Analyse statique d une pièce

Analyse statique d une pièce Contrainte de Von Mises sur une chape taillée dans la masse

1 Comportement d un dynamomètre On considère le dynamomètre de forme globalement circulaire, excepté les bossages présents dans les zones de contact avec les structures environnantes (traverse de la machine de traction, pièce à tester). F F FIG. 1 Géométrie D du dynamomètre L objectif de cette étude est multiple : obtenir le lien entre le déplacement radial mesuré et l effort appliqué ; obtenir le lien entre les déformations mesurées en surface par jauge de déformation et l effort appliqué ; obtenir la charge maximale tolérée par le dynamomètre. 2 Modèle poutre Le rayon de courbure est grand devant les dimensions de la section : R = 75 mm, et b = 12 mm, h = 20 mm. Les variations de section sont inexistantes, excepté dans les zones d appui. Ces sur-épaisseurs ne seront pas considérées dans le modèle utilisé. ANALYSE STATIQUE D UNE PIÈCE F. Louf - Master 2 DFE 2

2.1 Symétries 2.1 Symétries Le chargement correspond à une compression diamétrale du dynamomètre. Il y a donc symétrie du chargement par rapport aux deux plans (O, x, z) et (O, y, z). Par ailleurs, la géométrie issue de la modélisation, tout comme la structure réelle, est elle aussi symétrique par rapport à ces deux plans. Globalement, le problème de mécanique présente donc deux plans de symétrie que l on exploitera par la suite. 2.2 Liaisons Le problème posé précédemment ne comporte pas de liaison avec le bâti. Par contre, la prise en compte des symétries impose : rotation nulle en A et B ; déplacement nul selon y en A, selon x en B. On obtient ainsi le modèle décrit sur la figure 2. y B P y t G n O θ A x FIG. 2 Modèle poutre retenu, en tenant compte des symétries 2. Degré d hyperstatisme Le système étudié ne présente aucune mobilité. Nous avons un solide, c est-à-dire trois équations issues du principe fondamental de la statique (problème plan) et quatre inconnues de liaison : moments d encastrement en A et B ; effort selon y en A, selon x en B. Le problème est donc hyperstatique d ordre un. ANALYSE STATIQUE D UNE PIÈCE F. Louf - Master 2 DFE

2.4 Résolution 2.4 Résolution La résolution d un problème hyperstatique passe par l utilisation, par exemple, de théorèmes énergétiques. 2.4.1 Equations de la statique L isolement du quart de la structure, et l application du principe fondamental de la statique donnent trois équations : X B = 0 (1) Y A F = 0 (2) M A + M B + RF = 0 () 2.4.2 Efforts de cohésion Le torseur des efforts de cohésion en un point G(θ) de la poutre est défini comme l opposé du torseur des efforts extérieurs appliqué sur la partie P de la poutre définie par le secteur angulaire [0, θ]. En isolant la partie P de la poutre, on obtient pour le torseur des efforts extérieurs : { } T Ext P = 0 F M A = (A,( x, y, z)) 0 F M A + FR(1 cos(θ)) Ainsi le torseur des efforts de cohésion est : } 0 {T Coh = F M A + FR(1 cos(θ)) (G,( x, y, z)) (G,( x, y, z)) soit dans la base locale de la poutre, de manière à voir quelles sont les sollicitations : } N(θ) F cos(θ) {T Coh = T y (θ) = F sin(θ) M fz (θ) M A + FR(1 cos(θ)) 2.4. Energie de déformation (G,( t, n, b)) (G,( t, n, b)) L énergie de déformation totale est, en négligeant l énergie de cisaillement devant les autres : E d = 1 2 L 2.4.4 Obtention de l équation manquante 0 (4) (5) (6) Mfz 2 + N2 ds (7) ES Le théorème de l énergie complémentaire dit que la solution en effort du problème réalise le minimum de l énergie complémentaire sur l ensemble des champs statiquement admissibles. On rappelle que l énergie complémentaire est définie par : E c = E d W (8) ANALYSE STATIQUE D UNE PIÈCE F. Louf - Master 2 DFE 4

