1 Soit N un entier naturel non nul. On considère l algorithme ci-contre Initialiser en donnant à A et à I la valeur de N. 1 Pour tout entier naturel N on note A N le nombre affiché à l étape 4 Tant que I 2, réitérer la procédure suivantes de cet algorithme. Donner à I la valeur I 1 a) Calculer A 1, A 2, A 3 et A 4. Donner à A la valeur A I b) Vérifier que A 5 = 119 c) Calculer A 10. Donner à A la valeur A Afficher A. 1. 2 Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse donnée a) «A N est un nombre premier pour certaines valeurs de N». b) «A N est un nombre premier pour n importe quelle valeur de N». c) «Quel que soit l entier naturel non nul N, si N est premier, alors A N est premier». d) «Il existe A N premier tel que N n est pas premier». 3 Etudier la parité des nombres A N. Corrigé 2 On considère l'algorithme ci-dessous 1 Entrée a et b deux entiers 2 Initialisation donner à q la valeur initiale 0 donner à m la valeur initiale b Traitement Tant que m a 3 affecter à q la valeur q + 1 affecter à m la valeur m + b 4 affecter à r la valeur a q b 5 Sortie Afficher la valeur de q et la valeur de r. 1 Montrer que si a = 55 et b = 1 le programme affiche q = 3 et r = 4 à l'étape 5. 2 Si a = 102 et b = 36 qu'affiche le programme à l'étape 5 Même question pour a = 25 et b = 32. 3 Que représente les valeurs affichées à l'étape 5. Corrigé 3 Le service commercial d un journal a constaté que chaque année, il enregistre 1 000 nouveaux abonnés mais 50 % des anciens abonnés environ ne renouvellent pas leur abonnement. L objet de cet exercice est d'étudier l'évolution du nombre d abonnés si cette situation perdure sachant qu'au cours de l année écoulée, le journal comptait 4 000 abonnés. Dans ce but, on considère la suite (U n ) définie par U 0 = 4 et, pour tout entier naturel n, U n + 1 = 0,5 U n + 1 1 Expliquer pourquoi, pour tout entier n > 0, U n est une approximation du nombre de milliers d abonnés au bout de n années. 2 On considère l'algorithme suivant Entrée Initialisation Traitement n un entier naturel. L Liste vide Affecter la valeur 4 à u. Affecter la valeur 0 à i. Tant que i n ; Affecter la valeur i + 1 à i Affecter la valeur 0,5 * u + 1 à u Mettre la valeur de u à la fin de la liste L Afficher les éléments de la liste L. Sortie Faire fonctionner cet algorithme pour n = 4. On reproduira sur la copie un tableau analogue à celui donné ci-dessous et on le complétera n i u L Initialisation Fin étape 1 Fin étape 2...... 3 Reproduire et compléter le tableau ci-dessous. n 0 1 2 3 4 5 U n 4 A l aide d un raisonnement par récurrence, démontrer que Pour tout entier naturel n, U n > 2 5 Soit (V n ) la suite définie sur IN par V n = U n 2. a) Démontrer que la suite (V n ) est une suite géométrique de raison 0,5. Préciser la valeur de V 0. b) En déduire l expression de V n en fonction de n. 6 a) En utilisant le résultat de la question précédente, démontrer que Pour tout entier naturel n, U n = 2 (1+0,5 n ) b) Quelle est la limite de la suite (U n )? c) Donner une interprétation de cette limite. Corrigé
4 Pour chaque question, plusieurs affirmations sont proposées, une seule est exacte. Vous devez donner la réponse exacte. Une réponse correcte rapporte des points, une réponse incorrecte enlève des points. Ne pas répondre n enlève pas de points. Si, à la fin de l exercice, la note obtenue est négative, elle sera ramenée à 0. Aucune justification n est demandée. 1 On sait que 10 5 [mod 1] et 10 16 1[mod1]. Alors a) 10 +10 11 5 [mod1] b) 10 49 25 [mod1] c) 10 k 5 [mod1] pour tout entier k. d) 10 16k 1 [mod1] pour tout entier k. 2 Si a 1 [mod13] alors a) a 2 1 est un multiple de 13. b) 2 a peut être un multiple de 13. c) a est toujours un nombre pair. d) a 2 + 1 est un multiple de 13. 