Correction TD de probabilités Exercice 1 On lance deux fois une pièce considérée comme bien équilibrée. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un face? On décrit l univers des possibles Ω associé à cette expérience aléatoire. Ω,,,,,,, Trois évènements élémentaires remplissent la condition : obtenir au moins un face. On peut induire sur cet univers la tribu PΩ en considérant que l'on est dans une situation d'équiprobabilité. En effet la pièce étant bien équilibrée, on peut considérer qu'il y a équiprobabilité des sorties de pile ou face à chaque lancer et indépendance de deux lancers successifs. Chaque résultat pour deux lancers aura donc une probabilité égale à 1 2 1 2 1 4 et donc l'évènement : obtenir au moins un face a une probabilité égale à 3/4 Exercice 2 Dans une assemblée de personnes, quelle est la probabilité qu'aucune des personnes n'ait le même jour anniversaire on exclura le cas où certaines personnes sont nées le 29 février et l'on considèrera donc que l'année à 365 jours Si l'on considère l'ensemble des personnes et l'ensemble des jours de l'année, on peut associer à chaque élément de son jour anniversaire. Ω est donc l'ensemble des -uplets de jours de l'année correspondant aux anniversaires des personnes d'un groupe. C'est donc aussi l'ensemble des applications de l'ensemble dans l'ensemble. Il y a 365ⁿ applications possibles de ce type, donc Ω365ⁿ Chacun de ces -uplets a a priori la même probabilité que tous les autres. On induit donc une mesure de probabilité uniforme. Les applications de dans qui remplissent la condition de l'énoncé, à savoir qu'aucune des personnes n'ait le même jour anniversaire sont des injections de dans. Il y en a La probabilité de l'évènement est donc 365 Remarquons que l'évènement contraire a une probabilité égale à 1 Cet évènement correspond au fait qu'au moins deux personnes parmi les qui ont le même jour d'aniversaire. Pour 50 personnes, on aura 1 365 0.97
Il y a 97% de chances que parmi 50 personnes au hasard, deux d'entre elles aient le même jour d'anniversaire. Exercice 3 On rencontre un individu inconnu dans un train. Il propose jouer à pile ou face et il gagne. Quelle est la probabilité que ce soit un tricheur? On suppose que si le joueur triche, il gagne à tous les coups. On considère en outre que la probabilité de gagner sans tricher est de 1/2. Appelons l'évènement : l'individu est un tricheur. On pose. 1. On veut calculer. 1 2 1 1 2 1 enfin : 2 1 2 1 1 Cette probabilité dépend bien entendu de la proportion de tricheurs dans la population. Si l on considère qu il y a 10% de tricheurs, on pose que 0,1. On obtient alors : 0,2 1,1 2 11 0,18 Exercice 4 Une urne contient deux pièces : une biaisée et une non biaisée. La probabilité d'obtenir face lorsqu on lance la pièce biaisée est. On tire au hasard une pièce de l'urne équiprobabilité et on la lance. On obtient face. Quelle est la probabilité que la pièce choisie soit la pièce biaisée? Appelons l évènement : «on tire la pièce biaisée» et l évènement : «on obtient face». On cherche. Or 1/2. Et et 1/2. donc On en déduit : 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 21 4 1 2 2 21 21 4
Exercice 5 Un fumeur décide de ne plus fumer. S'il ne fume pas le jour, il ne fumera pas le jour 1 avec la probabilité 2/3. S'il fume le jour, il ne fumera pas le jour 1 avec la probabilité 1/2. Quelle est la probabilité qu'il ne fume pas le jour? Appelons l évènement : le fumeur fume le jour. La famille, est un système complet d'événements ; on écrit D après le théorème des probabilités totales, on a : 1 2 2 3 1 2 1 2 3 On pose. donc : 1 2 1 6 1 2 1 6 La suite est arithmético-géométrique. On peut penser que le fumeur ayant décider de s arrêter de fumer, le premier jour il ne fumera pas et donc que 1. On résout l équation 1 2 1 6 On trouve 3/5. Soit 3/5. On vérifie simplement que est une suite géométrique de raison 1/6. Donc 1 6 3 5 1 6 2 5 1 6 Et donc 3 5 2 5 1 6 Exercice 6 Une urne contient boules numérotées de 1 à 2. 1 On tire successivement et sans remise les boules. a Sachant que la boule numéro 1 est sortie au premier tirage, quelle est la probabilité que la boule numéro 2 sorte au deuxième tirage. Puisque l on tire successivement et sans remise les boules, le résultat de cette expérience est une liste ordonnée sans répétition des boules, c est-à-dire un rangement de ces boules. Ω est donc l ensemble de ces -uplets. Il contient! éléments dont on peut considérer qu ils sont équiprobables. ppelle l événement : «la boule 1 est sortie au -ième tirage» et l événement : «la boule 2 est sortie au -ième tirage»
