Raisonner par Analogie

IUT de Nice Département Génie Electrique & Informatique Industrielle 2ème Année - Option Automatique Raisonner par Analogie Plus ça change, plus c'est pareil. Jean Demartini 30 novembre 2001

Sommaire 1. Grandeurs physiques et Technologie... 1 1.1. Grandeurs de construction - Paramètres... 1 1.2. Grandeurs de comportement - Variables... 2 2. Comportement... 3 2.1. Entité conservative & Quantité... 3 2.2. Conducteur & Flux... 4 2.3. Capacité & Potentiel... 5 2.4. Composants physiques... 6 2.5. Puissance... 7 2.6. Energie... 8 2.6.1. Energie dans une Inductance... 8 2.6.2. Energie dans une Capacité... 9 2.6.3. Energie dans une Résistance... 9 2.7. Générateurs... 9 2.8. Transformateurs & Gyrateurs... 11 2.9. Schéma électrique équivalent... 12 3. Analogie Mécanique-Electricité... 13 3.1. Flux et Potentiel... 13 3.2. Composants mécaniques... 14 3.2.1. Capacité mécanique... 14 3.2.2. Inductance mécanique... 15 3.2.3. Résistance mécanique... 15 3.3. Générateurs mécaniques... 16 3.4. Schéma électrique équivalent... 17 3.5. L'autre Analogie... 19 3.6. Exercices... 20 4. Analogie Hydraulique-Electricité... 22 4.1. Flux et Potentiel... 22 4.2. Composants hydrauliques... 22 4.2.1. Capacité hydraulique... 22 4.2.2. Inductance hydraulique... 23 4.2.3. Résistance hydraulique... 23 4.3. Générateurs hydrauliques... 24 4.3.1. Générateur de Tension : Pompe centrifuge... 24 4.3.2. Générateur de Courant : Pompe volumétrique... 25 4.4. Schéma électrique équivalent... 25 - i -

4.5. Exercices... 26 5. Analogie Thermique-Electricité... 31 5.1. Flux et Potentiel... 31 5.2. Composants thermiques... 31 5.2.1. Capacité thermique... 31 5.2.2. Résistance thermique... 32 5.3. Générateurs thermiques... 33 5.3.1. Générateur de Potentiel... 33 5.3.2. Générateur de Flux... 33 5.4. Schéma électrique équivalent... 33 5.5. Exercices... 34 6. Conclusion... 39 - ii -

Ce document ne peut être lu valablement qu'après ceux concernant la mécanique, l'hydraulique et la thermique. Il en emprunte directement les concepts et les notations et il en constitue une sorte de synthèse. Les sciences d'action, nommées en général Génie (mécanique, thermique, électrique, chimique...), ont pour unique but de construire des machines 1 qui fonctionnent. La sanction de la démarche de conception employée réside essentiellement dans le succès ou l'échec final. Concevoir une machine consiste à mettre en oeuvre des lois physiques connues en les associant à la fonctionnalité de composants élémentaires astucieusement agencés. Il est nécessaire de se souvenir d'un grand nombre de lois physiques ainsi que de leurs interactions possibles. Ce serait une tâche quasiment surhumaine s'il n'existait pas des ressemblances troublantes dont l'exploitation systématique permette de diminuer considérablement le nombre des lois qu'il est nécessaire d'avoir en mémoire. Dans son Enquête sur l'entendement humain, David Hume écrivait en 1758 : " Evidemment, il y a un principe de connexion entre les différentes pensées et idées de l'esprit ; celles-ci apparaissent à la mémoire ou à l'imagination en s'introduisant les unes les autres avec un certain degré de méthode et de régularité.... Bien que cette connexion des différentes idées les unes avec les autres soit trop évidente pour échapper à l'observation, aucun philosophe, à ce que je trouve, n'a tenté d'énumérer ou de classer tous les principes d'association : sujet qui, pourtant, semble digne de curiosité. Pour moi, il me paraît qu'il y a seulement trois principes de connexion entre des idées, à savoir ressemblance, contiguïté dans le temps et dans l'espace, et relation de cause à effet. " C'est le principe de ressemblance que nous allons exploiter ici en disant qu'il existe un point de vue tel que des choses qui se ressemblent obéissent à des lois physiques qui se ressemblent. L'identification de ces ressemblances va permettre de construire des analogies entre certaines branches de l'ingénierie. 1 Essayer de définir ce qu'est une machine n'est pas une tâche simple, réfléchissez s'y. Pour rester simple, disons qu'une machine est un objet susceptible d'une certaine autonomie de comportement. - 1 -