2.4 Résolution où W représente le travail des efforts calculés dans les déplacement imposés. Il est donc impératif d écrire l énergie de déformation en tenant compte de l équilibre statique. Pour cela, on choisit une inconnue hyperstatique (M A par exemple), et on écrit tout en fonction de cette inconnue et des données du problème : E d = 1 2 L 0 (M A + FR(1 cos(θ))) 2 + (F cos(θ))2 ds (9) ES Dans notre cas, W = 0 puisque tous les déplacements et rotations imposés sont nuls. Ainsi, le théorème de l énergie complémentaire conduit à (cf théorème de Ménabréa) : soit encore, avec ds = Rdθ : π 2 Cette dernière équation conduit à : Finalement, le moment d encastrement en A est : et donc : 0 de c dm A = de d dm A = 0 (10) R (M A + FR(1 cos(θ))) dθ = 0 (11) π M A 2 + FR(π 1) = 0 (12) 2 M A = 2 π FR (1) π M B = 2 FR (14) π Le moment fléchissant est donc connu : M fz (θ) = FR ( ) 2 π cos(θ) (15) 2.4.5 Contrainte normale en surface Sur la peau intérieure, la contrainte normale est donnée par : σ n (θ, R h/2) = N(θ) S = F S + M fz h I gz 2 cos(θ) 6FR bh 2 ( ) 2 π cos(θ) (16) (17) Sur la peau extérieure, la contrainte normale est donnée par : σ n (θ, R + h/2) = N(θ) S = F S M fz h I gz 2 cos(θ) + 6FR bh 2 ( ) 2 π cos(θ) (18) (19) Les déformations aux "points" de mesure (θ = 0) peuvent alors être déduites de la contrainte par la loi de Hooke. ANALYSE STATIQUE D UNE PIÈCE F. Louf - Master 2 DFE 5

2.4 Résolution 2.4.6 Obtention de la raideur de l anneau L utilisation du théorème de Castigliano permet de trouver le lien entre l effort F y appliqué en B et le déplacement δ y qui en résulte : Il suffit de calculer : de d df = 1 π [ 2 R 2 d M 2 ] fz df = R = R = R 0 π 2 0 π 2 0 π 2 0 = R 2M A + FR = R 2 2 π Finalement : + d df [ N 2 ES M A + FR(1 cos(θ)) M A + FR(1 cos(θ)) R 2 π RM A + FR FR R 2 4 π La raideur vaut alors : de d df = δ (20) ] dθ (21) ( R 2 π π ( 2 π cos(θ) R (M A + (1 + 2 )FR) cos(θ) π + R 2(M A + (1 + 2 )FR) ( π FR + ( FR FR + + FR ) π ES 4 δ = F k = ) + R(1 cos(θ)) + F(cos(θ))2 ES + F ES dθ (22) ) + F(cos(θ))2 dθ (2) ES ( ) FR 2 (cos(θ)) 2 dθ + FR ES ( π 4 2 ) R + F π R π 4 ES 1 ( π 4 2 π) R + π 4 R ES ) π 4 La raideur ainsi calculée est bien celle de l anneau dynamométrique complet : le déplacement radial total vaut 2δ ; l effort appliqué sur l anneau complet vaut 2F. On remarquera que le second terme du déplacement est très faible par rapport au premier. La souplesse de la structure est essentiellement due à la flexion, et très peu à la compression. La correction apportée sur le déplacement est de l ordre de 1%. En effet la différence relative des déplacements calculés avec et sans prise en compte de la compression est : π 2 I gz π 2 8 R 2 S = π2 bh π 2 8 12R 2 bh = π2 π 2 8 h 2 h2 = 0.44 12R2 (24) (25) (26) (27) (28) R 2 (29) A partir du moment où on fait l hypothèse d un rayon de courbure R important devant les dimensions de la section (h notamment), la compression peut être négligée. 2.4.7 Applications numériques Les caractéristiques dimensionnelles et matériau de l anneau dynamométrique sont : Rayon intérieur : R int = 69 mm ; ANALYSE STATIQUE D UNE PIÈCE F. Louf - Master 2 DFE 6

