Note d application - Projet P11A03 Conception d une maquette pédagogique pour les travaux pratiques d automatiques
Sommaire 1 Introduction... 3 2 Les correcteurs... 4 2.1 Leur rôle... 4 2.2 Les différentes types de corrections... 4 2.2.1 Correcteur série... 4 2.2.2 Correcteur parallèle... 5 2.2.3 Correcteur par anticipation... 5 3 Exigences de l asservissement... 6 3.1 Stabilité d un système bouclé... 6 3.2 Marge de phase d un système bouclé... 6 3.3 Stabilité satisfaisante en boucle fermée... 7 3.4 Rapidité... 8 4 Le correcteur P ou correcteur proportionnel... 9 5 Le correcteur PI ou correcteur proportionnel intégral... 10 6 Le correcteur PD ou proportionnel dérivé... 11 7 Le correcteur PID ou proportionnel intégral dérivé... 12 8 Conclusion... 13 Table des figures Figure 1: Schéma d'un système en Boucle Ouverte (1) et en Boucle Fermée (2)... 3 Figure 2: Implantation du correcteur... 3 Figure 3: Correcteur série... 4 Figure 4: Correcteur parallèle... 5 Figure 5: Correcteur par anticipation... 5 Figure 6: Mesure de la marge de phase... 7 Figure 7: Réglage du gain d'un système asservi... 8 Figure 8: Amélioration de la rapidité... 8 Figure 9: Action du correcteur P, plan de Bode... 9 Figure 10: Circuit électrique du correcteur proportionnel... 9 Figure 11: Action du correcteur PI, plan de Bode... 10 Figure 12: Circuit électrique du correcteur proportionnel et intégral... 10 Figure 13: Figure 11: Action du correcteur PD, plan de Bode... 11 Figure 14: Circuit électrique du correcteur proportionnel et dérivée.... 11 Figure 15: Circuit électrique du PID... 12 Figure 16: Récapitulatif des correcteurs... 13 2
1 Introduction Un système se caractérise par ses grandeurs d'entrée et de sortie. Les grandeurs d'entrée sont les grandeurs qui agissent sur le système. Il en existe de deux types : commandes : celles que l'on peut maîtriser perturbations : celles que l'on ne peut pas maîtriser. Un système est en boucle ouverte lorsque la commande est élaborée sans l'aide de la connaissance des grandeurs de sortie : il n'y a pas de feedback. Dans le cas contraire, le système est dit en boucle fermée. La commande est alors fonction de la consigne ( la valeur souhaitée en sortie) et de la sortie. Pour observer les grandeurs de sortie, on utilise des capteurs. C'est l'information de ces capteurs qui va permettre d'élaborer la commande. Figure 1: Schéma d'un système en Boucle Ouverte (1) et en Boucle Fermée (2) En général, l'élaboration de la commande est basée sur _ un capteur pour mesurer la sortie _ un comparateur entre la consigne et la sortie _un correcteur qui élabore la commande en fonction de la comparaison précédente, ce qui peut se représenter par la figure ci-dessous. Figure 2: Implantation du correcteur On s intéressera ici à la structure des correcteurs. 3
2 Les correcteurs 2.1 Leur rôle Pour un système donné, les performances du système bouclé peuvent être amélioré en insérant dans la boucle de régulation un dispositif visant à corriger les défauts du système (instabilité, lenteur, erreur statique). Ces dispositifs sont les correcteurs, ils sont constitués par des réseaux de transmissions passifs ou actifs. Ces correcteurs ont pour but de délivrer un signal de commande au système de manière à préserver les exigences de précision et de stabilité à priori incompatibles. 2.2 Les différentes types de corrections On distingue différents types de correction : série, parallèle et par anticipation. 2.2.1 Correcteur série Le correcteur C(p) est introduit dans la chaîne directe en amont du système, son rôle essentiel consiste à modifier les performances du système initial, suivant le cahier de charges. Il agit simultanément sur les précisions statique et dynamique, sur la rapidité et sur la stabilité. Le schéma d'asservissement est le plus souvent transformé en vue d avoir un asservissement à retour unitaire. Figure 3: Correcteur série Dans ce cas la commande u(t) = f(ε), on distingue alors trois fonctions : _ La loi de commande proportionnelle ou action proportionnelle notée P : u(t) Kc.(t) Fonction de transfert du correcteur C(p) = Kc. _ Action intégrale, notée I : t 1 u(t) (t) Ti Fonction de transfert du correcteur C(p) = _ Action dérivée, notée D : 0 1 Ti p d () t u(t) Td dt Fonction de transfert du correcteur C(p) =Td p 4
