Méthodes du calcul de la prime : Bonus-malus, Réassurance, Système aléatoire à liaisons complètes

NICOLAS ES SIS-BRETON Méthodes du calcul de la prime : Bonus-malus, Réassurance, Système aléatoire à liaisons complètes Mémoire présenté à la Faculté des études supérieures de l'université Laval dans le cadre du programme de maîtrise en mathématiques pour l'obtention du grade de maître ès sciences (M.Sc.) DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES ET DE STATISTIQUE FACULTÉ DES SCIENCES ET GÉNIE UNIVERSITÉ LAVAL QUÉBEC 2009 Nicolas Essis-Breton, 2009

Résumé Dans ce mémoire, nous considérons différentes méthodes du calcul de la prime et de révision de la prime. Dans l'introduction, nous examinons d'abord les propriétés souhaitables d'un calcul de la prime ainsi que les différentes méthodes pour déterminer un principe de prime. Nous nous concentrons ensuite sur deux contextes où le principe de prime est déterminé de façon à réviser la prime en fonction de l'expérience de l'assuré. Nous considérons aussi un contexte où les aspects numériques reliés au calcul d'un principe de prime peuvent être analysés. Avec les systèmes bonus-malus, nous présentons une méthode classique de révision de la prime. Puis, après une analyse des principaux produits de réassurance, nous expliquons différentes méthodes numériques pour évaluer la prime. Avec les systèmes aléatoires à liaisons complètes, nous introduisons une approche nouvelle au problème de révision de la prime qui permet de déterminer des principes de prime optimaux dans certaines situations.

A vant-propos Je tiens à remercier M. Léveillé, mon directeur de recherche, qui a su me guider dans cette entreprise formidable qu'est la rédaction d'un mémoire. Je ne saurais trop exprimer ma gratitude pour son encadrement et le support qu'il m'a apporté. Son enthousiasme et sa rigueur pour la recherche m'ont inspiré et continueront de le faire. À ma femme, Ivana, je tiens à exprimer ma grande reconnaissance. Le soutien qu'elle m'a apporté est inestimable. C'est sans compter qu'elle m'a constamment encouragé. Je lui en serais toujours redevable. Enfin, je voudrais remercier le Conseil de recherche en sciences naturelles et en génie du Canada et la Chaire en assurance L'Industrielle-Alliance (Université Laval). Par des octrois à mon directeur, ils ont contribué financièrement à ce travail. Je remercie aussi la Chaire en assurance L'Industrielle-Alliance pour la bourse de deuxième cycle qu'elle m'a accordée.

TABLE DES MATIÈRES IV Table des matières Résumé Avant-propos Table des matières Table des figures Liste des tableaux Introduction 2 Systèmes bonus-malus 2. Vue d'ensemble des systèmes bonus-malus 2.2 Description d'un système bonus-malus 2.3 Analyse d'un système bonus-malus 2.3. Structure markovienne 2.3.2 Mesures d'efficacité 3 Réassurance 3. Principaux produits de réassurance 3.2 Réassurance stop-ioss.... 3.2. Résultats les plus importants 3.2.2 Formule récursive....... 3.2.3 Approximations... 3.3 Réassurance proportionnelle et non proportionnelle 3.4 Optimalité de certains produits de réassurance. 3.4. Optimalité du stop-ioss.... 3.4.2 Optimalité du proportionnel.... 3.5 Réassurance dans un contexte économique 4 Systèmes aléatoires à liaisons complètes 4. Introduction... 4.2 Historique... 4.3 Théorie des SALe ii iii IV vi vii 6 6 7 9 9 2 9 9 26 26 27 28 32 34... 34 36 36 38 38 38 39

TABLE DES MATIÈRES 4.3. Nature d'un SALC 4.3.2 SALC en actuariat 4.4 Exemples.... 4.4. Contexte et notation 4.4.2 Probabilité de ruine. 4.4.3 Distribution du temps de la ruine 4.4.4 Espérance du moment de la ruine en cas de ruine 4.4.5 Fonctions de répartition du surplus 4.4.6 Espérances et écart-types 4.5 Comparaison.... 5 Conclusion Bibliographie v 39 4 44 44 46 47 47 49 50 54 56 59