3 Si x et y sont deux entiers, alors a) Si x et y sont impairs, leur produit peut être pair.. b) Le produit x y est pair si et seulement si x et y sont tous les deux pairs. c) Le produit x y est impair si et seulement x et y sont tous les deux impairs d) La somme x + y est paire si et seulement si x et y sont tous les deux pairs. Corrigé 5 Des chardons envahissent une pelouse de deux façons différentes. Ce dimanche 13 juin, ils couvrent 300 m 2 de la pelouse. Chaque semaine l aire de la surface envahie par les chardons augmente d une part de 4 % par la prolifération des racines, d'autre part de 13 m 2 dus aux graines envolées des jardins voisins. On appelle U n l'aire de pelouse, en m 2, envahie par les chardons au bout de n semaines. On a donc U 0 = 300. 1 Calculer U 1, U 2 et U 3. 2 Justifier que pour tout entier naturel n, U n+1 = 1,04 U n + 13. 3 On définit la suite (V n ) par V n = U n + 325. a) Démontrer que V n+1 = 1,04 V n. b) En déduire que la suite (V n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 4 Exprimer V n en fonction de n, en déduire que U n = 625 (1,04) n 325. 5 Au bout de combien de semaines les chardons auront-ils envahi plus de 00 m 2 de la pelouse? Corrigé 6 Dans cet exercice on donnera les résultats arrondis à 10 2. Une urne contient dix boules indiscernables au toucher une jaune, sept rouges et deux bleues. Un jeu consiste à tirer d abord au hasard une boule de l urne si cette boule est jaune, alors le jeu s arrête, sinon on effectue un second tirage sans remettre la première boule tirée dans l urne. 1 a) Quelle est la probabilité de tirer une boule jaune au premier tirage? b) Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge au premier tirage? c) Quelle est la probabilité que le joueur tire une boule jaune au deuxième tirage sachant qu il a tiré un boule rouge au premier tirage? 2 Dans cette question, on pourra utiliser un arbre de probabilité. a) Quelle est la probabilité de tirer une boule bleue au premier tirage et une boule rouge au second tirage? b) Démontrer que la probabilité de tirer une boule rouge au second tirage est 28 45. Corrigé
On donne ci-après, dans le plan muni d'un repère orthonormé, la courbe (C) d'une fonction f définie et dérivable sur IR. On a aussi tracé les tangentes à (C) aux points N, P et Q d'abscisses respectives 1 ; 2 et 3. 8 y 6 N (C) 5 P 4 3 2 Q 1-3 -2 0 2 4 6-1 1 3 5 x Partie I 1 Lire graphiquement les valeurs suivantes f(0) ; f(1) ; f '(1) ; f(2) ; f '(2) ; f(3) ; f '(3). 2 Déterminer une équation de la tangente T à (C) au point P. 3 Dresser sans justifier le tableau de variations de f. 4 Résoudre graphiquement l'équation f(x) = 4, sans chercher une grande précision. Partie II On donne que, pour tout réel x f(x) = a x 3 6 x 2 + b x + c, où a, b et c sont des constantes réelles que l'on se propose de déterminer. 1 En utilisant la valeur de f(0) trouvée à la Partie I, déterminer c. 2 Pour tout réel x, donner l'expression de f '(x) en fonction de x, a et b. 3 En utilisant les valeurs de f(1) et f '(1), montrer que a et b vérifient le système suivant a + b = 10 3 a + b = 12 4 Résoudre ce système et conclure en donnant l'expression de f(x). Partie III Soit f la fonction définie par, pour tout réel x f(x)= x 3 6 x 2 + 9 x + 3 1 Vérifier que, pour tout réel x (x 1)(x 3) = x 2 4 x + 3. 2 Pour tout réel x, calculer f '(x) et étudier son signe. Vérifier l'accord avec certains des résultats précédents. Corrigé
