Chute libre dans un champ de pesanteur uniforme

CHAPITRE Chute libre dans un champ de pesanteur uniforme r Manuel paes 5 à Choi pédaoiques Le choi a été fait de rerouper non pas l étude des chutes verticales (avec ou sans frottement) mais les chutes libres (avec ou sans vitesse initiale) Ainsi, dans ce chapitre, après les définitions de la chute libre et du champ de pesanteur uniforme, la modélisation commune à toute chute libre conduit au équations différentielles Leur résolution fait alors intervenir les conditions initiales et différencie les mouvements avec ou sans vitesse initiale Les activités proposées permettent d introduire les conditions de «chute libre» Une étude epérimentale est réalisée pour une chute verticale Une autre étude est faite à partir d une photoraphie stroboscopique d une chute avec vitesse initiale Des deu travau pratiques qui suivent, le premier, classique, étudie un enreistrement vidéo d une chute parabolique d une balle, le deuième utilise la simulation (avec le loiciel Interactive phsics) pour aborder une situation plus difficile où le lanceur est lui-même en mouvement Découvrir et réfléchir Activité documentaire Réponses au questions a Dans cette phrase, il faut comprendre que tous les corps tomberaient à la même vitesse ; leur vitesse n est pas constante, elle aumente avec la hauteur de chute b Les forces dues au fluide sont la force de frottement et la poussée d Archimède L hpothèse formulée est que, dans le vide, des corps de masses différentes ont même mouvement de chute a Newton réalise l epérience dans un tube vidé de son air et avec des objets de masses et de formes différentes b vide air L absence d atmosphère sur la Lune a permis à David Scott de réaliser la chute des deu objets dans le vide comme dans le tube de Newton Activité epérimentale Commentaire Il s ait d introduire les conditions d étude d une chute «libre» : chute d un objet de forme aérodnamique d une hauteur d environ m dans l air (et non plus dans un liquide comme dans le chapitre 9) Réponses au questions L observation de l enreistrement vidéo montre que les deu billes ont même mouvement de chute : même altitude à chaque date Leurs masses étant différentes, on conclut que la masse n influe pas sur le mouvement Les représentations raphiques v (t) donnent des droites identiques pour les deu billes Par définition, le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps, soit suivant l ae vertical orienté vers le bas : a (t) =, seule coordonnée du vecteur accélération Le coefficient directeur de v(t) est donc éal à a Chute libre dans un champ de pesanteur uniforme 69

Activité documentaire Commentaires Cette étude d une chute avec vitesse initiale à partir d une chronophotoraphie donne l occasion d epliquer son obtention en éclairae stroboscopique Deu méthodes d eploitation sont envisaeables La détermination des coordonnées du centre d inertie de la balle à partir du relevé sur papier-calque doit être réalisée avec soin Le calcul des vitesses peut être ensuite réalisé à l aide d un tableur, ce qui permet de bien assimiler la méthode de calcul L étude à l aide d un loiciel de pointae puis de traitement de données est plus rapide mais suppose une bonne compréhension de la méthode de calcul de la vitesse Réponses au questions Suivant l ae horiontal : a les coordonnées G (t) sont rassemblées dans le tableau ci-dessous ; b on constate que la coordonnée v (t) de la vitesse est pratiquement constante (voir raphique ci-dessous) : v (t) =,9 m s (Sur le papier-calque, les projections du centre d inertie de la balle sur l ae horiontal sont à intervalles réuliers) Suivant l ae vertical orienté vers le bas : a les coordonnées G (t) sont rassemblées dans le tableau ci-dessous ; b la représentation raphique v (t) peut être modélisée par