TERM STG CFE- GSI- M BAC BLANC DE MATHEMATIQUES 2013 3 HEURES La calculatrice est autorisée La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. Ce sujet comporte quatre exercices. EXERCICE N 1 4 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est correcte. Répondre sur la feuille des annexes en indiquant, en dessous du numéro de la question, la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n est demandée. Une réponse juste rapporte 1 point, une réponse fausse enlève 0,25 point et l absence de réponse ne rapporte ni enlève de point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à l exercice est ramenée à 0. Le tableau ci-dessous retrace, sur une douzaine d année, l évolution de la consommation moyenne de pain, en kilogramme par personne et par an, en France. Rang i 1 2 3 4 5 6 7 Année x i 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 Consommation de pain en kg par personne y i 58,7 58,2 57,6 53,6 53,6 53,7 51,1 Source INSEE Le nuage de points est l ensemble des points M i de coordonnées (x i ;y i ) pour i variant de 1 à7. 1. Le point moyen G a pour coordonnées : a- (1999 ; 55,3) b- (1999 ; 56) c- (1999 ; 55,2) 2. La droite (M 3 ;M 5 ) a pour équation : a- y = 2x + 4053,6 b- y= - 2x + 4053 c- y= -2x +4053,6 3. La droite d ajustement affine de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés, avec des coefficients arrondis au dixième, est : a- y = 1,3x + 2611,1 b- y= -1,3 x + 2611,6 c- y= -1,3x +2611,1 4. En 1970, la consommation moyenne était de 80,6 kg de pain par personne et par an. Entre 1970 et 2002, la consommation de pain (à 1% près) : a- A diminué de 37% b- A diminué de 58% c- A diminué de 29% EXERCICE 2 4 points Un potier fabrique des théières et des coupes à fruits originales. Les théières et les coupes de fruits sont munies chacune d une anse en rotin, fournie par un autre artisan. La fabrication d une théière nécessite 1,8 kg de terre et 1 heure de main d œuvre. Tandis que celle d une coupe à fruit nécessite 3,6kg de terre et 30 minutes de main d œuvre. Etant en rupture de stock, le potier ne dispose pour la semaine que de 162kg de terre. Par ailleurs il n a en réserve que 30 anses à théière et 40 anses à coupe à fruits. Enfin, il ne souhaite pas travailler plus de 39 heures au cours de la semaine.
1. Déterminer un système d inéquations traduisant les contraintes pour la fabrication dans la semaine de x théières et y coupes à fruits. 2. Les solutions du système précédent sont les coordonnées de certains points appartenant à la zone non hachurée donnée en annexe 1. Le potier peut-il fabriquer 15 théières et 38 coupes à fruits? 3. Le prix de ventes d une théière est de 45 et celui d une coupe à fruits de 63. Le potier souhaite maximiser son chiffre d affaires. Il utilise un tableur pour déterminer le couple (x ; y) qui correspond au profit maximal. Un extrait de la feuille de calcul est donné en annexe 2. a. Quelle formule a été entrée dans la cellule B1, recopiée vers la droite, puis vers le bas sur la plage B1 :L11? b. On suppose que toute la production a été vendue. Déterminer, à l aide du graphique et du tableau donnés en annexe 1 et 2, le nombre de théières et de coupes à fruits que le potier doit fabriquer dans la semaine pour obtenir un chiffre d affaire maximal. c. Quel est alors ce chiffre d affaires? EXERCICE N 3 5 points Le tableau ci-dessous retrace, sur une dizaine d années, l évolution de la consommation moyenne de yaourts, en kg par personne et par an, en France. Année 1998 2000 2002 2004 2006 2008 Consommation de yaourts en kg par personne 19,4 19,9 21 21,6 21,8 Source INSEE Partie A : Traitement des données Tous les résultats demandés seront arrondis au dixième. 1. Retrouver la consommation de yaourts, en kg par personne, en 2002, sachant qu elle a augmenté de 2,5% entre 2000 et 2002. 2. Calculer le taux d évolution entre 1998 et 2008. 3. En déduire le taux d évolution annuel moyen entre 1998 et 2008 Partie B : Etude d un modèle. On décide de modéliser la consommation annuelle de yaourts, à partir de 1998, à l aide d une suite géométrique (u n ) de raison 1,012. Pour tout entier naturel n, u n désigne la consommation annuelle théorique de yaourts l année 1998+n. Ainsi u 0 = 19,4. 1. Que vaut u 1? 2. En annexe 3, le tableau est extrait d une feuille de calcul obtenue à l aide d un tableur. Le format d affichage est un format numérique à une décimale. a. Donner une formule qui entrée dans la cellule D3, permet, par recopie vers le bas, d obtenir le contenu des cellules de la plage D3 :D13, sans utiliser la colonne C. b. Compléter la colonne D.
3. a. Exprimer u n en fonction de n. b. En déduire une nouvelle formule à entrer dans E2 pour avoir, après recopie vers le bas, les termes de la suite (u n ) dans la plage E2 :E13. 4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. D après le modèle, à partir de quelle année la consommation de yaourts dépassera-t-elle 25kg par personne? EXERCICE N 4 7 points On considère une fonction f définie et dérivable sur [0 ;2,5]. On note f la fonction dérivée de la fonction f. On donne en annexe 4, la courbe représentative de la fonction f, appelée (C ), dans un repère orthogonal. La courbe (C ) possède les propriétés suivantes : La courbe (C ) passe par le point A(1 ; 5,5). La courbe (C ) passe par le point B(2 ;2). La tangente en B à la courbe (C ) est horizontale. La tangente en A à la courbe (C ) passe par le point T de coordonnées (0 ; 8,5). Partie A 1. Placer les points A, B, T et tracer les tangentes à la courbe (C ) en A et en B. 2. Déterminer f(1), f(2) et f (1). 3. Donner par lecture graphique une valeur approchée des solutions de l équation f(x) = 3. 4. Justifier que l équation f (2) = 0. Donner par lecture graphique une valeur approchée de la deuxième solution de l équation f (x) = 0. Partie B La fonction f dont on connait la courbe (C ) est définie sur [0 ;2,5] par f(x) = 4x 3-16,5x² +18x. 1. Compléter, à l aide de la calculatrice, le tableau de valeurs donné en annexe 5. 2. a. Calculer f (x) b. Montrer que f (x) = (12x - 24) (x 0,75) c. Etudier le signe de f (x) suivant les valeurs de x sur [0 ; 2,5] à l aide d un tableau de signe. 3. En déduire le tableau de variation de la fonction f.
NOM : Prénom : Classe Feuille des annexes à rendre avec la copie. Exercice N 1 : QCM Question N 1 2 3 4 Lettre de la réponse choisie Annexe N 1 de l exercice N 2 Annexe N 2 de l exercice N 2
Annexe N 3 de l exercice N 3 Annexe 4 de l exercice N 4 Annexe 5 de l exercice N 4 x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 f(x)