Le boulier chinois Camille POMPEY et Lucas ANTONELLI 5 ème, Pauline CLEMENT 4 ème, Vincent HUBERT, Guillaume BASILE, Jérémy MOREAU, Thomas BRUDER, Léa STUDER, Charlotte HEBRANT, Andrey FUCHS BOISSARD et Laurane MARTINS, élèves de 3 ème au Collège G CHEPFER de Villers les Nancy. par Enseignants : Louisette HIRIART, Christelle KUNC ( collège G Chepfer ) Chercheur : Thomas CHAMBRION et André STEF ( université Henri Poincaré Nancy) Sujet proposé : Le boulier chinois La pratique du boulier chinois. La lecture et les différentes écritures des nombres sur le boulier chinois. Comment effectuer les quatre opérations sur le boulier chinois? En Chine, les premières traces écrites concernant le boulier chinois (ou suan-pan) remontent au XIV-ième siècle. Le boulier chinois, ou suan pan, est utilisé en Chine depuis plus de 8 siècles On en trouve une illustration sur un ouvrage datant du XIIe siècle. «On peut y lire le nombre 37 925» Description du boulier chinois Le boulier chinois est constitué : - d un cadre en bois - de tiges de bambou verticales (souvent 13) qui indiquent les unités, les dizaines, les centaines, etc - une barre centrale Sur chaque tige verticale, il y a 7 boules : - 5 unaires sous la barre centrale qui valent 1-2 quinaires au dessus de la barre centrale qui valent 5 Remarque : Le boulier japonais (ou soroban) n a qu une seule quinaire sur chaque tige. 1
Lecture d un nombre «Activer une boule» signifie déplacer cette boule contre la barre transversale, «désactiver une boule» signifie l'en éloigner. Un boulier est au repos lorsqu aucune boule n est «activée», c est le zéro. Un nombre s écrit de gauche à droite, on lit le nombre correspondant aux boules «activées», par exemple, voici le nombre : 1 milliard 234 millions 567 mille 890 unités 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 L écriture d un nombre n est pas unique : Par exemple, voici 6 écritures différentes du nombre 2 510 On choisira l une ou l autre des écritures selon l opération que l on doit effectuée. (peu de boules activées pour une addition, il sera plus aisé d en rajouter, beaucoup de boules activées pour une soustraction, il sera plus aisé d en enlever) 2 5 1 0 2
2 milliers, 5 centaines et 2x5 unités = 2 510 2 milliers, 5 centaines et 1 dizaine = 2 510 1 millier, 2x5+4 centaines, 2x5 dizaines, 2x5 unités = 1 000+1 400+100+10= 2 510 2 milliers, 5 centaines et 5 + 5 unités = 2 510 2 milliers, 5 centaines et 5 + 5 unités = 2 510 3
Thomas nous explique les différentes écritures de 2 510 au congrès Lorrain à Metz. Ecrire un nombre décimal ne pose pas de problème, il suffit de décaler la tige des unités vers la gauche d autant de rangs que nécessaire, par exemple de 3 rangs si on veut écrire des nombres avec trois chiffres derrière la virgule, on peut fixer la tige des unités à l aide d une gommette sur le cadre par exemple. Exemple : indique la tige des unités 1 0 2, 5 1 3 Pour les nombres comportant plus de 13 chiffres, on peut accoler plusieurs bouliers côte à côte. Nous sommes maintenant prêts pour effectuer des opérations sur le boulier chinois, en commençant par l addition. 4
Les 4 opérations élémentaires Une règle de base : toute opération sur le boulier chinois doit manipuler le moins de boules possibles. L'addition C est l opération élémentaire qui est plus efficace et plus rapide sur le boulier que sur une calculatrice, dès lors que l on est un peu entrainé. On inscrit le plus grand des deux nombres sur le boulier, à droite et on lui ajoute directement le second nombre en partant de la gauche. Premier exemple : On va effectuer 872 + 659 On écrit 872 à droite sur le boulier : 8 centaines (1 quinaire + 3 unaires sur la tige des centaines) 7 dizaines (1 quinaire + 2 unaires sur la tige des dizaines) 2 unités sur la tige des unités. Puis on va ajouter 659 Par habitude, on choisit de commencer à ajouter les unités, puis les dizaines et les centaines (et non pas par la gauche comme les asiatiques). On ajoute 9, pour cela on active 1 dizaine et on désactive 1 unité. On ajoute 50, pour cela on active 1 quinaire sur la tige des dizaines. On a alors 2 quinaires sur cette tige des dizaines. 2x50 = 100, on désactive les 2 quinaires sur la tige des dizaines et on active 1 centaine. On ajoute 600, pour cela on active 1 quinaire et 1 unaire sur la tige des centaines. On a alors 2 quinaires sur cette tige des centaines. 2x500 = 1 000, on désactive les 2 quinaires sur la tige des centaines et on active 1 millier. Les 5 unaires sur la tige des centaines sont remplacées par 1 quinaire sur cette même tige des centaines. On obtient alors : 1 millier, 5 centaines, 3 dizaines et 1 unité. On lit : 872 + 659 = 1 531 1 5 3 1 5
