à papier. Mettre en commun : demander à quelques binômes de venir reproduire leur déplacement sur le plan, au crayon à papier (de façon à pouvoir effacer). Conclure : Manon va à l école. Faire expliciter le tracé du déplacement, en utilisant la terminologie adaptée (nord, est, nord, est, nord, est). Collectivement, demander aux élèves de tracer et coder au tableau un autre chemin que Manon peut emprunter pour aller à l école. Faire comparer les deux types de codages utilisés (celui du fichier et celui des élèves). Faire expliciter que la leçon porte sur des déplacements qui contiennent une répétition, que l on peut coder explicitement par l utilisation de l expression «... fois». Pour la réalisation des exercices 1 à 5, on pourra distribuer des plans individuels du «Cherchons» aux élèves afin qu ils s en servent comme brouillon de recherche (cf. Matériel). Difficultés éventuelles Des élèves peuvent encore avoir des difficultés à se repérer sur le plan. Dans un premier temps, les aider à repérer les bâtiments. Tracer le plan sur le sol, avec seulement les rues que Manon empruntera pour aller à l école, faire repérer le déplacement sur le plan agrandi puis faire coder avec la terminologie de la rose des vents. L utilisation de la répétition peut être difficile à mettre en œuvre. Inciter à expliciter celle-ci à haute voix, en comptant les boucles réalisées lorsqu on décode. Pour coder et repérer la boucle de répétition, faire dire à haute voix chaque étape de déplacement pour entendre la portion qui se répète. Autres pistes d activités Tracer un grand quadrillage à la craie dans la cour, demander à un élève de réaliser un déplacement qui contient une boucle de répétition et faire produire le codage incluant la boucle par les autres élèves. 111

Sur ce quadrillage, prévoir un point de départ. Donner aux élèves des feuilles sur lesquelles sont écrits des codes de déplacements contenant une boucle de répétition. Dans le quadrillage tracé à la craie, poser en amont de l exercice un objet dans la dernière case de déplacement. Demander aux élèves de prévoir l objet atteint et le faire vérifier par l exécution du déplacement. Ce jeu peut faire l objet de compétitions : deux équipes ont le même code et celle qui trouve le plus rapidement l objet cible a gagné. CD-Rom Évaluation : Se repérer et se déplacer sur un plan Remédiation Matériel : Plan agrandi du «Cherchons» Plan individuel du «Cherchons» Activités numériques : Programmer des déplacements CORRIGÉS DES EXERCICES 1 Damien se rend à la bibliothèque. 2 William se rend à l école. 3 Manon arrive à la poste. 4 Manon se trompe. Elle doit suivre les directions Est, encore Est et enfin Nord 2 fois de suite. La troisième fois, elle doit suivre les directions Est et encore Est sans finir par Nord. 5 (Sud, Sud, Est) 2 fois. 6 École O N E Boucherie S Maison Poste Bibliothèque Boulangerie De chez Manon à la boulangerie : (Est, Est, Est, Est, Sud) 2 fois. 112

Utiliser la règle graduée, l équerre et le compas ESPACE ET GÉOMÉTRIE p. 112-113 du fichier Programme 2016 Reconnaitre, nommer, décrire, reproduire, construire quelques figures géométriques. Reconnaitre et utiliser les notions d alignement, d angle droit, d égalité de longueurs, de milieu, de symétrie. Compétences travaillées Utiliser la règle, le compas ou l équerre comme instruments de tracé. Faire le lien entre propriétés géométriques et instruments de tracé. Repérer et produire des angles droits à l aide d un gabarit, d une équerre. Connaissances pour le maitre D une manière générale, l objectif principal de la géométrie au cours des cycles 2 et 3 est le passage d une reconnaissance perceptive des objets à une étude fondée sur le recours aux instruments de tracé et de mesure. Il est donc nécessaire de commencer par se réapproprier la règle graduée dont l utilisation a été découverte au CP (pour tracer) et au CE1 (pour mesurer), et l équerre. Des activités de mesure et de tracé impliquant l utilisation des graduations de la règle doivent être proposées régulièrement, compte tenu de la précision qu elles requièrent. Cette précision est un enjeu essentiel : l élève doit comprendre que la perception visuelle ne suffit pas pour déterminer une propriété géométrique. L équerre étant l instrument de vérification et de tracé de l angle droit, cet angle droit peut être appréhendé concrètement, et l élève peut se l approprier. Il peut être matérialisé de différentes façons : Tracer une droite sur une feuille. Plier cette droite sur elle-même de façon absolument symétrique. L axe de symétrie ainsi formé délimite alors un angle droit. Afin de faire visualiser ce qu est un angle droit, proposer la rotation d un objet d un quart de tour, par exemple en redressant verticalement un crayon sur une table : l angle balayé par le crayon correspond à un angle droit. Afin de garder une trace de cette rotation d un quart de tour et donc de l angle droit, on peut utiliser une craie grasse : tracer un trait sur une feuille, positionner la craie le long du trait et exécuter un quart de tour avec la craie autour de l une de ses extrémités. La précision nécessaire pour vérifier si un angle est droit doit être illustrée au tableau, à partir de plusieurs angles dont la mesure est un peu supérieure ou un peu inférieure à 90 : le recours systématique à l équerre doit pouvoir éliminer les approximations, même minimes. Découverte collective de la notion Lire la situation de recherche, en commençant par le texte de la bulle. Expliciter que l on doit décrire et porter un jugement sur le travail du papa de Mathias, puis déterminer la bonne méthode pour le réaliser. Laisser cinq minutes de recherche individuelle. Mettre en commun : pour répondre aux questions, l analyse des figures doit se faire en deux temps : la vérification des côtés et celle des angles pour le carré, puis l analyse du tracé du cercle. 1) Commencer par l analyse du carré. Questionner les élèves : Comment doivent être les côtés d un carré? Les carrés ont des côtés droits, de même longueur. Faire observer les côtés du carré proposé par le papa de Mathias. Ils sont tracés maladroitement, à main levée, et ils ne sont pas de la même longueur. Conclure : On ne peut pas tracer des segments à main levée. Pour tracer bien droit les côtés des figures géométriques et à la bonne mesure, il faut utiliser la règle et sa graduation. Interroger ensuite les élèves sur le texte de la bulle («en faisant les angles droits»). Questionner : Pourquoi le papa de Mathias dit-il cela? Savez-vous ce qu est un angle droit? Sur la figure du papa de Mathias, voyez-vous des angles droits? Deux angles paraissent droits, mais comme les côtés ont été tracés à la main, c est approximatif. Les deux autres angles ne sont pas droits. Conclure. Pour tracer des angles droits, il aurait dû utiliser l équerre. Tracer le carré au tableau avec les instruments nécessaires en faisant commenter chaque fois la nécessaire utilisation de l instrument. Demander à un élève de venir vérifier les quatre angles et la longueur des segments. On ne commentera pas les étapes de tracé du carré maintenant puisqu elles feront l objet d une leçon plus tard. Distribuer une équerre à chaque élève. Faire observer cet instrument et mettre en évidence qu il n y a qu un angle droit sur l équerre et que c est lui et seulement lui qui sert à vérifier les angles droits ou à les tracer. Proposer ensuite de faire vérifier des angles droits d objets usuels de la classe comme une feuille de papier, un cahier, un livre. 113

2) Poursuivre par l analyse du cercle. Comment doit être le tracé du cercle? Les cercles doivent être tracés bien ronds. Faire observer le tracé du cercle. Le cercle est aussi tracé maladroitement, il n est pas tout à fait rond. Questionner : Comment aurait-il dû faire? Conclure : Pour tracer un cercle correctement, il faut utiliser le compas. Distribuer un compas à chaque élève. Demander aux élèves si l un d eux sait s en servir et s il peut expliquer son utilisation à ses camarades. Faire observer cet instrument et mettre en évidence qu il doit être tenu entre le pouce et l index. Préciser que l on place la pointe du compas sur un point et que c est l écartement du compas qui détermine la taille du cercle. Faire tracer des cercles. Ne pas hésiter à accompagner le geste pour les élèves qui n y arrivent pas. Choisir des cercles dont le rayon est assez grand pour faciliter la manipulation. Difficultés éventuelles Des élèves peuvent juger inutile d utiliser un instrument spécifique pour vérifier les angles. Pour qu ils perçoivent l importance de la vérification, proposer de nombreuses figures avec des angles qui semblent droits à l œil nu et les inciter à vérifier avec les instruments. Faire verbaliser ce qu ils retiennent de cette étude. Il en est de même pour la vérification des longueurs, ainsi que le tracé des cercles que certains pourraient faire à main levée. Certains rencontrent des difficultés pour tenir les instruments et tracer en même temps. Seul un entrainement systématique peut les faire progresser. Bien préciser et montrer la façon de faire, après avoir observé leur démarche. Leur venir en aide dans un premier temps en tenant soi-même la règle, l équerre, ou le compas. Faire valider les tracés en utilisant du papier calque sur lequel la figure attendue est tracée. Lorsque les élèves se servent d une équerre pour mesurer et tracer à la bonne longueur, ils utilisent parfois le sommet de l angle droit comme point de départ de la graduation. Il est nécessaire de rappeler que, quel que soit l instrument utilisé, une mesure de longueur commence toujours au «0» de la graduation. Dans l absolu, l équerre doit être réservée au tracé et à la vérification des angles droits. Autres pistes d activités Utiliser une boite surprise qui contient des figures dont il faut vérifier des longueurs de côtés et des angles droits (tirage au sort et réalisation de la consigne). Faire réaliser des tracés utilisant la règle graduée, l équerre et le compas pour produire une œuvre collective en arts visuels. De façon rituelle, faire tracer des angles droits, mesurer et tracer des segments à une longueur donnée. CD-Rom Évaluation : La règle graduée, l équerre et le compas Remédiation CORRIGÉS DES EXERCICES 1 3 cm 3 cm 2 cm 2 cm 4 cm 2 cm 2 cm 2 cm 2 cm 2 cm 2 cm 2 La figure qui correspond à la description est la figure E. 114

Pour les exercices 3 et 5, on pourra réaliser les tracés sur papier calque pour servir de gabarit de correction à reporter sur les tracés des élèves. 3 A B C D 4 Vérifier les angles droits à l équerre. 5 A B C D 6 Vérifier le tracé du cercle, quel que soit son rayon. Entourer les imprécisions s il y en a. 7 Vérifier le tracé des 2 cercles ; ils doivent s entrecouper. Entourer les imprécisions s il y en a. 115