Ainsi, la connaissance d'une de ces branches l'électricité en ce qui nous concerne peut servir de fil conducteur dans la mise en oeuvre des autres. Ces analogies ne sont qu'une unification formelle 2 d'un certain nombre de lois physiques utiles à l'ingénieur, et elles ne doivent être considérées que comme un aide-mémoire. En particulier, elles ne permettront jamais de découvrir et de valider une nouvelle loi physique, ce n'est que de la science a posteriori qui ne fonctionne que parce que le résultat recherché est connu par avance. Leur exploitation demande donc des précautions quant à la validité des lois qu'on peut en déduire 3. 2 Les analogies que nous allons construire vont chercher à mettre certaines lois physiques sous une forme identique indépendamment de leur signification. 3 On voit apparaître ici, le problème classique de la distinction entre la syntaxe (forme) d'une expression et sa sémantique (signification). La grammaire française décrit les règles à utiliser pour construire des phrases françaises (au sens de la syntaxe), une phrase française n'a pas forcément un sens (sémantique). On peut dire très correctement en français (syntaxiquement) "le poisson mangeait d'un vol pesant" ; notre connaissance des poissons nous permet d'estimer que cette affirmation n'a pas de sens. La notation mathématique définit les règles et les symboles à utiliser pour construire des expressions mathématiques ; c'est une autre histoire que de s'assurer que ces expressions ont un sens. - 2 -

Grandeurs physiques et Technologie 1. Grandeurs physiques et Technologie Concevoir, utiliser, fabriquer et dépanner une machine, c'est d'abord être capable de la décrire dans tous les aspects qui concernent l'usage qu'on en a. Pour tenter de circonscrire le débat on peut convenir de dire qu'on connaît suffisamment une machine lorsque : on sait en construire autant d'exemplaires identiques qu'on le souhaite, on sait replacer cette machine dans le même état que celui dans lequel elle était auparavant. Ces deux objectifs sont fondamentalement différents. Le premier en nécessite une description statique, le deuxième une description dynamique. Ces deux problèmes sont indépendants et représentent deux aspects complémentaires de la même machine. Afin de simplifier la description, on identifie dans notre machine des domaines associés à un certain type de phénomènes physiques. On distingue, par exemple, ce qui concerne l'électricité de ce qui concerne la mécanique ou de ce qui concerne l'hydraulique. Chacun de ces domaine correspond à une technologie. 1.1. Grandeurs de construction - Paramètres Les grandeurs de construction servent à décrire comment les composants sont construits et agencés pour constituer une machine : matière (bois, fer, laiton, cuivre...), géométrie (longeur, largeur, hauteur, courbure...), caractéristiques physiques (résistivité, capacité, masse volumique, chaleur massique...), schémas d'agencement. Certaines de ces grandeurs définissent une structure tandis que d'autre ne représentent que des variations sur une structure donnée. Une structure correspond à la connaissance minimale nécessaire pour définir une machine ayant un comportement donné. Par exemple, un filtre RC est une structure possédant le pouvoir de filtrer les hautes fréquences. Elle est parfaitement définie dès qu'on a dit qu'elle comportait une résistance et une capacité agencées convenablement. La valeur de la résistance et de la capacité ne sont que des variations, ce sont les paramètres du filtre RC. - 1 -