Rayon extérieur : R ext = 81 mm ; Rayon moyen : R = (R int + R ext )/2 ; Epaisseur selon un rayon : h = R ext R int ; Epaisseur selon z : b = 20 mm ; Module de Young : E = 210000 MPa. La raideur calculée avec ces éléments est : k = 9529 N.mm 1 (0) Pour une charge de 1000 N, la contrainte normale maximale est obtenue à l extérieur et à l intérieur de l anneau en θ = π 2 (l effort normal est nul) : σ max n = 49.7 MPa (1) A titre indicatif, la contrainte normale en θ = 0 vaut 26. MPa à l extérieur et 0.5 MPa à l intérieur. Ces valeurs sont intéressantes parce qu à cet endroit la géométrie représentée par le modèle poutre est proche du modèle D. σ (MPa) 40 20 θ (deg) 20 40 60 80-20 -40 FIG. Contrainte normale sur les faces extérieure et intérieure (MPa) en fonction de l angle Mesures Des mesures effectuées fournissent les informations suivantes : lien entre l effort appliqué et le déplacement radial mesuré ; lien entre l effort appliqué et les déformations mesurées pour θ = 0. La raideur mesurée vaut k = 15288 N.mm 1 (2) Les déformations mesurées à l intérieur et à l extérieur pour un effort unitaire sont : ε int = 0.142µm.m 1.N 1 () ε ext = 0.104µm.m 1.N 1 (4) ANALYSE STATIQUE D UNE PIÈCE F. Louf - Master 2 DFE 7

Un rapide calcul permet d estimer la contrainte normale à l extérieur et à l intérieur de l anneau dynamométrique, pour θ = 0. On obtient : σn ext = 2, 1 Mpa et σn int = 1, Mpa 4 Modèle éléments finis 4.1 Géométrie D La géométrie D est déjà créée et peut être récupérée dans le fichier Dynamometre.CATPart mais ne prend pas en compte les symétries. Il faut couper le volume par les trois plans de symétrie. Pour faire cela, double-cliquer sur l icône coupe (afin de maintenir celle-ci active) et sélectionner successivement les trois plans de symétrie. Une fois que cela est fait, cliquer sur annuler pour fermer la fenêtre de l outil. Remarque. On fera en sorte de conserver le volume dont les points matériels sont de coordonnées x, y et z positives. Pour modifier la zone conservée après coupe, on peut cliquer sur la flèche orange apparaissant sur le volume lors de l utilisation de l outil. Maintenant que la géométrie est adaptée au modèle que l on souhaite traiter, on peut lancer l atelier d analyse éléments finis : Analyse et simulation/generative Structural Analysis. A l ouverture de l atelier une fenêtre propose de choisir le type d analyse à effectuer : sélectionner Analyse statique. 4.2 Maillage Le maillage tétraédrique est pré-défini dès que l on entre dans l atelier. La taille des éléments est calculée en fonction de la géométrie (dimension, détails,...). Le maillage sera mis à jour lors du calcul. Pour le visualiser dès maintenant, cliquer droit sur le nœud Maillage, et sélectionner visualiser le maillage. Une fois que cela est fait, désactiver l image en cliquant droit sur le maillage dans l arbre. 4. Définition de groupes Afin de visualiser aisément des quantités mécaniques (déplacements, contraintes) dans des zones particulières telles que des petites surfaces, des arêtes, des points, et de les exporter, il est intéressant d utiliser la notion de groupes. Un groupe peut être vu comme une interface entre une géométrie (sous-jacente au maillage ou pas) et les noeuds d un maillage. Ici on cherche à récupérer la contrainte normale sur les surfaces intérieures et extérieures. Pour simplifier, on ne va regarder cette quantité que sur l intersection de ces surfaces avec le plan médian du dynamomètre (O, x, y). Il faut donc définir deux groupes de lignes que l on nommera respectivement "Noeuds de la ligne extérieure" et "Noeuds de la ligne intérieure", et qui correspondront au cercle intérieur, et au cercle extérieur (jusqu au bossage), comme explicité sur la figure 4. ANALYSE STATIQUE D UNE PIÈCE F. Louf - Master 2 DFE 8