Lucas a presque fini l addition, on peut déjà lire 1 531. (entrainement en salle de maths) Deuxième exemple : On va effectuer 965 + 735 On écrit 965 à droite sur le boulier: 9 centaines (1 quinaire + 4 unaires sur la tige des centaines) 6 dizaines (1 quinaire + 1 unaire sur la tige des dizaines) 5 unités (1 quinaire sur la tige des unités) Puis on ajoute 735 en commençant par les unités. On ajoute 5, pour cela on active 1 quinaire sur la tige des unités. On a alors 2 quinaires sur cette tige des unités. 2x5 = 10, on désactive les 2 quinaires sur la tige des unités et on active 1 dizaine. On ajoute 30, pour cela on active 3 unaires sur la tige des dizaines. On a alors 1 quinaire et 5 unaires sur la tige des dizaines. 50 + 5x10 = 100, on désactive les 6 boules sur la tige des dizaines et on active 1 centaine. On a alors 1 quinaire et 5 unaires sur la tige des centaines. 500 + 5x100 = 1 000, on désactive les 6 boules sur la tige des centaines et on active 1 millier. On ajoute 700, pour cela on active 1 quinaire et 2 unaires sur la tige des centaines. On obtient alors : 1 millier et 7 centaines. On lit : 965 + 735 = 1 700 1 7 0 0 6
Panneau au stand lors du congrès à Bordeaux La soustraction Opération inverse de l'addition, la soustraction à l'aide du boulier consiste à poser le premier membre de la soustraction et à retirer les boules correspondant au second membre de l'opération. On pose le plus grand nombre sur le boulier à droite et on lui retire les boules correspondant au nombre à retrancher. 7
Premier exemple : On va effectuer 252 221 On écrit 252 à droite sur le boulier : 2 centaines 5 dizaines (5 unaires sur la tige des dizaines pour faciliter la soustraction) 2 unités. Puis on va retrancher 221 On va commencer par la gauche. On enlève 200, pour cela on désactive les 2 centaines. On enlève 20, pour cela on désactive 2 dizaines. On enlève 1, pour cela on désactive 1 unité. Il reste alors : 3 dizaines et 1 unité. On lit : 252 221 = 31 Deuxième exemple : On va effectuer 851 669 On écrit 851 à droite sur le boulier : 8 centaines (1 quinaire et 3 unaires sur la tige des centaines) 5 dizaines (pour faciliter la soustraction on active 5 unaires sur la tige des dizaines) 1 unité. Puis on va retrancher 669, en commençant par les unités par habitude. On enlève 9. 9 = 10 1 donc pour enlever 9, on enlève 10 et on ajoute 1. On désactive donc 1 dizaine et on active 1 unité. On enlève 60, 60 = 100 40 donc pour enlever 60, on enlève 100 et on ajoute 40. On désactive donc 1 centaine et on active 4 dizaines. Pour activer 4 dizaines, on active 5dizaines (1 quinaire) et on désactive 1 dizaine. On enlève 600, pour cela on désactive 1 quinaire et 1 unaire sur la tige des centaines. Il reste alors : 1 centaine, 8 dizaines et 2 unités. On lit : 851 669 = 182 Vincent va effectuer la soustraction 851 669 au congrès à Metz. (il vient juste d écrire 850) 8
La multiplication La multiplication est l'opération qui consiste à additionner le multiplicande autant de fois que l'indique le multiplicateur afin d'obtenir le résultat appelé produit. Par exemple pour le produit de 54 par 9, on peut ajouter successivement 8 fois 54 à 54. Mais ainsi, c est trop long, c est pourquoi on utilise la technique habituelle de la multiplication posée. Ainsi le boulier chinois ne dispense pas de connaître parfaitement les tables de multiplication. Pour effectuer 54 x 9 On écrit 54 à gauche sur le boulier pour garder ce nombre en mémoire, et on le multiplie par 9. 9 x 4 = 36 à droite du boulier on active 3 dizaines et 6 unités (5 + 1) 9 x 50 = 450 à droite du boulier on additionne 450 à 36, pour cela on active 4 centaines et 5 dizaines (1 quinaire) On obtient alors à droite du boulier : 4 centaines, 8 dizaines et 6 unités. On lit : 54 x 9 = 486 Un deuxième exemple où le multiplicateur est à deux chiffres : 282 x 47 Pour garder en mémoire le multiplicande (282) et le multiplicateur (47), on les inscrit à gauche sur le boulier en laissant une tige libre entre ces deux nombres. 