Correction des systèmes linéaires

Correction des systèmes linéaires 1. Introduction Le comportement d'un système de commande a été analysé en étudiant sa dynamique et sa stabilité à partir des propriétés de sa fonction de transfert. Ce comportement, fonction des moyens retenus et/ou des caractéristiques du système réel peut s'avérer alors plus ou moins satisfaisant pour l'application projetée, en regard des performances spécifiées par le cahier des charges : stabilité en boucle fermée, précision(s), temps de réponse, bande passante,... Une commande idéale serait une commande telle que la loi d'évolution réelle de la grandeur commandée serait à chaque instant identique à la loi de conduite spécifiée et ce, quelles que soit les perturbations. Un ensemble de solutions permettent de régler ou d'optimiser les commandes pour atteindre ces objectifs. Les moyens les plus utilisés sont : le réglage du gain de la boucle ; les correcteurs et les retours d état ; les techniques numériques. Stabilité C'est une contrainte impérative. Le système doit réagir à une commande bornée par une réponse également bornée en amplitude. Or : d'une part, le système peut subir des variations de structure, des dérives ou des variations sur ses paramètres (dues aux variations de l'environnement : température, à laquelle, par exemple, sont très sensibles les commandes hydrauliques, hygrométrie ; dues à des perturbations extérieures : vibrations influences électromagnétiques ; dues à l'usure, aux déformations,... ) ; d'autre part le modèle de fonctionnement linéaire se traduit par une modélisation imparfaite (linéarisation autour d'un point de fonctionnement ; simplifications ; apparition de phénomènes influents pour des valeurs élevées des paramètres ou des grandeurs,...) ; enfin le fonctionnement correct suppose un régime transitoire rapide et bien amorti. Il en résulte que pour garantir une stabilité et un amortissement convenable malgré ces imperfections, il est nécessaire de prévoir des marges de stabilité : les marges de gain et de phase. Ces marges de stabilité agissent essentiellement sur les régimes transitoires. Nous avons montré dans le chapitre précédent, qu'au moins pour un gain élevé, l'accroissement du gain de boucle K provoque l'instabilité au-delà d'un certain seuil. Précision La précision est caractérisée par l'erreur en régime permanent, en réponse à des entrées typiques. Nous avons montré que la précision augmente avec le gain de boucle. Rapidité Aptitude du système à suivre des entrées rapidement variables ou à réagir efficacement aux perturbations, la rapidité est caractérisée du point de vue concepteur par la bande passante de la boucle. Une indication significative sur la bande passante, donc sur la rapidité, est donnée par la pulsation de coupure à 0 db. Nous avons montré, qu'au moins pour K élevé, l'accroissement du gain de boucle accroît la bande passante et en conséquence la rapidité du système. Chevalier F Lycée Henri Poincaré 79