Utiliser le vocabulaire géométrique : côté, sommet, angle, milieu ESPACE ET GÉOMÉTRIE p. 114-115 du fichier Programme 2016 Reconnaitre, nommer, décrire, reproduire, construire quelques figures géométriques. Reconnaitre et utiliser les notions d alignement, d angle droit, d égalité de longueurs, de milieu, de symétrie. Compétences travaillées Utiliser un vocabulaire approprié pour décrire les figures planes usuelles. Repérer ou trouver le milieu d un segment. Connaissances pour le maitre Le vocabulaire employé en géométrie revêt une très grande importance. Dès le début des apprentissages, employer les mots corrects, adaptés au contexte est essentiel. En effet, chaque mot sous-tend un concept que l élève devra progressivement s approprier. Nous avons pris le parti d associer chaque concept à sa représentation plutôt qu à une définition qui nécessiterait une conceptualisation géométrique complexe, difficilement abordable par un élève de CE2. Par exemple, la définition du point est «l intersection de deux droites sécantes». Cette définition, trop difficile à ce stade, est donc remplacée par la seule représentation du point. Les représentations proposées dans la leçon pourront servir de supports de discussions pour construire collectivement des définitions ou mettre en relation différents concepts géométriques. Ces activités permettront aux élèves d affiner progressivement la structuration de ces concepts. Attention : le vocabulaire spécifique utilise parfois des termes dont le sens géométrique est différent de celui du langage quotidien. Par exemple, alors que le «sommet» d une montagne est toujours placé vers le haut, les «sommets» d une figure géométrique ne le sont pas nécessairement. L élève doit apprendre à distinguer ces deux sens, afin d éviter des analogies dommageables pour appréhender les concepts géométriques. Découverte collective de la notion Au préalable : afficher la figure agrandie du «Cherchons» au tableau (cf. Matériel) ou la reproduire sur une grande affiche, en respectant la couleur de chaque élément. Reproduire également la figure au tableau. Préparer en double exemplaire des étiquettes des mots «sommet», «côté», «milieu» et «angle». Lire collectivement l énoncé et les 4 textes du parchemin. Vérifier que les mots «extrémités», «zone» et «segment» sont bien compris. Lire la consigne et 116 reformuler : Pour chaque phrase, il faut trouver le mot secret et l associer à sa couleur sur la figure. Laisser les élèves chercher les réponses individuellement pendant cinq minutes. Prendre en groupe les élèves qui auraient besoin d une nouvelle lecture collective des textes et/ou d un traitement collectif de la consigne. Montrer la figure reproduite sur l affiche et faire nommer les éléments de chaque couleur. Distribuer un exemplaire des étiquettes «sommet», «côté», «milieu» et «angle» et s en servir pour légender la figure. Relier les étiquettes et la figure avec des flèches en veillant à ce que celle qui désigne le côté ne soit pas axée sur une extrémité, que celle désignant le point montre le centre d une croix et non une lettre, que celle désignant l angle ne montre pas le sommet et enfin, que celle désignant le milieu montre le point. Mettre en commun : demander à un élève de relire le premier texte et d indiquer la couleur correspondante sur la figure. La description correspond à la partie en bleu. Le faire vérifier en reformulant le texte. Faire choisir l étiquette «côté» et l utiliser pour légender un côté bleu de la figure reproduite au tableau. Procéder de la même façon pour les autres descriptions : La seconde description est associée aux éléments rouges : les sommets. La troisième description est associée à l élément orange : l angle. La quatrième description est associée à l élément vert : le milieu. Si une ou plusieurs flèches de la figure du tableau pointent mal l élément légendé, faire comparer avec l affiche préparée en groupe : permettre aux élèves de débattre en utilisant les mots de vocabulaire appropriés et corriger les approximations éventuelles de la légende du tableau. Afficher dans la classe la figure légendée sur l affiche. Demander enfin aux élèves de montrer sur la figure tous les côtés, les sommets et les angles et de les nommer avec les lettres. Veiller à bien respecter, pour nommer les côtés à l écrit, la mise entre crochets, et l accent circonflexe au-dessus de la lettre pour nommer l angle.

Difficultés éventuelles Certains élèves font difficilement la distinction visuelle, et donc conceptuelle, entre le sommet et l angle. Pour y remédier, on peut matérialiser leur différence : par exemple, marquer un point au tableau, identifié comme le sommet, et tendre deux ficelles partant de ce point pour former un angle (à reproduire dans une couleur). Incliner différemment l une des ficelles pour former un autre angle (à reproduire dans une autre couleur) : on voit alors qu à partir du même sommet, on peut former plusieurs angles, définis par l écartement variable des côtés. L utilisation des mots de vocabulaire peut s avérer difficile, car il ne faut pas laisser les élèves utiliser des approximations langagières telles que «trait» pour «côté», «pointe» pour «sommet». Il est important que le vocabulaire utilisé soit assimilé et compris par tous. Pour nommer les éléments d une figure, notamment des points, les élèves doivent savoir qu on utilise des lettres. Certains élèves ont des difficultés à identifier une figure par ses sommets et à les nommer dans l ordre. Des entrainements collectifs de repérage et de dénomination d un côté, d un sommet, d un angle, d une figure donnée, peuvent être menés régulièrement de manière très brève. Autres pistes d activités Sur une figure au tableau, faire nommer, avec les lettres, un côté, un sommet, un angle, montrés par un camarade. Ex. : C est le côté [CD] ; c est l angle  Sur une figure au tableau, faire pointer un côté, un sommet, un angle, nommés par l enseignant avec les lettres. Ex. : Montrez-moi le côté [CD] ; montrez-moi l angle  Faire deviner des mots de vocabulaire géométrique en demandant à un élève d en donner une définition. Faire construire des mots fléchés avec définitions incluant les termes «côté», «sommet», «angle», «milieu», «règle», «équerre», «compas». Faire tracer des segments d une longueur donnée et faire placer les milieux. CD-Rom Évaluation : Le vocabulaire géométrique Remédiation Matériel : Figure agrandie du «Cherchons» CORRIGÉS DES EXERCICES 1 a. VRAI b. FAUX c. VRAI 5 On pourra tracer les segments avec leur milieu sur papier calque, pour servir de gabarit de correction. 2 A : 8 côtés et 8 sommets B : 5 côtés et 5 sommets Q R T 3 B et G sont égaux à l angle bleu. S U V 4 Sur le segment [GH], le point rouge est situé au milieu. Sur le segment [IJ], le point rouge est situé au milieu. Sur le segment [KL], le point rouge n est pas situé au milieu. 6 Je suis la figure verte. 7 Les élèves doivent d abord placer le point M, puis tracer le segment [YZ], de façon à ce que M soit situé sur [YZ], à 3 cm de chacune des deux extrémités. On pourra tracer le segment avec son milieu sur papier calque, pour servir de gabarit de correction. Y M Z 117

Reconnaitre, décrire et nommer un carré, un rectangle, un losange ESPACE ET GÉOMÉTRIE p. 116-117 du fichier Programme 2016 Reconnaitre, nommer, décrire, reproduire, construire quelques figures géométriques. Reconnaitre et utiliser les notions d alignement, d angle droit, d égalité de longueurs, de milieu, de symétrie. Compétences travaillées Reconnaitre, nommer, les figures usuelles. Reconnaitre et décrire à partir des côtés, des angles droits, un carré, un rectangle, un losange. Connaitre et utiliser les propriétés des angles et égalités de longueur des côtés pour les carrés et les rectangles. Utiliser un vocabulaire approprié pour décrire les figures planes usuelles. Connaissances pour le maitre En CE2, conformément au programme, l identification et la description des carrés et des rectangles ne doivent plus dépendre uniquement d une perception visuelle des figures, mais s appuyer progressivement sur une identification des propriétés de celles-ci. Ce changement de regard s effectue dans la durée (en lien avec le cycle 3) et la fréquentation d exercices variés permet aux élèves de prendre conscience des limites de leur perception globale. Il est important de favoriser cette transition en présentant des figures visuellement proches nécessitant le recours aux instruments de géométrie pour déterminer leur nature. Les propriétés de chaque figure doivent être mémorisées, ancrées de façon très solide, afin qu elles soient mobilisables ensuite dans le cadre d une analyse géométrique plus déductive. Par ailleurs, il est important de montrer aux élèves qu une propriété peut convenir à plusieurs figures parfois très différentes : c est l association de plusieurs propriétés qui détermine la nature de chaque figure ; par conséquent, la vérification effectuée à l aide d instruments doit être exhaustive. Enfin, la présentation de figures prototypiques, dont l orientation et les proportions sont toujours similaires, est souvent source d erreurs chez les élèves. Certains en font un élément visuel déterminant lors de l identification des figures : ce critère de discrimination visuelle est faux. Il est donc important de présenter les figures dans des orientations et des proportions très variées. Il est à noter que nous avons fait le choix d introduire le losange dès la dernière année de ce cycle même si son étude est explicitement indiquée dans le programme de cycle 3, afin d étendre le champ des connaissances des figures acquises au CE1. Découverte collective de la notion Lire collectivement la situation de recherche et la consigne de la 1 re puce. Demander : À quoi peut-on reconnaitre un carré et un rectangle? Le carré a quatre côtés égaux et quatre angles droits, et le rectangle a ses côtés égaux deux à deux et quatre angles droits. Expliquer que l on recherche les anomalies situées dans le tracé des figures. Demander : Que peut-on utiliser pour vérifier si une figure est un carré ou un rectangle? La règle graduée pour la mesure des côtés et l équerre pour la vérification des angles droits. Laisser les élèves répondre à la consigne individuellement. Mettre en commun : reproduire en format agrandi au tableau la figure qui aurait dû être carrée (celle de gauche sur l illustration) en conservant l erreur de tracé. Faire valider que cette figure possède bien quatre angles droits mais que ses quatre côtés ne sont pas tous égaux. Le faire vérifier avec la règle graduée et l équerre au tableau, en reformulant les modalités de leur utilisation. Conclure que la figure n est pas un carré. Faire remarquer que cette différence de longueur des côtés n était pas facile à identifier à l œil nu : conclure qu il faut toujours vérifier la longueur des côtés d une figure avec la règle graduée. Procéder de la même manière pour la 2 e figure (celle du milieu sur l illustration) et faire valider qu elle a bien ses côtés égaux deux à deux mais que ses angles ne sont pas tout à fait droits. Le faire vérifier avec la règle graduée et l équerre. Conclure que ce n est pas un rectangle. Faire remarquer que ces angles non droits étaient difficiles à repérer à l œil nu et qu il faut toujours vérifier les angles droits d une figure avec l équerre. Lire collectivement la question de la 2 e puce. Étudier la figure collectivement et conclure qu elle possède quatre côtés, quatre sommets et quatre angles, que les côtés 118