Grandeurs physiques et Technologie 1.2. Grandeurs de comportement - Variables Les grandeurs de comportement servent à décrire comment fonctionne une machine dont la structure est connue une fois qu'elle a été mise en route. Bien que ce comportement dépende de la valeur des paramètres, on s'intéressera, au moins au départ, au comportement de la classe des machines engendrée sur l'ensemble des valeurs possibles des paramètres. Par exemple, on s'intéresse au comportement du filtre RC en tant que tel indépendamment des valeurs de R et de C 4. 4 Cela est particulièrement vrai sur un plan pédagogique. - 2 -

Comportement 2. Comportement 2.1. Entité conservative & Quantité Une technologie est souvent 5 bâtie autour d'une entité conservative dont on étudie les aventures. On peut dire que l'électricité est l'aventure de la charge électrique, la mécanique 6 celle de la quantité de mouvement 7, l'hydraulique celle du volume et la thermique celle de la calorie. L'aspect conservatif de cette entité décrit le fait qu'elle ne peut ni se créer, ni disparaître spontanément au sein du domaine technologique qui nous intéresse : Technologie Electricité Mécanique Hydraulique Thermique Entité associée Charge électrique : q Quantité de mouvement : p = mv Moment cinétique : J = mvr Volume de liquide : V Calorie : Q Si certaines de ces entités sont assez évidentes a priori, certaines demandent une analyse plus fine pour être découverte. Comme l'entité qui nous intéresse est conservative, il est commode de définir sa quantité et cette quantité peut être déterminée par une opération de type comptage. 5 Une des exceptions à cette règle est le magnétisme qu'on n'a pas pu associer à une grandeur conservative (charge magnétique?). C'est ce qui rend l'étude du magnétisme si difficile. 6 On verra qu'il s'agit de la mécanique mono-dimensionnelle ou de la mécanique de rotation. 7 Le mot conservatif est employé, ici, avec un sens légèrement différent de celui auquel on est habitué en mécanique. Lorsqu'on dit, en mécanique, que dans un système isolé, la quantité de mouvement est conservative, cela signifie que la quantité de mouvement contenue dans ce système est constante. Par contre, ici, nous voulons simplement dire que si dans un système mécanique quelconque la quantité de mouvement a varié, cela signife que des forces lui ont été appliquées car la quantité de mouvement ne peut pas apparaître spontanément. - 3 -

Comportement 2.2. Conducteur & Flux Les entités que nous avons introduites pouvant se déplacer, on peut leur associer un milieu conducteur, considérer en un point du milieu une petite surface et mesurer la quantité d'entité qui la traverse. Si nous rapportons cette mesure à une unité de temps, nous pouvons définir le flux unitaire au point considéré de cette entité : surface de test entité conservative milieu conducteur figure 1 : Le Flux qui traverse la surface de test est défini à partir de la quantité d'entité qui a traversé cette surface par unité de temps. L'entité considérée a été dessinée sous la forme d'une particule. Cette image est satisfaisante en ce qui concerne la charge électrique mais totalement surréaliste en ce qui concerne la quantité de mouvement. Les variables de flux associées aux technologies qui nous intéressent sont alors : Technologie Flux dq Electricité Courant électrique car i = dt dmv b g Force car : f = Mécanique dt Couple car : N dmvr b g = dt Hydraulique Thermique Débit volumique car : q v = dv dt Flux de calories car : Φ= dq dt - 4 -

