Lycée François Arago Perpignan M.P.S.I. 2012-2013 Mécanique Chapitre 2 : Dynamique du point matériel en référentiel galiléen Dans un référentiel d étude donné (dans ce chapitre supposé galiléen), la dynamique relie le mouvement d un système aux causes qui lui ont donné naissance, c est-à-dire aux forces et aux moments des forces qui s exercent sur lui. La mécanique classique repose sur des principes basés sur l expérience, les trois lois de Newton. Ces lois permettent d établir les équations différentielles du mouvement d un système dans un référentiel d étude donné. Ces équations permettent par intégration d obtenir les équations horaires du mouvement en tenant compte des conditions initiales (position et vitesse initiales) puis l équation de la trajectoire. Objectifs : Savoirs : savoir exprimer les différentes forces s exerçant sur un point matériel (force d interaction gravitationnelle, poids d un corps, force d interaction électrostatique, force de Lorentz, force de rappel d un ressort, tension d un fil ou d une tige, réaction du support, poussée d Archimède, forces de frottements fluides) ; savoir définir et identifier les référentiels galiléens ; connaître les énoncés des trois lois de Newton avec leurs conséquences ; connaître les lois de Coulomb et la condition de rupture d un contact. Savoirs faire : savoir poser le cadre d un problème mécanique : choisir et qualifier le système à étudier ; choisir et qualifier le référentiel d étude ; recenser les forces appliquées au système et les projeter dans une base adaptée à l étude du mouvement. savoir mettre en œuvre le Principe Fondamental de la Dynamique en référentiel galiléen pour obtenir l équation différentielle du mouvement du système ; savoir traduire l équilibre du système en référentiel galiléen ; en particulier, savoir : poser et résoudre le problème du mouvement d un point matériel dans le champ de pesanteur terrestre uniforme sans résistance de l air puis avec résistance de l air ; savoir poser et de résoudre le problème du mouvement d une masse accrochée à un ressort dont l autre extrémité est fixe ; savoir poser et de résoudre le problème du mouvement d une masse suspendue à un fil ou à une tige dont l autre extrémité est fixe. S. Bénet 1
1 Éléments cinétiques d un point matériel 1.1 Masse d un point matériel Pour un système assimilé à un point matériel, la propriété d inertie, i.e. sa capacité à résister à toute modification de son mouvement, est représentée par un scalaire positif que l on appelle la masse (inertielle ou inerte). Plus sa masse est importante, plus il est difficile de modifier son mouvement. La masse d un système assimilé à un point matériel est invariante dans le temps et ne dépend pas du référentiel d étude. C est une caractéristique intrinsèque du système et s exprime en kilogrammes. Remarque : identité de la masse gravitationnelle et de la masse inertielle. L expression de la force gravitationnelle fait intervenir des masses dites «gravitationnelles». Pour une particule plongée dans le seul champ de pesanteur G on a : F = m g G Le principe fondamental de la dynamique fait également intervenir des masses dites «inertielles» : F = m i a m g traduit la capacité «d attraction» et m i traduit la difficulté de la mise en mouvement. A priori m i m g et la comparaison des deux expressions conduit à : a = m g m i G L expérience montre avec une très grande précision que a = G, c est-à-dire que le mouvement ne dépend que du champ dans lequel se trouve le projectile, et pas de la nature de celui-ci. Par conséquent le rapport m g m i est une constante universelle et, avec un choix convenable d unités (par exemple le S.I.), cette constante vaut 1 : m i = m g = m. Il y a donc identité de la masse gravitationnelle et de la masse inertielle, propriété fondamentale de la nature qui a pu être vérifiée avec une précision de 10 11 (expériences de R. Dycke). 1.2 Quantité de mouvement d un point matériel La quantité de mouvement d un point matériel M de masse m dans le référentiel d étude R est définie par :......................................... Elle dépend du référentiel d étude dans lequel on travaille et caractérise la façon dont le système se translate. 1.3 Moment cinétique d un point matériel c.f. Mécanique II 2 Interactions, forces exercées sur un point matériel 2.1 Interactions fondamentales Depuis l antiquité l homme essaie de comprendre les interactions qui interviennent entre les différents objets dans la nature et de les regrouper en familles. Actuellement, on distingue 4 interactions fondamentales. 2.1.1 L interaction électromagnétique Cette interaction est décrite par les équations de Maxwell (1870) qui sont complétées par la théorie quantique pour l étude des phénomènes à l échelle atomique. Il s agit de l interaction entre des particules chargées électriquement. S. Bénet 2/11