TABLE DES FIGURES VI Table des figures 3. Fonction de répartition exacte et obtenue par approximation 3 4. Fonction de répartition du surplus pour BI. 50 4.2 Fonction de répartition du surplus pour B2.. 5 4.3 Fonction de répartition du surplus pour B3.. 5 4.4 Fonction de répartition du surplus pour B4. 52 4.5 Fonction de répartition du surplus pour B5.. 52 4.6 Évolution de E ((i) et E (Çi) pour B3... 53 4.7 Évolution de JVar((i) et JVar(çJ pour B3.. 53 4.8 Évolution de E (IIi), E (Si) et E (Ri) pour B3. 54 4.9 Évolution de JVar (IIi), JVar (Si) et JVar (Ri) pour B3 54

LISTE DES TABLEAUX vu Liste des tableaux 2. Classe attribuée selon le nombre de points d 'inaptitude 9 2.2 Classe attribuée après k réclamations.......... 0 2.3 c', b' et NSRE pour le système de la Thaïlande.... 5 2.4 Coefficient de variation de la prime de l'assuré pour le système de la Thailande 7 2.5 Stationnarité et variation totale moyenne pour le système de la Thailande. 8 3. Paramètres des contrats de réassurance................. 3.2 Écart relatif entre les contextes sans réassurance et avec réassurance. 3.3 Caractéristiques du portefeuille S.......... 3.4 Paramètres des différentes approximations 3.5 Écart relatif avec la prime stop-loss exacte 4. Notation pour les cinq cas étudiés.. 4.2 Paramètres pour les cinq cas étudiés 4.3 Probabilité de ruine............ 4.4 Distribution du temps de la ruine... 4.5 Espérance et écart-type du moment de la ruine 4.6 Espérance et écart-type de la sévérité de la ruine. 23 25 30 3 33 45 45 46 48 49 49

Chapitre Introduction La prime chargée par un assureur permet aux assurés de bénéficier d'une couverture d'assurance contre un risque financier. Le montant de cette prime dépend de nombreux facteurs. Dans ce mémoire, nous présentons différentes méthodes et différents contextes où la théorie du risque aide à la modélisation de certains facteurs et ultimement à la détermination de la prime. Pour ce faire, nous nous concentrerons principalement sur les systèmes bonusmalus, la réassurance et les systèmes aléatoires à liaisons complètes. Avant de présenter le contenu de ces chapitres, nous discutons de ce qu'est un principe de prime, des propriétés désirables qu'il peut posséder, et présentons certains principes de primes importants. Cette discussion préliminaire soutient le contenu des chapitres où nous pourrons nous concentrer sur le calcul de la prime en tant que tel et son ajustement en fonction du contexte. Le lecteur souhaitant obtenir plus de détails sur ce sujet peut se référer à Goovaerts et autres [8], Kaas et autres [24]. Nous notons par II (X) la prime chargée par l'assureur pour couvrir le risque X. Toute règle qui permet d'associer à un risque X, une prime II (X) est appelée un principe de prime. Les propriétés suivantes sont des propriétés désirables pour un principe de prime. La liste n'est pas exhaustive, mais n'en présente pas moins les propriétés les plus importantes en pratique. Marge de sécurité positive: II (X) ~ le (X) Cette propriété exige que la prime soit supérieure ou égale au montant espéré des réclamations. Un principe de prime qui ne respecte pas cette propriété conduit l'assureur avec certitude à la ruine. 2 Additivité: II (X + Y) = II (X) + II (Y) Si X et Y sont des variables aléatoires indépendantes, cette propriété spécifie que la prime pour le risque combiné II (X + Y) doit être égale à la somme des primes individuelles II (X) et II (Y). Cette propriété garantit qu'il n'y a aucune différence entre assurer la totalité des risques ou répartir la couverture sur plusieurs contrats. 3 Proportionnalité: pour toute constante a ~ 0, II (ax) = ail (X) Si le montant des réclamations subit un changement d'échelle, à cause de l'inflation par exemple, cette propriété spécifie que la prime pour le nouveau risque ax est proportionnelle à la prime du risque de base II (X). Cette propriété garantit à l'assureur le même