Comportement Les notions de milieu conducteur et de flux sont familières en ce qui concerne l'électricité et la thermique, un peu artificielles en ce qui concerne l'hydraulique mais très artificielles en ce qui concerne la mécanique 8. Une propriété importante des flux est d'être additifs. Un flux est une grandeur absolue quantifiable dès qu'une unité est définie. La mesure d'un flux nécessite, en général, d'intercaler l'appareil de mesure dans le circuit. Ces quelques propriétés permettent souvent d'identifier la grandeur physique susceptible de jouer le rôle d'un flux. 2.3. Capacité & Potentiel Dans toutes ces technologies, il existe des récipients permettant de stocker l'entité conservative. Le condensateur électrique stocke les charges électriques, un récipient stocke un volume de liquide, une masse stocke la quantité de mouvement. Pour apprécier la quantité stockée dans ces composants, on définit un niveau d'entité. Ce niveau est défini à partir de l'expression suivante 9 : quantité accumulée niveau = bniveau initialg b g + capacité La capacité caractérise uniquement le récipient et : =z0 t quantité accumulée flux( u) du Le niveau des charges dans un condensateur électrique est la tension électrique à ses bornes, la pression au fond d'un récipient mesure le niveau de volume, la vitesse mesure le niveau de la quantité de mouvement stockée dans une masse. Ce niveau est appelé : Potentiel. 8 On se souvient qu'il ne s'agit que de construire une méthode mnémonique permettant de reconstituer une loi physique qu'on a oubliée et non pas de faire de la physique. Ce genre de pirouettes n'est donc pas gênant tant qu'on n'y croit pas plus qu'il ne faut. 9 Cette expression est l'écriture mathématique de la constatation triviale que si un truc ne peut ni disparaître, ni se créer spontanément, lorsqu'on en verse dans un pot, le niveau monte. Il importe, à ce propos, de ne pas confondre niveau et quantité. Dans un même récipient, niveau et quantité varient dans le même sens, par contre une même quantité peut donner des niveaux différents dans des récipients différents on constate que les jeunes enfants mettent longtemps à distinguer ces deux notions. - 5 -

Comportement Les variables de potentiel associées aux technologies qui nous intéressent sont alors : Technologie Electricité Mécanique Hydraulique Thermique Potentiel Tension électrique car la capacité d'un condensateur +z électrique est 1 t définie de telle sorte que : v = v C iudu 0 ( ) 0 1 t Vitesse car f = ma peut s'écrire : v v m f u du 0 ( ) 0 Vitesse angulaire car N = JΩ && 1zt peut s'écrire : Ω= Ω0 + Nudu ( ) J 0 = +z Pression car, pour un récipient +z cylindrique, on peut écrire : ρg t p= p0 qudu ( ) S 0 1 zt Température car on peut écrire : T = T0 + Φ( udu ) mc 0 On constate que la définition du potentiel et de la capacité vont de pair et qu'il n'est pas possible de définir l'un sans l'autre. Une propriété importante des potentiels est d'être relatifs, ils ne sont définis qu'à une référence près (pensez à la masse électrique, au niveau de la mer, à la température de la glace fondante...). La mesure d'un potentiel nécessite donc de brancher l'appareil de mesure entre deux points du circuit sans interrompre celui-ci ; c'est pourquoi, on n'accède qu'à des différence de potentiel 10 et non pas au potentiel lui-même. Ces quelques propriétés permettent souvent d'identifier la grandeur physique susceptible de jouer le rôle d'un potentiel. 2.4. Composants physiques Les lois physiques que nous considérons relient essentiellement un flux F à une différence de potentiel P et si on se limite à une approximation linéaire, de telles lois apparaîtront uniquement sous les formes suivantes : 10 On remarque, dans le tableau précédent, que la définition a systématiquement fait intervenir un potentiel initial non défini explicitement. C'est lui qui va jouer le rôle de la référence. - 6 -