4.4 Conditions aux limites (a) Ligne intérieure (b) Ligne extérieure FIG. 4 Lignes intérieures et extérieures à sélectionner pour définir les groupes Une fois ces éléments définis, il est possible de visualiser les entités qui y sont rattachées et notamment les nœuds ; pour cela il suffit de cliquer droit sur un groupe (dans l arbre) et de choisir Analyse du groupe. En cochant la case Noeuds, les nœuds associés au groupe sont tracés. 4.4 Conditions aux limites Les conditions aux limites sont ici issues uniquement des trois conditions de symétrie. Il s agit donc d appliquer un déplacement nul selon les normales des plans de symétrie, sur les plans de symétrie. Une façon simple d appliquer cette condition est d utiliser l outil Glissement Surfacique en sélectionnant les faces concernées. Une autre méthode consiste à utiliser l outil Fixations définies par l utilsateur. Il faut alors cocher les degrés de liberté que l on souhaite bloquer (et pas l inverse). 4.5 Prise en compte de la traverse En pratique, si l on considère que la traverse qui impose l effort sur le dynamomètre est très rigide, on peut imposer que les points du plan du bossage restent dans un plan après déformation. Pour cela, on peut imposer que la face d application de l effort demeure rigide pendant le chargement à l aide de l outil Pièce virtuelle rigide dans lequel on aura sélectionné la face en question. Remarque. On aurait pu contourner ce problème en imposant le déplacement normal au bossage et en mesurant la réaction dans ce déplacement imposé. 4.6 Chargement Le premier chargement considéré est une pression sur la face plane d appui. On choisira une pression telle que la résultante soit égale à 1000 N qui correspond à la charge pour laquelle des ANALYSE STATIQUE D UNE PIÈCE F. Louf - Master 2 DFE 9

4.7 Premier calcul mesures ont été réalisées.. On peut naturellement calculer la pression équivalente à la main, mais une méthode plus élégante est proposée ci-dessous. Un paramètre associé à l effort doit tout d abord être créé. Pour cela, dans la fenêtre Outils/Formules, créer un paramètre de type force : choisir le type du paramètre (Force) ; créer un nouveau paramètre ; le renommer sous le nom Effort ; lui donner la valeur 1000 (N par défaut). Cliquer sur l icône associée à l outil Pression : une fenêtre s ouvre. Sélectionner la face sur laquelle on souhaite appliquer la pression ; Dans la ligne précisant la valeur de la pression, cliquer droit, et dans le menu déroulant, sélectionner Editer formule ; La fenêtre qui s ouvre permet de définir la pression en fonction de paramètres déjà définis : la taille de la face supportant le chargement et l effort appliqué ; dans les paramètres renommés, double cliquer sur Effort ; le paramètre est inséré dans la ligne de formule ; insérer à la suite le signe / dans la ligne de formule ; pour calculer l aire de la face, il suffit de faire le produit des paramètres de longueur et de largeur du bossage ; entourer finalement ce produit de parenthèses et fermet la fenêtre. La pression qui apparaît alors est calculée automatiquement en fonction de la géométrie et du paramètre d effort que l on pourra modifier par la suite. Fermer la fenêtre associée à l outil Pression. 4.7 Premier calcul Pour lancer le calcul, cliquer sur l icône Calcul. 4.8 Extraction des contraintes normales Cliquer droit sur l objet solution statique de l arbre, et dans le menu contextuel, sélectionner Génération d images. Choisir dans la liste proposée de tracer le tenseur des contraintes, par composante, aux noeuds. L image est créée et insérée dans l arbre sous le nœud Solution statique. Il faut maintenant définir quelle contrainte on souhaite tracer, et dans quel repère. Pour cela, éditer l image créée (double clique), et cliquer sur Plus pour avoir accès au choix des composantes et du repère. Préciser que le repère choisi est implicite : cela permet de travailler dans un repère cylindrique bien adapté à la géométrie. On peut éventuellement tracer localement ce repère pour vérifier qu il correspond à ce que l on souhaite. Dans ce repère, la composante qui nous intéresse est σ θθ c est à dire C 22 pour le logiciel. Dans l onglet supérieur Sélection, choisir de tracer cette quantité uniquement sur l un des groupes (lignes) créés précédemment. Il est alors simple d exporter les valeurs tracées dans un fichier texte en cliquant droit sur ANALYSE STATIQUE D UNE PIÈCE F. Louf - Master 2 DFE 10