1 Soit N un entier naturel non nul. On considère l algorithme ci-contre 1 Pour tout entier naturel N on note A N le nombre affiché à l étape 4 de cet algorithme. a) Calculer A 1, A 2, A 3 et A 4. Initialisation 1 1 1 I 2 Traitement 0 Sortie A = 0 A 1 = 1 Initialisation 2 2 2 I 2 Traitement 1 Sortie A = 1 A 2 = 1 Initialisation 3 3 3 I > 2 Traitement 2 9 I 2 8 Sortie A = 8 A 3 = 9 Initialisation 4 4 4 I > 2 Traitement 3 12 I > 2 2 24 I 2 23 Sortie A = 23 A 4 = 24 b) Vérifier que A 5 = 119 Initialisation 5 5 5 I > 2 Traitement 4 20 I > 2 3 60 I > 2 2 120 I 2 119 Sortie A = 119. c) Calculer A 10. Initialisation 10 10 10 I > 2 Traitement 9 90 I > 2 8 20 I > 2 5040 I > 2 6 30240 I > 2 5 151200 I > 2 4 604800 I > 2 3 1814400 I > 2 2 3628800 I 2 362899 Sortie A = 362899. A 10 = 362899 2 Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse donnée a) «A N est un nombre premier pour certaines valeurs de N». Vraie b) «A N est un nombre premier pour n importe quelle valeur de N». Faux A 1 = 0 n est pas premier c) «Quel que soit l entier naturel non nul N, si N est premier, alors A N est premier». Faux A 5 = 119 = 1 Initialiser en donnant à A et à I la valeur de N. Tant que I > 2, réitérer la procédure suivantes Donner à I la valeur I 1 Donner à A la valeur A I Donner à A la valeur A 1. Afficher A.
d) «Il existe A N premier tel que N n est pas premier». Vrai A 5 = 119 = 1 3 Etudier la parité des nombres A N. Pour tout entier naturel N, A N est impair Les deux dernières étapes donnent L avant dernière étape donne A = 2 A donc A est alors pair puis la dernière donne A = A 1 qui est égal à A N et donc qui est impair. Remarque A N = N (N 1) (N 2) (N 3) 3 2 1 = N! 1 2 On considère l'algorithme ci-dessous 1 Entrée a et b deux entiers 2 Initialisation donner à q la valeur initiale 0 donner à m la valeur initiale b Traitement Tant que m a 3 affecter à q la valeur q + 1 affecter à m la valeur m + b 4 affecter à r la valeur a q b 5 Sortie Afficher la valeur de q et la valeur de r. 1 Montrer que si a = 55 et b = 1 le programme affiche q = 3 et r = 4 à l'étape 5. a = 55 b = 1 Test q m r Initialisation 0 1 Traitement 1 55 1 34 34 55 2 51 51 55 3 68 68 > 55 55 51 = 4 Sortie 3 4 2 Si a = 102 et b = 36 qu'affiche le programme à l'étape 5 a = 102 b = 36 Test q m r Initialisation 0 36 Traitement 36 102 1 2 2 102 2 108 108 > 102 102 2 = 30 Sortie 2 30 Le programme affiche q = 2 et r = 30. Même question pour a = 25 et b = 32. a = 25 b = 32 Test q m r Initialisation 0 32 Traitement 32 > 25 25 0 32 = 25 Sortie 0 25 Le programme affiche q = 0 et r = 25. 3 Que représente les valeurs affichées à l'étape 5 q est le quotient de la division euclidienne de a par b et r est le reste de cette même division euclidienne. 3 Le service commercial d un journal a constaté que chaque année, il enregistre 1 000 nouveaux abonnés mais 50 % des anciens abonnés environ ne renouvellent pas leur abonnement. L objet de cet exercice est d'étudier l'évolution du nombre d abonnés si cette situation perdure sachant qu'au cours de l année écoulée, le journal comptait 4 000 abonnés. Dans ce but, on considère la suite (U n ) définie par U 0 = 4 et, pour tout entier naturel n, U n + 1 = 0,5 U n + 1 1 Expliquer pourquoi, pour tout entier n > 0, U n est une approximation du nombre de milliers d abonnés au bout de n années. Si U n est le nombre d'abonnés au bout de n années L'année suivante 50 % des abonnés ne renouvellent pas leur abonnement donc 0,5 U n milliers d'abonnés le renouvellent. De plus il y a un millier de nouveaux abonnés. On a donc U n + 1 = 0,5 U n + 1. 2 On considère l'algorithme suivant Entrée n un entier naturel. Initialisation L Liste vide Affecter la valeur 4 à u.
