PRPRTINNALITÉ Pour démarrer I Effectuer des calculs 1. Faire le produit de 4,5 par 1,2 c est réaliser avec sa machine : 4,5 1,2 EXE 5,4. 2. Faire le quotient de 4,5 par 1,2 c est réaliser avec sa machine : 4,5 1,2 EXE 3,75. 3. Passer d un nombre en écriture décimale à une fraction décimale dont le dénominateur est 10, 100, 462 4,62 100 Avec deux chiffres après la virgule, on a deux «0» après le 1. n obtient ainsi des centièmes. 3,5 4. Prendre 3,5 % de 62, c est calculer 62 2,17. 100 5. 6 fois plus grand et 6 fois plus petit Nombre 6 fois plus petit Nombre de départ : 4,62 Nombre 6 fois plus grand 4,62 6 0,77. 4,62 6 27,72. II Lire et réaliser un graphique 1. Lire une représentation graphique. Ici, on a représenté la température ( C) en fonction de la durée (h). Le point B signifie qu à 9 heures, la température est égale à 20 C. La température la moins élevée a été relevée à 8 heures. L abscisse du point C est 10, son ordonnée est 20. Les coordonnées du point D sont (11 ; 30). 40 30 20 10 q ( C) A B 8 9 C D 10 11 t (h) 2. Représenter le prix en fonction de la masse des pommes (kg). en ordonnée Prix ( ) 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 Masse (kg) 0,5 2 3 Prix ( ) 1 4 6 en abscisse Masse (kg) Hachette Livre - CAP/Mathématiques/Secteur tertiaire - La photocopie non autorisée est un délit. 31
Activité 1 QCM PRPRTINNALITÉ Pour chaque ligne, choisir la (ou les) bonne(s) réponse(s). 1 105 100 peut s écrire REPNSES A B C 1,05 0,105 10 500 2 Le quotient de 4 par 5 s écrit 5 4 5 4 4 5 3 Le produit de 2 par 10 est 5 12 20 4 À quelle écriture correspond un demi 1 2 0,2 0,5 5 Le nombre manquant de l égalité 24? 12 est le quotient de 12 par 24 introuvable le quotient de 24 par 12 6 Prendre soixante-quinze pour cent de 32 c est faire 32 75 100 0,75 32 0,75 32 7 Diviser 18 par 10 revient à écrire 18 10 18 10 18 0,1 8 La partie grise représente 280 m 2, la partie colorée représente 600 m 2 700 m 2 800 m 2 9 Les sept points sont alignés avec dans la figure 10 Les coordonnées y de G, K et V sont 1 G 1 V K x G (1 ; 2) K (0 ; 2) V (2 ; 1) G (1 ; 2) K (2 ; 0) V (1 ; 2) G (1 ; 2) K (2 ; 0) V ( 1 ; 2) 11 Vingt-cinq pour cent peut s écrire 25 % 25 100 0,25 12 Un gâteau pèse 800 g. Les 25 % de ce gâteau pèsent le quart de la masse 400 g 0,25 800 = 200 g 13 Jules possède 8,50 et achète un stylo qui coûte 5 fois moins. Il paye 8,50 5 42,50 8,50 5 1,70 8,50 5 3,50 14 Jennifer a 24. Linda a trois fois plus d argent. Linda possède 24 3 27 24 3 8 24 3 72 32 Hachette Livre - CAP/Mathématiques/Secteur tertiaire - La photocopie non autorisée est un délit.