2.2.2 Correcteur parallèle La correction parallèle ne permet pas l introduction d une intégration ; le correcteur C(p) se greffe en parallèle sur un élément fixe de la chaîne et agit essentiellement sur la stabilité et la rapidité. Figure 4: Correcteur parallèle 2.2.3 Correcteur par anticipation Le correcteur C(p) appelé aussi compensateur élimine théoriquement l influence des perturbations p(t). Figure 5: Correcteur par anticipation La correction série est la plus couramment utilisée. C est d ailleurs de celle-là que nous traiterons ici. Et plus précisément le correcteur proportionnel (P), le correcteur proportionnel intégrale (PI), le correcteur proportionnel dérivée(pd) ainsi que le correcteur proportionnel intégrale dérivée (PID). Concernant le correcteur PID nous traiterons de la structure pont mixte. Pour la correction série, le schéma d'asservissement est le plus souvent transformé en vue d avoir un asservissement à retour unitaire. Pour mieux comprendre ces structures il apparait important de précisé les exigences d un asservissement. 5
3 Exigences de l asservissement 3.1 Stabilité d un système bouclé Un système asservi instable devient un oscillateur, ce qui se traduit par des variations importantes de la sortie et peut amener la dégradation du système (casse mécanique par exemple). Il est donc important de prévoir à quelles conditions ce système bouclé sera stable. On dispose pour cela de deux outils, l un mathématique, l autre graphique. Nous parlerons ici de l outil graphique à savoir le diagramme de Bode. Celui-ci permet de prévoir la stabilité en boucle fermée de la transmittance en boucle ouverte du système que l on notera ici T(p). L étude des oscillateurs nous montre qu un système bouclé oscille s il existe une pulsation o pour laquelle le gain de boucle est égale à 1. Cette condition devient, si on tient compte du signe (-) introduit par le comparateur : T(jo)= -1 Graphiquement, cela veut dire que le système oscille s il existe une fréquence pour laquelle on a ITI = 1 et arg(t) = -π sur le diagramme de Bode de la transmittance en boucle ouverte T(jo). A cette fréquence on serait donc au point critique. En sommes : Si à la pulsation ωo où arg(t(jωo)) = - π, le module T est inférieur à 1, l oscillation ne peut pas démarrer. Le système est stable. Si à la pulsation ωo où arg(t(jωo)) = - π, le module T est supérieur à 1, l oscillation démarre et croit. Le système est instable. 3.2 Marge de phase d un système bouclé La marge de phase est le déphasage supplémentaire qui permet d'atteindre le point critique. Elle se note m et est définie ainsi : on cherche la fréquence f1 pour laquelle le module de la transmittance est égal à 1 à cette fréquence, l argument de la transmittance vaut la marge de phase est : m = 180 + cette marge de phase peut-être positive ou négative Cette marge de phase m se lit très facilement sur le diagramme de Bode de la transmittance en boucle ouverte d un système. 6
Figure 6: Mesure de la marge de phase Si m > 0 l asservissement est stable. Si m < 0 l asservissement est instable. 3.3 Stabilité satisfaisante en boucle fermée En pratique, il ne suffit pas qu un système soit stable, il doit en plus être suffisamment amorti. Le réglage de l amplification dans la chaine directe a une influence directe sur l amortissement du système et donc sur la forme de la réponse. Dans la pratique, un dépassement de 20% correspondant à une stabilité satisfaisante, est obtenue pour une marge de phase de l ordre de m = 45, quel que soit l ordre du système. La méthode graphique de réglage de l amplification est simple à appliquer sur le diagramme de Bode du système en boucle ouverte : faire A = 1 et tracer le diagramme de Bode la marge de phase m est en général trop grande ( système trop lent ) repérer la fréquence f1 correspondant à une marge de phase de m = 45 décaler la courbe de gain vers le haut ou vers le bas pour avoir T = 0dB à f1 l amplitude du décalage donne la valeur A0 en db du gain cherché 7
Figure 7: Réglage du gain d'un système asservi 3.4 Rapidité Pour augmenter la rapidité du système en boucle fermée (BF), il faut élargir sa bande passante (BP) en boucle fermée. Augmenter la BP en BF augmenter la pulsation de coupure à 0dB ωco de T(p) = C(p).H(p) TBF(p) représente la transmittance en boucle fermée. Figure 8: Amélioration de la rapidité On doit avoir ωc,bf ωc0. 8