2 niveau de profitabilité en cas de changement d'échelle du montant des réclamations. 4 Cohérence: pour toute constante a 2 0, II (X + a) == II (X) + a Si le montant de toutes réclamations est augmenté de a, à cause d'une taxe à l'émission du contrat par exemple, cette propriété spécifie que la prime de base II (X) est augmentée de a. Cette propriété garantit que le principe de prime donne un résultat logique face à de nouveaux coûts fixes par contrat. 5 Plafonnement: II (X) ~ X m où X m == max Dom (X) Si le montant maximal de réclamation est X m, cette propriété spécifie que la prime ne dépasse pas ce montant maximal. Dans le cas contraire, il n'y aurait aucune raison pour l'assuré de souscrire à la couverture d'assurance. Lors du choix d'un principe de prime, les propriétés qu'il possède sont déterminantes. En effet, il n'existe malheureusement pas de principe de prime qui satisfasse à toutes les propriétés. C'est le contexte qui dicte les propriétés requises pour le principe de prime. Toutefois, plusieurs tentatives ont été faites pour créer un principe de prime qui satisfasse au plus grand nombre de propriétés. Nous présentons maintenant les plus importants. A - Principe de la prime nette: II (X) == E (X) La prime est égale au montant espéré des réclamations. Ce principe est attrayant du fait qu'il est simple à utiliser. Cependant, il n'inclut aucune marge de sécurité et ne peut donc être utilisé pour établir la prime finale. Ce principe reste tout de même intéressant pour donner une idée de la prime de par sa simplicité. En plus, il respecte toutes les autres propriétés'. B - Principe de la valeur espérée : II (X) == ( + e) le (X),e > 0 Le montant espéré des réclamations est majoré d'une marge de sécurité ele (X). Ce principe est aussi simple à utiliser. Il est très utile en théorie du risque pour déterminer des bornes sur la probabilité de ruine. En pratique, l'inconvénient majeur de ce principe est qu'il alloue la nême marge aux risques qui ont le même montant espéré. Par exemple, soit X et Y des variables aléatoires tel que Pr (X = 0) Pr (Y == 0) Pr (X == 20) == /2, Pr (Y == 30) == /2. Les risques X et Y ont la même espérance, mais charger la même prime pour ces deux risques n'est pas prudent puisque la variance de Y est beaucoup plus grande (450 vs 50). Les deux prochains principes tentent de remédier à cet inconvénient. Ce principe ajoute une marge de sécurité positive, est additif et proportionnel. Cependant il n'est pas cohérent, ni plafonné, C - Principe de la variance: II (X) == le (X) + evar (X),e > 0 Ce principe modifie le principe de la valeur espérée en faisant dépendre la majoration de la variance du risque. Cette modification pernet de donner une prime différente à des risques qui n'ont pas la même variance. Ce principe a aussi' l'avantage d'être cohérent. Cependant, il n'est pas proportionnel puisque

3 II (ax) le (ax) ~ evar (ax) aie (X) + ea 2 Var (X) -# ait (X). Il n'est pas plafonné non plus, car pour une certaine valeur de e, il est possible d'avoir II (X) > Xm. D - Principe de l'écart-type: II (X) = le (X) + ejvar (X), e > 0 Ce principe est inspiré du principe de la valeur espérée et du principe de la variance. Ceci lui permet de bénéficier des avantages de chacun. En effet, ce principe donne une prime différente à des risques qui n'ont pas la même variance, en plus d'être proportionnel. Cependant, il n'est pas additif, car les écarts-types ne s'additionnent pas. Pour les mêmes raisons que pour le principe de la variance, ce principe n'est pas plafonné. E - Principe de l'utilité équivalente: u (w) = E (u (w - X + II (X))) Soit u la fonction d'utilité de l'assureur et w son surplus initial. Ce principe établi la prime comme le montant minimal que l'assureur doit charger, conformément à son aversion au risque, pour offrir la couverture. Ce principe inclut une marge de sécurité positive puisque, avec l'inégalité de Jensen u (w) = E (u (w - X + IT (X))) ~ u (w - X + II (X)). Le principe est cohérent et plafonné, cependant, il n'est pas additif ni proportionnel. F - Principe exponentiel: II (X) = ~ ln le (exp (f3x)),f3 > 0 Ce principe découle du principe de l'utilité équivalente lorsque la fonction d'utilité u est exponentielle, i.e. u = - exp (- f3x ),f3 > O. Ce principe possède la propriété de ne pas dépendre du surplus initial. Il est aussi proportionnel puisque II (X + Y) :a ln le (exp (8 (X + Y))) - ln le (exp (,ox) exp (f3y)) f3. :B ln le (exp (/3X)) + :Bln le (exp (f3y)) fi (X) + II (Y). Cependant, comme le principe de l'utilité équivalente, il n'est pas additif. G - Principe d'esscher : II (X) = le (X e hx ) lie (e hx ) Ce principe découle du principe de l'utilité exponentiel. Il survient lorsque l'assureur vise à optimiser son utilité selon le principe de l'utilité équivalente Inax u (w) - he (u (w - X + II (X))),h > O. TI

