I Limite infinie Un exemple On étudie l'évolution de la population des écureuils gris d'amérique. L'année où commence l'étude est appelée année 0. Pour tout entier n 0, on note A n le nombres d'écureuils adultes au km 2 et J n le nombre de jeunes au km 2 au début de l'année n (un jeune désigne un individu non encore apte à la reproduction). Un jeune devient adulte en un an s'il survit. Enfin, on appelle s le taux de survie des adultes sur une année et on prend 0,26 pour taux de survie des jeunes et 2,65 pour taux de reproduction. On admet alors que l'on peut modéliser l'évolution du nombre d'écureuils par les relations : A 1 =s A 0 0,26 J 0 J n =2,65 A n 1 A n 1 =s A n 0,689 A n 1 1. Explicitons les relations précédentes : Année Adultes Jeunes n = 0 A 0 J 0 n = 1 n n + 1 2. Dans toute l'étude, on prendra A 0 =100, J 0 =50 et s=0,33. A l'aide d'un tableur, on regarde l'évolution du nombres d'écureuils adultes. Cellule B7 : Cellule B8 : Cellule C7 : 3. Quel semble être le comportement de la suite A n lorsque n devient grand? -1-
4. On a représenté le nuage de points des 200 premiers termes de la suite A n en fonction de n. 700 Evolution de la population des écureuils gris d'amérique 600 500 Nombre d'écureuils adultes 400 300 200 100 0 0 50 100 150 200 250 Année 5. Au bout de combien d'années le nombre d'écureuils adultes dépassera 500? 1000? 6. Aux vues de l'étude, est-il possible, qu'au bout d'un certain nombre d'années, le nombre d'écureuils adultes dépasse les 10 4? les 10 p pour n'importe quel valeur de p? -2-
Cours Définition: On dit que la suite u a pour limite quand n tend vers, lorsque pour tout entier naturel p, il existe un rang à partir duquel tous les termes u n sont supérieurs à 10 p. On note alors lim u n =. Exemples: limites de référence lim n 2 = 1 lim 2 n 1= lim n= Illustration GeoGebra : pour se faire une idée de la définition (à télécharger sur le blog) On considère la suite u définie pour tout entier naturel n par u n =3n 3 5n. On a représenté le nuage de points des 15 premiers termes de la suite ci-dessous. -3-
A l'aide d'un algorithme : déterminer un seuil à partir duquel u n 10 p (fichier AlgoBox à télécharger sur le blog) On considère la suite u définie précédemment. Pour déterminer un entier N tel que u N 10 6 l'algorithme suivant à la calculatrice ou sur l'ordinateur :, on programme Définition : De manière analogue, on dit que la suite u a pour limite quand n tend vers, lorsque pour tout entier naturel p, il existe un rang à partir duquel tous les termes u n sont inférieurs à 10 p. On note alors lim u n =. Exemple : La suite définie pour tout entier naturel n par u n = 2n 5 a pour limite. II Limite finie Un exemple On étudie, dans cette partie, l'évolution de la population des écureuils roux d'eurasie. On suppose que le modèle d'évolution est le même que précédemment. Seulement, l'écureuil roux résiste moins bien à certaines maladies que son homologue d'amérique : on prend pour taux de survie s = 0,29. On utilise un tableur pour regarder l'évolution de la suite A n dans ce cas. Evolution de la population des écureuils roux d'eurasie 120 Nombre d'écureuils adultes 100 80 60 40 20 0 0 50 100 150 200 250 Année Quel semble être le comportement de la suite A n lorsque n devient grand? -4-
A bout de combien d'années, y aura-t-il moins de 10 écureuils? Moins de 1 écureuil? Vers quelle valeur semble tendre la suite A n lorsque n tend vers? On cherche à savoir si des mesures de protection concernant les écureuils roux d'eurasie permettrait de stabiliser leur population. On modifie le taux de survie s dans le tableur, que constate-t-on? Cours Définition : Soit u une suite numérique et l un nombre réel. On dit que la suite u a pour limite l quand n tend vers, lorsque tout entier naturel p, on peut trouver un rang à partir duquel tous les termes u n sont à une distance de l inférieure à 10 p. On note alors lim u n =l. Exemples : Limites de référence -5-
A l'aide d'un algorithme : déterminer un seuil à partir duquel u n l 10 p (fichier AlgoBox à télécharger sur le blog) On considère la suite v définie précédemment. Il semble que lim v n =2, donc on détermine la distance D n puis on programme l'algorithme suivant à la calculatrice ou sur l'ordinateur : III A la calculatrice Casio Graph35 Dans le menu principal, sélectionner le mode RECUR puis choisir TYPE en appuyant sur [F3]. En fonction du mode de définition de la suite (de manière explicite ou par récurrence), choisir an [F1] ou an+1 [F2] pour entrer la suite. On obtient la table en sélectionnant TABL [F6]. On n'oubliera pas de paramétrer la table à l'aide de RANG [F5]. A partir du tableau de valeurs de la suite, choisir G-PLT [F6] pour obtenir