III. CORRIGE DES EXERCICES SUPPLEMENTAIRES DE PHENOMENES DE Exercice. TRANSFERT Plaque de dimensions 50 x 50 x mm Il y a, en h (700sec, 8.4 0 4 Joules qui passe Les faces sont à température constante de 90 et 00K On cherche la conductivité thermique 4 ( T T S J 8.4 0 J P = q S = W et P.6 W e = = = s 700 sec P e.6 0.0 = = = 0.6 T T S 00 90 0.5 m K ( [ ] 90K mm 00K P Exercice. On a q =.6 0 [W/m ] et = 5 [W/m K] On cherche T = 50K C'est un cas stationnaire, la densité de flux est donc constante: T T q = = cste = 600 e e + e q 0. 600 5 = = = 8.4 T T eq 0 5 0.5 600 mk I II T 0.5m 0.m T = 0K Exercice. On cherche la conductivité thermique du gaz à 800K en connaissant celle à 400K. En utilisant l'équation 7.0: BNA T = T= cste T d π M T 0.76 On peut déterminer la constante: cste = = = 0.0088 T 400 (800 = 0.0088 800 = 0.489 0.49 On a utilisé, pour la température, des Kelvin!
Exercice.4 Même exercice que précédemment mais a l'aide de la formule suivante: 5R 7 N s = η avec les valeurs suivantes : η400k = 4 0 4M m 7 N s η800k = 8 0 m Kg et M = 4.006 0 mole avec ces valeurs on trouve : 400K = 0.89 m K et 800K = 0.976 m K On trouve une réponse du même ordre de grandeur mais il y a tout de même ~6% d'écart. Exercice.5 a On cherche gaz avec la composition suivante: 40% He, 40% H, 0% N à 000K Avec l'équation 7.: 000 = 54 0 et M = 4 Avec He = 64.7 0 et M = 8 000 N N He = 448 0 et M = 000 H H composée / xm i i i i 0.4 0.54 4 + 0.4 0.448 + 0. 0.0647 8 = = = 0.8 / xm i i 0.4 4 + 0.4 + 0. 8 i 0.4 0.54 4 + 0.45 0.448 + 0.5 0.0647 8 composée = = 0.07 0.4 4 + 0.45 + 0.5 8 soit un peu près 0% de variation. Exercice.6 La magnésie est un isolant (non métallique. La variation de sa conductivité thermique est "facile" à expliquer car elle suit la théorie: Quand la température augmente, la concentration de phonon augmente aussi diminuant ainsi leur libre parcours moyen, d'où une baisse de conductivité thermique. (Note: la porosité étant négligeable, le transfert de chaleur par rayonnement l'est aussi
Exercice.7 A l'aide de l'équation 7.: avec le rapport de masse et de volume c / d 4 mb /7 + V d + c / d + ρ A (/7 + comp = c = = / 4 mb /7 c d V d / A /7 c ρ d + + + 8.66 0 mb.575 0 mb = = +. 0 mb 4. 0 mb 0 m m A B 4 V = V A B Exercice.8 chauffage On a P = 90W et T c = cste p(chauffage = p + p Tc T Tc T p = S + S e e mais comme S = S et T T = T T = T on a p S T c c = + e e en utilisant les rapports on peut écrire : 5 p e = = 60 = 0.660 p = 0.660 90 = 9.5 [ W ] p 5 9 + + e 60 0 e T et p = 0.4 90 = 98.5 [ W ] 00K 00K 0. m q q e e T = T = 00K on peut calculer les densités de flux: p p q = = 95 [ W / m ] et q = = 985 [ W / m ] S S On cherche maintenant la température du chauffage: ( Tc T avec q = = 95 On sort Tc = 0.8 K e T c T T e 0 e x