Comportement 1. 2. 3. 4. F = Conductance P P = Résistance F d P F = Capacité dt df P = Inductance dt Les coefficients de proportionnalité qui apparaissent représentent un composant dont cette loi physique est un modèle. Toutes ces formes de loi n'apparaissent pas dans toutes les technologie et c'est là que l'extrapolation peut devenir dangereuse lorsqu'elle conduit à inventer un composant qui n'existe pas. 2.5. Puissance L'étude préalable des différentes technologies que nous connaissons montre que la puissance instantanée s'exprime très généralement par : b g b g btg Puissance t = P t F Si on récapitule les expressions donnant les puissances instantanées mise en jeu dans un dispositif comportant des éléments issus des différentes technologies, on obtient le tableau suivant : Technologie Puissance 11 eb g b g b g mbg= bg bg Ωbg bg hb g = b g vb g Tb g = b g Φ b g Electricité P t = v t i t Mécanique P t v t f t P t t N t Hydraulique P t p t q t Thermique P t T t t mr Les machines les plus intéressantes sont celles où plusieurs technologies sont utilisées simultanément. Ces machines sont conçues, en général, pour effectuer une conversion entre technologies (conversion mécanique-électrique dans une dynamo ou un alternateur, conversion électrique-thermique dans un appareil de 11 Dans les expressions qui suivent, chaque symbole a la signification habituelle de sa propre technologie. - 7 -

Comportement chauffage par exemple). Dans de nombreux cas, la puissance est presque 12 conservée. 2.6. Energie L'énergie qu'il a fallu dépenser pour passer de l'état dans lequel on se trouvait à l'instant t 0 à l'état dans lequel on se trouve à l'instant t 1 s'exprime très généralement par : t1 Energiebg t1 Energiebgz = t0 + Puissancebg u du t0 Ce qui peut s'écrire : t1 Energiebg t1 Energiebgz = t0 + Pbgbg u F u du t0 bg Le terme Energie t 0 ne peut pas être déterminé, il peut donc être pris de façon arbitraire pour un instant arbitraire t 0 donné. On va donc considérer que l'instant où notre composant commence à vivre 13 est notre référence temporelle bt 0 = 0g, qu'à ce moment là aucun flux ne le traverse : Fb0g = 0, qu'il n'est le siège d'aucune différence de potentiel : Pb0g = 0 et que, par convention, Energieb0g = 0. Dans ces conditions, on peut définir l'énergie stockée dans le composant pour tout instant postérieur t : b g Energie t =zt 0 b g b g P u F u du Cette expression peut prendre différentes formes selon le type du composant auquel on l'applique. 12 Supposer qu'elle l'est est la plupart du temps une bonne approximation. Attention, la conversion de chaleur en travail a été tellement difficile à étudier qu'il a fallu développer une science spéciale, la thermodynamique, pour y parvenir. 13 Ce moment là correspond naturellement à l'instant où la machine est mise en route. - 8 -

Comportement 2.6.1. Energie dans une Inductance Ainsi, pour une inductance on peut écrire : bg b g b g Energie t Energie t Energie t z t df u = Inductance 0 du = Inductance zt 0 2 F t = Inductance 2 bg bg b g bug bg F u df Fudu On remarque que cette énergie ne dépend que du flux et qu'elle est nulle lorsqu'il est nul. Elle est donc liée au mouvement, nous l'appellerons Energie cinétique. On pourra alors dire en raccourci qu'une inductance stocke de l'énergie cinétique. 2.6.2. Energie dans une Capacité Un calcul analogue montre que pour une capacité, on peut écrire : t d P u Energiebg bg t = Capacité Pudu bg 0 du t Energiebtg = Capacité Pbugd Pbug b g Energie t z z0 bg 2 P t = Capacité 2 On remarque que cette énergie ne dépend que de la différence de potentiel et qu'elle est nulle lorsque cette différence est nulle. Elle n'est donc pas liée au mouvement, nous l'appellerons Energie potentielle. On pourra alors dire en raccourci qu'une capacité stocke de l'énergie potentielle. Cette énergie potentielle peut engendrer un mouvement dès l'instant qu'on décharge la capacité, elle peut donc se transformer en énergie cinétique. Inversement si de l'énergie cinétique charge une capacité, elle se transforme en énergie potentielle. 2.6.3. Energie dans une Résistance Pour une résistance, on peut écrire : b g b g Energie t = zt 0 zt 0 b g b g b g Résistance F u F u du 2 Energie t = Résistance F u du - 9 -