Traitement Affecter la valeur 0 à i. Tant que i n ; Affecter la valeur i + 1 à i Affecter la valeur 0,5 * u + 1 à u Mettre la valeur de u à la fin de la liste L Sortie Afficher les éléments de la liste L. Faire fonctionner cet algorithme pour n = 4. On reproduira sur la copie un tableau analogue à celui donné ci-dessous et on le complétera n i u L Initialisation 5 0 4 vide Fin étape 1 5 1 3 {3} Fin étape 2 5 2 2,5... 3 2,25... 4 2,125 3 Reproduire et compléter le tableau ci-dessous. n 0 1 2 3 4 5 U n 4 3 2,5 2,25 2,125 2,0625 4 A l aide d un raisonnement par récurrence, démontrer que Pour tout entier naturel n, U n > 2 Initialisation Si n = 0 alors U 0 = 4 > 2 hérédité Si U n > 2 alors 0,5 U n > 0,5 2 alors 0,5 U n > 1 alors 0,5 U n + 1 > 1 + 1 alors U n + 1 < 2 Conclusion Pour tout entier naturel n U n < 2. 5 Soit (V n ) la suite définie sur IN par V n = U n 2. a) Démontrer que la suite (V n ) est une suite géométrique de raison 0,5. Préciser la valeur de V 0. V n + 1 = U n + 1 2 = 0,5 U n + 1 2 = 0,5 U n 1 = 0,5 (U n 2) = 0,5 V n et V 0 = U 0 2 = 2. b) En déduire l expression de V n en fonction de n. V n = V 0 (0,5) n = 2 (0,5) n 6 a) En utilisant le résultat de la question précédente, démontrer que Pour tout entier naturel n, U n = 2 (1+0,5 n ) U n = V n + 2 = 2 (0,5) n + 2 = 2 (1 + (0,5) n ) b) Quelle est la limite de la suite (U n )? lim n + (0,5)n = 0 donc lim n + U n = 2 c) Donner une interprétation de cette limite. Il y aura environ à peu près 2000 abonnés après un certain temps. 4 Pour chaque question, plusieurs affirmations sont proposées, une seule est exacte. Vous devez donner la réponse exacte. Une réponse correcte rapporte des points, une réponse incorrecte enlève des points. Ne pas répondre n enlève pas de points. Si, à la fin de l exercice, la note obtenue est négative, elle sera ramenée à 0. Aucune justification n est demandée. 1 On sait que 10 5 [mod 1] et 10 16 1[mod1]. Alors a) 10 +10 11 5 [mod1] Faux 10 + 10 11 5 + 10 1 modulo 1 donc 10 + 10 11 5 10 11 modulo 1 et donc 10 + 10 11 5 n est pas divisible par 1 b) 10 49 25 [mod1] Faux 10 49 = (10 ) donc 10 49 5 modulo 1 5 5 2 = 25 (5 5 1) = 25 3124 qui n est pas divisible par 1 c) 10 k 5 [mod1] pour tout entier k. Faux Pour k = 0 on a 10 k = 1 et 1 5 n est pas divisible par 1 d) 10 16k 1 [mod1] pour tout entier k. 10 16 k = (10 16 ) k donc 10 16 k 1 k modulo 1 2 Si a 1 [mod13] alors a) a 2 1 est un multiple de 13. Si a 1 modulo 13 alors a 2 1 2 modulo 13 alors a 2 1 0 modulo 13 alors a 2 1 est un multiple de 13. b) 2 a peut être un multiple de 13. Faux Si a 1 modulo 13 alors 2 a 2 modulo 13 alors 2 a n est pas un multiple de 13.