mesurent tous 3 cm, et que les angles ne sont pas droits. Demander le nom de cette figure ( un losange), puis conclure que le losange est une figure qui a tous ses côtés égaux mais pas d angle droit. La fréquentation de situations dans lesquelles les angles sont «presque droits» ou les côtés «presque égaux», permet de systématiser la vérification instrumentée. Difficultés éventuelles L identification de carrés, rectangles et losanges dont l orientation ou les proportions sont inhabituelles peut poser un problème aux élèves. Il faut veiller à proposer régulièrement des carrés et des rectangles posés sur un sommet, des losanges posés sur un côté, des rectangles très fins ou très petits, etc. Les différentes dispositions d une même figure ou les différentes proportions d un même type de figure pourront être illustrées au tableau et sources de discussions collectives. Les élèves ont souvent trop confiance en leur perception visuelle et ne voient parfois pas l intérêt de vérifier les propriétés d une figure à l aide des instruments de géométrie. Autres pistes d activités Dans un lot de figures : faire trier les figures en les nommant ; faire trouver une figure à partir d une description puis la faire nommer. Rechercher dans la classe des objets carrés, rectangulaires ou en forme de losanges, et le justifier par la vérification de leurs propriétés. Faire écrire des descriptions qui permettent de deviner si la figure décrite est un carré, un rectangle ou un losange (jeux de portraits). CD-Rom Remédiation CORRIGÉS DES EXERCICES 1 Figures Polygone Carré Rectangle Losange A, C, D, E, F, G, I E C D, G 2 Carrés : ABCJ, JCGH, CDFG Rectangles : ABGH, JDFH Losange : CEGI 3 Figure A B C D E Nombre de côtés Nombre de sommets Angles tous droits Côtés tous égaux 3 4 6 4 4 3 4 6 4 4 non oui non oui non non non oui oui oui 4 a. VRAI b. FAUX (il peut être un rectangle) c. VRAI d. VRAI e. FAUX (il peut être un parallélogramme) 5 Elles ont toutes les deux 4 angles droits. ABCD a 4 côtés égaux, alors que EFGH n a pas ses 4 côtés égaux : elle a ses côtés égaux deux à deux (EF = GH et EH = FG). ABCD est un carré. EFGH est un rectangle. 6 Elles ont toutes les deux 4 côtés égaux. QRST a 4 angles droits, alors que UVWX n a pas d angles droits. QRST est un carré. UVWX est un losange. 119

Reproduire et tracer un carré, un rectangle, un losange ESPACE ET GÉOMÉTRIE p. 118-119 du fichier Programme 2016 Reconnaitre, nommer, décrire, reproduire, construire quelques figures géométriques. Reconnaitre et utiliser les notions d alignement, d angle droit, d égalité de longueurs, de milieu, de symétrie. Compétences travaillées Utiliser la règle, le compas ou l équerre comme instruments de tracé. Faire le lien entre propriétés géométriques et instruments de tracé. Reproduire des figures ou des assemblages de figures planes sur papier quadrillé ou uni. Construire un carré, un rectangle, un losange sur un support uni, connaissant la longueur des côtés. Connaissances pour le maitre La reproduction de figures simples, d abord sur papier quadrillé ou pointé, permet aux élèves de passer du simple dessin (trace approximative de la perception globale d une figure) à la représentation géométrique, impliquant le recours à ses propriétés. Ces reproductions donnent l occasion de dégager et de travailler les propriétés et relations géométriques du programme. Le tracé sur papier quadrillé ou pointé est une étape supplémentaire vers la construction autonome des figures ; ces supports permettent à l élève de s appuyer sur des repères visuels tout en facilitant l aspect manipulatoire de la construction, puisque la règle sera suffisante à l accomplissement de la tâche. Concernant le tracé sur du papier uni, les consignes de construction données sont concises et succinctes pour éviter une surcharge cognitive des élèves. L enjeu essentiel se situe alors dans l organisation des étapes de cette tâche complexe à l aide des instruments de tracé. Découverte collective de la notion Proposer aux élèves de décrire le drapeau du Brésil en identifiant le nombre de figures de chaque sorte (1 rectangle, 1 losange, 1 disque). Lire collectivement les deux questions et laisser les élèves chercher les réponses individuellement. Mettre en commun les réponses à la 1 re question. Le tour du drapeau, qui est un rectangle, a été tracé avec la règle graduée et l équerre. Faire formuler à quoi sert chaque instrument : La règle graduée sert à tracer les côtés bien droits et à la bonne longueur. L équerre sert à tracer les angles droits. Si l une des utilisations de la règle n est pas citée, la faire émerger en demandant aux élèves d imaginer chaque étape de la reproduction du tour du drapeau. Mettre en commun les réponses à la 2 e question. Pour cette nouvelle connaissance, on s appuiera sur les illustrations de la leçon que l on commencera par commenter collectivement. La figure jaune, qui est un losange, a été tracée avec la règle graduée et le compas. Faire formuler à quoi sert chaque instrument : La règle graduée sert à tracer les deux premiers côtés bien droits et à la même longueur. Le compas sert à reporter les longueurs des côtés. La règle sert enfin à tracer les deux derniers côtés bien droits. Au tableau, demander à un élève de construire un carré, puis un rectangle en explicitant les étapes de construction telles qu elles sont présentées dans la leçon : on trace le premier côté de l angle droit à la bonne longueur avec la règle graduée ; on trace le début du second côté en formant un angle droit, avec l équerre ; on complète à la règle graduée le second côté à la bonne longueur ; on trace le début du troisième côté en formant un angle droit, avec l équerre ; on complète à la règle graduée le troisième côté à la bonne longueur ; on trace le dernier côté à la règle. Difficultés éventuelles Les difficultés peuvent provenir : de la manipulation des instruments de tracé ; Il ne faut pas hésiter à revoir avec les élèves la façon de tenir un instrument et de le maintenir en place pendant le tracé. Au départ, on pourra prendre en groupe les élèves qui en ont besoin pour verbaliser les gestes à adopter. 120

du repérage sur quadrillage ou papier pointé ; Ce point d apprentissage fait l objet d une compétence à part entière depuis le début du cycle 2, qu il faut retravailler pour elle-même au besoin, en proposant par exemple des jeux de déplacements le long des cases ou des nœuds d un quadrillage (cf. Matériel). de la perception du résultat du tracé : certains élèves ont des difficultés à percevoir que le résultat de leur tracé ne correspond pas toujours à la demande de départ, même si cela est clairement visible. Ils doivent apprendre à adopter un regard critique sur ce qu ils produisent. Si nécessaire, prévoir des calques sur lesquels est tracée la production attendue et qui permettent la visualisation immédiate des erreurs par superposition. Autres pistes d activités Créer des figures pour les proposer à une autre classe ; faire corriger les productions par les élèves. En arts visuels, créer des œuvres contenant des carrés, des rectangles, des losanges, en lien avec l étude d œuvres d artistes qui utilisent eux-mêmes ces éléments (Mondrian, Klee ). CD-Rom Évaluation : Le carré, le rectangle et le losange Remédiation Matériel : Papier quadrillé (5 mm et 1 cm) Papier pointé (5 mm et 1 cm) CORRIGÉS DES EXERCICES Pour chaque exercice, et notamment le n 2 (excepté pour le losange de l exercice 5 dont les angles sont libres), on pourra réaliser les tracés sur papier calque, au même format que celui des élèves, pour servir de gabarit de correction. 1 La figure A est un losange. La figure B est un carré. 5 3 a b 4 a b 121

Je révise ESPACE ET GÉOMÉTRIE p. 120-121 du fichier CORRIGÉS 1 a. N O S E Médiathèque Rue du Moulin Avenue du Port Chemin du Bosquet Rue des Livres Allée de la Sauleraie Route de la Salinière Gymnase Rue du Château Allée Route des 4 Vents du Flamant Arrêt de bus Route des 4 Vents Route d Ouzon e. Il existe plusieurs zones de tracé pour le cercle. A B C F G E D A B C F G Sophia arrive à la médiathèque. b. Dimitri peut emprunter la rue des Livres, tourner à gauche avenue du Port puis tout de suite à droite rue du Château. Il prend la première à gauche, allée du Flamant et enfin à gauche, route des 4 Vents. c. En suivant le codage, Anita arrive à l arrêt de bus. Les élèves qui en ont besoin peuvent tracer le codage sur leur plan. 2 a. [AB], [BC], [CD], [DE], [EF], [FG] et [GA]. b. Cf. figure ci-dessous. c. CD = 3 cm et DE = 5 cm. d. Cf. figure ci-dessous. A B F G C E 3 AB = CD = 3 cm BC = AD = 3 cm 2 mm ABCD a quatre angles droits et ses côtés égaux deux à deux : c est un rectangle. 4 Carrés : BIJH et IDFJ Rectangle : BDFH Losanges : ACEG, ABKH, BCDK, KDEF et HKFG Pour les exercices 5 *, 6 *** et 7 ** (excepté pour le losange de l exercice 7 dont les angles sont libres), on pourra réaliser les tracés sur papier calque, au même format que celui des élèves, pour servir de gabarit de correction. D E D 7 122