4 Ce principe peut aussi être vu comme une pondération du risque où plus de poids est donné aux évènements extrêmes. Il possède l'avantage d'être additif. Cependant, il n'est pas proportionnel puisque II (ax) aie (X e hax ) lie (e hax ) i- aie (X e hx ) lie (e hx ). Bülhman dérive ce principe de façon économique en [] et [2]. H - Principe du risque ajusté: II (X) = Jo oo Sx (t)c dt, 0 < c < où S x = - F x est la fonction de survie du risque X. Ce principe est semblable au principe d'esscher en ce sens qu'il produit aussi une pondération du risque où plus de poids est donné aux évènements extrêmes. Contrairement au principe d'esscher, il t proportionnel, mais pas additif puisque II (X + Y) = 00 Sx+Y (t)c dt 00 #- Ce principe possède toutes les autres propriétés. 00 Sx (tt dt + Sy (tt dt. La list,e de propriétés désirables pour un principe de prime et la liste des principes de prime, nous permettent de choisir un principe de prime de deux façons (Young [50)). Soit nous adoptons un principe de prime, puis nous analysons les propriétés qu'il possède. Soit nous déterminons une liste de propriétés désirables puis nous adoptons le principe de prime dont les propriétés s'approchent le plus de cette liste. Une troisième façon, dite économique, consiste à modéliser le contexte associé au problème étudié puis à en déduire un principe de prime. Par exemple, en assurance automobile, le problème consiste à attribuer à chaque assuré la bonne classe de tarif. Une des solutions classiques consiste à utiliser un système bonus-malus, dont le principe de prime implicite est de faire dépendre la marge de sécurité de l'expérience de l'assuré. Dans ce mémoire, avec les systèmes bonus-malus et les systèmes aléatoires à liaisons complètes, nous présentons plus en détail deux contextes où le principe de prime est déterminé de façon économique. Avec la réassurance nous présentons les aspects numériques reliés au calcul d'un principe de prime. Dans le chapitre sur les systèmes bonus-malus, nous considérons une approche classique au problème de révision de la prime. Dans le cadre de ces systèmes, l'accent est mis sur une modélisation adéquate des réclamations individuelles qui permet d'offrir la meilleure prime tout en maintenant un niveau raisonnable pour la probabilité de ruine. De par leur prise en compte de l'expérience de l'assuré et un ensemble de mesures d'efficacité permettant d'évaluer la santé financière du système, les systèmes bonus-malus parviennent à atteindre ces buts. Dans le chapitre sur la réassurance, nous analysons les principaux produits de réassurance et considérons les facteurs qui influencent le choix de la forme du contrat. Même si certains

contrats sont plus optimaux que d'autres, la cédante peut opter pour un contrat moins onéreux du moment qu'il maintient une probabilité de ruine raisonnable. Nous abordons ensuite les différentes méthodes de calcul et d'approximation de la valeur d'un contrat de réassurance. En effet, la complexité de la distribution de probabilité des contrats de réassurance doit être surmontée afin de pouvoir obtenir la prime. Dans le chapitre sur les systèmes aléatoires à liaisons complètes, nous considérons une approche nouvelle au problème de révision de la prime. Les systèmes aléatoires à liaisons complètes offrent un modèle qui explicite la relation entre la distribution des réclamations et le processus de révision de la prime. En analysant la probabilité de ruine, il est possible de déterminer des règles de décisions optimales pour le niveau de prime, et des situations optimales pour la dépendance entre le niveau de prime et la distribution des réclamations. 5