2 8 2 x 4 7 On écrira le produit à droite du boulier. On utilise le technique de la multiplication posée, on multiplie successivement 282 par 7, puis par 40 et on additionne les produits intermédiaires au fur et à mesure. 282 x 7 7 x 2 = 14 à droite du boulier, on active 14, c'est-à-dire 1 dizaine et 4 unités. 7 x 80 = 560 à droite on ajoute 560 à 14, pour cela on active 5 centaines (1quinaire) et 6 dizaines (1 quinaire+1 unaire sur la tige des dizaines). 7 x 200 = 1 400 on ajoute 1 400 au nombre obtenu à droite du boulier, pour cela on active 1 millier et 4 centaines On a alors à droite sur le boulier : 1 millier, 9 centaines, 7 dizaines et 4 unités. On lit : 282 x 7 = 1 974 9
282 x 40 40 x 2 = 80 à droite, on ajoute 40 à 1 974. Pour cela on active 5 dizaines (1 quinaire) et 3 dizaines. On obtient 2x5 dizaines = 100, on désactive les 2 quinaires de la tige des dizaines et on active 1 centaines. Il reste 5 unaires sur la tige des dizaines que l on désactive et que l on remplace par l activation d une quinaire sur cette même tige. On a alors 10 centaines (1quinaire et 5 unaires) = 1 000, on les désactive et on active 1 millier. On lit alors 2 054 à droite sur le boulier. 40 x 80 = 3 200 à droite, on ajoute 3 200 au nombre obtenu, pour cela on active 3 milliers et 2 centaines. On obtient 5 unités de mille que l on désactive et que l on remplace par l activation d une quinaire sur la tige des milliers. On lit alors 5 254 à droite sur le boulier. 40 x 200 = 8 000 à droite, on ajoute 8 milliers au nombre obtenu, pour cela, on active 1 quinaire et 3 unaires sur la tige des milliers. On obtient 2x5 milliers = 10 000, on désactive les 2 quinaires sur la tige des milliers et on active 1 dizaine de mille. On obtient alors à droite sur le boulier : 1 dizaine de mille, 3 milliers, 2 centaines, 5 dizaines et 4 unités. On lit : 242 x 47 = 13 254 2 8 2 x 4 7 = 1 3 2 5 4 Comparaison avec la multiplication posée : 2 8 2 X 4 7 1 4 5 6 0 correspond à la 1 ère ligne de notre multiplication posée, les retenues sont en rouge. 1 4 0 0 8 0 3 2 0 0 correspond à la 2 ème ligne de notre multiplication posée, les retenues sont en rouge + 8 0 0 0 le décalage est en vert. 1 1 (Retenues de l addition en bleu) 1 3 2 5 4 On constate qu avec le boulier, il n y a pas problème de retenues puisqu on ajoute au fur et à mesure les produits intermédiaires. 10
La division La division est l'opération qui consiste à soustraire au dividende le diviseur autant de fois qu'on le pourra; ce «nombre de fois» est le quotient. La division sur boulier obéit à des règles qui découlent directement de la division euclidienne. Par exemple, pour le quotient de 52 par 6, on écrit 52 à droite sur le boulier et on enlève 6 autant de fois que possible. Chaque fois que l on a enlevé 6 on active une boule sur une tige à gauche du boulier (tige des unités du quotient). Lorsqu on a enlevé 5 fois 6 à 52, au quotient on remplace les 5 unités par une quinaire, il reste 22 écrit à droite sur le boulier. On peut alors encore retirer 3 fois 6 au nombre restant à droite (22), il reste alors 4 à droite, On ne peut plus enlever 6. En tout on a donc enlevé 8 fois 6 (1quinaire + 3 unaires) On a donc 52 = 8 x6 + 4. Dans la division de 5 par 6, le quotient entier est 8 et il reste 4. Mais ainsi, la division est fastidieuse sur le boulier chinois. Ainsi, on effectuera des divisions euclidiennes à chaque rang comme dans la division posée pour être plus efficace? Ainsi en 52 combien de fois 6, 8 fois, on active à gauche 8 au quotient (1quinaire + 3 unaires ), 6x8 = 48 et 52 48 = 4, il reste 4, on désactive 52 à droite et à la place on active 4 unités. Dans la division de 5 par 6, le quotient entier est 8 et il reste 4. Un exemple plus compliqué : 1 234 567 890 : 6 On écrit 1 234 567 890 à droite sur le boulier 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Dividende On écrit le quotient à gauche. En 12 centaines de millions combien de fois 6? 2 centaines de millions, reste 0 centaine de millions On active 2 au quotient tout à gauche, se sera la tige des centaines de millions et à droite on désactive les 12 centaines de millions. Il reste 34 567 890 au dividende. 11