4.9 Vérification de l hypothèse d Euler Bernoulli l image dans l arbre et en sélectionnant Exporter les résultats. Importer le fichier texte dans Excel, et ordonner correctement les valeurs en allant du plan ( x, z) au plan ( y, z) (il faut passer en coordonnées cylindrique). Insérer ensuite ces valeurs dans le fichier Excel fourni et comparer les contraintes obtenues à celles du modèle poutre et aux valeurs locales issues des mesures. Répéter cette opération pour l autre groupe créé, et commenter la qualité des résultats obtenus. Remarque. Lorsque l on souhaite tracer un champ de contraintes on a toujours le choix entre des contraintes aux noeuds des éléments ou au noeuds. Cela veut dire que l on peut, soit tracer les contraintes directement issues du calcul éléments finis, c est à dire aux points de Gauss, soit interpoler ces quantités sur les fonctions de formes éléments finis. Cette deuxième solution est impérative ici pour exporter la contrainte sur une arête car celle-ci ne comporte pas de point de Gauss. 4.9 Vérification de l hypothèse d Euler Bernoulli Le modèle analytique a été réalisé avec l hypothèse que les sections droites restent perpendiculaires à la ligne moyenne après déformation. On peut vérifier ce point. Dans la pièce, créer un Set géométrique et construire un plan incliné de 45 par rapport au plan ( x, z). Réaliser, dans l atelier Generative Shape Design une Intersection de la structure par ce plan. Remplir le contour obtenu. Dans l atelier d analyse éléments finis, créer un groupe de surfaces par proximité basé sur cette section droite. Ensuite, tracer le résultat en déplacement, dans le repère cylindrique, pour visualiser le champ de déplacement u r sur cette section. Exporter ces résultats dans Excel et conclure quant à la validité de l hypothèse cinématique. 4.10 Etude de convergence Les quantités d intérêt considérées pour cette étude de convergence sont : la contrainte normale maximale ; le déplacement radial dans la zone de chargement ; la raideur du dynamomètre. Pour faire cette étude il suffit de diminuer progressivement et uniformément la taille du maillage imposée au départ. ANALYSE STATIQUE D UNE PIÈCE F. Louf - Master 2 DFE 11

5 Etude d un treillis rigide : modélisation poutre 12 1. 4 60 60 60 (B 2 ) (B 1 ) 400 FIG. 5 Dessin de définition du treillis rigide G (7) A (1) B (8) (10) (11) (6) (4) (2) F (9) E (5) D () C FIG. 6 Repérage des nœuds et barres La géométrie du treillis considéré est représentée sur la figure 5. Le chargement et les conditions aux limites y sont également précisés : Chargement au point A dans la direction y ; Liaisons avec le bâti réalisée par des biellettes (B 1 ) et (B 2 ). 5.1 Etude analytique du treillis articulé On considère le même treillis, mais cette fois on suppose que les liaisons entre les barres sont des articulations. Le calcul analytique des sollicitations dans chaque barre est ainsi très simple ANALYSE STATIQUE D UNE PIÈCE F. Louf - Master 2 DFE 12