Le dilemme "stabilité/précision" Le gain de boucle K est un paramètre essentiel car il agit simultanément sur les trois principaux critères de performances : précision, stabilité et rapidité. De plus c'est un paramètre relativement simple à faire varier par l'intermédiaire d'un amplificateur (sur la chaîne directe ou parfois dans la boucle de retour). Le gain optimal résulte d'un compromis entre, d'une part, la stabilité, qui se dégrade quand K croît et d'autre part, la précision et la rapidité qui s'améliorent avec K. C'est-à-dire : - soit on choisit K faible pour garantir la stabilité, mais alors l'asservissement est mou (peu rapide) et peu précis (statistiquement, ou dynamiquement avec une intégration) - soit on choisit K élevé pour améliorer la précision ou raidir l'asservissement, mais alors on risque l'instabilité (pompage). En pratique le gain est déterminé pour que le système soit à la limite fixée par les marges de stabilité ; c'est le principe du réglage du gain. Soit un système défini par le schéma bloc ci-contre. Si l on souhaite améliorer les caractéristiques de précision stabilité, rapidité du système il est nécessaire d introduire dans la boucle de commande un correcteur. 2. Techniques de compensation La technique précédente, si elle sera toujours indispensable ne peut en général satisfaire seule l'ensemble des besoins en performances, ni résoudre complètement le dilemme stabilité/précision. Elle s'appuie en effet sur le système existant dont elle cherche simplement à optimiser le modèle de fonctionnement. Pour aller plus loin dans l'optimisation du comportement en réponse à des entrées définies ou à des perturbations, il s'avère donc nécessaire de modifier le modèle de fonctionnement, donc la fonction de transfert en boucle fermée. En pratique, la partie opérative étant souvent imposée par des considérations technologiques et économiques, on choisit plutôt de modifier le système en introduisant : un meilleur contrôle de l'état du système, par la mesure des différentes grandeurs d'état et leur prise en compte pour élaborer la commande ; une correction par la partie commande des grandeurs mesurées, correction fonction des caractéristiques de la sortie. Cette correction est effectuée au moyen de dispositifs correcteurs soit de l'écart, soit de la mesure (insérés en conséquence : soit dans la chaîne directe juste en amont de l'élaboration de l'écart soit dans la chaîne de retour, juste en aval de l'élaboration de l'écart) Chevalier F Lycée Henri Poincaré 80

Trois grandes techniques peuvent être ainsi différenciées, utilisées séparément ou conjointement : la technique de la correction série qui consiste à insérer un correcteur de fonction de transfert C(p) dans la boucle. Celle correction peut mettre en oeuvre trois actions : proportionnelle, dérivée, intégrale ; la technique de la compensation par retour dérivé (ou "correction dérivée"), qui consiste à créer des boucles internes sur les grandeurs dérivées de la grandeur commandée (retours en vitesse, en accélération). Le retour des grandeurs dérivées autorise des améliorations notables, en permettant d'accroître fortement le gain (donc la rapidité et la précision) à stabilité égale. les techniques de commande optimale, techniques de correction numérique qui consistent à élaborer à chaque instant la meilleure commande du système, en fonction de l'état réel du système et du modèle identifié. Nous ne donnerons que quelques informations sur ces techniques qui sortent du cadre de ce chapitre. 3. Réglage du gain de boucle. Correcteur proportionnel P. Principe Ce procédé, le plus simple (suffisant pour de nombreux systèmes) consiste à introduire un élément de gain variable K c dans la chaîne directe et à ajuster la valeur du gain de boucle A(ω) pour obtenir un bon compromis précision/stabilité en boucle fermée. Nous avons vu cette méthode en TD. Action proportionnelle Nous connaissons déjà le principe de l'action proportionnelle, ou de commande proportionnelle à l'écart. Nous savons qu'elle agit sur le gain de boucle et améliore précision et rapidité, mais peut, aux valeurs élevées provoquer l'instabilité. Dans le cas d un correcteur proportionnel, la loi de commande corrigée u(t) est proportionnelle à l écart ε(t) : ut () = KPε() t. Up ( ) La fonction de transfert du correcteur est donc : Cp ( ) = KP ε( p) = Chevalier F Lycée Henri Poincaré 81

L effet d une augmentation du gain entraîne un diminution de l erreur statique, rend le système plus rapide mais augmente l instabilité du système. 4. Correcteur Proportionnel - Intégrateur, P.I. Nous avons vu qu'une intégration dans la chaîne directe permettait d'améliorer la précision : l'effet de l'action intégrale est en effet d'accroître la commande tant que l'écart n'est pas nul. C'est cette possibilité d'obtenir des commandes élevées avec des écarts mêmes très faibles qui améliore la précision. Il est possible de moduler l'effet d'intégration au moyen d'un facteur multiplicateur K i ou facteur intégral. On peut également caractériser l'action intégrale par une constante de temps T i, durée nécessaire pour atteindre une valeur de sortie égale à l'entrée, supposée constante, soit T i =1/K i. De manière plus générale : si ce mode d'action a pour effet de lisser l'influence de variations rapides de consigne ou de perturbations de fréquence élevée, donc à rendre le système moins sensible aux perturbations (elle peut en particulier être utilisée sur la boucle de retour pour filtrer un signal de mesure bruité) ; il tend à déstabiliser le système par l'effet retard introduit vis-à-vis des évolutions de la commande : pour les valeurs élevées de K i, les évolutions de la sortie dues à la commande très élevée peuvent ne pas être vraiment être prise du fait de l'intégration. On comprend alors qu'un tel comportement engendre le pompage. a) Intégrateur pur 1 t Pour un intégrateur pur la loi de commande u(t) est de la forme : ut () = ( udu ) T ε i 0 Up ( ) 1 la fonction de transfert d un correcteur pur est : Cp ( ) = = ε( p) Tp i Diagrammes de Bode. Chevalier F Lycée Henri Poincaré 82