c) a est toujours un nombre pair. Faux Si a = 1 alors a 1 modulo 13 et pourtant a est impair. d) a 2 + 1 est un multiple de 13. Faux Si a 1 modulo 13 alors a 2 1 2 modulo 13 alors a 2 + 1 2 modulo 13 donc a 2 + 1 n est pas un multiple de 13. 3 Si x et y sont deux entiers, alors a) Si x et y sont impairs, leur produit peut être pair. Faux b) Le produit x y est pair si et seulement si x et y sont tous les deux pairs. Faux c) Le produit x y est impair si et seulement x et y sont tous les deux impairs Vrai Modulo 2 on a x 0 1 y 0 x y 0 x y 0 1 x y 0 x y 1 d) La somme x + y est paire si et seulement si x et y sont tous les deux pairs. Faux Modulo 2 on a x 0 1 y 0 x + y 0 x + y 1 1 x + y 0 x + y 0 5 Des chardons envahissent une pelouse de deux façons différentes. Ce dimanche 13 juin, ils couvrent 300 m 2 de la pelouse. Chaque semaine l aire de la surface envahie par les chardons augmente d une part de 4 % par la prolifération des racines, d'autre part de 13 m 2 dus aux graines envolées des jardins voisins. On appelle U n l'aire de pelouse, en m 2, envahie par les chardons au bout de n semaines. On a donc U 0 = 300. 1 Calculer U 1, U 2 et U 3. 4 U 1 = 1 + U 100 0 + 13 = 1,04 300 + 13 = 325 U 2 = 1,04 U 1 + 13 = 1,04 325 + 13 = 351 U 3 = 1,04 U 2 + 13 = 38,04 2 Justifier que pour tout entier naturel n, U n+1 = 1,04 U n + 13. L aire de la surface envahie par les chardons augmente d une part de 4 % par la prolifération des racines, donc la semaine n + 1 l augmentation de la surface envahie par les chardons due à la prolifération des racines est donc égale à 1,04 U n. D'autre part l augmentation de la surface envahie par les chardons due aux graines envolées des jardins voisins est égale à 13 m 2 Donc U n + 1 = 1,04 U n + 13 3 On définit la suite (V n ) par V n = U n + 325. a) Démontrer que V n+1 = 1,04 V n. V n + 1 = U n + 1 + 325 = 1,04 U n + 13 + 325 = 1,04 U n + 338 V n = U n + 325 donc U n = V n 325 et V n + 1 = 1,04 (V n 325) + 338 = 1,04 V n 338 + 338 = 1,04 V n b) En déduire que la suite (V n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. V 0 = U 0 + 325. La suite (V n ) est donc une suite géométrique de raison 1,04 de premier terme 625. 4 Exprimer V n en fonction de n, en déduire que U n = 625 (1,04) n 325. La suite (V n ) est donc une suite géométrique de raison 1,04 de premier terme 625 donc, pour tout entier naturel n, V n = 625 1,04 n et U n = V n 325 = 625 1,04 n 325 5 Au bout de combien de semaines les chardons auront-ils envahi plus de 00 m 2 de la pelouse? U 13 15 m 2 et U 12 65 donc c est la 13 ième semaine que les chardons auront envahi plus de 00 m 2. 6 Dans cet exercice on donnera les résultats arrondis à 10 2. Une urne contient dix boules indiscernables au toucher une jaune, sept rouges et deux bleues. Un jeu consiste à tirer d abord au hasard une boule de l urne si cette boule est jaune, alors le jeu s arrête, sinon on effectue un second tirage sans remettre la première boule tirée dans l urne. 1 a) Quelle est la probabilité de tirer une boule jaune au premier tirage? L urne contient dix boules dont une jaune donc la probabilité de tirer une boule jaune au premier tirage est 1 10 b) Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge au premier tirage?
