Détermination de la taille des lots : cas d une production cyclique et d une demande dynamique

Détermination de la taille des lots : cas d une production cyclique et d une demande dynamique Projet effectué en collaboration avec Domtar, Windsor Équipe de projet : Hanen Bouchriha, post-doctorat en génie industriel Annie Larochelle, baccalauréat en génie mécanique Mustapha Ouhimmou, doctorant en Génie Industriel Dirigée par : Pr. Sophie D Amours, Directrice de la recherche et de l administration

Mise en situation Procurement Production Distribution Sales Strategic Network Planning (Design) (Sourcing decisions, externalization decisions, technology-capacity decisions, transportation means decisions, mills-dcs deployment and mission, product-market selection) Suppliers, Mills, Converters, DC Network with Available Capacity and Selected Product-Markets wth Price-Sevice Policy Long Term Forecasts for Potential Product-Markets Long- Term Mid- Term Short- Term Aggregate Planning Mid-Term (On a seasonal basis: Product family assignment and sequencing for paper machines, external converter Forecasts contracts, product mix for pulp mills, converting facilities and distribution centers, sourcing contracts...) Supply Contracts Mills, Converters and DC Product Mix and Capacity, Paper Machine Production Sequences (fiber, chemicals...) Material Procurement Production Planning Plan Daily Syncronized Production-Distribution Lot-Sizing Forecasts, Safety Stocks (Paper machines daily production plan, mills daily carrier selection and shipping plan and plant-dcs inventory planning) Demand Planning (forecasting, forecast error distributions, safety stocks, life cycle management) Procurement quantities Daily production plan Daily Shipments Current Orders Availability Execution Logs-Chips Transportation Scheduling Production Scheduling Picking, Loading and Transportation Scheduling Shipments Demand Fulfilment (Stock) and ATP (Make) FORAC Platform Sophie D'Amours, Alain Martel and Alain Rousseau, FORAC, May 00

Le procédé de fabrication du papier Logs log Chip making Chemicals Pulp making Paper making Jumbo rolls Jumbo rolls Reel finishing Rolls/ / Parent rolls rolls Rolls / Parent rolls Rolls/ Parent rolls Final Products product Parent rolls Parent rolls Finished products paper Chips chip pulp Pulp Recovered paper Paper making Paper Paper recovery recovering Jumbo rolls Reel finishing Recovered paper Recovered paper Recovered paper Sheet finishing Chip Mill Pulp Mill Paper Mill Converter

Le procédé de fabrication du papier Finition La machine à papier Entrepôt automatisé 4 Coupeuse

Présentation générale du problème 5

Présentation du problème Doit-on produire tous les produits à tous les cycles? Quelle quantité à produire de chaque produit à chaque cycle? P P Setup P - P P Setup P P Setup P P P - P P P P P P P Setup Setup Setup P Un cycle Quelle est la longueur du cycle? 6

Description du problème L usine produit le papier sur machines différentes, Une seule machine est considérée avec la possibilité d avoir des stocks en aval. La machine fabrique trois types de papier (P, P et P). Les coûts et les temps de set-up dépendent de la séquence de production. 7

La séquence normalement utilisée est P-P- P Nous connaissons les coûts de set-up seulement pour cette séquence 8 Les données sur les set-up P P P P P P Coût : 0 tonnes Coût : 0 tonnes Coût : 0 tonnes Calcul des coûts de set-up pour chaque produit et pour la séquence fixée au préalable fonction du coût de production unitaire Calcul des temps de set-up pour chaque produit fonction de la cadence de production

9 Description du problème La demande est dynamique et déterministe, La demande est regroupée par produit et par période (jour, semaine, mois, année), Les données sur la demande correspondent à celles des livraisons directes aux clients (les livraisons vers les entrepôts ne sont pas disponibles), La machine ne doit jamais s arrêter (sauf pour les arrêts planifiés).

Les pratiques actuelles Exemple de la production sur près d un mois P P P P P P P P P P P P P P P 0

Objectif de l étude Trouver la taille des lots et la durée du cycle optimum minimisant les coûts de set-up et d entreposage.

Revue de la littérature

Caractérisation du problème Plusieurs produits, Un seul échelon, Demande dynamique et déterministe, Capacité finie. Single level, Capacitated, Multi-item lot Sizing Problem CLSP

Modélisation mathématique du CLSP I T min p s + f it it it it i= t= i, t + xit = dit sit i,t s + I aixit i= L t y t x M y i,t it it it x { 0,}, 0 it s it y i,t it Les indices : i : Indice de produits t : Indice de période Les variables de décisions : - x it, sit la quantité à produire et le stock final en la période t, - yit indique si un set up doit être comptabilisé ou pas pour le produit i en la période t, Les données : - d it : la demande du produit i en la période t, p : le coût de stockage du produit i en la période t, - it - it f : le coût de set-up du produit i en la période t, - L t est la capacité de production de la machine en la période t. - M it un infiniment grand Complexité (NP complet [Florian et al., 80] [Trigeiro et al., 89]) 4