03 SITUATINS DE PRPRTINNALITÉ CHAPITRE BJECTIFS Reconnaître une situation de proportionnalité Traiter des problèmes relatifs à deux suites de nombres proportionnelles Activité 1 Définir une situation de proportionnalité Une bouteille d eau de source de montagne contient 1,5 L. Calculer les nombres manquants : 2 bouteilles contiennent 2 1,5 L 4 bouteilles contiennent 1,5 6 L 6 bouteilles contiennent 1,5 L bouteilles contiennent 10 1,5 15 L bouteilles contiennent 1,5 18 L a. Comment faire, connaissant le nombre de bouteilles, pour calculer le volume?.. b. Comment faire, connaissant le volume, pour calculer le nombre de bouteilles?.. c. Compléter le tableau avec les résultats obtenus : Nombre de bouteilles 2 4 6 Volume (L) 15 18 Retenir GRANDEURS PRPRTINNELLES Deux grandeurs sont proportionnelles si l on peut calculer les valeurs de l une en multipliant (ou divisant) les valeurs de l autre par un nombre, toujours le même. Une situation de proportionnalité peut se représenter par un tableau. Exemple : une bouteille d eau coûte 0,30, on peut mettre en relation le nombre de bouteilles et leur prix à l aide du tableau suivant : 0,30 Nombre de bouteilles 1 2 4 5 10 Prix ( ) 0,30 0,60 1,20 1,50 3,00 0,30 Hachette Livre - CAP/Mathématiques/Secteur tertiaire - La photocopie non autorisée est un délit. 33
03 ACTIVITÉS SITUATINS DE PRPRTINNALITÉ Activité 2 Reconnaître des situations de proportionnalité Situation 1 Faisant le «plein» de sa voiture, Arthur regarde de temps en temps les afficheurs numériques de la pompe et aperçoit quelques valeurs. V indique le volume débité en litres et P le prix en euros. V (L) P ( ) V (L) P ( ) V (L) P ( ) V (L) P ( ) V (L) P ( ) 3 3,75 9 11,25 15 18,75 30 37,50 50 62,50 a. Ces données peuvent s organiser sous forme de tableau numérique. Compléter le tableau ci-dessous à partir des afficheurs numériques. P Pour chaque colonne, faire le calcul du quotient. V V (L) 3 15 50 P ( ) 3,75 11,25 37,50 P ( /L) V b. Nommer les grandeurs en relation. c. Que constate-t-on? Que représentent les quotients de la troisième ligne? Situation 2 Nombre de lancers 15 18 12 21 30 Nombre de paniers 10 12 9 14 20 Avant les sélections de basket, Thomas fait des séries de lancers. Il compte alors les paniers réussis. n obtient le tableau de résultats ci-contre. d. Ces deux grandeurs sont-elles proportionnelles? Pourquoi? 3,20 2 Retenir LE CEFFICIENT DE PRPRTINNALITÉ Deux grandeurs sont proportionnelles s il existe un coefficient de proportionnalité. Il se calcule en faisant le quotient des valeurs de la deuxième ligne par les valeurs correspondantes de la première ligne. Exemple : Nombre de roses n 2 3 4 10 Prix des roses P ( ) 3,20 4,80 6,40 16 1,60 P 3,20 4,80 6,40 16 n 2 3 4 10 4,80 6,40 16 1,60. 3 4 10 Remarque : ici, le coefficient de proportionnalité correspond au prix d une rose. 34 Hachette Livre - CAP/Mathématiques/Secteur tertiaire - La photocopie non autorisée est un délit.
SITUATINS DE PRPRTINNALITÉ ACTIVITÉS 03 Activité 3 Calculer une quatrième proportionnelle Frédéric revient d une partie de pêche en mer avec son père. Il montre à ses camarades de classe la photo de la capture d un poisson «haut de 130 cm!!» dit-il fièrement. Ses camarades savent que Frédéric mesure 160 cm. a. Mesurer, sur la photographie, la taille de Frédéric et la longueur du poisson. Reporter ces mesures dans le tableau puis le compléter : Poisson Frédéric Mesure des longueurs sur la photo Mesure des longueurs dans la réalité 160 Conseil : utiliser le même coefficient pour calculer la longueur du poisson. b. Frédéric exagère -t-il en affirmant que son poisson mesure 130 cm? c. Faire le produit des nombres des cases grisées. d. Faire le produit des nombres des cases non grisées. e. Après avoir effectué les deux produits, que constate-t-on? Retenir CALCUL D UNE QUATRIÈME PRPRTINNELLE Dans un tableau de proportionnalité, pour calculer une quatrième proportionnelle (notée x), on peut utiliser l égalité des produits en croix. Exemple : à partir des deux colonnes d un tableau de proportionnalité 9,1 7 13 x 13 7 on peut écrire x 9,1 13 7, donc x 10. 9,1 Hachette Livre - CAP/Mathématiques/Secteur tertiaire - La photocopie non autorisée est un délit. 35