6 Chapitre 2 Systèmes bonus-malus 2. Vue d'ensemble des systèmes bonus-malus Les premiers systèmes bonus-malus furent utilisés en assurance automobile et remontent à aussi loin qu'en 90 en Angleterre, suivi de près par le Canada en 930 (Lemaire [29)). Ces systèmes accordaient une réduction de 0 % par exemple, en cas d'une année passée saris réclamation. En cas de réclamation, aucune pénalité n'était appliquée. Depuis ce temps, les systèmes bonus-malus ont beaucoup évolué et une théorie fondée sur les chaînes de Nlarkov a permis de mieux les analyser. Leur principal avantage est d'offrir un moyen simple de tenir compte de variables de tarification à posteriori, tout en récompensant les assurés qui conduisent prudemment. Les systèmes bonus-malus sont surtout utilisés en assurance automobile car il est généralement reconnu qu'un conducteur a un certain contrôle sur son nombre d'accidents. C'est pour ce domaine que la théorie a été le plus développée et a acquis sa terminologie. Le principe des bonus-malus se retrouve aussi, entre autres, en réassurance et en assurance collective. La théorie de la tarification par l'expérience et la théorie de la crédibilité, tout comme les bonus-malus, visent à tenir compte de variables à posteriori. Les deux précédents domaines ayant leurs propres saveurs théoriques, ils ne seront pas abordés ici. À travers le monde, soit les systènes bonus-malus sont imposés par le gouvernement, soit le marché est complètement libre. Lorsqu'ils sont imposés par le gouvernement, tous les assureurs doivent adopter le même système. Tandis que lorsque le marché est complètement libre chaque assureur construit son propre système. En Europe, une loi sur le libre marché est en cours d'application, tandis que dans les pays asiatiques les bonus-malus sont généralement réglementés par le gouvernement (Lemaire [30]). En Anérique, les deux types se retrouvent. Dans le cas particulier du Québec, la SAAQI utilise un système semblabe au bonus-malus pour pénaliser les infractions au code de la route. La configuration des systèmes varie aussi à travers le monde. Certains sont très simples et ne tiennent compte que du nombre de réclamations, tandis que d'autres tiennent aussi compte de la sévérité des accidents, de la possibilité de non augmentation de la prime et de la possibilité de couverture gratuite (Lemaire [29], [30)). l Société de l'assurance Automobile du Québec

2.2. DESCRiPTION D'UN SYSTÈME BONUS-MALUS 7 Dans ce chapitre, nous analyserons les systèmes bonus-malus à partir du concept de système de tarification. Cette présentation offre un cadre mathématique rigoureux qui permet de synthétiser les notions essentielles de la théorie. Dans la section (2.2) nous précisons la terminologie et les définitions utilisées dans la section (2.3) pour l'analyse théorique. La structure markovienne d'un système bonus-malus est analysée dans la section (2.3. ) et un ensemble de mesure d'efficacité du système est défini en (2.3.2). Un fait notable de la présentation, de par l'utilisation du cadre mathématique des systèmes de tarification, st le recours à la notion de règle de décision et l'obtention d 'une classification cohérente des mesures d'efficacité. 2.2 Description d'un système bonus-malus En assurance automobile, un assureur doit établir un système de tarification de sorte à être compétitif tout en contrôlant le risque qu'il assume. Soit (Xt)tE N le risque à tarifer et (Ct)t EN la classe de tarif d'un risque. Muni de cette notation, nous allons préciser la terminologie. Définition (Classe de tarif) Un e classe de tarif Ct détermine la prime à être chargée au temps t pour assumer le risque encouru dans la période [t, t + ]. Le processus (Ct)t EN représente l'évolution de la classe de tarif d'un risque dans le temps. Il est généralement supposé que (Xt\EN est indépendant de (Ct)t EN ' i.e. que le risque ne dépend pas de la classe de tarif. Nous adopterons aussi cette hypothèse. Cependant, la classe de tarif dépend du risque comme le requiert tout système de tarification. Définition 2 (Système de tarification) Un système de tarification est une règle de décision u (indépendante du temps) qui permet, au temps t, d 'associer une classe de tarif Ct au risque X t + à couvrir dans la prochaine période [t,t + ]. La définition précédente est largenent inspirée de Krahnen ([25]). Dans le contexte des bonus-malus, la règle de décision u d'un système de tarification définit la classe de tarif Ct à partir de variables de tarification. Ce que nous noterons par Ct == u (variables de tarification). Les variables de tarification dépendent du risque à tarifer et peuvent être classées en deux catégories. Définition 3 (Variable de tarification à priori) Variable de tarification dont la valeur est connue avant que le risque soit observé, i. e. si (At)tEN est une variable de tarification à priori pour le risque (Xt)tENJ alors At est connue avant que X t + soit observé, Yt EN.

