Nom : Prénom : Groupe de TD : Exercice 1 2 4 Barème 5 4 5 6 Note Vous répondrez directement sur cette feuille d énoncé. L épreuve comporte quatre exercices dont un en forme de QCM. Pour chaque question du QCM exactement une des trois réponses proposées est juste, vous devez simplement cocher la case correspondante sans justifier. Barême pour le QCM : 0 point si vous laissez les trois cases vides. 1 point si vous cochez la bonne case. 1 2 point si vous cochez une mauvaise case ou si vous cochez plus d une case ou si votre choix est illisible. Un éventuel résultat négatif à l exercice QCM est pris en compte pour le calcul de la note finale. Exercice 1 QCM 1. On suppose que P(A) = P(B) = 0.4. AlorsAetB sont indépendants si et seulement si P(A B) = 0 P(A B) = 0.16 P(A B) = 0.4. 2. Si P(A B) = 0.5, P(B) = 0.2 et P(A B) = 0.1 alors la valeur de P(B A) est 5 9 est0.9 ne peut pas être déduite des informations données.. Un mot de passe doit être constitué de5caractères qui sont des chiffres ou des lettres majuscules dans l alphabet latin (à26 lettres). Le nombre de possibilités pour constituer un mot de passe contenant au moins 4 lettres est 470176 1645116 520. 4. SiX G(p) alors les probabilitésp(x = k), k N, constituent une suite géométrique de raison p p k 1 1 p 5. On découpe chacune des lettres du mot ANAGRAMME et on les arrange au hasard en une ligne. Alors la probabilité qu on obtienne de nouveau ce même mot est environ un sur trente milles un sur trois cents soixante milles un sur neuf. www.mathoman.com 1
Exercice 2 Une maison est équipée d une alarme. On sait qu en cas d effraction, l alarme fonctionne avec une probabilité de99%, et qu elle se déclenche avec une probabilité de0.5% lorsqu il n y a pas d effraction. On estime à10% la probabilité d une effraction. L alarme se déclenche. Quelle est la probabilité que ce soit une fausse alerte? www.mathoman.com 2
Exercice On considère un octaèdre régulier et équilibré dont les huit faces portent les numéros1à8. 1. On le lance cinq fois. Quelle est la probabilité d obtenir 1.a. au moins une fois la face 1? 1.b. au plus une fois la face 1? 2. Quel est le nombre minimal de lancers nécessaires pour obtenir avec au moins95% de chances au moins une fois la face 1? www.mathoman.com
Exercice 4 Dans cet exercice on donnera toutes les probabilités arrondi au millième. On dispose d une urne contenant 0 boules, dont10 sont de couleur noire (N). On tire successivement une boule et on note sa couleur. 1. On procède à5tirages sans remise. Déterminer la probabilité de 1.a. A : «Exactement deux boules tirées sont noires». 1.b. B : «On tire la suitennnnn». 2. On procède à 5 tirages avec remise. Déterminer la probabilité de 2.a. C : «Exactement deux boules tirées sont noires». 2.b. D : «On tire la suite NNN NN».. Les tirages sont avec remise. Déterminer la probabilité de.a. E : «Il faut attendre cinq tirages pour obtenir une première fois une boule noire»..b. F : «Il faut attendre dix tirages pour obtenir une troisième fois une boule noire». www.mathoman.com 4
Corrigé de l exercice 1 QCM 1. Réponse B. L indépendance deaetb est caractérisée par l équationp(a B) = P(A)P(B). 2. Réponse A. P(B A) = P(A B) P(A) = P(A B)P(B) P(A B)P(B)+P(A B)P(B) = 0.5 0.2 0.5 0.2+0.1 0.8 = 0.1 0.18 = 10 18 = 5 9.. Réponse A. Si le mot de passe est constitué de5lettres le nombre de possibilités est26 5. S il contient un chiffre suivi de quatre lettres le nombre de possibilités est10 26 4 ; puisque le chiffre peut être sur5emplacements différents, le nombre de mots de passes contenant exactement un chiffre est5 10 26 4. Au total on a26 5 +5 10 26 4 = 470176 possibilités. 4. Réponse C carp(x = k) = (1 p) k 1 p. 5. Réponse A. On calcule!2! 9! = 1 0240. Corrigé de l exercice 2 Notant E pour effraction et A pour alarme on a P(E) = 0.1, P(A E) = 0.99 etp(a E) = 0.005. Par la formule de Bayes on trouve P(A E)P(E) P(E A) = P(A E)P(E) + P(A E)P(E) 0.005 0.9 = 0.005 0.9+0.99 0.1 4.% Corrigé de l exercice Soit n le nombre de lancers et X le nombre de faces 1 obtenues. AlorsX B(n, 1 8 ). 1. Ici n = 5, donc ( ) 7 5 P(X 1) = 1 P(X = 0) = 1 49%, 8 P(X 1) = P(X = 0)+P(X = 1) ( ) Çå 7 5 ( ) 5 1 7 4 = + 88%. 8 1 8 8 2. Ici le nombre de lancers n n est pas donné. ( ) 7 n P(X 1) = 1 P(X = 0) = 1. 8 On cherche le plus petit n N tel que 1 (7/8) n 0.95. Cela équivaut à (7/8) n 0.05 ou encore à nln(7/8) ln(0.05). On trouve que n ln(0.05)/ln(7/8) 22.4 (l inégalité change de sens après division par le nombre négatif ln(7/8)). Par conséquent n = 2 est l entier recherché. Corrigé de l exercice 4 Notons X le nombre de tirages effectués. 1. Le nombre X de boules noires suit la loi hypergéométriqueh(5,0,10). On trouve )( 20 ) P(A) = P(X = 2) = ( 10 2 Pour un ordre particulier on trouve ( 0 5) 6.0%. P(B) = P(NNNNN) = 20 10 19 9 18 0 29 28 27 26.6%. On remarque que P(A) = 10P(B). Ce n est pas une surprise car la série NNNNN est l une des ( 5 2) réalisations de A (on choisit deux emplacements parmi cinq où mettre lesn, ce qui fait ( 5 2) = 10 possibilités). 2. Le nombre Y de boules noires suit la loi binomiale B(5, 1 ). On trouve Çå (1 5 2 ( ) 2 P(C) = P(Y = 2) = 2.9%. 2 ) Pour un ordre particulier on trouve P(D) = P(NNNNN) = 2 1 2 1 2.%. www.mathoman.com 5
On peut aussi obtenir ce résultat en remarquant qu on doit avoirp(c) = ( 5 2) P(D) = 10P(D).. Le nombre Z tirages nécessaires pour obtenir une boule noire suit la loi géométriqueg( 1 ). On trouve ( ) 2 4 1 P(E) = P(Z = 5) = 6.6%. Le nombre U tirages nécessaires pour obtenir trois boules noires suit la loi binomiale négative BN(, 1 ). On trouve Çå (2 9 7 ( ) 1 P(F) = P(U = 10) = 7.8%. 2 ) www.mathoman.com 6