Ici q 1 et q 2 sont de signe opposé M 1 q 1 F 2 1 r u 1 2 M 2 q 2 F 1 2 La loi de Coulomb traduit l interaction entre deux particules chargées immobiles. D après le principe des actions réciproques, on a F 1 2 + F 2 1 = 0 La force d interaction électrostatique qu exerce la particule M 1 chargée q 1 sur la particule M 2 chargée q 2 s écrit : F 1 2 = 1 q 1 q 2 4 π ǫ 0 r 2 u 1 2 M 1 M 2 u 1 2 = M 1 M 2 = M 1 M 2 r avec 1 = 9 10 9 S.I. 4 π ǫ 0 ǫ 0 étant la permittivité diélectrique du vide Les sens des forces dépendent des signes respectifs des charges. Exemple : ordre de grandeur de l interaction électrostatique exercée par un proton sur un électron séparés de 1 Å......................................... 2.1.2 L interaction gravitationnelle Cette interaction est décrite, en mécanique classique, par les lois de Newton et concerne tous les corps, chargés ou non du moment qu ils ont une masse non nulle. M 2 D après le principe des actions réciproques, on a F 1 2 + F 2 1 = 0 r F 2 1 F 1 2 m 2 La force d interaction gravitationnelle qu exerce la particule M 1 de masse m 1 sur la particule M 2 de masse m 2 s écrit : M 1 M 2 F 1 2 = G m 1 m u 1 2 = 2 M r 2 u 1 2 avec 1 M 2 = M 1 M 2 r G = 6, 67 10 11 N m 2 kg 2 G étant la constante de gravitation universelle M 1 m 1 u 1 2 m 1 > 0, m 2 > 0, le signe indique que l interaction gravitationnelle est toujours attractive. Exemple : ordre de grandeur de l interaction gravitationnelle exercée par un proton sur un électron séparés de 1 Å........................................ Effectuons le rapport................ Pour des particules chargées, l interaction gravitationnelle est très largement négligeable devant l interaction électromagnétique. Par contre, à l échelle planétaire et au-delà, la matière étant globalement neutre, les forces de gravitation deviennent prépondérantes. 2.1.3 L interaction forte Elle est responsable de la cohésion des protons et des neutrons à l intérieur des noyaux atomiques. Sa portée est d environ 10 15 m (dimension du noyau) ce qui est très court. S. Bénet 3/11
F forte On a 100 F électrostatique 2.1.4 L interaction faible Cette interaction se manifeste en particulier dans la radioactivité de type β. Sa portée est de l ordre de 10 17 m (dimension du nucléon). On a : F < F faible F et faible électrostatique 10 5 F La théorie de l interaction faible ne date que de 1970. 2.1.5 Conclusion forte Actuellement les scientifiques tentent d unifier ces quatre interactions, c est-à-dire à exprimer une loi mathématique générale, valable pour toutes les interactions. C est chose faite pour les interactions électromagnétique et faible (on parle d interaction électrofaible). Celle qui pose le plus de problème est l interaction gravitationnelle car on ne connaît toujours pas le «porteur» de cette interaction («graviton»?). 2.2 Forces usuelles en mécanique En mécanique classique, les interactions peuvent être décrites par des vecteurs appelés forces (caractérisées par leur point d application, leur direction, leur sens et leur intensité). Elles ne dépendent pas du référentiel d étude (contrairement aux forces d inertie, cf. Mécanique II). 2.2.1 Force d interaction gravitationnelle. Poids d un coprs Soient deux points matériels M 1 et M 2 de masses respectives m 1 et m 2 séparés de r = M 1 M 2, la force d interaction gravitationnelle qu exerce M 1 sur M 2 s écrit : Le poids d un point matériel M s identifie à la force d interaction gravitationnelle exercée par l astre à proximité duquel le point matériel M se trouve. Pour un point matériel M de masse m situé à l altitude z par rapport à la surface de la Terre de masse M T = 6, 0 10 24 kg et de rayon R T = 6, 4 km, on a Le poids d un corps sera défini plus précisément en Mécanique II. S. Bénet 4/11