Reconnaitre, décrire et nommer le triangle et ses cas particuliers ESPACE ET GÉOMÉTRIE p. 122-123 du fichier Programme 2016 Reconnaitre, nommer, décrire, reproduire, construire quelques figures géométriques. Reconnaitre et utiliser les notions d alignement, d angle droit, d égalité de longueurs, de milieu, de symétrie. Compétences travaillées Reconnaitre, nommer les figures usuelles. Décrire des figures planes en utilisant le vocabulaire géométrique approprié. Reconnaitre et décrire à partir des côtés, des angles droits un triangle rectangle. Connaissances pour le maitre Progressivement, l élève acquiert les propriétés des triangles particuliers. Ces propriétés sont abordées par la fréquentation des figures au cours des cycles 2 et 3. Nous proposons de débuter le travail de reconnaissance des triangles particuliers dès le CE2. En revanche, la reproduction et la construction seront repoussées en CM1 et CM2, excepté pour le triangle rectangle dont le tracé est exigible en cycle 2. Découverte collective de la notion Au préalable : imprimer la fiche Triangles particuliers (cf. Matériel, une pour quatre élèves), qui présente une série de triangles de tailles et de propriétés différentes ; découper dans un carton léger deux triangles équilatéraux, deux triangles rectangles et deux triangles isocèles, tous de tailles différentes. Lire et répondre collectivement à la 1 re question. Les figures représentées par les verres colorés sont des triangles. Cette question ne nécessite pas de recherche particulière, les élèves connaissant la dénomination «triangle» depuis la maternelle. Lire la 2 e question. Laisser les élèves chercher la réponse individuellement pendant cinq minutes (réponse sur l ardoise). Laisser la possibilité aux élèves qui le souhaitent de se servir de la leçon sur le vocabulaire géométrique (p. 114 du fichier). Mettre en commun : Les triangles ont trois côtés, trois sommets et trois angles. Parfois, ils possèdent un angle droit. Constituer des groupes de quatre élèves autonomes et distribuer la fiche Triangles particuliers. Proposer de chercher une façon de classer les triangles en trois groupes en s aidant des instruments de mesure. Encadrer le groupe des élèves qui en ont besoin. Stabiliser la notion de triangle (3 côtés, 3 sommets, 3 angles) en reprenant la situation de recherche. Présenter les six grands triangles en carton. Demander aux élèves de les apparier et faire observer la particularité de chaque paire. Faire vérifier chaque propriété à l aide des instruments et donner aux élèves le nom de chaque catégorie de triangles. Vérifier le travail des groupes en autonomie. Mettre en commun. Demander aux élèves du groupe en difficulté d exposer ce qu ils ont appris au sujet des triangles particuliers. Conclure : les triangles rectangles ont un angle droit ; les triangles isocèles ont deux côtés égaux ; les triangles équilatéraux ont trois côtés égaux. Difficultés éventuelles Certains élèves ne distinguent pas au premier coup d œil les différentes catégories de triangles. Dans ce cas, les entrainer à faire la différence entre les triangles isocèles et équilatéraux, en utilisant des triangles isocèles avec deux côtés exagérément grands par rapport au 3 e côté. Certains élèves n utilisent pas correctement leurs instruments de mesure. Entrainer systématiquement l activité de mesures en groupe restreint. Autres pistes d activités Proposer un jeu de dominos pour composer des paires de triangles de la même catégorie (cf. Matériel : Dominos de triangles). Faire repérer dans des œuvres d art des triangles, les faire décrire et faire nommer leur catégorie. CD-Rom Remédiation Matériel : Triangles particuliers Dominos de triangles 123

CORRIGÉS DES EXERCICES 1 Les triangles isocèles sont B, E et G. 2 Les triangles rectangles sont D, E et G. 3 Les triangles équilatéraux sont B et D. 5 Cette figure a 16 triangles : 8 formés d un seul triangle ; 4 contenant deux triangles ; 4 contenant trois triangles. 4 a. ABC a trois côtés égaux (4 cm) ; il n a pas d angle droit. GHI n a pas de côtés égaux ; l angle I est droit. b. ABC est un triangle équilatéral. GHI est un triangle rectangle en I. 124

Reproduire et tracer un triangle rectangle ESPACE ET GÉOMÉTRIE p. 124-125 du fichier Programme 2016 Reconnaitre, nommer, décrire, reproduire, construire quelques figures géométriques. Reconnaitre et utiliser les notions d alignement, d angle droit, d égalité de longueurs, de milieu, de symétrie. Compétences travaillées Utiliser la règle, le compas ou l équerre comme instruments de tracé. Faire le lien entre propriétés géométriques et instruments de tracé. Produire des angles droits à l aide d un gabarit, d une équerre. Reproduire des figures ou des assemblages de figures planes sur papier quadrillé ou uni. Construire un triangle rectangle sur un support uni, connaissant la longueur des côtés. Connaissances pour le maitre Comme pour les carrés, les rectangles et les losanges, la reproduction de triangles rectangles permet aux élèves de passer du dessin à la représentation précise d une figure, impliquant le recours à ses propriétés. On travaillera ici aussi sur l organisation cognitive en décomposant et en reformulant les différentes étapes de cette tâche complexe. Remarque : l indication de la position de l angle droit et de la longueur de deux côtés suffit à la construction d un triangle rectangle donné. Découverte collective de la notion Lire le texte et les deux questions. Répondre collectivement à la 1 re question en revenant, si nécessaire, à la leçon du fichier, page 122. Le triangle rectangle a un angle droit. Pour tracer ce type de triangle, on doit donc utiliser une équerre. On doit aussi utiliser la règle pour tracer les côtés à la bonne mesure. Demander aux élèves autonomes de tracer sur papier uni un triangle rectangle dont les côtés formant l angle droit mesurent 9 cm et 5 cm. Regrouper les élèves qui en ont besoin. Leur faire lire la leçon et observer le tracé du triangle rectangle. Procéder par étapes pour faire tracer le triangle demandé. Observer la tenue et l orientation de l instrument (notamment de l équerre), la précision du geste, la mesure des côtés avec la règle graduée. Mettre en commun au tableau en demandant à un élève de tracer un triangle rectangle dont les côtés formant l angle droit mesurent 90 cm et 50 cm. Faire commenter chacune des étapes : on trace le premier côté de l angle droit à la bonne longueur avec la règle graduée ; on trace le début du second côté en formant un angle droit, avec l équerre ; on complète à la règle graduée le second côté à la bonne longueur ; on trace le dernier côté à la règle. Faire le lien avec les illustrations de la leçon. Difficultés éventuelles Certains élèves n identifient pas l angle droit de leur équerre et ne parviennent pas à mesurer précisément avec la règle graduée. Revenir au chapitre «Utiliser la règle graduée, l équerre et le compas» page 112 : entrainer les élèves à tracer des angles droits et des segments dont la longueur est donnée, puis à tracer des triangles rectangles. Certains élèves ne sont pas précis dans leurs tracés. Vérifier que le crayon à papier est adapté aux tracés géométriques (ni trop dur, ni trop gras, mais bien taillé). Il est important que les élèves comprennent qu en CE2, ils doivent savoir tracer des segments au millimètre près et des angles parfaitement droits. Si nécessaire, faire comparer au tableau des tracés légèrement approximatifs et des tracés précis. Autres pistes d activités Réaliser des œuvres plastiques à partir de l étude de tableaux contenant notamment des triangles (ex. : Daniel Buren, Missing Square ; Joan Miró, Paysage catalan), à partir de mosaïques du Maghreb ou de poteries d Afrique ou d Amérique du Sud. 125

Faire tracer l escargot de Pythagore : le premier triangle a des côtés d angle droit de 1 cm. Ensuite, pour chaque triangle ajouté, le 2 e côté de l angle droit à tracer doit mesurer 1 cm. CD-Rom Évaluation : Le triangle et ses cas particuliers Remédiation Matériel : Papier quadrillé (5 mm et 1 cm) Papier pointé (5 mm et 1 cm) CORRIGÉS DES EXERCICES Pour les exercices 1 * et 5 **, on pourra réaliser les tracés sur papier calque au même format que celui des élèves pour servir de gabarit de correction. 2 Cette solution est proposée à titre d exemple. 3 Cette solution est proposée à titre d exemple. 4 Aucun des trois angles n est droit. Donc le triangle d Éléonore n est pas un triangle rectangle. 5 126

Tracer un cercle avec un compas ESPACE ET GÉOMÉTRIE p. 126-127 du fichier Programme 2016 Reconnaitre, nommer, décrire, reproduire, construire quelques figures géométriques. Compétences travaillées Utiliser la règle, le compas ou l équerre comme instruments de tracé. Faire le lien entre propriétés géométriques et instruments de tracé. Construire un cercle connaissant son centre et un point, ou son centre et son rayon. Connaissances pour le maitre Depuis l école maternelle, les élèves perçoivent le cercle visuellement, mais ils ne connaissent pas sa définition géométrique. Ils le nomment habituellement «rond». Comme pour les autres figures, le cercle est considéré par les élèves comme une entité à part entière liée aux objets du quotidien utilisés à la maison, à l école ou dans les jeux. En maternelle, ils l appréhendent uniquement comme un objet plein, un disque. Son aspect conceptuel (ensemble des points équidistants d un point nommé centre) n est pas évident pour eux. Ils seront amenés à le découvrir et à le comprendre lors de tracés. Le cercle est constitué d une infinité de points, mais cette notion mathématique d infini n est pas encore construite chez les élèves de CE2 (notion amorcée en CM1 avec les nombres décimaux). On pourra donc raisonnablement utiliser l expression «tous les points» qui reste exacte et abordable à ce niveau. Les élèves ne devront pas confondre le cercle avec la sphère (ce n est pas «une boule») ou avec le disque. Le cercle n est composé que des points à égale distance de son centre, et n est donc pas «plein» ; le cercle n a pas de surface, mais une longueur : sa circonférence. Un point dont la distance au centre est inférieure au rayon est indiqué dans le langage courant comme étant situé «dans le cercle» ; pourtant, ce point n appartient pas au cercle mais au disque. L instrument privilégié dans ce chapitre est bien entendu le compas. Ce travail entraine deux difficultés : «en dessinant» le cercle, le compas trace une ligne appelée cercle de rayon «R» : ce rayon n est alors pas matérialisé visuellement par un trait ; les élèves doivent donc se le représenter mentalement ; l utilisation du compas n est pas aisée pour tous ; sa manipulation, qui nécessite une grande dextérité, doit être entrainée. L enseignant doit toujours avoir à l esprit ces deux difficultés inhérentes à l utilisation de cet outil. Découverte collective de la notion Faire lire collectivement la situation de recherche. La faire reformuler par un élève et l étayer au besoin. Pour les élèves autonomes, laisser 5 minutes pour réaliser la consigne de la 1 re puce et pour répondre aux questions de la 2 e puce. Regrouper les élèves qui en ont besoin et les installer de façon à ce qu ils aient suffisamment d espace pour manipuler leurs instruments. Relire la consigne de la 1 re puce et faire expliciter la façon d utiliser et de tenir une règle graduée. Veiller à ce que la notion «autour» ait été bien comprise. Mettre en commun les réponses. Représenter la scène au tableau. Expliquer que l on placera les points autour du point C, à 30 cm de celui-ci (au lieu de 3 cm sur leur fichier). Faire placer le point C et les autres points. Si nécessaire, faire réfléchir le groupe sur le mot «autour» et faire déduire la variété des directions dans lesquelles il faut placer les points. Questionner : Quelle forme se dessine? Un cercle. Avec quel instrument pourrait-on tracer cette forme? Avec un compas. Veiller à ce que les élèves ne confondent pas la limite de la zone de sécurité, correspondant au cercle, et la zone de sécurité elle-même qui représente un disque. Rappeler ce qui a été fait lors de la séance sur l utilisation du compas pages 112-113. Faire observer les différentes parties qui composent le compas du tableau. Repréciser que l on place la pointe du compas sur le centre et que la distance entre les points du cercle et le centre est fixée par l écartement du compas. Dire que cette distance s appelle le rayon. Proposer de tracer individuellement le cercle qui représente la limite de la zone de sécurité, d un rayon de 3 cm. Guider les gestes des élèves qui en ont besoin. 127