une représentation graphique. On pensera à régler les paramètres de la fenêtre d'affichage en utilisant la touche V-Window ([Shift][F3]). TI 82 Pour calculer les termes et représenter graphiquement une suite, la calculatrice doit être en mode suite. Pour cela, appuyer sur la touche [mode] puis choisir le mode graphique Suit à la 4 ème ligne. Appuyer ensuite sur [f(x)] pour afficher l'écran d'édition Y = On entre l'expression de la suite en face de u(n) en utilisant la touche [x, t, θ, n] pour afficher le n. Dans le cas d'une suite définie de manière explicite on renseigne nmin, dans le cas d'une suite définie par récurrence, on renseigne u(nmin). On obtient la table en utilisant Table ([2nde][graphe]). On n'oubliera pas de paramétrer la table en utilisant Def Table ([2nde][fenêtre]). On obtient le nuage de points en appuyant sur la touche [graphe]. On pourra régler les paramètres de la fenêtre d'affichage en utilisant la touche [fenêtre]. -6-
IV Suites géométriques Rappels Définition: Une suite géométrique est une suite numérique dont chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par une constante q appelée raison. Pour tout nombre entier naturel n, u n 1 =qu n. Théorème: Soit u une suite géométrique de premier terme u 0, de raison q. Pour tout entier n de N, u n =u 0 q n. Reconnaître la présence d'une suite géométrique Chaque fois qu'on est confronté à une situation du type «une production, une population, un prix augmente de x % tous les ans», on peut définir une suite géométrique de raison 1 x 100. S'il s'agit d'une diminution de x %, on peut définir une suite géométrique de raison 1 x 100. Exemples : La somme de 5 000 est placée sur un compte à intérêts composés. Le taux d'intérêt annuel est 1,3%. On appelle u 0 la somme déposée et u n la somme qui se trouve sur le compte après n années. Déterminer la nature de la suite ( u n ) : Dans un laboratoire de chimie, un stagiaire utilise un liquide dont l'évaporation est importante. A l'origine, il y a 75 cl de liquide dans la bouteille et on considère alors que le liquide perd chaque jour 5% de son volume par évaporation. On note u n la quantité de liquide, exprimée en cl, présente au bout de n jours. Déterminer la nature de la suite ( u n ) : -7-
Limite d'une suite géométrique A l'aide d'un tableur, on observe le comportement des suites géométriques 0,99 n et 1,01 n quand n prend de grandes valeurs. n 0,7 n 0,99 n 1 n 1,01 n 1,2 n 10 0,028248 0,904382 1 1,104622 6,191736 100 3,23.10 16 0,366032 1 2,704814 8,28.10 8 10 3 1,25.10 155 0,000043 1 2,1.10 4 1,52.10 79 10 4 2,25.10 44 1 1,6.10 43 Peut-on trouver n tel que 1,01 n 10 40? Peut-on trouver n tel que 0,99 n 10 40? Que peut-on en déduire des suites 0,99 n et 1,01 n? Théorème : Soit q un nombre réel positif Si 0 q 1, q n =0. Si q = 1, Si q > 1, lim lim lim q n =1. q n =. D'après l'animation GéoGébra (à télécharger sur le blog), on en déduit : Théorème : Soit u une suite géométrique de premier terme u 0 et de raison q n. Si 0 q 1, quelque soit la valeur de u 0, lim u n =0. Si q = 1, lim u n =u 0. Si q > 1 et u 0 0, et u 0 0, lim u n =. u n =. lim Exemples : La suite géométrique de premier terme 2 et de raison 3 a pour limite La suite géométrique de premier terme 2 et de raison 3 a pour limite -8-
3 La suite géométrique de premier terme 8 et de raison a pour limite 5 2 La suite géométrique de premier terme 5 et de raison a pour limite 3 la suite géométrique de premier terme 1,6 et de raison 1 a pour limite Somme de termes consécutifs d'une suite géométrique Un exemple On considère une ligne brisée construite de la manière suivante : le premier segment mesure 1m chaque segment mesure ensuite les trois quart du segment précédent On note S n la longueur du n-ième segment. 1. Déterminer S 0, S 1, S 2. 2. Déterminer S n 1 en fonction de S n. Quelle est la nature de la suite S n? 3. On cherche à déterminer la longueur totale de la ligne brisée. a. Calculer la longueur totale de la ligne brisée formée de 3 segments. b. Comparer ce résultat à 4 1 3 4 3 c. Calculer la longueur totale de la ligne brisée formée de 4 segments. -9-
A quelle formule comparer le résultat obtenu? 4. On note L n la longueur totale de la ligne brisée. a. Déterminer une expression de L n en fonction de n. b. Que peut-on dire de la longueur L n lorsque n tend vers l'infini. Théorème : Si n est un entier naturel et q un réel différent de 1, alors 1 q q 2 q n = 1 qn 1 1 q. Notation : 1 q q 2 q n n se note q i et se lit «somme, pour i variant de 0 à n, des q i». i=0 Exercices : Calculer 1 3 + 9 27 + + 729 Calculer 8 + 16 + 32 + 64 Calculer la somme des 5 premiers termes d'une suite géométrique de premier terme u 0 =3 et de raison q = 5. -10-