03 ACTIVITÉS SITUATINS DE PRPRTINNALITÉ Activité 4 Durée t (min) 1 4 6 8 10 Volume d eau V (L) 1,5 6 9 12 15 Représenter graphiquement une situation de proportionnalité Pour sabler une façade, on utilise un nettoyeur haute pression. Kevin trouve dans la notice technique le tableau de données ci-contre. La durée de fonctionnement est en minutes et le volume d eau débité en litres. a. Le volume d eau débité est-il proportionnel à la durée? Justifier la réponse. Volume (L) b. Placer dans le repère ci-contre cinq points A, B, C, D et E correspondant aux couples de nombres du tableau. 15 12 9 c. Tracer la droite (E). d. Que remarque-t-on pour les cinq points A, B, C, D et E?............................................................... e. Compléter la relation V t. 6 3 Durée (min) 2 4 6 8 10 Retenir REPRÉSENTER GRAPHIQUEMENT UNE SITUATIN DE PRPRTINNALITÉ Un graphique représente une situation de proportionnalité si les points sont alignés sur une droite passant par l origine du repère. Exemple : représentation graphique de la relation existant entre un volume et une hauteur de liquide. Volume h V Hauteur Les points du graphique sont alignés sur une droite passant par l origine : donc les deux grandeurs sont proportionnelles. 36 Hachette Livre - CAP/Mathématiques/Secteur tertiaire - La photocopie non autorisée est un délit.
SITUATINS DE PRPRTINNALITÉ Méthode 03 Comment reconnaître deux grandeurs proportionnelles? 1 Reconnaître deux grandeurs proportionnelles Avec un tableau Avec un graphique Durée t 1 2 3 6 2,5 Distance d 2,5 5 7,5 15 d Quotient 2,5 2,5 2,5 2,5 t d Le quotient est constant. t C est le coefficient de proportionnalité 2,5. d 15 7,5 5 2,5 A B C D Avec une relation d 2,5 t n obtient les valeurs de d en multipliant celles de t par le coefficient 2,5. 0 1 2 3 6 t Les points A, B, C et D sont alignés sur une droite passant par. Si t 1 alors d 2,5. 2 Calculer une quatrième proportionnelle C est rechercher la valeur de x connaissant les trois autres valeurs du tableau de proportionnalité. 1 re méthode : calculer le coefficient de proportionnalité x 6 1,5 9 2 e méthode : calculer le nombre multiplicateur (ou diviseur) qui permet de passer d une colonne à l autre x 4,5 2 9 3 6 4,5 x 3 6 4,5 x 2 3 6 4,5 x 1,5 3 e méthode : revenir à l unité en créant une autre colonne x 1,5 6 9 3 6 4 e méthode : utiliser l égalité des produits en croix 6 4,5 3 x 6 4,5 donc x 9 3 3 1 6 4,5 1,5 x 3 6 4,5 x Conseil : pour choisir la méthode la plus pratique, il faut, avant de commencer, bien observer les trois nombres donnés. Hachette Livre - CAP/Mathématiques/Secteur tertiaire - La photocopie non autorisée est un délit. 37
03 Exercices SITUATINS DE PRPRTINNALITÉ JE SAIS 1 Reconnaître la proportionnalité Quel est le tableau de proportionnalité? Tableau A Durée (s) 4 8 10 Distance (m) 10 20 24 Tableau B Masse (kg) Prix ( ) 2,75 11,00 2,73 10,92 2,05 18,20 4 Proportionnalité et graphique a) c) Pour chacun des graphiques, indiquer si on a une situation de proportionnalité. b) d) 2 Vrai ou faux? Vrai Faux Le prix d un scooter est proportionnel à la cylindrée du moteur. La hauteur d une ramette de papier est proportionnelle au nombre de feuilles. La masse d une bille en acier est proportionnelle à son volume. Le poids d une personne est proportionnel à son âge. Le prix du carburant est proportionnel à la quantité achetée. 3 Sans calculatrice Compléter sans calculatrice les deux tableaux de proportionnalité. Nombre d articles 2 6 Prix ( ) 10 40 Prix avant soldes ( ) 30 22 Prix soldé ( ) 20 11 6 «Produits en croix» Dans les trois tableaux de proportionnalité, calculer x en utilisant l égalité des produits en croix. 5 Coefficient de proportionnalité sans calculatrice 0,1 Compléter les tableaux et donner le second coefficient de proportionnalité. Durée (h) 2,5 1 Distance (km) 60 Prix ( ) 0,33 0,08 Nombre de 24 boutons 100 Masse (kg) 5 3 Prix ( ) 7 x Volume (cm 3 ) 2 0,3 Hauteur (cm) x 1,5 Prix ( ) x 27 Distance (km) 12,8 28,8 38 Hachette Livre - CAP/Mathématiques/Secteur tertiaire - La photocopie non autorisée est un délit.