On cherche. card card L ensemble est constitué des listes dont le premier élément est le 1. Pour construire une telle liste, on doit placer les 1 boules restantes sur les 1 places restantes. Il y a 1! façons de le faire. Donc card 1!. De la même façon, l ensemble est constitué des listes commençant par 1 et 2. Il reste à placer les 2 boules restantes sur les 2 places restantes. Il y a 2! façons de le faire. donc card 2!. Et donc 2! 1! 1 1 b Sachant que la boule numéro 1 n'est pas sortie au premier tirage, quelle est la probabilité que la boule numéro 2 sorte au deuxième tirage. On cherche. : card card Ω donc card card cardω, donc card!1!1!1 Une autre façon de trouver ce cardinal est la suivante : pour construire un -uplet tel que la première boule ne soit pas la boule 1, on effectue une opération à deux étapes : la première consiste à choisir pour la première place l une des 1 boules qui ne sont pas la boule 1. Il y a 1 façons de le faire. La deuxième consiste à ranger les 1 boules restantes après ce choix sur les 1 places restantes : il y a 1! façons de le faire. donc card11! L ensemble correspond aux listes dans lesquelles la première boule n est pas la boule 1 et la deuxième boule est la boule 2. Pour la première boule, on doit donc exclure les boules 1 et 2. Il y a donc 2 choix possibles. On place ensuite la boule 2. Il reste à placer les 2 boules restantes sur les 2 places restantes. Il y a 2! façons de le faire. donc : card 22! Une autre façon de trouver ce résultat est la suivante. On peut écrire L ensemble est constitué des listes pour lesquelles la boule 2 est en deuxième place. On doit donc ranger les 1 boules restantes sur les 1 places restantes. Il y a 1! façons de le faire. Donc card 1! donc donc card card card 1!2! 2!2
22! 2 11! 1 2 On tire simultanément boules 2 a Sachant que la boule numéro 1 a été tirée, quelle est la probabilité que la boule numéro 2 ait aussi été tirée. L univers des possibles est constitué par l ensemble des parties à éléments que l on peut constituer avec les boules. Il y en a. Appelons un tirage contenant la boule 1 et un tirage contenant la boule 2. Il y a 1 tirages contenant la boule 1 et 2 tirages contenant les deux boules 1 et 2. 1 2 Donc card 1 et card2 1 2. donc : 2 2 card card 1 1 1 1 b Sachant que la boule numéro 1 n'a pas été tirée, quelle est la probabilité que la boule numéro 2 l'ait été. On cherche. card card Or est constitué des sous ensembles à éléments ne contenant pas la boule 1. Il a donc fallu choisir les boules parmi les 1 restantes. donc : card 1. est constitué par les sous ensembles à éléments ne contenant pas la boule 1 mais contenant la boule 2. Il a donc fallu choisir 1 boules parmi les 2 disponibles, donc card 2 1. donc 2 1 1 1 Exercice 7 On dispose de trois urnes contenant des boules indiscernables au toucher. U₁ contient : 2 rouges, 3 blanches, 5 vertes U₂ contient : 4 rouges, 5 blanches, 0 verte. U₃ contient : 0 rouge, 3 blanches, 6 vertes. On tire une boule dans U₁ et on la place dans U₂; puis on tire une boule dans U₂ et on la place dans U₃; puis on tire une boule dans U₃ et on la place dans U₁. On désigne pour 1,2 ou 3
:"on obtient une boule rouge au -ième tirage " :"on obtient une boule blanche au -ième tirage" :"on obtient une boule verte au -ième tirage". Calculer la probabilité de l'évènement : "la composition de l'urne U₁ n'a pas varié". Indication : vérifier que ₁₃₁₃₁₃ La composition de l urne n a pas varié Si l on tire une boule d une couleur donnée dans l urne, on doit tirer une boule de la même couleur dans l urne pour voir le même nombre de boules de chaque couleur à la fin du processus. donc ₁₃₁₃₁₃ ₁₃ donc 1 10 5 10 2 10 00 1 100 ₁₃ donc 3 10 4 10 3 10 4 10 6 10 3 10 0 108 1000 enfin ₁₃ donc 6 10 4 10 5 10 6 10 5 10 5 10 7 10 1 10 5 10 305 1000 Donc 10 108 305 423 1000 1000 1000 1000 Exercice 8 Une urne contient au départ une boule blanche et une boule noire. On effectue une suite de tirages dans cette urne suivant divers protocoles. On désigne par l'évènement : "on obtient une boule blanche au -ième tirage" et par l'évènement : "on obtient une boule noire au -ième tirage". 1 Première expérience * si la boule tirée est blanche, on la remet dans l'urne. * si la boule tirée est noire, on la remet dans l'urne et l'on ajoute une boule blanche dans l'urne.