Méthodes de résolution CLSP est NP hard Solution exacte (Eppen et Martin, 87)(Barany et al., 84) Heuristique Application limitée dans certains cas réel Heuristiques basées sur la programmation mathématique «common sense» heuristic «period-by-period» heuristic (Eisenhut, 75)(Maes and Wassenhove, 88) «item-by-item» heuristic (Dixon et Silver, 8)(Dogramaci et al., 8) (Kirca et Kökten, 94) Relaxation lagrangienne Branch-and-Bound «Improvement» heuristic (Thizy et Wassenhove, 85) (Trigeiro et al., 89) (Gelders et al., 86) (Dogramaci et al., 8)(Karni et Roll, 8) Génération de colonne (Manne, 58) (Dzielinski et Gomory, 65) (Lasdon et Terjung, 7) 5

Exemple d heuristique period by period [Eisenhut, 75] Définir la taille des lots en considérant une période à la fois de à T, et ceci en se basant sur la satisfaction d un critère de minimisation des coûts. Pour une période donnée, la demande future des produits est produite jusqu à ce qu il ne soit pas possible de réaliser des économies supplémentaires des coûts ou que la capacité de la période est totalement épuisée. Deux règles : Le choix des produits est effectué sur la base d un indice de priorité qui dépend de l heuristique proposée [Silver et Meal, 7] [Kirca et Kökten, 94]. La fabrication de la demande d une période ne peut être fractionnée 6

Exemple d heuristique Item by item [Kirca et Kökten, 94] Initialisation Détermination d un ensemble de produits candidats à planifier selon une règle de sélection spécifique Résoudre le CLSP pour cet ensemble de produits candidats avec les contraintes de faisabilité Mise à jour des données : ensemble des produits à planifier, capacité résiduelle, etc. Non {des produits à planifier} = {} Oui Fin 7

Lot sizing and scheduling with sequence dependent set-up problem Capacités infinies Capacités finies Coûts de set-up dépendent de la séquence Coûts et temps de set-up dépendent de la séquence (Dilts and Ramsing, 989) (Dobson, 99) (Haase, 994) (Haase and Kimms, 996) 8

L approche de Hasse et Kimms, 996 Déterminer les séquences efficientes en se ramenant à un problème de voyageur de commerce Utiliser un programme linéaire mixte pour définir : Quelle séquence efficiente à utiliser pour chaque période? La quantité de chaque produit à fabriquer? Les niveaux de stock en fin de période? 9

Limites des approches existantes Absence d approche globale qui tient compte Caractère très variable dans le temps de la demande. Contrainte sur la séquence PPPPPPPPP... Séquence préetablie Quantités pondérées 7 6 5 4 0 Graphique des livraisons regroupées en deux semaines (à l'exception de celles vers les entrepôts) /8/00 7/8/00 /5/00 5/4/00 Date P P P 0

Une première modélisation du problème

Approche proposée Étape : Déterminer la longueur du cycle Hypothèses : - Demande constante (moyenne annuelle) Étape : Détermination du plan de production Hypothèses : - Demande dynamique - Le cycle est fixe Borne supérieure sur les coûts Étape : Évaluation du plan de production Hypothèses : - Demande dynamique - Le cycle n est pas fixe Borne inférieure sur les coûts

Étape Hypothèse : Demande continue, stable et connue. Objectif : Déterminer la durée d un cycle moyen. TC Le coût total m m = N Ai + N i= i= H D i i D P i i (Hax et Candea, 984) Source : Cours Systèmes Manufacturiers, M Fayez Boctor, 00

Impact de la variation des coûts d entreposage cycle / jour 9 8 cycle / semaines Coûts normalisés 7 6 5 4 cycle / semaine cycle / jours 4 8 6 0 0 5 0 5 0 5 0 5 Nombre de cycle par mois Le cycle idéal est de semaines pour des coûts d entreposage réels et pour des coûts d entreposage multipliés par et par 4 4

Impact de la diminution des coûts 8 de set-up cycle / jour 6 Coûts normalisés ($) 4 0 8 6 4 cycle / semaines cycle / semaine cycle / jours Pourcentage de réduction des coûts de setup 0 0 5 50 75 0 0 5 0 5 0 5 0 5 Nombre de cycle par mois Le cycle idéal est toujours de semaines, sauf dans le cas d une diminution de 75% des coûts de set-up. 5

Variables de décision : X i,t, Z i,t? Étape D i,t Cycle : semaines/ semaine I i,t-? I i,t? Fonction objectif : Horizon de planification : une année Min + t i ( hii, t + Ci X i, t SiZi, t ) Coût de possession des stocks Coût de production Coût de set-up 6

Contraintes : Sur le cycle i Z i, t = Conservation du flux X i, t I i, t = I i, t + Di, t t + t,i Respect des capacités de production iz i t + δ i X i t = Cap t,, t i i I i, t SS i t,i État des stocks en fin de période Stock initial I i =,0 K i Quantités à produire Variables de décision 7 m izi, t X i, t MZ i, t X ; I 0; Z { 0,} i, t 0 i, t i, t t,i t,i