une droite (voir raphique ci-dessous) : v (t) = 9,5 t +,76 (m s ) t (ms) (m) (m),,, 7,5,8, 55,,6,6 8,5,,9,,, 7,,,9 65,,8,5 9,,56,,,6,9 7,,7,7 75,,79,56,,87,66,,95,76 57,,,87 85,,,99,,9, v (en m s ) v (t) v (t) t (en ms) 5 5 5 5 5 a Par définition, a (t) = et a (t) = Soit a (t) = et a (t) = 9,5 m s b Le vecteur accélération est vertical, orienté vers le bas et de valeur 9,5 m s Appliquer et réfléchir TP Commentaire L eploitation qui suit a été réalisée à partir d une vidéo disponible sur le site companon du manuel wwwnathanfr/siriuslcee Données : masse de la balle : m = 5,8 ; diamètre de la balle d =,6 cm ; durée entre deu imaes : t = /5 s ; échelles :, m pour la lonueur totale d une rèle Le pointae est effectué à partir de la première imae qui montre la balle libérée de l action de la main du lanceur L ae ( ) est horiontal et orienté vers la droite et l ae ( ) est vertical et orienté vers le haut Réponses au questions a b et c Voir raphiques ci-dessous Les valeurs v (t) sont pratiquement éales ; le mouvement est uniforme selon l ae horiontal Les points représentatifs de v (t) sont alinés : le mouvement est uniformément varié selon cet ae d v (t) peut être modélisée par une droite d équation : v (t) =v =, m s v(t) peut être modélisée par une droite : v (t) =a t + v = 9,8t +, donc v =, m s e v = v =,5 m + v =, +, s v tan α = d où α = 69 v v et v (en m s ) 5 7 v (t) t (en ms) v (t) 7

a Par définition : ak G (t) = b a (t) = et a (t) = 9,8 m s c Le loiciel permet d obtenir a (t) en dérivant v (t), a (t) en dérivant v (t) et d afficher a (t) et a (t) Dans les deu cas, on obtient des points dispersés autour d une valeur constante : a (t) et a (t) La méthode utilisant deu dérivations successives apporte trop d erreurs pour être utilisée d L hpothèse de la chute libre est validée si ak G = k Dans cette chute, le vecteur accélération est bien vertical et orienté vers le bas comme k La valeur de l accélération est sensiblement éale à n peut valider l hpothèse de chute libre a n établit les équations horaires du mouvement (cf cours ) en tenant compte des conditions initiales v (t) =v cosα ; v (t) = t + v sinα ; v (t) = (t) =v (cosα) t ; (t) = t + v (sinα) t ; (t) = L équation de la trajectoire est obtenue en éliminant la date t dans l epression de : () = +(tan α) v cos α b (en m),,9,8,7,6,5,,,, (en m),,,6,8,,, b La modélisation conduit au résultat suivant : () = A + B =, +,6 +,98 c De la valeur de B = tan α, on déduit α =7 De la valeur de A =, on déduit v =,8 m s v cosα Les valeurs sont en accord avec celles trouvées précédemment TP Commentaire : La simulation permet d eplorer une situation délicate : l étude du mouvement du ballon lancé par la mnaste, elle-même en mouvement Afin de provoquer la réfleion des élèves, les coordonnées du vecteur vitesse du ballon au cours de son déplacement sont masquées à l ouverture du fichier Pour faire apparaître la fenêtre, réaliser les actions suivantes : un clic de souris à droite de la fenêtre «position du ballon» ouvre une fenêtre (voir ci-après ; cocher devant «montrer» Réponses au questions Dans le repère ( ; ik, jk ), à l instant de date t = s, les coordonnées du vecteur vitesse du ballon sont : v = v et v = v a Par intérations successives : v (t) =v et v (t) = t + v (t) = v t + et (t) = t + v t + ( () = ) v + ( )+ v v b Schéma de la trajectoire parabolique avec un vecteur vitesse initial : cf cours fiure 6 pae a Au sommet de la trajectoire, v = v et v = donc v = v v b Au sommet F : v (t F )= t F + v =, donc t F = En reportant dans l epression de (t), on obtient : F = v v v + v + = + Le calcul avec = 9,8 m s donne F =,5 m Le ballon est rattrapé à la date t P telle que : P = = t + v t + = t + v t = d où t P = v t t + v =, s 5 La distance parcourue par le ballon est : vv P = v t P = =,9 m La simulation permet la vérification de ces valeurs 6 La distance parcourue par la mnaste en mouvement rectiline uniforme est la même : vv P = v t P = =,9 m 7 La mnaste rattrape le ballon à condition de se déplacer à vitesse constante Pour aumenter le temps de vol, elle doit donner une valeur plus rande à v (pas trop, pour éviter les lustres!) 