Difficultés éventuelles Le cercle doit être tracé en une fois en tenant le compas par son sommet entre le pouce et l index ou entre le pouce, l index et le majeur. Cette manipulation complexe peut poser un problème à certains élèves. Proposer d abord des tracés de cercles assez grands sur feuilles unies. Les élèves peuvent avoir des difficultés à repérer le centre des cercles lors de la reproduction de figures sur quadrillage. Ils ne peuvent y parvenir que lorsqu ils ont compris que tous les points sont à égale distance du centre. Pour les élèves qui en ont besoin, expliquer qu on repère le centre en observant les points du cercle situés sur les nœuds du quadrillage diamétralement opposés. Autres pistes d activités Faire tracer et colorier des rosaces après en avoir expliqué la procédure de construction. Se servir du compas pour réaliser d autres créations graphiques libres, sur papier quadrillé ou pointé (cf. Matériel) ou encore sur papier uni. Travailler à partir d œuvres de Vassily Kandinsky (observation, reproduction, description). CD-Rom Évaluation : Le cercle et le compas Remédiation Matériel : Papier quadrillé (5 mm et 1 cm) Papier pointé (5 mm et 1 cm) CORRIGÉS DES EXERCICES 1 a. FAUX b. VRAI c. FAUX d. FAUX e. VRAI f. VRAI Pour les exercices de la page 127, on pourra réaliser les tracés sur du papier calque, au même format que celui des élèves, pour servir de gabarit de correction. 128

Utiliser un logiciel de géométrie ESPACE ET GÉOMÉTRIE p. 128-129 du fichier Programme 2016 Reconnaitre, nommer, décrire, reproduire, construire quelques figures géométriques. Compétence travaillée S initier à l utilisation d un logiciel de géométrie. Connaissances pour le maitre À l heure du tout numérique, on pourrait penser qu il est simplement important de savoir manipuler des logiciels pour suivre la tendance actuelle des nouvelles technologies. Mais en réalité, en géométrie, l utilisation de logiciels est un réel enjeu d apprentissage. En effet, ceux-ci conduisent les élèves vers une autre dimension de la géométrie : alors qu ils la connaissent figée, tracée sur un support fixe, ils vont la découvrir sous un angle dynamique. Et c est là qu elle prend tout son sens : les éléments reliés les uns aux autres par des relations particulières interagissent et donnent du sens aux propriétés. Ainsi, on peut voir concrètement que lorsqu on modifie un élément lié aux autres par des propriétés, cela provoque la modification des autres éléments. En CE2, il s agira uniquement de découvrir les fonctions de base de tels logiciels et d entrevoir la valeur ajoutée de ces outils numériques. L utilisation et l exploitation du caractère dynamique de ceux-ci seront explorées aux cycles 3 et 4. Découverte collective de la notion Cette leçon est à traiter avec des ordinateurs sur lesquels est installé le logiciel de géométrie GeoGebra. Si l enseignant souhaite utiliser un autre logiciel, certaines instructions dans les exercices seront à adapter. Lire la situation de découverte et faire décrire ce que l on voit. Formuler qu il s agit d éléments géométriques tracés à l aide d un logiciel, sur ordinateur. Demander aux élèves ce qui peut être l objet de cette leçon : conclure que l on va apprendre à utiliser un logiciel de géométrie. Lire la question et demander comment on pourrait y répondre : conclure qu il faut ouvrir le logiciel concerné sur les ordinateurs de la classe afin d effectuer les recherches nécessaires. Ouvrir le logiciel ou guider les élèves dans l ouverture du logiciel. Faire décrire l espace de travail qui s affiche : une zone blanche est située sur l écran, afin de tracer les éléments géométriques voulus. Sur GeoGebra, fermer la zone «Algèbre» et faire un clic droit sur les axes pour les désélectionner, afin d avoir une zone de tracé complètement dégagée. Ensuite, une bande d icônes apparait en haut de l écran. Demander à quoi servent les icônes : formuler que ce sont les outils de commande. Revenir à la situation de découverte et demander comment s appelle le premier élément géométrique. Faire formuler que A est un point. Demander aux élèves de chercher la façon de placer un point sur la zone de tracé. Mettre en commun : Pour tracer un point, il faut cliquer sur l icône «Point» (le représenter au tableau) puis cliquer sur la zone de tracé. Montrer qu en faisant un clic droit sur ce point, on peut afficher son nom («Afficher l étiquette» sur GeoGebra) et modifier ce nom au besoin. Demander comment s appelle le deuxième élément géométrique. Faire formuler que [BC] est un segment. Demander aux élèves de chercher la façon de produire un segment sur la zone de tracé. Mettre en commun : Pour tracer un segment, il faut cliquer sur l icône correspondante (le représenter au tableau). Sur GeoGebra, il faut sélectionner l icône «Droite» puis l option «Segment» ; sur la zone de tracé, faire placer les deux extrémités du segment. Le faire nommer [BC], de la même façon qu on a nommé le point A. Demander comment s appelle le troisième élément géométrique. Faire formuler que DEF est un triangle. Demander aux élèves de chercher la façon de produire un triangle sur la zone de tracé. Mettre en commun : Pour tracer un triangle, il faut cliquer sur l icône correspondante (le représenter au tableau). Sur GeoGebra, il faut sélectionner l icône «Polygone» puis, sur la zone de tracé, placer les trois sommets du triangle en finissant par recliquer sur le sommet de départ pour fermer la figure. Le faire nommer DEF, de la même façon qu on a nommé le point A et le segment [BC]. On pourra prolonger la découverte du logiciel en cherchant comment tracer : un carré sur GeoGebra : Polygone Polygone régulier placement des 2 premiers points sélection «4 points» ; un cercle sur GeoGebra : Cercle Cercle Centre- Point ou Centre-Rayon. Le premier exercice du fichier pourra être utilisé comme une institutionnalisation et donc éventuellement être traité en collectif. 129

Difficultés éventuelles Certains élèves ont du mal à utiliser les différentes fonctionnalités correctement. Si nécessaire, constituer de petits groupes hétérogènes, où un élève pourra guider les autres, ou bien un groupe dirigé par l enseignant. Fournir des instructions détaillées pas à pas sous format papier aux élèves qui en ont besoin. Certains élèves n ont pas de précision satisfaisante avec une souris. Proposer des jeux de pointage avec la souris ; nombreux sont ceux proposés gratuitement sur Internet. Autres pistes d activités Indiquer des éléments ou figures et les faire tracer sur logiciel, en mettant en place éventuellement des concours de rapidité d exécution. Faire dessiner des choses précises (bonhomme, maison) ou proposer une activité de dessin libre sur le logiciel. CD-Rom Évaluation : Utiliser un logiciel de géométrie Remédiation Activités numériques : Utiliser un logiciel de géométrie CORRIGÉS DES EXERCICES Les corrections proposées correspondent à l utilisation du logiciel GeoGebra. 5 Aperçu de la production : 1 a. A b. c. d. 2 Une droite ne s arrête pas, alors que le segment est borné. A 3 d. Non, le triangle ne change pas de forme, il se déplace. e. Non, le triangle ne change pas de forme, il tourne autour du premier point et change donc d orientation. B 4 Proposition de production : A B D C E ABCD est un carré. 6 Cliquer sur l icône «Cercle» et choisir l outil «Cercle centre-rayon». Placer le centre puis indiquer «3» dans la fenêtre de saisie «Rayon». C D L élève indique sur son fichier le nom donné au polygone. 130

Reproduire des figures à partir d un modèle ESPACE ET GÉOMÉTRIE p. 130-131 du fichier Programme 2016 Reconnaitre, nommer, décrire, reproduire, construire quelques figures géométriques. Compétence travaillée Reproduire des figures ou des assemblages de figures planes sur papier quadrillé ou uni. Connaissances pour le maitre La reproduction de figures est directement liée à des compétences telles que la prise d information, le traitement de cette information et son utilisation. Celle-ci doit faire l objet d un travail spécifique sur des supports variés (quadrillage, papier pointé, papier uni). Le repérage sur quadrillage est un travail préalable à la reproduction de figures ; celui-ci a déjà été abordé en CP et CE1. Les élèves ont déjà fréquenté des tableaux à double entrée et donc appris à repérer, puis à coder des cases et des nœuds d un quadrillage. Leurs procédures sont déjà installées : en comptant les nœuds, ils savent replacer les sommets de la figure pour pouvoir la tracer. La reproduction sur papier quadrillé supprime la contrainte du traitement des angles d une figure, car elle dépend uniquement de la position des sommets sur les nœuds. Différents supports peuvent faire évoluer les procédures d exécution : papier pointé (comptage de points), papier uni (mesurage). Dans ce dernier cas, le recours à la règle graduée et à l équerre est nécessaire. Découverte collective de la notion Au préalable : reproduire sur quatre affiches de grand format les quatre suricates ; reproduire sur une affiche un triangle, tel qu il est présenté dans la leçon ; prévoir une affiche avec un quadrillage vierge. Afin qu elles soient suffisamment grandes, effectuer toutes ces reproductions par moitié sur une feuille A3 et assembler les deux feuilles. Lire la situation de recherche. S assurer qu elle est bien comprise et que tous les élèves ont bien repéré le modèle de Lia. Laisser cinq minutes aux élèves pour observer les trois reproductions et répondre à la question. Regrouper et fournir à ceux qui en ont besoin un papier calque à la taille des figures du fichier. Leur demander de reproduire le modèle sur calque, avec un crayon (bien taillé) et la règle, et de repérer avec ce calque les erreurs dans les reproductions. Mettre en commun : accrocher les quatre affiches au tableau. Demander à un élève qui a travaillé en autonomie d expliquer sa démarche pour trouver les erreurs (en montrant sur les affiches). Demander ensuite à un élève qui a travaillé en groupe de confirmer les erreurs sur les reproductions, par rapport au modèle (faire entourer les points qui posent problème dans A et C). Conclure qu il faut comparer les figures point par point pour pouvoir répondre. Afficher l agrandissement du triangle de la leçon. Aimanter aussi au tableau l affiche avec le quadrillage vierge. Montrer la démarche pour reproduire ce triangle : positionner un des sommets ; retrouver un autre sommet en suivant un «chemin» choisi sur le modèle, qui s appuie sur les lignes du quadrillage, et en reproduisant ce chemin par comptage sur le quadrillage vierge ; demander à un élève de placer le troisième sommet. Institutionnaliser la procédure en lisant la leçon. Distribuer aux élèves autonomes le même carré que celui de la leçon, tracé sur du papier uni. Leur demander de le reproduire en suivant les indications de la leçon. Puis leur faire faire l exercice 1. Regrouper les autres élèves et leur demander de reproduire le carré de la leçon sur du papier uni. Bien détailler chacune des étapes. Montrer que la règle doit être bien positionnée horizontalement pour commencer le tracé. Réaliser le tracé en même temps que les élèves si nécessaire. Toujours en groupe, demander de reproduire l une des figures de l exercice 1 en décomposant chacune des étapes : repérer le point de départ du tracé, compter les carreaux, marquer le nœud du quadrillage, tracer. Faire observer que parfois on a besoin de compter les carreaux à la fois horizontalement et verticalement. Valider avec un calque sur lequel est reproduite la figure travaillée. 131