SITUATINS DE PRPRTINNALITÉ EXERCICES 03 J APPLIQUE 7 Conversion heures et minutes Compléter le tableau. Durée (h) 1 0,5 0,75 1,25 Durée (min) 60 15 150 8 Prix unitaire La législation européenne impose l affichage des prix unitaires (au litre, au kilogramme ). a) Le prix d une bouteille de boisson gazeuse de 1,5 L est de 0,54. Quel est le prix du litre de cette boisson? b) Le prix de 650 g de filet de bœuf est de 12,74. Quel est le prix du kilogramme de filet? 9 Des carrés de chocolat Une plaque de chocolat est divisée en petits carrés. L L b) Compléter le tableau. Nombre de carrés 4 6 11 Longueur (cm) 2 8 c) Comment calculer une longueur à partir du nombre de carrés? d) Comment calculer le nombre de carrés à partir d une longueur? 10 Le freinage Le tableau suivant donne les distances de freinage d une automobile équipée de pneus «médiastone» sur route sèche ou mouillée et à différentes vitesses : Vitesse Distance de freinage (m) (km/h) sur route sèche sur route mouillée 40 14 21 60 34 51 80 60 90 100 102 153 120 146 219 Dans ce tableau de données, deux grandeurs sont proportionnelles. Nommer ces grandeurs. Justifier votre réponse. 8 cm a) Calculer L et L. 11 «Miniature» Une CLI 16V mesure 3,77 m de longueur ; son modèle «miniature» mesure 87,7 mm. Quelle sera la longueur de la LAGUNA miniature construite sur le même principe sachant que la voiture mesure 4,51 m? Hachette Livre - CAP/Mathématiques/Secteur tertiaire - La photocopie non autorisée est un délit. 39
03 EXERCICES SITUATINS DE PRPRTINNALITÉ 12 Flacons de parfum Un fabricant de flacons de verre utilisés en parfumerie propose quatre modèles. Son cahier des charges mentionne : Masse (g) 100 150 200 250 Volume (cl) 50 100 125 175 a) Combien de tours effectue le pignon lorsque le plateau fait un tour? b) Utiliser ce résultat pour compléter le tableau cidessous. Nombre de tours du plateau 4 25 Nombre de tours du pignon 6 300 c) Chaque tour de roue fait avancer le VTT de 2,1 m sur la piste. Quel est le nombre de tours de pédalier à réaliser pour effectuer un parcours de 5,7 km sur ce développement? a) Tracer le graphique correspondant en plaçant les masses sur l axe des abscisses et les volumes sur l axe des ordonnées. 200 100 Volume (cl) Masse (g) 50 100 150 200 250 b) Les points obtenus sont-ils alignés avec l origine? Peut-on dire que le volume est proportionnel à la masse du verre? 14 Recette Pour réaliser des truffes au raisin blanc, Cloé dispose de la recette suivante : 200 g de raisin blanc 360 g de chocolat à 70 % de cacao 160 g de cacao en poudre 20 cl de crème fleurette 4 cuillères à café de whisky. Elle ne dispose que de 270 g de chocolat à 70 % et les magasins sont fermés. Proposer la suite de nombres qui lui permettra de réaliser cette excellente recette en conservant les proportions des différents ingrédients. 13 VTT Le plateau du pédalier entraîne le pignon solidaire de la roue arrière du vélo. 15 Traduire des situations de proportionnalité Associer chaque tableau et chaque relation à la situation correspondante. Noter le nom des grandeurs proportionnelles dans les premières colonnes des tableaux (sans oublier de préciser les unités) puis répondre aux questions posées. Situation 1 Pierre a parcouru 15 kilomètres en 24 minutes. Combien de temps mettra-t-il pour parcourir 60 km? Quelle est la distance parcourue en une heure? 40 Hachette Livre - CAP/Mathématiques/Secteur tertiaire - La photocopie non autorisée est un délit.