2.2. DESCRIPTION D'UN SYSTÈME BONUS-MALUS 8 Définition 4 (Variable de tarification à posteriori) Variable de tarification dont la valeur est connue après que le risque soit observé, i. e. si (Yt)tEN est une variable de tarification à posteriori pour le risque (Xt)tE N' alors Yt+l est connue une fois X t + observé, Yt EN. Des exemples de variables à priori sont l'âge, le sexe, le,type de voiture, le lieu d'habitation.. Pour les variables à posteriori, le nombre de réclamations, le nombre d'accidents responsables, ou le nombre d'infractions au code de la route, sont des exemples. Des études comme celle de Lemaire, [27], montrent que les variables à posteriori sont de bien meilleurs prédicateurs pour l'estimation du risque comparativement aux variables à priori. C'est pourquoi il est crucial que la règle de décision u d 'un système de tarification incorpore des variables à posteriori dans son design. Un système bonus-malus définit Yt comme le nombre d'accidents responsables et At comme la classe de tarif de la période précédente. Définition 5 (Système bonus-malus) (i) Un système bonus-malus est un système de tarification où en début de période un risque est classé dans la classe de tarif Ct. En fin de période, le risque est classé dans la classe C t +, d'après la règle de décision u. La règle de décision u détermine la classe de tarif C t + en fonction de la classe de tarif Ct et du nombre d'accidents responsables observé Yt+l de la période précédente À t == 0, la valeur de Co est fixé à io' (ii) les classe de tarif (Ct )ten peuvent prendre. leur valeur parmi l classes possibles. La classe accorde le plus grand bonus, tandis que la classe l accorde le plus grand malus. (iii) À la i-ième classe de tarif correspond un pourcentage d'une prime de base b i tel que b l S b 2 S... S b l. Dans un système bonus-malus, les variables à priori mentionnées plus haut, comme l'âge ou le type de voiture, sont utilisées pour déterminer la prime de base d'un nouvel assuré. La prime accordée par la classe i correspond ainsi à la prime de base multipliée par le niveau de prime bi. Le système bonus-malus classique, présenté dans la définition précédente, peut être généralisé en modifiant la règle de décision u. Par exenple, en plus du nombre d'accidents responsables observé Yt+l, nous pourrions aussi faire dépendre les classes de tarifs du type d'accident ~~ tel que (2.) Exemple 6 (Système bonus-malus de la SAAQ) Au Québec, la SAAQ utilise un système de points d'inaptitude basé sur la gravité relative des infractions au code de la route. Par exemple, brûler un feu rouge entraîne 3 points d 'inaptitude, tandis qu 'un excès de vitesse, de 00km sur la limite prescrite, entraîne 2 points d 'inaptitude. Ces points sont inscrits au dossier du conducteur pour une période de deux ans. Le système bonus-malus tel que présenté dans ([46 j) possède 5 classes (voir le tableau 2.).

2.3. ANALYSE D'UN SYSTÈME BONUS-NIALUS 9 Ce système n'est pas un bonus-malus traditionel du f ait que les classes sont définies d'après la gravité relative des infractions au code de la route, plutôt que du nombre d'infractions au code de la route. Cependant, le système n'en demeure pas moins un système bonus-malus en tant que tel et constitue un exemple d'un système où les infractions mineures n'entraînent pas les mêmes sanctions que les infractions majeures. E n ce sens, le système de la SAA Q corrige un des déf auts des systèmes bonus-malus que plusieurs auteurs ont relevés (Lemaire [30]). Classe P oints d'inaptitude Niveau de prime 5 > 5 796 % 4 [2, 4] 572 % 3 [8, Il] 348 % 2 [4, 7] 200 % [0,3] 00 % T AB. 2. - Classe attribuée selon le nombre de points d'inaptit ude Remarque 7 Le système bonus-malus de la SAAQ entre dans le cadre des systèmes alétaoires à liaisons complètes (SA L C) car il garde un historique du moment où sont inscrits les points au dossier. N ous appronf ondirons plus en détails ces systèmes dans le chapitre sur les SA L C. Exemple 8 (Système bonus-malus classique) Le systèm e bonus-malus de la Thaïlande, tel que présenté dans!28), constitue un exemple représentatif d'un système bonus-malus classique. Il possède 7 classes avec un niveau de prime (b l,..., b 7 ) = (60 %,70 %,80 %, 00 %,20 %,30 %, 40 et la classe de départ Co = 4. La règle de transition est m in(,i - :~k =O etl~i~7 (. k) = 4, k - et 'l < 4 u 'l, 5, k ~ 2 et i < 4 { mi n (7, i + ), k -::J 0 et i 2 4 Ceci est représenté de f açon compacte dans le tableau (2.2). 2.3 Analyse d'un système bonus-malus 2.3. Structure markovienne Il est généralement supposé que (Yt)tEN forme une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées. Ceci revient à assumer que les habiletés de conduite d'un assuré ne changent pas dans le temps, i.e. que les conduct eurs n'apprennent pas de leurs expériences. Nous poserons aussi cette hypothèse. Comnle nous le verrons à la remarque (3) les systèmes bonus-malus possèdent un mécanisme pour compenser les lacunes de cette hypothèse.