2.2.2 Force d interaction électrostatique. Force de Lorentz.......................................................................................................................................... 2.2.3 Force de rappel d un ressort...................................................................................................................................................................................................................................................... 2.2.4 Tension d un fil ou d une tige...................................................................................................................................................................................................................................................... S. Bénet 5/11
2.2.5 Réaction du support...................................................................................................................................................................................................................................................... 2.2.6 Actions exercées par un fluide (poussée d Archimède, force de frottements fluides) On peut considérer trois types d actions que peut exercer un fluide sur un corps solide. Poussée d Archimède La poussée d Archimède correspond à la résultante des forces de pression (cf. Chapitre 2 de Thermodynamique). g Elle s applique au centre de gravité du fluide déplacé C (centre de poussée) et est égale à l opposé du poids du volume de fluide déplacé :.................................................................... air eau G F A = m fluide g C Remarque : si la masse volumique du corps est grande devant celle du fluide, la poussée d Archimède est négligeable devant le poids du corps. Sauf indication contraire, on la négligera ici. P = m g La force Magnus On suppose ici que le solide est en translation, donc qu il n y a pas rotation du corps. Dans le cas contraire il faut tenir compte de la force de Magnus (c est elle qui explique les deux effets sur une balle de tennis : le lift et le slice selon qu on brosse la balle de bas en haut ou de haut en bas). Action des forces de frottement d un fluide Les deux composantes de la force de frottement fluide s appellent : * la trainée, traduisant les frottements ; * la portance, dont on ne tient pas compte cette année. Suivant la vitesse du solide en translation dans un fluide, celui-ci subit une force de frottement fluide ayant pour expression : R F P Fluide v = v T................................................................................................................... f = F T S Solide à grande vitesse f = β v v ; S. Bénet 6/11
3 Les lois de Newton 3.1 Première loi de Newton. Principe d inertie Définition d un point matériel isolé...................................................................... Énoncé de la 1 ère loi de Newton ou Principe d inertie...................................................................... Définition d un référentiel galiléen...................................................................... On constate une différence essentielle apportée par la dynamique vis-à-vis de la cinématique : les référentiels ne jouent plus tous le même rôle. 3.2 A la recherche d un référentiel galiléen 3.2.1 Mise en évidence expérimentale du caratère galiléen d un référentiel D un point de vue pratique, il n existe pas de système isolé. Pour vérifier expérimentalement si un référentiel est galiléen, on considère un système pseudo-isolé. Un système pseudo-isolé est un système pour lequel les actions mécaniques subies se compensent exactement Fi = 0 i Si dans le référentiel d étude, le système pseudo-isolé est au repos ou a un mouvement rectiligne et uniforme alors le référentiel d étude est galiléen. 3.2.2 Le référentiel de Copernic R C A l échelle des expériences humaines, le référentiel de Copernic R C est considéré comme la meilleure approximation de référentiel galiléen. Par définition, le repère associé au référentiel de Copernic R C a pour origine le centre de masse du système solaire G et ses axes pointent vers des étoiles «fixes» (très éloignées du système solaire). Un référentiel aux propriétés très proches du référentiel de Copernic R C est le référentiel «héliocentrique» ou de Kepler R K. Le repère associé au référentiel de Kepler R K a pour origine le centre de masse du système solaire G et ses axes pointent vers des étoiles «fixes» (très éloignées du système solaire). Très souvent, à notre échelle, on confond ces deux référentiels. (R C ) G (S) On montrera (c.f. Mécanique II) qu il existe une infinité de référentiels galiléens, tous animés par rapport au référentiel de Copernic R C d un mouvement de translation rectiligne uniforme. S. Bénet 7/11