SITUATINS DE PRPRTINNALITÉ EXERCICES 03 Situation 2 Un manège fait 25 tours en 6 minutes. En combien de temps fait-il 15 tours? Combien de tours fait-il en 1 heure? Situation 3 Avec 15 litres de lait, on fabrique 2,4 kg de fromage. Avec 60 litres de lait, quelle quantité de fromage peut-on fabriquer? Combien faut-il de litres de lait pour fabriquer 60 kg de fromage? Situation 4 Une voiture consomme en moyenne 8 litres d essence aux 100 km. Combien de kilomètres peut-elle faire avec 36 litres d essence? Combien consomme - t-elle pour faire 60 km? Tableau A... x 8 36... y 100 60 Tableau B... x 25 15... y 6 60 Tableau C... x 15 60... y 24 60 Tableau D... x 15 60... y 2,4 60 Relations y 0,16 x y 1,6 x y 12,5 x y 0,24 x 16 Les éco-recharges (d après CAP) Un fabricant de lessive propose des éco-recharges qui permettent de réutiliser les bidons de lessive vides. Ces éco-recharges contiennent de la lessive concentrée qu il faut diluer avec de l eau pour obtenir de la lessive prête à l emploi. Sur la notice d utilisation de l éco-recharge, il est écrit : «Verser 0,5 L de lessive concentrée dans un bidon de 5 L et compléter avec de l eau». En admettant qu il y a proportionnalité entre les volumes de lessive concentrée, les volumes d eau et les volumes de lessive prête à l emploi : a) Calculer le volume d eau nécessaire pour diluer 0,5 L de lessive concentrée. b) Calculer le volume de lessive concentrée nécessaire pour obtenir 15 L de lessive prête à l emploi. c) Calculer le volume d eau nécessaire pour diluer 3 L de lessive concentrée. d) Compléter le tableau ci-dessous. Volume de lessive concentrée (L) d eau (L) de lessive prête à l emploi (L) Points 0,5 3 5 15 25 A B C D n considère les points A, B, C et D qui ont pour abscisse les volumes de lessive concentrée et pour ordonnée les volumes de lessive prête à l emploi correspondants. e) Placer les points A, B, C et D dans le repère page suivante. f) Les quatre points sont-ils alignés? g) Si oui, tracer la droite qui passe par les quatre points dans le repère ci-après. h) Donner, en lisant sur la représentation graphique, le volume de lessive concentrée nécessaire pour obtenir 12,5 L de lessive prête à l emploi. Hachette Livre - CAP/Mathématiques/Secteur tertiaire - La photocopie non autorisée est un délit. 41
03 EXERCICES SITUATINS DE PRPRTINNALITÉ Volume de lessive prête à l emploi (L) 30 20 10 Volume de lessive concentrée (L) 0,5 1 1,5 2 2,5 3 17 Voyage en bus (d après CAP) Le prix d un ticket de bus (un aller ou un retour) à tarif réduit est de 0,75. d) Donner les coordonnées du point E ( ; ). e) Ces coordonnées vérifient-elles la relation : y 0,75x où x et y représentent l abscisse et l ordonnée du point? a) Compléter le tableau ci-dessous : Nombre de tickets 10 20 30 40 Prix ( ) Points A B C D b) Placer les points A, B, C et D dans le repère ci-dessous. c) Tracer la droite (D). f) L abonnement avec une carte à la même société de bus coûte 18. n a représenté cet abonnement par la droite (Δ) dans le repère précédent. Lucas a besoin de 11 aller/retour (22 tickets). Que choisira-t-il, pour payer le moins possible, la carte ou les tickets? Justifier la réponse. Martine a besoin de 15 aller/retour (30 tickets). Que choisira-t-elle, pour payer le moins possible, la carte ou les tickets? Justifier la réponse. 40 35 30 25 20 15 10 5 Prix des tickets ( ) E (D) Nombre de tickets 10 20 30 40 50 42 Hachette Livre - CAP/Mathématiques/Secteur tertiaire - La photocopie non autorisée est un délit.