4 Le correcteur P ou correcteur proportionnel Le correcteur proportionnel est un simple amplificateur de gain réglable, C(p) = K. Si K > 1, on améliore la rapidité et la précision du système en boucle fermée mais on diminue la stabilité et on accroit son dépassement. Action du correcteur : Si Kc > 1, translation du diagramme de gain de Bode vers le haut augmentation de ωco augmentation de la rapidité diminution de la marge de phase (dégradation de la stabilité en BF) Si Kc < 1, translation du diagramme de gain de Bode vers le bas diminution de ωco diminution de la rapidité Augmentation de la marge de phase (amélioration stabilité) Figure 9: Action du correcteur P, plan de Bode Circuit électrique : Figure 10: Circuit électrique du correcteur proportionnel 9
5 Le correcteur PI ou correcteur proportionnel intégral On règle le gain du système pour avoir une stabilité satisfaisante, le correcteur augmente la précision de l asservissement en augmentant la classe du système sans dégrader sa marge de phase. Sa fonction de transfert est : C ( p) Kc(1 1 ). Ti p Plus Ti est grande, plus l'action intégrale est faible. Action du correcteur : Figure 11: Action du correcteur PI, plan de Bode Effets : Introduction d'un intégrateur Gain en basses fréquences ( <<1/Ti) infini erreur statique nulle (système de classe 0) Le gain du système corrigé ne sera pas modifié en hautes fréquences si 1/Ti << ωco ( rapidité) non modifiée La phase du système corrigé n'est modifiée qu'en basses fréquences La marge de phase n'est pas modifiée si 1/Ti << ωco Circuit électrique : Figure 12: Circuit électrique du correcteur proportionnel et intégral 10
6 Le correcteur PD ou proportionnel dérivé L action de ce correcteur se fait sur les hautes fréquences. Son effet est stabilisant et à tendance à augmenter la rapidité. Sa fonction de transfert est : C ( p) Kc(1 Td p). Le gain de ce correcteur est infini pour les hautes fréquences. Ceci est donc physiquement irréalisable, on l approxime par : C ( p) Kc 1 Td p, avec τ très petit devant Td. 1 p Action du correcteur : Figure 13: Figure 11: Action du correcteur PD, plan de Bode Effets : Avance de phase maximale de 90 pour >>10/Td amélioration de la stabilité Augmentation de la pulsation co amélioration de la rapidité Amplification en hautes fréquences (pour > 1/Td) élargissement de la BP du système en BF sensibilité aux bruits Diminution de l'erreur permanente Réglages : Régler Kc pour avoir ωco imposé Régler Td pour avoir mϕ imposée Vérifier a posteriori ωco et mϕ Circuit électrique : C ( p) Kc C ( p) Kc(1 Td p) 1 Td p 1 p Figure 14: Circuit électrique du correcteur proportionnel et dérivée. 11
7 Le correcteur PID ou proportionnel intégral dérivé L action de ce correcteur se fait sur toutes les fréquences. Son effet est stabilisant, il annule l erreur statique, il contribue à augmenter la rapidité. Sa fonction de transfert est : C ( p) Kc(1 1 (1 T1 p)(1 T 2 p). Td p) = Kc Ti p Ti p Après factorisation on en déduit : Si Ti > 4Td, Zéros réels, Kc Si Ti < 4Td, Zéros complexes conjugués, Kc Effets : =Ti (1 T1 p)(1 T 2 p) avec Ti p T 1 T 2 Ti Td 2 T =Ti T 2 p2 2 T p 1 avec 2 Ti p T Ti Td <1 Action du correcteur : Avance de phase en hautes fréquences Amplification en hautes fréquences Effet PD en hautes fréquences Gain infini en basses fréquences Retard de phase en basses fréquences Fréquences moyennes : peu d'influence du correcteur Circuit électrique : Figure 15: Circuit électrique du PID 12
Le PID théorique a l'inconvénient du PD c est à-dire une amplification en hautes fréquences sensibilité aux bruits. Pour éviter cela, on introduit un filtre passe-bas en hautes Fréquences. 8 Conclusion Tableau récapitulatif des correcteurs : Correcteurs P PI PD PID Avantages Simplicité Meilleure précision Simplicité Erreur statique nulle Inconvénients Risque d'instabilité si Kc >> 1 Améliore stabilité et rapidité Très utilisé en industrie Action PI + PD Sensibilité du système aux bruits Système parfois lent en BF Réglage des paramètres plus difficile Figure 16: Récapitulatif des correcteurs En sommes le choix d un correcteur n est pas simple et de se fait il passe par une multitude d étape : 1. Analyse du système (identification, performances dynamiques, réponse fréquentielle) 2. Analyse du cahier de charges (traduction en termes d'erreur, de rapidité, de marge de phase, de pulsation c ) 3. Choix de la structure du correcteur compte tenu du cahier des charges et des caractéristiques du système 4. Calcul des paramètres du correcteur 5. Vérification des performances du système corrigé. Si le cahier des charges n'est pas satisfait, retour à 3 6. Réalisation de l'asservissement et tests 13