Comportement ce qui dans le cas particulier où le flux est constant donne les résultats bien connu : 2 Energie = Résistance Ft= 2 P t Résistance Contrairement à l'énergie cinétique et à l'énergie potentielle, cette forme d'énergie n'est pas stockée, elle est, en général, transformée en chaleur. On pourra alors dire en raccourci qu'une Résistance dissipe de l'énergie. 2.7. Générateurs Pour que la machine puisse vivre, il est nécessaire de lui fournir une certaine quantité des entités conservatives qu'elle manipule. Cela peut se faire soit en imposant une différence de potentiel entre des points appropriés soit en injectant un flux approprié 14. On utilise, pour cela, des composants spéciaux appelés générateurs. F Générateur P interface du générateur figure 2 : Symbole représentant un générateur. Ce générateur fournit un flux F sous une différence de potentiel P. 14 Décrire le fait d'apporter, d'un seul coup, une quantité donnée d'entité pose un problème difficile qu'on n'abordera pas ici. - 10 -

Comportement Les générateurs sont caractérisés par la relation Flux-Potentiel qui décrit leur interface accessible. Flux A B Différence de potentiel figure 3 : Caractéristiques d'un générateur. La zone A correspond à un fonctionnement en générateur de flux tandis que la zone B correspond à un fonctionnement en générateur de potentiel. On peut donc concevoir soit des générateurs de flux capables de fournir un flux donné (approximativement constant) soit des générateurs de potentiel capables de fournir une différence de potentielle donnée (approximativement constante). 2.8. Transformateurs & Gyrateurs De nombreux composants sont à cheval sur deux technologies. Tous ces composants conservent la puissance et peuvent être regroupés en deux catégorie : Transformateur tels que : P2 P 1 F1 = = k F 2 Gyrateur tels que : P 2 P1 = = k F F 1 2-11 -

Comportement S q v p v f f = ps v = qv S figure 4 : Exemple de gyrateur hydraulique-mécanique. Il transforme un débit volumique (flux hydraulique) en vitesse (potentiel mécanique) et inversement. q v1 q v2 S 1 S 2 p p 2 1 ps qv S = ps 1 1 2 2 1 1 qv = S 2 2 figure 5 : Exemple de transformateur hydraulique. Il transforme deux débits volumiques (flux hydrauliques) ou deux pressions (potentiels hydrauliques). Essayez de concevoir un transformateur mécanique fonctionnant sur un principe analogue. En réfléchissant un peu, on s'aperçoit que tous les capteurs et tous les générateurs sont des transformateurs ou des gyrateurs qui s'ignorent. 2.9. Schéma électrique équivalent Pour un électricien, il est particulièrement commode d'étudier une machine à l'aide d'un schéma électrique équivalent. Dans un tel schéma, les tensions électriques jouent le rôle des potentiels et les courants électriques celui des flux. Le comportement de ce schéma est identique à celui de la machine étudiée. Si les composants électriques utilisés ont la même valeur numérique que les composants correspondants de la machine, les tensions et les courants auront également la même valeur numérique que les potentiels et les flux - 12 -

Comportement correspondants. Dans un même ordre d'idée, on peut construire un simulateur électrique d'une machine La construction d'un schéma équivalent nécessite les étapes suivantes : 1. identifier les potentiels de référence (au moins un par technologie), ils joueront le rôle de la masse électrique. 2. placer un noeud de courant (point de tension) pour chaque valeur différente des potentiels. 3. relier tous les noeuds de courant (points de tension) précédents par les composants ad'hoc. Les schémas électriques équivalent utilisent, bien sûr, tous les symbolismes des schémas électriques à l'exception des transformateurs 15 et des gyrateurs qui sont représentés par des générateurs de tension ou de courant couplés. 15 L'utilisation du symbole électrique du transformateur est dangereuse car le transformateur électrique est beaucoup plus complexe que le simple transformateur que nous avons défini (en particulier, souvenez-vous que le transformateur électrique ne passe pas le continu). - 13 -