Exercice. a à l'aide de l'équation 8.46: ( Pr Nu = a Gr = a Ra n avec Tf = ( 90 + 90 = 40 ρ à l ' aide de l ' équation 8.4 : Gr = (.64 00 9.8 ( 0.4 n 7 ( 08. 0 β θ g D µ dans les tables on trouve pour l air K = mk Ns g µ = 08. 0, ρ =.64, β = = =.94 0 m m T 40 Pr = 0.700 et θ = T T = 00 ' ( 50 : 0 0, 7 Gr = 40 =.4 0 Gr Pr =.4 0 0.700 = 8.688 0 8 7 dans le tableau : ici entre 0 et 0 Nu x 7 7 = 0.5 8.688 0 = 59.79 ( 0.65 00 9.8 ( 0.4 7 ( 0 8 on prend les valeurs de a et de n 0 0 hx = Nux = 59.79 = 7.47 x 0.4 m K dans les tables on trouve pour l hélium K = mk 7 Ns g µ = 0, ρ = 0.65, β = = =.94 0 m m T 40 Pr = 0.680 et θ = T T = 00 ' ( 50 : 70 0, Gr = 40 =.56 0 Gr Pr =.56 0 0.680 =.466 0 6 6 dans le tableau : ici entre 5 0 et 0 Nu h x x 6 4 = 0.54.466 0 = 8.79 7 70 0 = Nux = 8.79 =. x 0.4 m K 6 90K on prend les valeurs de a et de n 0.4m 4
Exercice. En partant de l'équation.6 q p T = et avec la définition du Laplacien en sphérique T(r: d dt T = r = 0 dr dr avec les conditions limite T( r = R = T et T( r = R = T On intègre: dt r = C dr C C C T = + C soit équ.: T = + C et T = + C r R R R T T C en les soustrayant : C = et par la suite : C = T + R R C C T( r = + T + r R T T C ( T T Comme q = et p = q S = q 4π r avec = = r r r r R R 4 π ( T T p = R R 4 π ( T T Lim P = = 4 π R ( T T R R r r Exercice. On a comme toujours (équ..: dt cas stationnaire : q = = cste dx T x x T x x T ( + at dt = q x T 0 0 T T 0 0 T T a ( ( 0 q = T T + T T dt = q dx = q dx = q x x dt at dt = q x x T T x P 5
Exercice. verre a 50K T m = ½ (50 + 00 = 775K Propriétés thermiques de l'air à 775K : ν = 80.8 *0-6 [m /s], = 56.08*0 - [W/mK] et Pr = 0.706. On peut calculer Reynolds: L v 0 5 Re = = =.74 0 6 ν 80.8 0 malgrès ce que l'on pourrai croire (car Re supérieur a 400, dans ces conditions, ce flux est laminaire (cf. graphique Air 00K m 0m/s 50K 0. 0.5 0. 5 0.5 Nu = 0.664 Pr Re = 0.664(0.706 (.74 0 = 6 56.08 0 h = Nu = ( 6 = 0. L m K verre a 400K T m = ½ (400 + 00 = 50K Propriétés thermiques de l'air à 50K : ν =.5 *0-6 [m /s], = 0.0x0 - [W/mK] et Pr = 0.698. On peut calculer Reynolds: 0 6 Re = =.4 0 Cette fois, le flux est turbulent et on a 6.5 0 0.8 0.8 6 Nu = 0.098 Re Pr = 0.098.4 0 0.698 = 08 0 0 h = (.40 0 66.4 = mk Note: dans ce calcul on a négligé la couche limite dans laquelle l'écoulement est laminaire. Exercice. Tm ( 80 + 00 = = 555K ( 0.0( 0 6 f = les propriétés de l'air à 555K sont : ν 46.44 0 = et = Pr 0.685 44. 0 Re D v mk on peut calculer 4 Re = = =.94 0 ( turbulent 6 ν f 46.44 0 4 4 4 m s Nu = 0.06 (Re Pr = 0.06.94 0 0685 =.8 Nu h = = 47. D m K Acier 80K Air forcé 00K, 0m/s 6