5.1 Etude analytique du treillis articulé à réaliser puisque le problème est par ailleurs isostatique. On choisit la convention suivante : les efforts des barres sur un nœud sont dirigés du centre de ce nœud vers l extérieur, comme indiqué sur la figure 7. Si l effort obtenu après résolution est positif, la barre sera donc sollicitée en traction et inversement. On note N α l effort dans la barre (α). La quantité N 0 désigne l effort normal dans une des biellettes. Enfin, on note θ l angle que font les biellettes avec l axe longitudinal du treillis. L équilibre du nœud A donne immédiatement : L équilibre du nœud D donne ensuite : N 6 = F 1 N 4 = F 1 et N N 5 = F 1 Ce qui, combiné avec l équilibre du nœud B donne : Enfin, l équilibre du nœud C donne : N 1 = F 1 et N 2 = F 1 N 0 = F 1 2 sin(θ) et N = F 1 2 tan(θ) F 1 2 D où finalement : N 5 = F 1 2 tan(θ) F 2 Le calcul du déplacement u dans la direction de la charge F peut être obtenu en appliquant le théorème de Castigliano et en supposant par exemple, les biellettes infiniment rigides : E d F = u où E d désigne l énergie de déformation donnée par : E d = 1 2 11 i=1 L i N 2 i ES On obtient (seule la barre (5) n est pas présente deux fois) : E d = [2 L 2ES F 2 1 ( + 21 + 2 1 2 tan(θ) 1 2 E d = L F 24 10 cot(θ) + 9 cot 2 (θ) 2ES 12 Finalement, le déplacement u vaut donc : ) 2 + 2 1 ( + u = F 4 10 cot(θ) + 9 cot 2 (θ) 12 1 2 tan(θ) 2 L ES ) ] 2 + 2 1 ANALYSE STATIQUE D UNE PIÈCE F. Louf - Master 2 DFE 1

5.2 Modèle poutre N γ y N α Nβ x FIG. 7 Convention sur les efforts dans les barres et repère u (mm) 0.140 0.15 0.10 0.125 θ (deg) 40 50 60 70 80 90 0.115 FIG. 8 Dépendance du déplacement u sous charge à l angle θ 5.2 Modèle poutre 5.2.1 Création de la géométrie du treillis On souhaite dans cette partie modéliser le treillis par un assemblage de poutres liées rigidement entre elles. Démarrer l atelier WireFrame and Surface Design et dans un nouveau Set géométrique, que l on renommera Treillis Poutre, définir les points suivants correspondant aux nœuds d une moitié de treillis : avec L = 1 mm. A(0, 0, 0) B(L, 0, 0) C( L 2, L 2, 0) D( L 2, L, 0) H(0, L 2 2, 0) ANALYSE STATIQUE D UNE PIÈCE F. Louf - Master 2 DFE 14

5.2 Modèle poutre Remarque. On pourra définir cette longueur comme un paramètre et y faire appel dans la définition des points. De même, on pourra définir les dimensions de la section de chaque barre (e h = 4mm 12mm). Relier dans l ordre suivant les points par des droites renommées Barre 1, Barre 2, etc : Barre 1 : du point A au point B ; Barre 2 : du point B au point C ; Barre : du point C au point D ; Barre 4 : du point D au point B ; Barre 5 : du point D au point H (projeté de E sur le plan de symétrie) ; Barre 6 : du point D au point A. A l aide de l outil Joindre, assembler les six droites définies précédemment. Décocher les cases Check Manifold et Check Connexity sous peine d obtenir un message d erreur. Renommer cet assemblage TreillisPoutre par exemple. Appliquer un matériau (Aluminium) à l objet TreillisPoutre. 5.2.2 Repères locaux Afin de définir proprement les conditions aux limites associées aux biellettes dans le calcul éléments finis, on introduit dans la géométrie un repère, centré sur le point d appui C, et dont l axe x est incliné d un angle θ par rapport au repère global (dans l axe de la biellette (B 1 )). Pour cela : Dans le menu Outil/Formules, créer un nouveau paramètre de type Angle ; Insérer un nouveau Set géométrique ; Créer une droite de type Point-Direction, d origine le point C ; la direction de la droite sera paramétrée par l angle θ : pour cela cliquer dans la case Direction et choisir de définir la direction par les coordonnées ; imposer une valeur nulle pour la coordonnée sur z, et pour les coordonnées sur x et y, imposer respectivement via une formule les relations : cos(θ) et sin(θ) ; Imposer une longueur raisonnable de la droite (20 mm par exemple) puis fermer la fenêtre ; Insérer un Système d axes d origine le point C et dont l axe X est défini par la droite précédemment créée ; fermer la fenêtre ; Vérifier que la modification du paramètre θ modifie convenablement l orientation du repère ; 5.2. Lancement du calcul Lancer maintenant le module d analyse par éléments finis. Commencer par mailler la structure à l aide du menu déroulant de maillage. Sélectionner comme support l objet TreillisPoutre dans l arbre et spécifier ensuite une taille de 10 mm pour les éléments. Définir ensuite les propriétés associées aux poutres. Pour cela, utiliser l icône Propriété de poutres. Une fois la fenêtre ouverte : cliquer sur la structure ; choisir une géométrie d orientation : il s agit ici d orienter le repère local de chaque poutre (G, X, Y, Z) dont seul X est défini comme tangent à la ligne moyenne ; le choix du plan ANALYSE STATIQUE D UNE PIÈCE F. Louf - Master 2 DFE 15