Analogie Mécanique-Electricité 3. Analogie Mécanique-Electricité 3.1. Flux et Potentiel On peut bâtir une analogie mécanique-électrique à une dimension 16 à partir de la correspondance suivante : Electricité Mécanique Entité conservative Charge électrique Quantité de mouvement Moment cinétique Flux Courant électrique Force Couple Potentiel Tension électrique Vitesse Vitesse angulaire 16 Vouloir introduire une analogie à plusieurs dimensions entraîne la nécessité de définir un potentiel-vecteur ce qui ne serait pas aussi simple. Rassurez-vous, de très nombreux mécanismes ont été construits mono-dimensionnels pour échapper à cette difficulté. - 14 -

Analogie Mécanique-Electricité 3.2. Composants mécaniques 3.2.1. Capacité mécanique Considérons une masse m et appliquons-y une force f : m f x(t) figure 6 : Capacité mécanique. La seconde loi de Newton 17 permet d'écrire : f = ma ce qui peut se réécrire : f = C dv m dt où : C m = m est une capacité mécanique On vient de montrer que la masse se comporte comme une capacité. On montrerait de même (le faire est un bon exercice) que le moment d'inertie d'une masse en rotation se comporte également comme une capacité. 17 Comme on traite essentiellement une mécanique mono-dimensionnelle, les lois mécaniques sont écrites en module. - 15 -

Analogie Mécanique-Electricité 3.2.2. Inductance mécanique Montrons qu'il est possible de raisonner à l'envers en recherchant le composant mécanique qui pourrait jouer le rôle d'une inductance. f(t) x 0 x(t) figure 7 : Inductance mécanique. Un tel composant, s'il existe, devrait être décrit par la loi : b g vt bg = L df t m dt Ce qui peut se réécrire : b g f t bg f t bg f t 1 = f0 + L m 1 = f0 + L m z z vt dt dx t dt 1 = f + L xt x t 0 t 0 b g b g bg dt 0 0 m ce qui est le modèle d'un ressort de raideur x 0 lorsqu'il est soumis à une force constante généralement, celui de l'élasticité. 1 L m f 0 dont la position de repos est en. Ce modèle est, plus Un ressort spirale ou une barre de torsion se comporte également comme des inductances (le montrer est un bon exercice). 3.2.3. Résistance mécanique Un composant résistant dissipe de l'énergie et la transforme en chaleur. En mécanique, ce sont les frottements qui produisent cet effet là et un dispositif mécanique siège d'un frottement est candidat au titre de résistance. - 16 -

Analogie Mécanique-Electricité Le comportement d'une résistance mécanique est décrit par l'expression : v = R f ou Ω = R N m Le coefficient de proportionnalité R m sera appelée, par analogie, résistance mécanique. Il existe deux type de frottements en mécaniques : les frottements secs qui engendrent une force de frottement constante, les frottements fluides qui engendrent une force de frottement qui dépend de la différence des vitesses des deux pièces qui frottent. m armature liquide ou gaz f piston v 1 v 2 f = k a (v 2 - V 1 ) figure 8 : Résistance mécanique. Un amortisseur hydraulique ou pneumatique peut, dans une certaine plage de vitesse, être considéré comme une résistance mécanique. L'effet de frottement est provoqué par le laminage du fluide à travers des trous calibrés pratiqués dans le piston. On rencontre du frottement fluide lorsqu'un solide se déplace dans un fluide (liquide ou gaz) ou lorsque deux solides se déplacent l'un contre l'autre en présence d'une lubrification (coussinets mécaniques par exemple). 3.3. Générateurs mécaniques Les générateurs mécaniques sont habituellement appelés moteurs. Un tel générateur utilise nécessairement une autre technologie pour fonctionner (électricité, chaleur, chimie, biologie...). En tant que générateur, nous ne nous intéressons qu'à leur interface mécanique constituée de la vitesse de déplacement (ou de rotation) qu'ils engendrent et de la force (ou du couple) qu'ils fournissent. - 17 -