Difficultés éventuelles Certains élèves ne parviennent pas à se repérer sur le quadrillage. Commencer par marquer le point le plus près du bord du quadrillage. Pour entrainer ce repérage, faire effectuer des jeux de déplacements sur du papier quadrillé et pointé (cf. Matériel). Certains élèves n arrivent pas à visualiser les nœuds du quadrillage. Reprendre le travail sur le repérage des nœuds : par exemple, sur un quadrillage vierge, faire marquer tous les nœuds (cf. Matériel). La manipulation des instruments peut freiner les élèves dans la reproduction de figure. Dans ce cas, retravailler la précision de la tenue de l instrument en traçant des segments, des angles droits. Sur papier uni, certains élèves n arrivent pas à placer leur figure dans la même position que sur le modèle. Les aider en traçant le premier côté de la figure. Autre piste d activité Proposer aux élèves de créer des figures dans le but de les faire reproduire par un camarade de la classe ou par une autre classe ; faire corriger les productions par les élèves. CD-Rom Évaluation : La reproduction de figures Remédiation Matériel : Papier quadrillé (5 mm et 1 cm) Papier pointé (5 mm et 1 cm) Activités numériques : Reproduire des figures à partir d un modèle CORRIGÉS DES EXERCICES Pour chaque exercice, on pourra réaliser les tracés sur papier calque au même format que celui des élèves pour servir de gabarit de correction. 4 Les élèves doivent d abord tracer le rectangle aux bonnes dimensions, puis la diagonale, et enfin le segment, de façon à ce qu il soit perpendiculaire à la diagonale. 5 Les élèves doivent d abord tracer le rectangle aux bonnes dimensions, puis placer les points I et M. Ils doivent ensuite tracer [AC] et [BD], puis [AI] et [BM], puis les deux derniers segments, en se servant des intersections produites. 132

Je révise ESPACE ET GÉOMÉTRIE p. 132-133 du fichier CORRIGÉS 1 B et D sont des triangles isocèles. 2 A et D sont des triangles équilatéraux. 5 Quelle que soit la longueur du rayon choisie, la rosace sera formée d un cercle central et de 6 cercles situés tout autour. 3 On pourra réaliser les tracés sur papier calque au même format que celui des élèves, pour servir de gabarit de correction. D C B C E A B A E F G D 4 À partir du segment rouge, les élèves doivent tracer deux cercles de 2 cm de rayon aux extrémités de celui-ci, puis placer un point à une intersection des deux cercles, tracer les deux autres segments et le troisième cercle. On pourra réaliser le tracé sur papier calque au même format que celui des élèves, pour servir de gabarit de correction. F Pour les exercices 6 **, 7 *** et 8 *, on pourra réaliser les tracés sur papier calque au même format que celui des élèves, pour servir de gabarit de correction. 8 Les élèves doivent d abord tracer un triangle rectangle dont les côtés de l angle droit mesurent 4 cm et 4 cm. Puis, ils peuvent placer un point à 2 cm des extrémités, sur les deux côtés de l angle droit. Enfin, ils peuvent tracer les deux segments inclus dans le triangle avec une équerre. 133

Reconnaitre et tracer des axes de symétrie ESPACE ET GÉOMÉTRIE p. 134-135 du fichier Programme 2016 Reconnaitre et utiliser les notions d alignement, d angle droit, d égalité de longueurs, de milieu, de symétrie. Compétence travaillée Reconnaitre si une figure présente un axe de symétrie (à trouver, notamment par pliage ou avec le papier calque). Connaissances pour le maitre Les élèves doivent reconnaitre qu une figure possède un ou plusieurs axes de symétrie. La reconnaissance d un axe de symétrie est d abord perceptive ; la vérification, quant à elle, peut se faire par pliage ou en utilisant du papier calque. Ces moyens de vérification permettent d aborder de façon empirique la situation de symétrie. Cependant, il ne faut pas exclure l usage des instruments de géométrie (règle et équerre) qui devra progressivement, au cycle 3, être privilégié (passage d une géométrie perceptive à une géométrie instrumentée). Pour contrôler cette reconnaissance, il est indispensable de faire tracer ces axes. Il est important de proposer des situations variées, notamment des translations de figures pour que les élèves perçoivent bien la différence avec des situations de symétrie. Découverte collective de la notion Au préalable, prévoir : un quart de feuille de papier calque par élève ; quelques feuilles sur lesquelles le papillon est déjà décalqué (pour les élèves qui en ont besoin) ; la reproduction agrandie (format A3) du papillon (cf. Matériel) sur feuille et sur papier calque. Lire la 1 re puce. Distribuer le papier calque et laisser les élèves réaliser la tâche. Veiller à la précision du tracé. Mettre en commun pour la 1 re puce : expliciter que le papillon retourné se place exactement sur le modèle de papillon du livre et que l on dit qu ils se superposent. Le vérifier avec le modèle de papillon agrandi et sa reproduction sur papier calque. Conclure qu on peut les superposer quel que soit le sens. Lire la 2 e puce. Laisser les élèves réaliser la tâche. Veiller à la précision du pliage. Mettre en commun pour la 2 e puce : expliciter que les deux parties se placent exactement l une sur l autre et que l on dit qu elles se superposent. Le vérifier sur le papillon agrandi sur papier calque. Questionner : Les ailes sont-elles dessinées dans le même sens? En dépliant leur papillon sur papier calque, les élèves remarquent que celle de droite est dans le sens inverse de celle de gauche et que c est le pliage le long de l axe qui permet de les superposer. Conclure : On dit de ces deux parties qu elles sont symétriques et le trait en pointillé est appelé «axe de symétrie». Expliquer que les deux parties symétriques sont identiques mais en sens inverse, à la manière d un objet et de son reflet dans un miroir. Pour les élèves qui ne réussissent pas à se représenter le principe, faire observer un objet posé contre un miroir et son reflet dans celui-ci. On pourra, dans un second temps, faire remarquer qu une figure ou un agencement de figures peut avoir plusieurs axes de symétrie. Le montrer par exemple avec un carré tracé en grand format sur papier calque et qu on plie au moins deux fois en superposant les deux côtés pour montrer qu il a plusieurs axes de symétrie. Difficultés éventuelles La représentation conceptuelle de la symétrie est parfois trop abstraite pour certains. Avec ces élèves, il est essentiel d utiliser autant que nécessaire les techniques de découpage et de pliage, le papier calque et le miroir, pour «faire vivre» l axe de symétrie. Ils doivent expérimenter autant que nécessaire la réflexion d un côté en sens inverse de l autre côté. Le traitement des axes obliques, dans certains exercices, peut poser problème : les élèves sont habitués à des situations dans lesquelles l axe est horizontal ou vertical. Lorsque celui-ci est oblique, ils ont parfois du mal à imaginer la superposition potentielle des deux parties de part et d autre de l axe. Au besoin, leur donner la possibilité de manipuler en pliant l agencement reproduit sur papier calque. 134

Autres pistes d activités Trouver, seul ou à partir de recherches dans des magazines par exemple, des objets qui présentent une symétrie axiale. Trouver un axe de symétrie dans l image d un masque, d un objet, d une construction CD-Rom Remédiation Matériel : Papillon agrandi du «Cherchons» CORRIGÉS DES EXERCICES 1 La ligne rouge est un axe de symétrie pour les figures A, D, E, F, G et H. 2 La ligne rouge est un axe de symétrie pour la figure B. 3 4 6 Le paysage se reflète sur la surface de l eau du lac comme sur un miroir : cela produit alors une image en symétrie de la réalité. 5 135