8 a Dans le référentiel de la mnaste, le ballon a une trajectoire rectiline b La simulation confirme et montre le ballon constamment à la verticale de la main de la mnaste REMARQUE : Lorsque le ballon touche un lustre d éclairae, le mouvement est perturbé et la mnase ne rattrape pas le ballon En effet, la méthode de calcul itératif permet le tracé ultérieur, avec ces nouvelles conditions initiales (les hpothèses du choc sont placées au préalable dans le proramme) Chute libre dans un champ de pesanteur uniforme 7

Eercices Eercices d application a Poids : P lièe = πr µ lièe = π(, ) 9,8 = 9,8 N; P plomb = πr µ plomb =,6 N Poussée d Archimède : Π = πr µ air = π(, ), 9,8 = 5, 5 N b Π P lièe et Π P plomb : la poussée est nélieable devant le poids dans les deu cas 5 a Pour la bille d acier : P = = 6 ; Π 7 6 P = = f Pour la balle : P = = 7 ; Π P = = f 5 b La bille d acier est en chute libre car les forces dues à l air sont nélieables devant le poids : la bille tombe sous l effet de son poids La balle n est pas en chute libre car la force de frottement n est pas nélieable devant le poids MM 6 a α = = =,57 rad=,898 ; on RT 6 8 peut considérer que les verticales sont parallèles et donc que le champ de pesanteur est pratiquement identique en deu points de la surface terrestre distants de km h b = = = 9, =,9 %, variation RT 6 8 inférieure à % c Le champ de pesanteur est uniforme dans un domaine de km sur km au niveau du sol et sur une hauteur de km 7 a Sstème : la bille Le poids Pk = mk est la seule force qui s eerce sur elle Application de la deuième loi de Newton et simplification par mak G = k Par définition, ak G = ; les équations différentielles du mouvement du centre d inertie de la bille sont donc : d =; d v d =; d v t t d t = v (t )=; v (t )=; v (t )= (t )=; (t )=; (t ) = Par intérations successives, on obtient les équations horaires : v (t) =; v (t) =; v (t) =t (t) =; (t) = ; (t) = t b De l epression de (t), on tire : t = La durée de la chute correspond à =, m : t = =,6 s c v = v (t )= t = 6, m s 6, v (en ms ),6 t (en s) 8 a Sstème : la pierre ; application de la deuième loi de Newton et simplification par m : ak G = k ; ak G = d où l équation différentielle : = v (t )= et (t )= Par intération : v (t) =t et (t) = t n en déduit : v () = Pour = m ; v = = m s b Énerie cinétique : c = mv =, = J c Variation d énerie potentielle de pesanteur : pp = m =, 9,8 = J (sine, diminution d énerie potentielle) Pour une chute libre (cours de re S) : c = pp =J; c = c c et c = donc c = J 9 Corrié dans le manuel a Dans l hpothèse d une chute libre : (t) = t La profondeur du puits est donnée par : = t = 9,8, = m b = t = 78 m (et non m!) a La chute est verticale, le seul ae choisi pour repérer les positions est vertical ; il est dirié vers le bas car les valeurs de sont positives i+ i b v (t i )= ; ti+ ti,8,5 v (,) = =, m s,,6 c La représentation de v (t) donne une droite passant par l oriine : v (t) =αt 7