3 4 5 6 7 8 9 0 Dividende Quotient 2 centaines de millions En 3 dizaines de millions combien de fois 6? 0 dizaines de millions, reste 3 dizaines de millions. Aucune boule n est activée à gauche au quotient sur la tige des dizaines de millions. En 34 millions combien de fois 6? 5millions, reste 4 millions. On active 5 millions (1 quinaire) au quotient sur la tige de millions et on désactive 3 dizaines de millions à droite au dividende. Il reste 4 567 890 au dividende. 4 5 6 7 8 9 0 Dividende Quotient 2 0 5 millions En 45 centaines de mille combien de fois 6? 7 centaines de mille, reste 3 centaines de mille. On active 7 centaines de mille au quotient à gauche et on désactive 45 centaines de mille et on active 3 centaines de mille à droite au dividende. Il reste 367 890 au dividende. 3 6 7 8 9 0 Dividende Quotient 2 0 5 7 centaines de mille En 36 dizaines de mille combien de fois 6? 6 dizaines de mille, reste 0 dizaines de mille On active 6 dizaines de mille au quotient à gauche et on désactive 36 dizaines de mille à droite au dividende. Il reste 7 890 au dividende. 12
En 7 mille combien de fois 6? 1millier, reste mille. On active 1 millier à gauche au quotient et on désactive 6 mille à droite au dividende. Il reste 1 890 au dividende. 1 8 9 0 Dividende Quotient 2 0 5 7 6 1 mille En 18 centaines combien de fois 6? 3 centaines, reste 0 centaines. On active 3 centaines à gauche au quotient et on désactive 18 centaines à droite au dividende. Il reste 90 au dividende. En 9 dizaines combien de fois 6? 1 dizaine, reste 3 dizaines. On active 1 dizaine à gauche au quotient et on désactive 6 dizaines à droite au dividende. Il reste 30 au dividende. En 30 unités combien de fois 6? 5 unités, reste 0. On active 5 unités à gauche au quotient et on désactive les 3 dizaines restantes à droite au diviseur. 0 0 Dividende Quotient 2 0 5 7 6 1 3 1 5 Il ne reste rien à droite, le dividende 1 234 567 890 est divisible par 6. On lit le quotient entier exact à gauche du boulier : 205 761 315 Un autre exemple où le diviseur est à deux chiffres : 4 738 : 29 On écrit le dividende 4 738 à droite sur le boulier et o écrira le quotient à gauche. En 47 centaines combien de fois 29? 1 centaine On active à gauche du boulier 1 centaine au quotient. On enlève 29 centaines à droite au dividende, pour cela on désactive 30 centaines et on active 1 centaine (29 = 30 1). On lit alors 1 838 à droite au dividende. 13
En 183 dizaines combien de fois 29? 6 dizaines (60 x 30 = 1 800) On active à gauche au quotient 6 dizaines. On enlève 29 x 6 dizaines au dividende à droite, pour cela on enlève 6 x 30 dizaines soit 1 800 et on ajoute 6 x 1 dizaine soit 6 dizaines [ 29 x 6 = (30 1) x 6 = 30 x 6 1 x 6 ] On lit alors 98 à droite au dividende. En 98 combien de fois 29? 3 fois On active 3 unités à gauche au quotient. On enlève 3 x 29 à droite au dividende, pour cela on enlève 3 x 30 soit 9 dizaines et on ajoute 3 unités. Pour ajouter ces 3 unités à droite au dividende, on active 1 quinaire et on désactive 2 unaires. (3 = 5 2) On a alors 2 quinaires à droite sur la tige des unités, 2x5 = 10, on désactive ces 2 quinaires et on active 1 dizaine. Il reste donc 11 au dividende à droite. Quotient : 1 6 3 Reste : 1 1 On a donc : 4 738 = 163 x 29 + 11 On pourrait continuer derrière la virgule en plaçant un deuxième boulier accolé à droite de ce boulier. Conclusion Pour devenir un expert du boulier chinois, il faut s entraîner, et pour un apprentissage efficace, chaque opération effectuée sur un nombre devra être suivie par l opération inverse afin de revenir à ce nombre initial. Cela permet une vérification immédiate de la justesse du calcul. Pour s entraîner à l addition, on pourra additionner 10 fois de suite 123 456 789, on doit bien sûr obtenir 1 234 567 890. 14
Le boulier chinois reste toujours d usage dans de nombreux pays asiatiques. Son langage est universel. Il est symbole d ordre, d adresse, de concentration et de méthode. Sur le stand au congrès à Bordeaux : calculs sur le boulier chinois 15