Compléter une figure par symétrie ESPACE ET GÉOMÉTRIE p. 136-137 du fichier Programme 2016 Reconnaitre et utiliser les notions d alignement, d angle droit, d égalité de longueurs, de milieu, de symétrie. Compétence travaillée Compléter une figure pour qu elle soit symétrique par rapport à un axe donné. Connaissances pour le maitre Le programme limite cette compétence au complément d une figure par symétrie et non à la reproduction d une figure entière par symétrie. Les élèves n ont pas de difficulté à reconnaitre que les figures se superposent exactement après pliage. Le tracé permet d atteindre un degré d analyse plus fin, car il engage les élèves à abandonner la vision perceptive au profit de la mise en œuvre des propriétés intrinsèques de la symétrie. Il s agit en effet de comprendre qu un point situé d un côté de l axe de symétrie, à une distance d de l axe, correspond à un point symétrique situé sur une même droite perpendiculaire à l axe, de l autre côté de l axe et à la même distance d, de cet axe. Le papier quadrillé est une étape incontournable pour travailler cette compétence liée à la perpendicularité et à l équidistance des tracés par rapport à l axe. Découverte collective de la notion Au préalable : Reproduire le tracé de Léna en respectant les couleurs de points et en le faisant le plus grand possible. Cette situation de recherche sera travaillée collectivement. Lire la 1 re question. Repérer, sur l agrandissement, le point jaune et son symétrique. Faire formuler que ce point symétrique est placé de l autre côté de l axe, à un carreau de celui-ci, comme son modèle. Faire de même avec les points rouge et bleu. Lire la 2 e question. On remarque que les deux points violets ne sont pas à la même distance de l axe. Ils ne sont donc pas symétriques. On remarque aussi la même chose pour les points verts : ils ne sont pas symétriques. Conclure que, pour qu un point soit le symétrique d un autre, il doit être de l autre côté de l axe à la même distance de celui-ci que son modèle. Faire placer un point violet à droite de l axe, sur le tracé agrandi de Léna, de façon à ce qu il soit le symétrique du point violet de gauche. Ensuite, proposer le tracé de Cyril sur quadrillage agrandi en respectant la couleur des points du fichier. Faire observer que les points jaunes, rouges, verts et bleus Tracé de Cyril sont placés correctement sur le tracé de Cyril mais que les points violets ne sont pas placés sur la même ligne de quadrillage. Demander à un élève de tracer les segments qui relient les points de même couleur. Faire comparer la direction des segments jaunes, rouges, verts et bleus avec la direction du segment qui relie les points violets : formuler que ce segment ne produit pas un angle droit avec l axe («il n est pas perpendiculaire à l axe») ; utiliser l équerre pour le visualiser. Conclure que, pour placer le symétrique d un point, on suit une direction perpendiculaire à l axe («en angle droit»). Institutionnaliser : Pour placer le symétrique d un point par rapport à un axe : on suit une direction perpendiculaire à cet axe ; on le place de l autre côté de l axe, à la même distance de l axe que le point modèle. Pour compléter une figure par symétrie, on place le symétrique de chaque point de l autre côté de l axe, puis on relie ces points. Difficultés éventuelles Les élèves peuvent avoir des difficultés à mettre en œuvre les propriétés de la symétrie axiale (perpendicularité et équidistance à l axe). Si l équidistance pose problème, c est que la vision de la symétrie comme un reflet n est pas acquise. Il faut donc retourner aux exercices du chapitre précédent. Le pliage pourra être l occasion de visualiser que cette propriété s applique à chacun des points de la figure. 136

En ce qui concerne la perpendicularité par rapport à l axe, on pourra, à partir d une figure et de son symétrique, tracer un trait entre chaque point et son symétrique, afin de visualiser cette propriété de perpendicularité. L axe oblique met en difficulté la perception globale de la symétrie. Il faudra donc que les élèves aient bien compris que cette symétrie s applique point par point. La perpendicularité pourra poser problème avec un axe oblique. Proposer aux élèves d utiliser une équerre pour visualiser la direction de la droite sur laquelle le symétrique doit se placer. Le repérage sur quadrillage fait l objet d une compétence à part entière depuis le début du cycle 2, qu il faut retravailler pour elle-même au besoin (par exemple, par des jeux de déplacements le long des cases ou des nœuds d un quadrillage, où les élèves seront amenés à réaliser un déplacement en suivant des instructions ou au contraire à produire ces instructions pour d autres, cf. Matériel). Autres pistes d activités Proposer de tracer le symétrique de son prénom «posé» sur un axe horizontal (comme collé contre un miroir). Faire compléter des formes par symétrie axiale, par rapport à des axes aux positionnements variés. Éventuellement, on pourra faire préparer une moitié de figure (modèle) d un côté de l axe, puis faire échanger les fiches et faire compléter ces figures par symétrie. CD-Rom Évaluation : La symétrie Remédiation Matériel : Papier quadrillé (5 mm et 1 cm) Papier pointé (5 mm et 1 cm) Activités numériques : Compléter une figure par symétrie CORRIGÉS DES EXERCICES 1 Pour les exercices 2 *, 3 *, 4 *, 5 ** et 6 ***, on pourra reproduire les figures à obtenir sur papier calque au même format que celui des élèves, pour servir de gabarit de correction. 2 3 137

4 5 6 138

Reconnaitre et nommer des solides : cube, pavé droit, pyramide, cylindre, boule, cône ESPACE ET GÉOMÉTRIE p. 138-139 du fichier Programme 2016 Reconnaitre, nommer, décrire, reproduire quelques solides (cube, pyramide, pavé droit, cylindre, cône, boule). Compétences travaillées Reconnaitre et trier les solides usuels parmi des solides variés. Connaitre le vocabulaire approprié pour nommer des solides. Connaissances pour le maitre La géométrie dans l espace doit essentiellement s articuler avec l étude d objets courants. Ces objets doivent être manipulés, observés et décrits pour en dégager certains invariants : ces derniers constitueront les propriétés des solides étudiés. L acquisition des compétences dans ce domaine ne peut se faire que par une vision dans l espace et donc seulement à partir d objets réels. Néanmoins, on peut compléter cette étude par la représentation des solides en perspective cavalière (illusion de la 3D en 2D). Son traitement par les élèves est parfois difficile et l enseignant doit expliciter le fait que certaines arêtes et faces ne sont pas visibles. De plus, selon l angle de vue, le solide est plus ou moins difficile à percevoir : on privilégiera les représentations où le point de vue est suffisamment décentré pour que les faces observables soient bien visibles. Les photographies de solides, en particulier celles en gros plan, posent des problèmes de visualisation, car elles présentent un point de fuite à l horizon et non à l infini : pour le cube et le pavé droit, les côtés opposés des faces n apparaissent donc pas nécessairement parallèles. Les solides étudiés peuvent être décrits grâce à leur nombre de faces, de sommets et d arêtes et à la forme de leurs faces. Découverte collective de la notion Au préalable, se munir : d un grand cube, d un grand pavé droit, d une grande pyramide à base carrée, d un grand cylindre, d une grosse sphère, d un grand cône (cf. Matériel) ; de cubes et pavés droits plus petits (cf. Matériel). Lire collectivement la situation de recherche. Dans l illustration, observer les solides sur la table. Attirer l attention des élèves sur le fait que ces solides sont dessinés à main levée, ce qui explique que les arêtes ne sont pas tout à fait droites. Associer chaque solide du dessin au solide réel en grand format. Demander de décrire chaque solide, de gauche à droite sur l illustration : solide formé de faces carrées ; solide formé de faces rectangulaires ; solide formé de cercles et d une face non plane ; solide formé de triangles et d un carré ; solide formé d un cercle et d une face non plane ; solide sans arête et sans face plane. Laisser les élèves chercher individuellement les réponses à la question de la situation de recherche. Mettre en commun. Rappeler qu il faut choisir une boite qui a la forme d une pyramide. Faire justifier le choix des élèves en les interrogeant si besoin sur le type de faces. C est le solide qui a des faces triangulaires qui se rejoignent toutes en un même sommet. Conclure que Nina doit choisir le 4 e solide en partant de la gauche. Dans un second temps, à partir de chaque solide en grand format, demander aux élèves de le décrire et de donner son nom. Difficulté éventuelle Il peut être complexe pour les élèves de conceptualiser un solide en 3D à partir d une représentation en 2D. Visualiser des représentations de solides peut aussi s avérer difficile, soit parce que certaines arêtes sont cachées, soit parce que le relief des arrondis n est pas assez perceptible. Il faut donc extrapoler ce que l on voit. Dans les deux cas, il est indispensable de prévoir une phase de manipulation. 139

Autres pistes d activités Apporter des boites et emballages de toutes formes et les faire trier (pour observer notamment certains solides qui ne sont pas des polyèdres). Réaliser des empreintes des solides dans de la pâte à modeler ou dans du sable (cela permet aux élèves d observer les faces comme des figures planes indépendantes et de les comparer de façon directe). CD-Rom Remédiation Matériel : Patrons de cubes et de pavé droits Patrons d autres solides CORRIGÉS DES EXERCICES 1 2 a. Exemples d objets qui ont la forme d une pyramide : certaines bougies, certaines pièces de jeu de construction (toit de clocher ou de tour carrée), des bibelots. b. Exemples d objets qui ont la forme d un cylindre : une boite de camembert, une boite de conserve, un bâton de colle. c. Exemples d objets qui ont la forme d une boule : un ballon, une bille, un globe terrestre. d. Exemples d objets qui ont la forme d un cône : un cornet de glace, un chapeau de fête, certaines pièces de jeu de construction (toit de tour ronde). 3 Pyramide Cylindre Boule Cône Solides H E F, J I 4 Photo 1 : une pyramide. Photo 2 : une boule. Photo 3 : des cubes. Photo 4 : un cylindre. Photo 5 : un cône. 5 A : 6 faces, 12 arêtes, 8 sommets. B : 6 faces, 12 arêtes, 8 sommets. C : 4 faces, 6 arêtes, 4 sommets. 6 a. Je suis un pavé droit. b. Je suis une boule. c. Je suis un cube. d. Je suis une pyramide. e. Je suis un cylindre. f. Je suis un cône. 140