5.2 Modèle poutre ( x, y) est intéressant car il permet d orienter l axe local Y dans la direction de l axe global z ; préciser que la section est rectangulaire (les dimensions sont données sur la figure 5). Dans le cas d un treillis spatial une géométrie d orientation ne peut convenir à toutes les poutres. Dans ce cas, pour chacune des poutres mal orientées, il faut suivre la démarche suivante : cliquer droit sur l objet Propriétés de poutre (il vient d être défini) dans l arbre ; dans le menu déroulant, sélectionner Propriété de poutre locale ; dans la fenêtre ouverte, cliquer sur la poutre dont on veut modifier les propriétés, préciser la géométrie d orientation qui lui est associée, et préciser le type et les dimensions de la section. Les liaisons au bâti peuvent être appliquées de la même manière qu en D en sélectionnant les points extrémités. On utilisera ici les Contraintes avancées. Au point C, on bloquera le déplacement dans la direction X du système d axe précédemment créé. Imposer enfin un effort de type Force distribuée, d intensité 500 N sur le nœud adéquat. Lancer le calcul. 5.2.4 Post-traitement L allure de la déformée est donnée à titre indicatif sur la figure 9. Elle peut être obtenue de la façon suivante : Cliquer droit sur la Solution statique puis choisir Génération d image ; Choisir de tracer le déplacement (composantes) ; Préciser la composante à tracer (selon la direction de la charge) ; Editer les options et choisir le style du tracé (points, flèches, texte...). mm FIG. 9 Déformée du modèle 1D du treillis ANALYSE STATIQUE D UNE PIÈCE F. Louf - Master 2 DFE 16

5.2 Modèle poutre 5.2.5 Comparaison des résultats Créer un capteur local de type déplacement donnant le déplacement au point A, noté u, dans la direction y et lui associer un paramètre de type longueur noté u dans la suite. Comparer les résultats obtenus avec la solution analytique. Faire ensuite varier l angle θ manuellement et vérifier la cohérence de la variation du déplacement constatée (figure 8). 5.2.6 Utilisation d une macro Pour automatiser le calcul de la dépendance du déplacement u à l angle θ, on peut créer une macro qui va lancer les multiples calculs les uns après les autres et écrire un fichier texte contenant deux colonnes : l angle θ courant : le déplacement u calculé pour cet angle θ ; Comme dans les logiciels Excel, ou Word, un premier jet de la macro peut être créé en enregistrant des opérations. Elle sera ensuite modifiée pour insérer une boucle sur le paramètre θ. Avant tout, afin de voir comment récupérer la valeur d un paramètre, on va créer un paramètre de type longueur toto et lui imposer une valeur quelconque. Pour créer la macro, on suivra la démarche suivante : Dans le menu Outils/Macros, choisir Démarrer l enregistrement ; donner un nom pertinent à la macro (par exemple Lien-u-theta.catvbs) et sélectionner le répertoire où elle sera enregistrée ; Lancer l enregistrement ; Dans la géométrie, modifier la valeur du paramètre angulaire θ (50 par exemple) ; Relancer le calcul éléments finis ; Double-cliquer sur le paramètre toto dans l arbre de façon et modifier sa valeur (20 mm par exemple) ; Stopper l enregistrement de la macro puis éditer celle-ci avec un éditeur quelconque. Le langage de la macro est à base de Visual Basic, et n est pas forcément très lisible de prime abord. Dans les lignes de codes écrites on peut repérer : Set parameters1 = part1.parameters contient tous les paramètres utilisateurs définis dans la géométrie ; Set parameters2 = analysismanager1.parameters contient tous les paramètres utilisateurs définis dans l analyse éléments finis ; Set angle1 = parameters1.item("theta") puis angle1.value = 50.000 : c est par ce moyen qu on peut modifier la valeur du paramètre θ ; Set length1 = parameters1.item("toto") puis length1.value = 20.000 : c est par ce moyen qu on a accès au paramètre toto ; part1.update permet de mettre à jour la géométrie suite à la modification du paramètre θ ; analysiscase1.compute permet de calculer la nouvelle solution u ; Il suffit maintenant de réorganiser le fichier et d insérer quelques lignes permettant de boucler en modifiant la valeur de l angle θ : theta_min = 10 ANALYSE STATIQUE D UNE PIÈCE F. Louf - Master 2 DFE 17