v (en m s ) t (en s),,8,,6,,,8, d Dans l hpothèse d une chute libre : v = t (cf eercice 7) Le coefficient directeur de la droite est :, α = = 9,8 m s, v (t) = 9,8 t = t La chute peut être considérée comme libre ; ak G = k Corrié dans le manuel Corrié dans le manuel a La rèle est placée dans le plan de la trajectoire La caméra est placée perpendiculairement au plan de la trajectoire b Les vecteurs vitesse sont tanents à la trajectoire au point considéré Échelle de représentation : cm m s Vitesse au point G : GG v = =,8 m s τ e soit,8 cm sur le document Vitesse au point G : GG v = 5 =, m s τ e soit, cm sur le document Le vecteur accélération au point G est donné par : v v v ak = = τ e τ e Graphiquement, on obtient : v =,8 m s,8 Et a = = m s Si l échelle de représentation est cm 5 m s, le vecteur ak mesure cm c a v G G a G 5 v 6 Corrié dans le manuel échelle : m Eercices de snthèse 7 a Sstème : le «poids» ; t = s (cf cours ) v (t ) = v cosα ; v (t )=; v (t ) = v sinα k j (t )=; (t )=; (t )=h Par intérations successives : (t) =v (cosα) t ; (t) =; (t) = t + v (sinα) t + h i (t) =, le mouvement s effectue dans le plan ( ; ik, k ) L équation de la trajectoire s obtient en éliminant la date t : ()= + v (sinα) v v cosα cosα + h = + (tanα) + h v cosα b À l arrivée au sol : ==,6 +, +, Équation du second deré dont les solutions sont : =,5 m et = m Le point B correspond à : B = m c c B = c A + W AB (Pk) = m v A + m (A B ) = m v A + m h ; c B = 8,5 J La valeur de sa vitesse en B est : c B v B = = 5 m s m d La valeur de la masse n intervient pas dans la valeur de B Avec m = 5, k, la performance est identique si la valeur de la vitesse initiale est identique 8 a Sstème : le projectile (cf cours ) v (t ) = v ; v (t )=; v (t ) = k j (t )=; (t )=; (t )= i v (t) =v ; v (t) =; v (t) = t (t) = v t ; (t) = ; (t) = t + De même, pour le projectile v (t )=; v (t )=; v (t )=v (t )= ; (t )=; (t ) = v (t) =; v (t) =; v (t) = t + v (t) = ; (t) = ; (t) = t + v t + b Durée de chute : date pour laquelle = Projectile : (t )= t + =; Chute libre dans un champ de pesanteur uniforme 7

t = =, =,6 s 9,8 À cette date : v (t ) = ; v (t )= t = 6, m s ; v = v( t )+ v( t ) = m s Projectile : (t )= t + v t + =; t =, s (on élimine la racine néative) À cette date : v (t )= t + v = m s ; v = m s Les deu projectiles ont la même vitesse à l arrivée au sol 9 a Sstème : la balle (cf cours ) v (t ) = v ; v (t ) = ; v (t )= (t )=; (t )=; (t ) = H (t) =v t ; (t) = t + H k j () = + H i v AN : (,) =,76 m,9 m, la balle ne passe pas au-dessus du filet b De () = + H, on déduit v = v ( H ) Avec (,) =, m, v =,7 m s Lorsque la balle arrive au sol : == + H soit = Hv = 5,5 m, v et la balle touche le sol à : 5,5 =,5 m du filet a Sstème : une outte d eau (cf cours ) v (t ) = v cosα ; v (t )=; v (t ) = v sinα (t )=; (t )=; (t )= v (t) =v cosα ; v (t) = t + v sinα (t) =v (cosα) t ; (t) = t + v (sinα) t Et () = + (tanα) v cosα b n cherche S, S étant le sommet de la trajectoire n a alors : d = (ou v (t) = t + v sinα =; cf cours D) d d S v sinα cosα = + (tanα) = soit S = ( v cos ) d α En reportant dans l équation de la trajectoire : v ( sinα) S ( S )= AN : S ( S )=h =, m c Soit P le point tel que : v P =, P = S = sinα cosα v sinα = ; P = 8,8 m v d P = sinα est maimal si sinα = soit α =5 v Alors P = ; P = m a re phase : t, s : le parachute est fermé ; v(t) = a t, le mouvement est uniformément accéléré e phase : t, s, le parachute a été ouvert, les forces dues à l air sont à prendre en compte ; la vitesse diminue et tend vers une limite b re phase : t, s : a (t) = ; la valeur de l accélération est éale au coefficient directeur de la droite v(t) : a = m s Le mouvement s effectue selon la verticale ; le vecteur accélération est vertical, dirié vers le bas : ak k La chute est une chute libre au sens du phsicien, elle s effectue sous l effet du poids seul c a (t) = = ; v (t) =t avec v (t )=; (t) = t avec (t )=; (, s) = m L altitude lors de l ouverture est 5 = 6 m d La vitesse atteinte à la date t =,5 s est inférieure à la vitesse limite atteinte lorsque le parachute est ouvert La vitesse va aumenter jusqu à cette valeur puis rester constante a Sstème : le ballon (cf cours ) v (t ) = v cosα ; v (t )=; v (t ) = v sinα (t )=; (t )=; (t )=H v (t) =v cosα ; v (t) = t + v sinα (t) =v (cosα) t ; (t) = t + v (sinα) t + H Et () = + (tanα) + H v cosα (,) =,8 m h + r =,5 m : la balle passe au-dessus du filet n cherche P, l abscisse du point P d arrivée au sol : P == + (tanα) + H v cosα Les solutions de l équation,5 +,6 += sont : = 5, 9 m et =, m La valeur cherchée est positive, donc : P = m D + D = m ; le service est bon b Le joueur est situé à l abscisse m n cherche () = + (tanα) + H ; v cosα () =, m La main du joueur doit se situer à l altitude de, m En tenant compte du raon du ballon :, m 7