3.2.3 Le référentiel géocentrique R O Par définition, le repère associé au référentiel géocentrique R O a pour origine le centre de masse de la Terre O et ses axes (Ox O ), (Oy O ) et (Oz O ) sont parallèles à ceux du référentiel de Copernic R C. Sur une année (365,25 jours), le référentiel géocentrique R O a un mouvement de translation elliptique par rapport au référentiel de Copernic R C : le référentiel géocentrique R O n est pas un référentiel galiléen! Mais, pour l étude de phénomènes dont la durée (quelques jours) est négligeable devant la période de révolution de la Terre autour du Soleil (365,25 jours), on pourra considérer que le référentiel géocentrique R O est pratiquement en translation rectiligne uniforme par rapport au référentiel de Copernic R C donc galiléen. x C (R C ) G (S) x O z O (R O ) Sauf indications contraires, on considérera le référentiel géocentrique R O comme un référentiel galiléen. z C O S 23 N étoile polaire y O y C 3.2.4 Le référentiel terrestre R T Puisque nous y habitons, la grande majorité des expériences humaines se font sur Terre. y(nord) z(vertical) On définit le référentiel terrestre (ou référentiel du laboratoire) R T comme tout référentiel lié au sol. Son origine est donc un point de la Terre A et ses axes (Ax), (Ay) et (Az) ont des directions fixes par rapport à la Terre. Comme la Terre tourne autour de l axe des pôles (rotation de la Terre autour de son axe) tout en ayant un mouvement de translation elliptique dans le référentiel de Copernic R C (révolution de la Terre autour du Soleil), le référentiel terrestre R T n est pas galiléen! Mais, pour des expériences TERRE ω T A λ équateur méridien x(est) - de durée (quelques minutes) négligeable devant la durée de révolution de la Terre autour de l axe des pôles (24h) - «proches» de la Terre et effectuées sur de «faibles» distances ou bien pour des expériences ne demandant pas une très grande précision on pourra considérer que le référentiel terrestre R T est pratiquement en translation rectiligne uniforme par rapport au référentiel de Copernic R C donc galiléen. Sauf indications contraires, on considérera le référentiel terrestre R T comme un référentiel galiléen. 3.3 Deuxième loi de Newton. Principe fondamental de la dynamique Énoncé de la 2 ème loi de Newton ou Principe fondamental de la dynamique............................................................................................................................................ Remarques : S. Bénet 8/11
( d ) p (M)/R Cette relation lie un terme cinétique à un terme dynamique Fi. Elle permet dt /R i soit de déterminer la résultante des forces agissant sur le point matériel M lorsque la nature du mouvement du point matériel M est connue soit de déterminer l équation différentielle régissant le mouvement du point matériel M lorsque la résultante des forces agissant sur le point matériel M est connue. Nous verrons plus tard que pour un système constitué de plusieurs points matériels, ce sont uniquement les forces extérieures qui interviennent. Ici la question ne se pose pas car le système est un point matériel. Condition d équilibre d un point matériel...................................................................... 3.4 Troisième loi de Newton. Principe des actions réciproques Énoncé de la 3 ème loi de Newton ou Principe des actions réciproques............................................................................................................................................................................................................................ 4 Étude de quelques mouvements simples 4.1 Comment démarrer un problème de mécanique? Toujours commencer, dans l ordre, par : Recopier le schéma de l énoncé pour y faire apparaître les données du problème Définir le système S, assimilé à un point matériel de masse m Choisir un référentiel d étude R en précisant bien le caractère galiléen ou non de R Choisir la base de projection adaptée au problème. Cette base doit faciliter la description du mouvement, il faut donc considérer la nature du mouvement ou le point de vue «naturel» du problème. On choisira : une base cartésienne pour un mouvement rectiligne ou balistique une base polaire pour un mouvement circulaire une base cylindrique pour un mouvement qui privilégie un axe Faire un bilan complet des forces qui s exercent sur S : forces d interactions à distances et forces de contact, «vraies forces» si le référentiel est non galiléen, ajouter les forces d inertie d entraînement et de Coriolis (tant qu on travaille en référentiel galiléen, le problème ne se pose pas) identifier les caractéristiques connues (sens, norme, direction) de ces forces puis exprimer ces forces dans la base choisie 4.2 Lancement d un projectile soumis à la seule force de pesanteur c.f. Cours mécanique n 1 S. Bénet 9/11
