ÉPREUVE N 6 (Antilles 1995) Exercice n 1 (6 points) Les questions 1) et 2) peuvent être traitées de façon indépendante. On prendra π = 3,14. Des parachutistes débutants sautant d'un avion atterrissent tous sur un terrain de un hectare (c'est à dire 10 000 m 2 ), constitué de la façon suivante : une cible circulaire de 60 m de diamètre ; un champ de luzerne, rectangulaire, de 80 m de long et 50 m de large ; une mare d'une superficie de 800 m 2 ; le reste étant en friche. On assimilera un parachutiste à un point matériel et on supposera que la probabilité qu'un parachutiste débutant tombe sur une partie du terrain est proportionnelle à l'aire de cette partie. 1) Déterminer les probabilités des événements suivants : A : "Le parachutiste tombe sur la cible". B : "Le parachutiste tombe dans la mare". C : "Le parachutiste tombe dans la luzerne". D : "Le parachutiste tombe dans la friche". 2) On admet que la probabilité pour qu'un parachutiste tombe sur la cible est 0,28. Quatre parachutistes sautent l'un après l'autre de l'avion. Déterminer les probabilités des événements suivants : E : "L'un d'entre eux exactement arrive sur la cible". F : "L'un d'entre eux au moins arrive sur la cible". Dénombrements, probabilités et variables aléatoires 1
ÉPREUVE N 6 (Antilles 1997) Exercice n 1 (5 points) Une urne contient 5 boules rouges et 10 boules bleues indiscernables au toucher. On exprimera les résultats numériques demandés dans l'exercice à 10-3 près. 1) On tire au hasard simultanément 3 boules de l'urne. a) Montrer qu'il y a 455 tirages possibles. b) Quelle est la probabilité d'obtenir 3 boules bleues? c) Quelle est la probabilité d'obtenir 1 boule rouge et 2 boules bleues? d) Quelle est la probabilité d'obtenir au moins 1 boule rouge? 2) On tire successivement, dans l'ordre et sans remise, 2 boules de l'urne. a) Combien y a-t-il de tirages possibles? b) Quelle est la probabilité d'obtenir une première boule bleue et une deuxième boule rouge? c) Quelle est la probabilité d'obtenir une première boule bleue et une deuxième boule bleue? Dénombrements, probabilités et variables aléatoires 2
ÉPREUVE N 6 (France métropolitaine Réunion Mayotte 1999) Exercice n 1 (5 points) Une urne contient 15 jetons indiscernables au toucher. Il y a 3 jetons rouges, 4 noirs et 8 blancs. L'épreuve consiste à tirer simultanément deux jetons au hasard. 1) On note A l'événement : "Les deux jetons sont rouges". Calculer la probabilité de l'événement A. 2) On note B l'événement : "Les deux jetons sont de la même couleur". Calculer la probabilité de l'événement B. 3) On note C l'événement : "Au moins un des deux jetons est blanc". Calculer la probabilité de l'événement C. 4) Calculer la probabilité sachant que les deux jetons sont de la même couleur, de l'événement : "Les deux jetons sont blancs". Dénombrements, probabilités et variables aléatoires 3
ÉPREUVE N 6 (France métropolitaine - Réunion 2001) Exercice n 1 (3,5 points) Une urne contient 8 boules blanches et 5 boules rouges indiscernables au toucher. L'épreuve consiste à tirer au hasard, simultanément, 3 boules dans l'urne. Soit les événements : A : "Tirer deux boules blanches exactement parmi les trois boules tirées". B : "Tirer exactement deux boules de la même couleur parmi les trois boules tirées". 1) Quel est le nombre de tirages possibles? Les probabilités suivantes seront exprimées sous forme décimale, arrondies à 10-2 près. 2) Calculer P (A). 3) Calculer P (B). Dénombrements, probabilités et variables aléatoires 4
ÉPREUVE N 6 (Antilles - Guyane 2003) Exercice n 1 (4 points) Un voyageur européen a collectionné dans une boîte les pièces de 1 euro des pays qu'il a visités. Il a dans sa boîte : 5 pièces françaises, 5 pièces italiennes, 3 pièces espagnoles, 2 pièces allemandes. On suppose ces pièces indiscernables au toucher. L'épreuve consiste à tirer au hasard et simultanément 4 pièces dans la boîte. Soit les événements : E : "Tirer exactement une pièce de chaque pays". F : "Tirer exactement deux pièces françaises". Les résultats des probabilités seront exprimés sous forme décimale, arrondis à 10-2 près. 1) Quel est le nombre de tirages possibles? 2) Calculer la probabilité de l'événement E. 3) Calculer la probabilité de l'événement F. Dénombrements, probabilités et variables aléatoires 5
ÉPREUVE N 6 (France métropolitaine Réunion 2004) Exercice n 1 (5 points) Il y a, sur une étagère, 10 livres de formats identiques : 6 livres d'une collection A et 4 livres d'une collection B. Un enfant choisit, simultanément et au hasard, 4 livres. 1) Montrer qu'il y a 210 possibilités de choisir ces 4 livres. 2) Soit X la variable aléatoire égale au nombre de livres de la collection A choisis parmi les 4. a) Quelles sont les différentes valeurs x i que peut prendre X? b) Calculer les probabilités p i correspondant aux valeurs x i trouvées en a), puis recopier et compléter le tableau suivant résumant la loi de probabilité associée à la variable aléatoire X. Les résultats seront donnés sous forme de fractions dont le dénominateur est 210. x i 0 1 2 3 4 P (X = x i ) = p i Dénombrements, probabilités et variables aléatoires 6
ÉPREUVE N 6 (Remplacement France métropolitaine - Antilles - Guyane - Réunion 2006) Exercice n 1 (7 points) Dans l'étalage d un fleuriste, se trouve un vase contenant 10 tulipes jaunes et 5 tulipes rouges. Un client constitue un bouquet de 4 tulipes choisies au hasard dans ce vase. 1) Montrer qu il y a 1 365 bouquets possibles. 2) On note X la variable aléatoire égale au nombre de tulipes rouges dans un bouquet. a) Quelles sont les différentes valeurs x i que peut prendre X? b) Calculer les probabilités p i correspondant aux valeurs x i trouvées en a). On laissera les p i sous forme de fractions de dénominateur égal à 1 365. c) Recopier et compléter le tableau suivant, résumant la loi de probabilité associée à la variable aléatoire X. x i 0 1 2 3 4 P ( X = x i ) = p i d) Calculer, à 10-4 près, l espérance mathématique de X, notée E (X). Dénombrements, probabilités et variables aléatoires 7