Analogie Mécanique-Electricité Un moteur est décrit, en ce qui nous concerne, par sa caractéristique reliant la force (ou le couple) fournie pour une vitesse de déplacement (ou de rotation) donnée. On rencontre typiquement des courbes ayant l'allure suivante : Force ou Couple de démarrage Force ou Couple Moteur électrique à courant continu Moteur animal... Moteur électrique à courant alternatif Moteur thermique (automobile)... A B Vitesse à vide Vitesse déplacement ou de rotation figure 9 : Caractéristiques de moteur. La zone A correspond à un fonctionnement en générateur de flux tandis que la zone B correspond à un fonctionnement en générateur de potentiel. On remarque que tous les moteurs ne permettent pas de fonctionner en générateur de flux. 3.4. Schéma électrique équivalent L'étude des dispositifs mécaniques peut souvent se faire par l'intermédiaire d'un schéma électrique équivalent. Dans un tel schéma, les tensions électriques jouent le rôle des vitesses et les courants électriques celui des forces. - 18 -

Analogie Mécanique-Electricité L'exemple suivant illustre cette approche : Deux grosses poulies de rayon r et de moment d'inertie I Ressort de raideur k R Liquide amortisseur : k A f 0 x m figure 10 : Exemple de schéma mécanique. L'état initial correspond à l'état d'équilibre atteint lorsque la force f 0 est appliquée. A l'instant t = 0, on annule la force f 0 (on lâche le plongeur). La construction du schéma équivalent nécessite les étapes suivantes : 1. identifier la vitesse de référence, elle jouera le rôle de la masse électrique. On prend la vitesse du socle par exemple. 2. placer un noeud de courant (point de tension) pour chaque valeur de vitesse. v : vitesse de déplacement du plongeur, Ω : vitesse de rotation des poulies. 3. relier tous les noeuds de courant (points de tension) précédents par les composants ad'hoc. v Ω f 0 1/k R 1/k A m v/r 2 I figure 11 : Schéma électrique équivalent. A l'instant t = 0, l'interrupteur est ouvert. - 19 -

Analogie Mécanique-Electricité 3.5. L'autre Analogie La nature des composants utilisés en mécanique dépend du choix qui a été fait des grandeurs de flux et de potentiel. Comme le raisonnement par analogie est essentiellement formel, le choix dual est possible. Considérons la loi de Newton : f = m dv dt ainsi que les lois de définition de la capacité et de l'inductance : Inductance P= Capacité F = L df dt C dv dt On constate que ces deux lois sont symétriques, ainsi si on intervertit les grandeurs de flux et de potentiel, ce qui était inductance devient capacité et réciproquement. Le tableau suivant résume la situation : Flux Force Vitesse Potentiel Vitesse Force masse Capacité Inductance f = m dv dt élasticité Inductance Capacité v = 1 k Frottement fluide Résistance Conductance f = k a v R df dt L'analogie Force-Flux que nous avons choisie exprime que la quantité de mouvement est conservative, que les forces sont additives et que les vitesses 18 ne le sont pas mais elle amène à appeler énergie cinétique ce que la mécanique traditionnelle appelle énergie potentielle puisque l'élasticité est considérée comme une inductance. Par contre l'analogie Flux-vitesse appelle énergie cinétique ce que la mécanique appelle énergie cinétique mais considère que la position est une grandeur conservative, que les vitesses sont additives et que les forces ne le sont pas. Ces deux formes d'analogies se rencontrent dans la littérature aussi est-il bon de les connaître toutes les deux même si on en préfère personnellement une des deux. 18 Ne pas confondre addition des vitesses et changement de référence. - 20 -