Détermination du plan de production Cycle de semaines La définition des tailles des lots dans le cas d'un cycle de deux semaines 50 45 Quantité à produire normalisée 40 5 0 5 0 5 0 5 0 4 7 0 6 9 I : Sans contrainte sur le cycle II : Avec contrainte sur le cycle Période 8

Comparaison des coûts Période de semaines Comparaison des coûts.05.0 PPPPPPPPP....08095.05 Coûts normalisés.0.005 0.995 PPPP..PPPPP... 0.99 0.985 Borne inférieure Borne Suprieure La suppression de la contrainte sur le cycle permet d aboutir à un gain de.4% par rapport au coût de set-up et d entreposage ( 6,05.00 $ par an ). Ce gain représente 0.96 $ en coût total par tonne produite 9

Comparaison des coûts Variation du coût total pour les différents scénarios.06.04.0.0.008.006.004.00 Avec cycle, même quantité de chaque produit à tous les cycles Avec cycle Avec cycle, produits seulement par cycle Sans cycle Le gain potentiel en supprimant le cycle est de 5.49% en coût de set-up et de stockage (49,875.00 $), 0.85 $ en coût total par tonne produite 0

Comparaison de la taille du cycle : Impact sur les coûts Comparaison des deux bornes sur les coûts pour un cycle de deux semaines et d'une semaine.4 Coûts normalisés.5..5..5..05 0.95 7.5%.0750896 Cycle semaines Borne Inférieure 4.8%.46747.48744 Cycle semaine Borne supérieure

Comparaison de la taille du cycle : Impact sur les temps de set-up Comparaison des durées de set-up pour un cycle de semaines et un cycle de semaine Coûts normalisés,5,,,9,7,5,, 0,9.08%,07546 Cycle semaines Borne Inférieure 8.66%,578604,95087 Cycle semaine Borne supérieure

Effet de la variation des coûts d entreposage sur les coûts Période de semaines Comparaison des coûts suite à la variation des coûts des inventaires Coût normalisé ($) $0.00 $5.00 $0.00 $5.00 $0.00 $5.00 $0.00 4 8 6 Coût des inventaires ($\tonne.semaines) 8.00% 6.00% 4.00%.00% 0.00% 8.00% 6.00% 4.00%.00% 0.00% % des écarts entre les bornes Borne inférieure Borne supérieure Pourcentage de l'écart

Effet de la variation de la quantité minimale à produire : Impact sur la taille des lots Période de semaines Effet de la variation de la quantité minimale à produire sur la taille des lots dans le cas avec contrainte sur le cycle Quantité à produire 4 500 450 400 50 00 50 00 50 00 50 0 4 5 6 Quantités minimales à produire : - tonne normalisée - 0 tonne normalisées - 50 tonnes normalisées 7 8 9 0 Cas où le cycle est fixé à deux semaines Période 4 5 6 7 8 9 0 4 P P P

Leçons tirées Le cycle idéal est de semaines La considération d un cycle de semaine entraîne un surcoût de.6% par rapport à un cycle de semaines. Des économies (en coût et en temps) sont possibles en supprimant la contrainte sur le cycle 4.8% en coût de set-up et d entreposage Le montant du gain est sensible à la précision sur les données relatives au coût des inventaires, au coût de set-up et à la taille minimale à produire. Plus les coûts d entreposage sont importants, plus on a tendance à faire des set-up Faible écart entre les deux stratégies. 5

Une modélisation plus simple du problème 6

7 Une autre approche pour modéliser le problème p= p= p= p=4 p=5 Capacity Production time p= p= p= p=4 p=5 Capacity p= p= p= p=4 p=5 Capacity Production time p= p= p= p=4 p=5 Capacity p= p= p= p=4 p=5 Capacity Production time p= p= p= p=4 p=5 Capacity p= p= p= p=4 p=5 Capacity Production time p= p= p= p=4 p=5 Capacity

Les horizons de planification pour les produits intermédiaires et produits finis Production lead-time (τ) T = {4,5,6,7} Planning period I i p- I i p i '' SC i 4 5 6 7 t T Finished products I i p- I i p i ' SC i 4 5 6 7 x = i ' d i ' t t T d i t x i p T R i ' p, i ' SC i Intermediate product i IP Q ip i IP p P Production cycle 8

Modélisation La notion de demande effective ` Calcul de la capacité nette par période 9

40 Le nouveau modèle

Perspectives Risques : Si le cycle obtenu est très grand impossibilité de satisfaire la demande à temps (la demande est livrée à la fin du cycle) Ne pas considérer la contrainte sur le cycle tout en maintenant une séquence fixe. Étendre l étude dans le cas de plusieurs machines, tout en synchronisant les flux de production et les flux de transport (Projet de doctorat For@c de Nafee Rizk). 4