a Déterminer PB₁,PN₁,PB₂,PN₂,PB₃,PN₃. aussi 1 2 1 2 donc 1 2 1 2 1 3 1 2 5 12. donc 1 2 1 2 2 3 1 2 7 12. Ce qui donne : 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 2 3 1 2 1 2 2 3 1 2 1 3 3 4 23 36. Ce qui donne 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 1 3 1 2 1 2 1 3 1 2 1 3 1 4 13 36 b Déterminer PB₁B₂,PN₁N₂. 1 2 1 2 1 4 1 2 1 3 1 6
c Déterminer plus généralement ₁₂... et ₁₂.... Si chacun des événements est réalisé, l urne reste inchangée lors des tirages. donc :... 1 2 Si chacun des événements est réalisé, on ajoute une boule blanche à chacun des 1 tirages précédant le dernier. Avant d effondrer le tirage numéro, l urne contient boules blanches et une boule noire. donc : 1 2 1 3 1 1 1 1! 2 Deuxième expérience * Si la boule tirée est blanche, on la remet dans l'urne et l'on ajoute deux blanches * Si la boule tirée est noire, on la remet dans l'urne et l'on ajoute une noire. a Déterminer PB₁,PN₁,PB₂,PN₂,PB₃,PN₃. bien sûr : également 1 2 3 4 1 2 1 3 1 2 13 24 1 4 1 2 2 3 1 2 11 24 1 2 3 4 5 6 1 2 1 3 3 5 1 2 1 4 3 5 1 2 2 3 1 4 137 240 1 2 3 4 1 6 1 2 1 3 2 5 1 2 1 4 2 5 1 2 2 3 3 4 103 240
b Déterminer ₁₂,₁₂. 1 2 3 4 3 8 1 2 2 3 1 3 c Déterminer plus généralement ₁₂... et ₁₂.... Raisonnons par récurrence. On pose donc On cherche donc la probabilité d obtenir une boule blanche au 1-ième tirage sachant que l on a obtenu des boules blanches à chacun des tirages précédents. donc ajouté à chaque fois deux nouvelles boules blanches, c est-à-dire 2 boules blanches. A l issu des tirages l urne contient 21 boules blanches et une boule noire. donc 21 22 Soit, on a : 21 22 donc pour tout entier 1 21 22 Donc 21 22 Il s agit de dominos multiplicatifs. donc 21 22 En effet d autre part Et 13 21 2! 222 2! 13 23 1234 212 24 2 24 222! 1234 2122!
Donc Et donc Et donc enfin 13 23 2! 2! 2! 2! 2! 2! 2! 2! 2! 2! 2! 2! 2! 1 22!2! Comme pour le cas des boules blanches, on pose donc On cherche donc la probabilité d obtenir une boule noire au 1-ième tirage sachant que l on a obtenu des boules noires à chacun des tirages précédents. donc ajouté à chaque fois une nouvelle boule noire, c est-à-dire boules noires. A l issu des tirages l urne contient 1 boules noires et une boule blanche. donc 1 2 Soit, on a : 1 2 donc pour tout entier 1 1 2 Donc donc Et donc d Déterminer et. 1 2! 2 1! 1 2 2 1 2 1 1 2 21 1 1
5 16 1 2 1 3 3 5 1 10 Donc de même : 5 16 1 10 99 13 130 24 1 2 1 4 3 5 Donc 3 40 5 16 3 40 93 137 137 240 Exercice 9 Une urne contient des boules blanches, noires et rouges, dans les proportions respectives :,, telles que 01,01,01. On effectue une suite de tirages successifs avec remise dans cette urne. Déterminer les probabilités des évènements suivants : 1 : "les premiers tirages ne sont pas rouges" On peut décrire l évènement sous la forme suivante : Par indépendance mutuelle, on a 1 2 : "une boule rouge apparaît pour la première fois au -ième tirage" 1 ura de la même façon : Par indépendance, on aura 1
3 : "une boule rouge apparaît pour la première fois au -ième tirage et une boule blanche apparaît pour la première fois au -ième tirage" 1,1 par indépendance 1