L urne contient dix boules dont sept rouges donc la probabilité de tirer une boule rouge au premier tirage est 10 c) Quelle est la probabilité que le joueur tire une boule jaune au deuxième tirage sachant qu il a tiré un boule rouge au premier tirage Si le joueur a tiré une boule alors il reste dans l urne 6 boules rouges parmi 9 boules donc la probabilité que le joueur tire une boule jaune au deuxième tirage sachant qu il a tiré un boule rouge au premier tirage est égale à 6 9 = 2 3 2 Dans cette question, on pourra utiliser un arbre de probabilité. a) Quelle est la probabilité de tirer une boule bleue au premier tirage et une boule rouge au second tirage? p(b 1 R 2 ) = p B (R) p(b) = 2 10 9 = 45 la probabilité de tirer une boule bleue au premier tirage et une boule rouge au second tirage est égale à 45 b) Démontrer que la probabilité de tirer une boule rouge au second tirage est P(R2) = P(J 1 R 2 ) + P(R 1 R 2 ) + P(B 1 R 2 ) = 6 10 9 + 2 10 9 = 56 90 = 28 45 28 45. 1 10 10 2 10 J 1 J 9 R 6 R 9 2 9 B 1 J 9 B R 9 1 9 B On donne ci-après, dans le plan muni d'un repère orthonormé, la courbe (C) d'une fonction f définie et dérivable sur IR. On a aussi tracé les tangentes à (C) aux points N, P et Q d'abscisses respectives 1 ; 2 et 3. Partie I 1 Lire graphiquement les valeurs suivantes f(0) ; f(1) ; f '(1) ; f(2) ; f '(2) ; f(3) ; f '(3). f(0) = 3 f(1) = f '(1) = 0 f(2) = 5 f '(2) = 3 f(3) = 3 f '(3) = 0. 2 Déterminer une équation de la tangente T à (C) au point P. y = f(2) (x 2) + f(2) y = 3 (x 2) + 5 y = 3 x + 6 + 5 y = 3 x + 11 8 6 5 4 3 2 1 y N P Q (C) 3 Dresser sans justifier le tableau de variations de f. x 1 3 + f(x) 3 4 Résoudre graphiquement l'équation f(x) = 4, sans chercher une grande précision. f(0,1) 4, f(2,3) 4 et f(3,5) 4-2 0 2 4 6-1 1 3 5
Partie II On donne que, pour tout réel x f(x) = a x 3 6 x 2 + b x + c, où a, b et c sont des constantes réelles que l'on se propose de déterminer. 1 En utilisant la valeur de f(0) trouvée à la Partie I, déterminer c. f(0) = 3 a 0 3 + 6 0 2 + b 0 + c = 3 c = 3. 2 Pour tout réel x, donner l'expression de f '(x) en fonction de x, a et b. f '(x) = 3 a x 2 12 x + b 3 En utilisant les valeurs de f(1) et f '(1), montrer que a et b vérifient le système suivant a + b = 10 3 a + b = 12 f(1) = a 6 + b + 3 = a + b = 10 f '(1) = 0 3 a 12 + b = 0 3 a + b = 12 4 Résoudre ce système et conclure en donnant l'expression de f(x). a + b = 10 3 a + b = 12 3 a a = 12 10 b = 10 a 2 a = 2 b = 10 a a = 1 b = 9 f(x) = x 3 6 x 2 + 9 x + 3 Partie III Soit f la fonction définie par, pour tout réel x f(x)= x 3 6 x 2 + 9 x + 3 1 Vérifier que, pour tout réel x (x 1)(x 3) = x 2 4 x + 3. (x 1) (x 3) = x 2 3 x x + 3 = x 2 4 x + 3 2 Pour tout réel x, calculer f '(x) et étudier son signe. Vérifier l'accord avec certains des résultats précédents. f' '(x) = 3 x 2 12 x + 9 = 3 (x 2 4 x + 3) = 3 (x 1) (x 3) x 1 3 + signe de f ' + + f(x) 3