L intérêt principal de ce correcteur est d ajouter dans la chaîne de commande une intégration, nous avons que la présence d une intégration dans la FTBO, annuler l erreur statique pour une entrée en échelon. L intérêt principal de ce type de correcteur est donc d améliorer la précision, il introduit malheureusement un déphasage de -90 et risque de rendre le système instable (diminution de la marge de phase). b) Correcteur P.I. Le correcteur Intégrateur est en général associé au correcteur proportionnel et la loi de commande corrigée est 1 t de la forme : ut () = KP ε() t + ε( udu ) T. i 0 La fonction de transfert du correcteur est donc : Up ( ) 1 + Tp i Cp ( ) = = KP ε( p) Tp Diagrammes de Bode d un correcteur P.I. i statique (régime permanent): annule l erreur statique. dynamique (régime transitoire) : augmente le temps de réponse (système moins rapide), et augmente l instabilité (introduit un déphasage supplémentaire de -90 ). Réglage du correcteur On place le correcteur de telle sorte que le déphasage positif soit effectif avant la pulsation de résonance du système non corrigé de manière à ne pas rendre le système instable. Chevalier F Lycée Henri Poincaré 83

5. Correcteur Proportionnel Dérivateur, PD Action dérivée Le principe de l'action dérivée consiste au contraire de l'action intégrale, à amplifier les effets des petites variations de la commande ou de la consigne afin d'améliorer la rapidité de réaction aux faibles écarts. Là encore l'action proportionnelle est modulée par un facteur K d (ou T d ). Il s'agit d'anticiper les évolutions du système pour y réagir le plus rapidement possible. De manière générale action dérivée, en compensant par anticipation les évolutions, tend à stabiliser la réponse : elle est donc en général stabilisatrice, tout du moins pour les valeurs limitées de K d. Cependant, on comprend aussi qu'une action dérivée trop élevée peut provoquer l'instabilité de type pompage en engendrant des réactions disproportionnées à la variation observée. De plus, l action dérivée est sensible aux signaux bruités qu'elle tend à amplifier. a) Dérivateur pur dε() t La loi de commande est de la forme ut () = Td, la fonction de transfert est donc : Cp ( ) = Td. p dt Ce type de correcteur est purement théorique, un système physique ne peut pas avoir un numérateur de degré supérieur au dénominateur. Le correcteur approchant permettant d avoir un effet dérivé est un correcteur de la forme : Td. p T Cp ( ) = avec τ = d et N entier > 1 1 + τ p N b) Correcteur Proportionnel Dérivé : P.D. La loi du correcteur PD est donc : Cp ( ) = K P Td. p 1 + τ p statique :(entrée en échelon ou évolution constante) le système n intervenant que sur la dérivée de l erreur, en régime permanent si l erreur est constante, le dérivateur n a aucun effet. dynamique: l intérêt principal de la correction dérivée est sont effet stabilisant, elle s oppose aux grandes variations de l erreur (donc aux oscillations), elle permet donc de stabiliser le système et d améliorer le temps de réponse. Réglage : La constante de dérivation doit permettre d agir (apporter une phase positive) avant la résonance du système non corrigé. 6. Correcteur proportionnel Intégrateur Dérivateur PID a) Principe L intérêt du correcteur PID est d intégrer les effets positifs des trois correcteurs précédents. la détermination des coefficients Kp, Ti, Td du correcteur PID permet d améliorer à la fois la précision (Td et Kp) la stabilité (Td) et la rapidité (Td, Kp). Le réglage d un PID est en général assez complexe, des méthodes pratiques de réglages permettent d obtenir des bons résultats. Chevalier F Lycée Henri Poincaré 84