Exercice. a a 70 + 90 Tm = = 0K 5 m propriété thermique de l ' air à 0 K : η =.96 0 s g J W ρ =. et C 04.94 0 p = = m g K mk (. (. L v ρ on peut calculer Re = = =.6 0 5 η.96 0 5 η C p.96 0 04 Pr = = = 0.690.94 0 0. 0.5 0. 5 0.5 Nu = 0.664 Pr Re = 0.664 (0.690 (.6 0 = 6 Nu h = = = L. 6.94 0 5.8 ( équ..9 p = q S = h S T = 5.8. 70 90 = 606W par coté donc : 6 [W] en tout W m K 5 70K Dans le cas de la convection naturelle, on utilise le nombre de Grashof ρ β 0 (.. 9.8.0 0 (70 90 0. 0 L g T T Gr = = = η avec β = = =.0 0 T 0 0 Gr Pr =. 0 0.690 0 0 4.94 0.46 5 (.96 0 log Gr Pr = 9.96 log Nu =.5 Nu = 4 ( cf. sur le graphique Nu h = = = L. tot = 798 [ W] m K p = h S T = = W p.46 (. 70 90 99 [ ] par coté 7
Exercice.4 Comme il nous manque le coefficient de transfert de chaleur on va procéder par itération: posons que T ' = 00 C = 47K on a alors 4 h.8 0 et ( Cu,76 K = 68 m K m K en régime stationnaire : ( T T' = h ( T' T L 4 ht.8 0 + T + ( 68 000 soit : T 0.0 ' = L = = 568K 4 h +.8 0 ( 68 L + 0.0 T = 000K Cu 0mm Eau T = 40 C T' =? T notre résultat étant loin de notre hypothèse de départ on refait une itération seconde itération : on pose T ' = 900K avec h 4. 0 et ( Cu, 950 K = 60 m K m K T + ( 60 L 0.0 + 4. 0 + ht 4. 0 000 + T ' = = = 90K h 60 L 0.0 L'approximation étant toujours trop grossière on recommence: troisième itération : on pose T ' = 950K avec h. 0 et ( Cu, 975 K = 58 m K m K T ' = ( 58 0.0 ( 58. 0 000 +. 0 + 0.0 = 94K réponse : T ' = 940K 8
Exercice 4. a à l'aide de la formule pour les murs composites (équ..: ' '' T0 T0 q = ei + rj + h i i j T h = 9 T,= 500 F = 0.6 =0.4 =0.04 =6 T 4 T 5 T 6 T h = T,= 90 F q T,, = = L L4 L5 L6 4 5 6 500 90 = = 7 4 + + + + + 9 0.6 0.4 0.04 8 6 = 556 T + + + + + h h Btu h ft 7in. 4in. in. /8 in. q = h T T T = 48 F (, = = 898 q T T4 T4 F L et de même on trouve : T = 44 F, T = 69.4 F, T = 69. F 5 6 Exercice 4. ale Laplacien en coordonnée sphérique (indépendant de θ et de ψ: r T d dt d dt = 0 = 0 r soit r r dr dr dr dr T r à r = R T = T à r = R T = T dt dt c c r = c = T( r = + c dr dr r r c c avec les C. L : T( R = + c c = T + on a : T = T + c R R R r R R RR T( R = T + c c = ( T T RR R R On trouve : T ( r T T T RR R R R r = + 9
c q dt T T RR = = dr r R R RR RR p = q S = 4πr ( T T = 4π( T T r R R R R d avec l'équ..8: R R RT = RR 4π Exercice 4. H O régime stationnaire: q = cste h =? HO HO HO HO Ti TH 400 80 O Ti Te q = = = = 08.6 e e e e 0.05 + + + + h 0.5 0 Ti THO e e + = q h 400 80 0.05 = + = 0.090 h 08.6 0.5 0 Btu hho =.08 h ft F 80 F 80 F 0.05ft ft 400 F 0