Reconnaitre, nommer, décrire, représenter et construire un cube, un pavé droit ESPACE ET GÉOMÉTRIE p. 140-141 du fichier Programme 2016 Reconnaitre, nommer, décrire, reproduire quelques solides. Compétences travaillées Reconnaitre et trier des solides usuels (cube, pavé droit) parmi des solides variés. Décrire et comparer des solides (cube, pavé droit) en utilisant le vocabulaire approprié. Reproduire des solides (cube, pavé droit). Fabriquer un cube à partir d un patron fourni. Connaissances pour le maitre Dans ce chapitre, on s attarde sur l étude des cubes et des pavés droits. Toutes les activités de base permettant leur première observation sont à privilégier en première intention : leur manipulation, les empreintes des faces, etc. On pourra ensuite entrer dans une phase de description. Le cube et le pavé peuvent être décrits grâce au nombre de faces, de sommets et d arêtes. Comme dans la géométrie plane, chaque sommet peut être nommé par une lettre, ce qui permet ainsi de nommer les arêtes et les faces. On notera que les règles d utilisation des lettres pour nommer un solide ne sont pas fixées. Cependant, pour faciliter la lecture des élèves, nous avons toujours choisi la même méthode. Par exemple pour le cube, après avoir nommé les 4 sommets qui délimitent une face, on nomme ceux qui forment la face opposée en commençant par le sommet consécutif au tout premier sommet énoncé dans le nom du solide. Ex. : Ceci est le cube E F ABCDEFGH. On notera que le tracé A B de cubes et pavés droits en perspective cavalière sur quadrillage permet d éprouver les caractéristiques de représentation H G des solides, en particulier D C les arêtes cachées et les arêtes fuyantes, c est-à-dire qui relient la face avant et la face arrière du solide. Pour ces dernières, on pourra réaliser ensemble des recherches de tracés afin de donner diverses impressions de points de vue (vue depuis la droite, depuis la gauche, depuis le haut, depuis le bas). Dans les exercices, la perspective cavalière ne sera traitée qu en guise de découverte, dans des reproductions sur quadrillage avec modèle. Enfin, afin de consolider les connaissances des élèves de CE2 sur les cubes et pavés droits, il est nécessaire de leur en proposer la construction de diverses façons (cf. «Autres pistes d activités» p. 142). Découverte collective de la notion Au préalable, prévoir des cubes et pavés droits suffisamment gros pour les faire manipuler (cf. Matériel). Faire lire la situation de découverte. Lire la 1 re question et répondre en collectif : Pour le cube, il doit soulever la pierre E. Pour le pavé droit, il doit soulever la pierre D. Demander comment on peut reconnaitre chacun d eux. Le cube est formé de carrés ; le pavé droit est formé de rectangles. Faire lire la 2 e question. Distribuer un cube et un pavé droit par binôme et laisser les élèves répondre sur ardoise. Mettre en commun : Le cube et le pavé droit ont chacun 6 faces. On pourra prolonger l étude de ces deux solides en demandant le nombre d arêtes ( 12) et de sommets ( 8). On pourra aussi proposer aux élèves de construire des cubes et des pavés droits à partir de patrons fournis (cf. Matériel), afin que chacun ait du matériel à manipuler. Difficultés éventuelles Il peut être encore complexe pour certains élèves de conceptualiser un cube ou un pavé droit en 3D à partir d une représentation en 2D, à cause des arêtes cachées et des arêtes fuyantes. Lorsqu ils n arrivent pas à conceptualiser un solide représenté sur image (photographie, perspective cavalière), proposer aux élèves de prendre un cube ou un pavé droit réel en face d eux et de se déplacer tout autour jusqu à ce qu ils trouvent le même point de vue que celui de l image qui leur pose problème. Certains élèves ont des difficultés à nommer des arêtes et des faces avec des lettres. Proposer un entrainement régulier en leur demandant de poser le doigt, dans le bon ordre, comme le long d un chemin, sur chaque sommet dont on doit donner la lettre. 141

Autres pistes d activités Distribuer les cartes Assemblages de cubes ou de pavés droits (cf. Matériel), et demander de donner le nombre de cubes ou pavés droits ; vérifier les réponses en réalisant l assemblage. Variante en binômes : un élève ne voit pas l assemblage, l autre le lui décrit pour qu il le reproduise. Construire d autres cubes et pavés droits à partir de patrons (cf. Matériel) fournis par l enseignant, imprimés de préférence sur du papier épais. Construire des cubes et pavés droits à partir de pailles et de pâte à modeler (pour y planter les arêtes qui se rejoignent au niveau des sommets). Pour les cubes, on peut aussi utiliser des allumettes. Construire des cubes et des pavés droits à partir de figures planes (par exemple coupées dans du carton). Il sera intéressant de proposer différentes tailles de carrés et de rectangles pour que les élèves pensent à prendre des faces superposables. On pourra leur proposer d aller chercher le matériel strictement nécessaire avant de commencer la construction. On pourra fixer les faces avec de la colle, du scotch, de la pâte à fixer. Certains jeux magnétiques permettent de construire des cubes et des pavés droits à partir d arêtes ou des faces aimantées. CD-Rom Évaluation : Les solides Remédiation Matériel : Patrons de cubes et de pavés droits Cartes Assemblages de cubes ou de pavés droits CORRIGÉS DES EXERCICES 1 a. Objets qui ont la forme d un cube : un dé, un Rubik s Cube, certains sièges de salon, certains cartons d emballage. b. Objets qui ont la forme d un pavé droit : une boite de céréales, une brique de lait, de jus de fruits et de soupe, un morceau de sucre, un immeuble. 2 Cube Pavé droit Autre Solides A, D, I B, F, G C, E, H 3 a. Je suis un pavé droit. b. Je suis un sommet de solide. c. Je suis un cube (ou une pyramide régulière). 4 a. La face ABCD est opposée à EFGH. b. Le sommet A est commun aux faces jaune, verte et bleue. c. L arête [AD] est commune aux faces bleue et verte. 5 A 20 cubes B 14 cubes 6 On pourra reproduire les tracés à obtenir sur papier calque au même format que celui des élèves, pour servir de gabarit de correction. 142

Je révise ESPACE ET GÉOMÉTRIE p. 142-143 du fichier CORRIGÉS 1 A B C D E 2 Seule la ligne rouge de la première figure est un axe de symétrie. 3 Pour les exercices 4 et 5, on pourra reproduire les tracés à obtenir sur papier calque au même format que celui des élèves, pour servir de gabarit de correction. 4 5 6 Cube Pavé droit Pyramide Cylindre Boule Cône E, M A, F B, I D, N C G 143

7 a. Le cube b. Le pavé droit c. Le pavé droit d. Le cube 8 a. Le sommet B est commun aux faces rouge, jaune et bleue. b. L arête [BF] est commune aux faces bleue et rouge. c. La face EFGH est opposée à ABCD. d. Les faces EHDA, EFBA, FGCB et GHDC ont une arête commune avec EFGH. 9 Les faces posées au sol ne font pas partie des faces apparentes. Il faut donc 22 gommettes pour les 22 faces apparentes. 144

Vers le cycle 3 : parallèles ou perpendiculaires? ESPACE ET GÉOMÉTRIE p. 144-145 du fichier Programme 2016 Reconnaitre et utiliser quelques relations géométriques. Compétence travaillée Perpendicularité et parallélisme (cycle 3). Connaissances pour le maitre Un des éléments constitutifs de la géométrie est la relation, les propriétés établies entre deux objets : deux des principales relations introduites à l école élémentaires sont le parallélisme et la perpendicularité (comme celle de l alignement ou de l égalité de longueur). Le programme 2016 introduit les concepts de parallélisme et de perpendicularité en cycle 3. Il est à noter que, même si souvent ces deux concepts sont présentés simultanément, ils n ont pas de rapport direct. En effet, deux droites du plan sont sécantes ou parallèles. Lorsqu elles sont sécantes, elles peuvent être perpendiculaires ; dans ce dernier cas, elles se coupent en formant un angle droit. La perpendicularité est une relation facilement vérifiable, contrairement au parallélisme qui nécessite d effectuer plusieurs étapes ; cela représente une difficulté supplémentaire pour les élèves. Le parallélisme est d abord vu comme deux droites qui ne se coupent pas, conception facilement accessible aux élèves de cycle 3. Progressivement, deux droites parallèles seront caractérisées par leur écartement constant. Enfin, il est important de ne pas figer les représentations et de ne pas installer des conceptions erronées : beaucoup d élèves confondent parallèles et perpendiculaires avec horizontales et verticales à cause d une fréquentation excessive des positions stéréotypées : Il faudra donc veiller à varier les orientations des droites. Découverte collective de la notion Au préalable, tracer sur un papier A3 deux droites parallèles espacées de 15 cm. Lire la situation de découverte et les questions de la 1 re puce. Laisser les élèves réfléchir pendant quelques minutes. Mettre en commun : relire la bulle de Karim. Questionner : Qu est-ce que Karim voudrait observer? Il veut observer le croisement de ses droites (texte au-dessus de l illustration). Quel est le problème? Karim prolonge les droites depuis longtemps mais n arrive pas à observer le croisement de ses droites. À votre avis, que veut donc dire «des droites parallèles»? Selon ce que dit Karim, cela signifie qu elles ne se croisent pas. Conclure que deux droites parallèles sont deux droites qui ne se croisent jamais. Demander aux élèves comment cela est possible. Si aucune suggestion n est proposée, demander aux élèves de mesurer l écart entre les deux droites en plusieurs endroits. Noter que cet écart entre les deux droites mesure toujours 9 mm. Fixer au tableau l affiche des droites parallèles. Faire contrôler par un élève l écart entre les 2 droites L écart est toujours de 15 cm. En déduire que des droites sont parallèles lorsqu elles ont toujours le même écart : elles ont exactement la même orientation. Lire la question de la 2 e puce. Demander ce que Paolo tient dans la main. Une équerre. Demander ce que peut vouloir dire «perpendiculaires». Proposer aux élèves d utiliser leur équerre pour constater que les deux droites se coupent en formant un angle droit. Conclure que deux droites perpendiculaires sont deux droites qui se coupent en formant un angle droit. 145

Difficulté éventuelle Des élèves peuvent juger inutile d utiliser un instrument spécifique pour vérifier l angle droit entre deux droites perpendiculaires ou l écartement entre deux droites parallèles. Pour qu ils perçoivent l importance de la vérification, proposer de nombreuses droites qui semblent perpendiculaires ou parallèles à l œil nu et les inciter à vérifier avec les instruments. Autres pistes d activités Faire tracer des droites perpendiculaires avec l équerre. Rechercher des droites perpendiculaires et des droites parallèles dans des œuvres d arts (par exemple de Mondrian). CD-Rom Remédiation Activités numériques : Parallèles ou perpendiculaires? CORRIGÉS DES EXERCICES 1 Les droites perpendiculaires sont les droites bleues et vertes. 5 Les couples de droites parallèles sont les bleues et orange. 2 3 mikados sont perpendiculaires au mikado rayé noir. 3 Les droites perpendiculaires sont les droites bleues. 4 Pour cet exercice, il faut vérifier avec l équerre la perpendicularité des droites. 6 «Pour ne pas tomber, je garde mes skis bien parallèles.» «Je dois bien fixer les deux baguettes en les croisant, elles doivent être perpendiculaires.» 7 a. Rue des Incantations b. Rue des Fées c. Rue des Elfes 146

J utilise les maths en EPS et en arts plastiques et visuels ESPACE ET GÉOMÉTRIE p. 146-147 du fichier CORRIGÉS Reconnaitre des terrains de sport Terrain de handball Terrain de football Terrain de badminton Terrain de hockey sur glace Terrain de volleyball Terrain de tennis Explorer la représentation par le volume 1 B, C et G sont des œuvres qui utilisent des formes planes. A, D, E et F sont des œuvres qui utilisent les solides géométriques. 2 A le cube B le cercle C le triangle D le pavé droit E la boule F le cylindre G le rectangle 147