2.3. ANALYSE D'UN SYSTÈME BONUS-MALUS 0 Classe Niveau de prime k=o k=l k?2 7 40 6 7 7 6 30 5 7 7 5 20 4 6 6 4 00 3 5 5 3 80 2 4 5 2 70 4 5 60 4 5 TAB. 2.2 - Classe attribuée après k réclamations Proposition 9 (Chaîne de Markov de la classe de tarif) Le processus de classe de tarif (Ct)tE N forme une chaîne de Markov homogène. Preuve. Soit it la valeur prise par la classe de tarif au temps t. Avec (2.) nous obtenons Pr (Ct+ = it+lct = it,..., Co = io) Pr (u (it, Yt+) = it+lu (it-, Yt) = it,..., Co = io) Pr ( u (it, Yt+ ) = it+ ) Pr (u (it, Yt+) = it+lct = it) = Pr (Ct+ = it+!ct = it). (2.2) En (2.2) nous utilisons le fait que les variables Co,..., Ct définies par Yi,..., Yt sont indépendantes de u (it, Yt+). La probabilité conditionnelle Pr (Ct+ = i t + lc t = it) donnée par Pr (u (it, Yt+ ) = it+ ) ne dépend pas de la classe de tarif Ct puisque les Yt sont identiquement distribuées. Donc le processus de classe de tarif (Ct)tEN forme une chaîne de Markov hon0gène. _ Remarque 0 (Équation stochastique récursive) L 'équation (2.) peut être vu,e comme une équation stochastique récursive et, comme il est souligné dans Rolski et autres [4 j, le processus (Ct)tE N forme alors automatiquement une chaîne de Markov. La preuve utilisée ci-haut est d'ailleurs celle prése'ntée dans la référence précédente. Soit {Pk} ken la distribution de probabilité commune à la suite (Yt )ten' nous pouvons obtenir la matrice de transition Q associée à (Ct)t EN en considérant chacun des éléments qij tel que Q = (qij) i,j=l,,,.,l. Proposition Il (Probabilités de transition de la classe de tarif) La probabilité de transition qij de passer de la classe i à la classe j est donnée par LPkj (u (i, k)). k=o

2.3. ANALYSE D'UN SYSTÈNIE BONUS-MALUS Il Preuve. Comme (Ct)tE N forme une chaîne de Markov, avec (2.), nous obtenons le résultat qij Pr (Ct+ == jlct == i) Pr ( u ( i, Yt) == j Ct == i) E ( j (u (i, Yt+ ) )). Remarque 2 La quantité Ij (u (i, k)) est parfois notée comme une règle de transition tij (k), si la police passe de la classe i à la classe j tij (k) == lorsque k réclamations surviennent. { 0, autrement Ceci permet de former une matrice de transition T (k) == (tij (k))i,j=l,...,l' T (k) est une matrice 0- ayant exactement un dans chaque ligne. La notation Ij (u (i, k)) facilite l'analyse comme nous l'avons vu à la proposition (9). Tandis que la notation tij (k) facilite la présentation de la règle de décision comme nous l'avons vu dans les exemples (6) et (8). Les tableaux récapitulatifs de ces exemples correspondent en effet à la matrice T (k) représentée de façon compacte. Le choix de l'une où l'autre des notations dépend du contexte. En pratique, il est généralement supposé que le nombre d'accidents responsables Yt suit une loi de Poisson avec intensité aléatoire A (Lemaire [28]). La distribution de A est définie par sa fonction de densité g appelée fonction de structure. Le choix classique pour la distribution de A est une distribution Gamma. La fréquence des réclamations suit alors une loi Binomiale Négative Lemma 3 Si Y V'"I Poisson( A) où A V'"I r ( Œ, (3) avec alors Yt ~ Binomiale Négative ( Cf,!/3)' Preuve. En conditionnant sur A, nous pouvons utiliser la fonction génératrice des probabilités d'une loi de Poisson E (E (ysia)) E ( exp (A (s - ))). En reconnaissant la dernière égalité comme la fonction génératrice des n0ments de A, nous obtenons la fonction génératrice des moments d'une loi Binomiale Négative ( - /3 (s - )) -Q ( ) Q ( (3 )-Q + /3 - + f3 s