5.2 Modèle poutre theta_max = 80 nmax = 11 n = 1 While (n <= nmax) WEnd angle1.value = theta_min+(theta_max-theta_min)*(n-1)/(nmax-1) part1.update analysiscase1.compute n = n + 1 Lancer la macro ainsi modifiée, et vérifier que tout se passe bien (évolution des paramètres θ et u). Il ne reste plus qu à récupérer la valeur du déplacement u dans la boucle et à l écrire dans un fichier texte. Pour créer le fichier texte dans le répertoire souhaité, et pour écrire une ligne d entête on écrira le code suivant, hors de la boucle bien sûr : Set objectfso = CreateObject("Scripting.FileSystemObject") Repertoire = "C:\Documents and Settings\...\Au choix" Fichier_Sortie = Repertoire & "Lien_U_Theta.txt" Set ObjetFichierF = objectfso.createtextfile(fichier_sortie, TRUE) ObjetFichierF.WriteLine("Theta (deg) U(mm)") Pour écrire la valeur de l angle θ et du déplacement u dans le fichier après chaque calcul, on écrira la ligne suivante, après avoir remplacé Set length1 = parameters1.item("toto") par Set length1 = parameters1.item("u") : ObjetFichierF.WriteLine( (angle1.value)& " " & (length1.value)) Récupérer le fichier généré par la macro avec Excel par exemple, et tracer la courbe de comportement. Créer une nouvelle donnant le déplacement théorique et comparer les courbes associées au calcul analytique et numérique : u = F 4 10 cot(θ) + 9 cot 2 (θ) 12 L ES ANALYSE STATIQUE D UNE PIÈCE F. Louf - Master 2 DFE 18

5.2 Modèle poutre Icône Nom de l outil Description sommaire Mailleur tétraédrique Mailleur triangle Mailleur poutre Groupe de points Groupe de lignes Groupe de surfaces Force distribuée Pression Déplacement imposé Encastrement Glissement surfacique Contraintes avancées Propriétés coques Propriétés poutres Calcul Créer un maillage à base de tétraèdres Créer un maillage à base de triangles Créer un maillage à base de segments Trouver les noeuds, etc, correspondant à des points Trouver les noeuds, etc, correspondant à des lignes Trouver les noeuds, etc, correspondant à des surfaces Appliquer une force en N de façon distribuée sur un support Appliquer une pression en N/m 2 sur une surface Imposer une valeur de déplacement non nul pour un blocage Bloquer tous les ddl d un support Bloquer tous les ddl selon la normale à un support Bloquer les ddl choisis d un support Préciser l épaisseur des coques Préciser la géométrie des sections droites des poutres Lancer le calcul de toutes ou d une partie des analyses TAB. 1 Outils utilisés dans Catia et icônes correspondantes dans les ateliers utilisés ANALYSE STATIQUE D UNE PIÈCE F. Louf - Master 2 DFE 19