4.3 Lancement d un projectile soumis à la force de pesanteur et à une force de frottement fluide Un trièdre orthonormé (O, e x, e y, e z ) est lié au sol, l axe (Oz) étant dirigé selon la verticale ascendante. z Le champ de pesanteur terrestre, supposé uniforme, est noté g = g e z avec g = g. g A l instant t = 0, un projectile ponctuel de masse m est lancé du point O avec une vitesse initiale v 0. Ce vecteur v 0 est situé dans le plan (O, e x, e z ) et fait un angle α avec l horizontale. Ce projectile est soumis à son poids et à une force de frottement fluide exercée par l air atmosphérique f = K v (M) R. O v0 α x La constante K de frottement fluide est positive, de valeur 0, 1 N s m 1. On pose τ = m K homogène à un temps. Données numériques : m = 1 kg ; v 0 = 100 m s 1 ; g = 10 m s 2. 1. Appliquer le Principe Fondamental de la Dynamique. En déduire les équations différentielles vérifiées par les composantes v x, v y et v z du vecteur vitesse v (M) R du projectile. 2. Déterminer les composantes v x, v y et v z du vecteur vitesse v (M) R du projectile, à l instant t. Montrer que ce vecteur tend vers une vitesse limite que l on précisera. 3. Déterminer les coordonnées x, y et z du projectile à l instant t. 4. Déterminer le temps nécessaire t m pour que le projectile atteigne son altitude maximale z m. Représenter l allure de la trajectoire du projectile. Calculer t m et z m lorsque α = 30 o. 4.4 Étude du mouvement d un palet sur un plan incliné en l absence de frtottement On considère un plan incliné d un angle α = 20 par rapport à l horizontale. Un palet assimilé à un point matériel M de masse m est lancé depuis le bas vers le haut avec une vitesse v 0. On suppose que le contact entre le palet et le plan incliné se fait sans frottements. 1. Appliquer le Principe Fondamental de la Dynamique et le projeter. 2. Établir l équation horaire du mouvement du palet. 3. Déterminer l instant auquel le palet s arrête, la distance qu il aura parcourue puis la hauteur maximale dont il se sera élèvé. 4.5 Étude du mouvement d une masse liée à un ressort vertical Soit un point matériel M de masse m attaché à un ressort vertical de raideur k et de longueur à vide l 0. Le point matériel M se trouve à l équilibre en O, que l on choisit comme origine de l axe vertical descendant (Ox). Initialement, on déplace le point matériel M de x 0 par rapport à sa position d équilibre et on le lâche sans vitesse initiale. 1. Appliquer le Principe Fondamental de la Dynamique et le projeter. l 0 l 1 O l ( t) 2. Exprimer l allongement x(t) du ressort. Equilibre x(t) x S. Bénet 10/11
4.6 Étude du mouvement d un palet sur un plan horizontal en présence de frottement Un palet assimilé à un point matériel M de masse m est lancé avec une vitesse v 0 sur un plan horizontal. On suppose qu il existe une force de frottements solides entre le palet et le plan. 1. Appliquer le Principe Fondamental de la Dynamique et le projeter. 2. Établir l équation horaire du mouvement du palet. 3. Déterminer l instant auquel le palet s arrête et la distance qu il aura parcourue. 4.7 Étude du mouvement d un pendule simple Un petit anneau, assimilé à un point matériel M de masse m, est astreint à coulisser sans frottement le long d une tige circulaire de centre O et de rayon R, située dans le plan vertical (Oxy). La position de M sera repérée par l angle θ entre (Ox) et OM. A la date t = 0, on lâche M sans vitesse initiale d un angle θ 0. 1. Appliquer le Principe Fondamental de la Dynamique et le projeter. 2. Détermination de la norme de la réaction de la tige circulaire. 2.1. Établir une expression de θ 2 en fonction de θ, en intégrant l une des projections. 2.2. En déduire l expression de la réaction du support en fonction de θ et des données du problème. 2.3. A quel instant du mouvement la norme de cette réaction est-elle maximale? 3. On suppose que l angle θ reste petit au cours du muvement. 3.1. Établir l équation différentielle vérifiée par θ. 3.2. Donner l expression de θ(t). S. Bénet 11/11