2.3. ANALYSE D'UN SYSTÈME BONUS-MALUS 2 -Avec la proposition () et le lemme (3) nous pouvons calculer qf;), la probabilité de passer de la classe i à la classe j en n périodes, en multipliant la matrice Q par elle-même n fois. Pour analyser le comportement asymptotique de la classe de tarif, nous utilisons la notion de communication entre les classes i.e. que la classe i communique avec la classe j si 3 n E N tel que q~n) > 0 (Ross [42]). Proposition 4 (Ct\EN est une chaîne de Markov ergodique si et seulement si toutes les classes de tarif communiquent entre elles. Preuve. Si toutes les classes de tarif communiquent entre elles, la matrice de transition Q est irréductible et apériodique, d'où l'ergodicité de la chaîne de Markov (Ct)tEN _ Proposition 5 Si (Ct )ten est une chaîne de Markov ergodique alors il existe une distribution stationnaire a = (aj)j=l,..,p où aj = limn-too qf;) est la solution unique de l'équation a = aq, Laj =. j=l Preuve. Suit directement de la théorie sur les chaînes de Markov. _ Remarque 6 (i) Pour vérifier que toutes les classes d'une chaîne de Markov communiquent entre elles, une façon simple consiste à faire le graphe de la chaîne de Markov. Si le graphe est fermé, i. e. que tous les états peuvent être rejoint à partir de n'importe quel état de départ, alors tous les états communiquent entre eux. Si ce n'est pas le cas, tous les états ne communiquent pas entre eux, et la chaîne de Markov n'est pas ergodique. (ii) Plus de détails sur les notions d'ergodicité, d'irréductibilité et d' apériodicité peuvent être trouvés dans Rolski et autres [4 j. Ces notions y sont introduites en utilisant le concept de matrice régulière. Comme ces concepts ne sont pas directement reliés à notre sujet, nous ne les élaborons pas davantage. 2.3.2 Mesures d'efficacité L'efficacité d'un système constitue sa capacité à atteindre ses buts. Pour un système de tarification, trois buts distincts sont visés. En premier lieu, de par son influence directe sur les primes chargées, un système de tarification vise à maintenir les réserves de l'assureur à un bon niveau. En même temps, ce but n'est atteint que si le systène estine adéquatement le risque encouru par l'assureur. Finalement, les corrections à la prime effectuées par le systènle ne doivent pas être trop sévères sinon le système ne parvient pas à offrir aux assurés une couverture d'assurance qui pourrait les intéresser. Définition 7 (Efficacité d'un système de tarification) Un système de tarification est efficace s'il entraîne l

2.3. ANALYSE D'UN SYSTÈME BONUS-MALUS 3 (i) une stabilité financière du système, (ii) une estimation adéquate du risque, (iii) un respect du principe d'assurance de transfert du risque. La définition précédente, ainsi que le reste de cette section, suit le traitement proposé par Lemaire pour analyser l'efficacité d'un système bonus-malus(lemaire [29], [30)). Les sections suivantes précisent la définition des éléments sur lesquels reposent l'efficacité d'un système de tarification, et donnent les mesures applicables dans le contexte d'un système bonus-malus. Pour ce faire, nous utiliserons le processus de surplus (Ut)tE N dont voici la définition rigoureuse. Définition 8 (Surplus dans un systèil.e bonus-illalus) Soit X t + le montant des réclamations dans la période [t, t + ], r ( Ct) la prime chargée en début de période pour la classe Ct et u le niveau de réserve initial. Avec le niveau de surplus U t +, évalué en fin de période, nous définissons le processus de surplus (Ut)tE N par Ut + t+l u+ ~r(cs) - ~Xs s=o s=l t t+ u+ ~r(u(cs-,ys)) - ~Xs. s=o 8= Sans perte de généralité, nous supposerons que la prime de base est de et que le montant des réclamations est mis à une échelle unitaire. Ceci permet de focaliser l'analyse sur l'impact des niveaux de primes {b j } propre aux systèmes bonus-malus. l ~ q~~~bj. j=l,vt E N. Remarque 9 Voici un bref aperçu de la procédure qui même à la calibration d'un système bonus-malus. Dans une première étape les (b j )j=l"" l sont déterminées à l'aide de données et d'outils statistiques. Ensuite, u et (b j ) j=l,..,l sont choisies afin d'atteindre un équilibre entre les critères d'efficacité donnés à la définition (7). L'atteinte de l'équilibre entre les critères peut éventuellement demander un rajustement des (b j ) j = l,..,z. En [29j, Lemaire dresse un bon exposé de cette démarche. L'exemple détaillé de Denuit, [4j, éclaire aussi par son aspect très concret et orienté vers la pratique. 2.3.2. Stabilité financière Un bon système de tarification doit induire une structure de primes qui apporte une stabilité financière à l'assureur. Les bonus attribués par le système ne doivent pas ultimement causer une insuffisance des tarifs.