Structure d un correcteur PID Diagramme de Bode On voit sur les diagrammes de Bode que le correcteur P.I.D se comporte pour le basses fréquences comme un intégrateur donc le système sera précis d un point de vue statique, aux hautes fréquences l avance de phase est de +90 donc une amélioration de la stabilité Réglage du correcteur P.I.D L objectif du réglage est de placer le correcteur de telle sorte que, autour de la pulsation de résonance du système non corrigé, l avance de phase soit positive et suffisante pour ne pas rendre le système instable. Il n y a pas de réelle méthode analytique permettant de calculer les composantes du correcteur, par contre des méthodes pratiques permettent une évaluation correcte des coefficients du correcteur. 7. Correcteur à avance de phase a) principe 1 a.. p Un correcteur à avance de phase est e la forme : C( p) = + τ avec a > 1. 1+ τ. p L intérêt de ce type de correcteur est de peu modifier le comportement du système aux basses et hautes fréquences mais de rajouter une phase positive autour du point critique de fonctionnement. Chevalier F Lycée Henri Poincaré 85

Ce type de correcteur se comporte autour du point critique comme un correcteur dérivé. Il permet d améliorer la stabilité sans changer les autres paramètres. Diagrammes de Bode Le maximum de phase se produit pour : ω m 1 a 1 = avec ϕm = arcsin τ. a a + 1 8. Correcteur Intégral «à retard de phase» Ce correcteur augmente le gain pour les basses fréquences. Sa fonction de transfert est : 1+ τ. p C( p) = b. avec b > 1. 1+ b. τ. p Réglage 1 Le minimum de phase se produit pour ω =. Ce minimum induit un effet néfaste pour la stabilité, c est m τ. b pour cela que l on prend ω m de 10 à 50 fois inférieur à ω c. Chevalier F Lycée Henri Poincaré 86

Ce correcteur permet d améliorer la rapidité et la précision, sans trop toucher à la stabilité ( s il est bien dimensionné ). Diagramme de Bode 9. Correcteur mixte 1+ a. τ1. p 1+ τ 2. p Il associe en série les correcteurs par avance et retard de phase. C( p) = C0.. 1+ τ. p 1+ b. τ. p Le réglage s effectue en respectant les consignes précedentes. 1 2 10. Méthode pratique de réglage d un correcteur P, P.I ou P.I.D - Méthode de Ziegler Nichols Principe Les correcteurs PI et P.I.D sont parmi les correcteurs analogiques les plus utilisés. Le problème principal réside dans la détermination des coefficients Kp, Ti, Td du correcteur. Plusieurs méthodes expérimentales ont été développées pour déterminer ces coefficients. La méthode développée par Ziegler et Nichols n est utilisable que si le système étudié admet les dépassements. La méthode consiste à augmenter progressivement le gain d un correcteur proportionnel pur jusqu'à la juste oscillation. On relève alors le gain limite (K lim ) correspondant et la pulsation des oscillations ω osc. À partir de ces valeurs Ziegler et Nichols proposent des valeurs permettant le réglage des correcteurs P, P.I et P.I.D. Correcteur P P.I P.I.D Kp 0,5.K lim 0,45.K lim 0,6.K lim Ti 0,83.T osc 0,5. T osc Td 0 0 0,125. T osc Chevalier F Lycée Henri Poincaré 87

11. Domaine d utilisation des différents correcteurs Chevalier F Lycée Henri Poincaré 88