a Le référentiel du bateau est considéré aliléen car le mouvement du bateau est rectiline uniforme par rapport à la Terre b Sstème : la boule ; a (t) = v (t )=; v (t )= (t )=; (t )= D où (t) =; (t) = t h c Durée de la chute : t = =,7 s Abscisse du point de chute : = ; la boule tombe au pied du mât dans le référentiel du bateau a v (t )=v ; v (t )= (t )=; (t )= b (t) =v t ; (t) = t () = v c La durée de la chute est toujours donnée par : h t = =,7 s La boule tombe à l abscisse = v t Pendant cette durée, le bateau a parcouru la même distance = v t et la boule tombe au pied du mât a Salviati défend les idées de Galilée, Simplicio pense que la boule ne tombe pas au pied du mât si le bateau est en mouvement Il ne tient pas compte de la vitesse initiale de la boule b Salviati ne peut pas savoir si le navire est en mouvement rectiline uniforme ou au repos puisque la boule tombe dans les deu cas au pied du mât c Les aersaires des théories de Galilée pensent que si la Terre est en mouvement, on devrait s en apercevoir Galilée montre que, dans cet eemple, on ne perçoit pas le mouvement du navire d Si le mouvement du navire est rectiline uniformément accéléré, la distance parcourue par le bateau pendant la durée de la chute ne sera pas éale à la distance parcourue par la boule suivant l ae horiontal : le boulet tombera en arrière du mât a Sstème : la balle v B (t )=v cosα ; v B (t )=v sinα B (t )=; B (t )= v B (t) =v cosα ; v B (t) = t + v sinα B (t) =v (cosα) t ; B (t) = t + v (sinα) t b Sstème : le sine v S (t )=; v S (t )= S (t )= ; S (t )= v S (t) =; v S (t) = t S (t) = ; S (t) = t + c Le sine (noté S) attrape la balle (notée B) si à une date t : B (t ) = (t ) et B (t )= S (t ) soit = v (cosα) t soit t = v cosα et : t + v (sinα) t = t + soit t = v sinα Des deu epressions de t, on déduit que : tanα = Cette condition est réalisée et le sine attrape la balle Cependant, il a aussi une condition sur la valeur de la vitesse initiale Il faut que l ordonnée du point de rencontre soit positive, ce qui s eprime par eemple par : S (t )= t + avec t = v cosα Il vient v avec cosα =, soit : cos α + ( v + ) Il eiste donc une valeur minimale pour v AN : v = 7, m s Pour aller plus loin 5 a L équation de la trajectoire est (cf eercice ) : () = + (tanα) v cosα b n remplace par + tan α : cos α () = ( + tan α) + (tanα) v n obtient : tan α + (tanα) = v v En notant X = tan α, on obtient une équation du second deré ax + bx + c = avec : a = ; b = ; c = v v Les solutions de cette équation donnent tan α pour le couple de valeurs ( ; ; ) imposé AN :, X + X 9= Les solutions sont : X =,9 et X = 5,6 Soit : α =5 (tir tendu) et α =8 (tir en cloche) c Un point M( ; ; ) est atteint par le projectile si et seulement si l équation du second deré établie à la question b admet des solutions (une ou plusieurs) Chute libre dans un champ de pesanteur uniforme 75

L epression du discriminant de cette équation est : = + v v = + v v si et seulement si : v v + si et seulement si : v v L ensemble des points qui peuvent être atteints par le projectile est donc l ensemble des points situés en dessous v de la courbe d équation = C est la «parabole v de sûreté», ainsi nommée car, avec cette valeur de la vitesse initiale, les points situés au-dessus de cette courbe ne sont pas accessibles lors d un tir 76