Correction des exercices de résolution de problèmes

Correction des exercices de résolution de problèmes Problème 1 Première méthode Soit n le nombre de personnes inscrites. Si toutes les personnes inscrites avaient participé à l excursion, le prix total payé P aurait été égal à n x 25 euro. Finalement seules n 3 personnes ont participé à l excursion et chacune d entre elles a payé (25 + 1,5) euros soit 26,5 euro. Le prix total P de l excursion est donc égal à (n 3) x 26,5 euro. On peut donc écrire les égalités suivantes : n x 25 = (n 3) x 26,5. n x 25 = (n 3) x 26,5 n x 25 = (26,5 x n) (3 x 26,5) (26,5 x n) (25 x n) = 79,5 1,5 x n = 79,5 n = 53. Il y avait 53 personnes inscrites à l excursion. Seconde méthode Les trois personnes absentes auraient payé 75 euros. Ces 75 euros doivent être compensés par les 1,50 euros payés par les p personnes qui participent à l excursion, ce qui se traduit par px1,5 = 70. Il y a donc 75 :1,5 = 50 personnes qui participent à l excursion. Il y avait 53 inscrits. Troisième méthode Les 3 absents auraient du payer chacun 25 euros. Chaque présent a payé 1,5 euros en plus pour trois ces absents et donc pour chacun des absents 1,5 euros : 3 = 0,5 euros. Le nombre de présents est donc égal à 25 : 0,5 = 50. Le nombre d inscrits est donc 53. Problème 2 Choix de l inconnue : Soit S la somme à partager Ecriture algébrique des informations : Le premier reçoit 1500 ; le second reçoit ; le troisième reçoit 500 ; le quatrième 300 + Mise en équation : 1500 + + 500 + 300 + = S + + + S = 1700 Résolution de l équation : Le plus petit dénominateur commun à 2, 3, 4 et 5 est 60 : 2x30 = 3x20=4x15=5x12=60 On peut réduire au même dénominateur : 77S 60S = 102 000 17S = 102 000 S = 6 000 On peut aussi calculer de la manière suivante : 30S + 15S + 20S + 12S - 60S = 102 000 + + + S = 1700 17S = 60 x 1700 S = 60 x 100 en divisant les deux membres de l égalité par 17. S = 6 000 Interprétation et vérification du résultat : La somme reçue en euros par le premier est : (6000 : 2) 1500 = 3000 1500 = 1500 La somme reçue en euros par le second est : 6000 : 4 = 1500 La somme reçue en euros par le troisième est : (6000 : 3) 500 = 2000 500 = 1500 La somme reçue en euros par le quatrième est : 300 + (6000 : 5) = 300 + 1200 = 1500

Problème 3 Soit n le nombre de séances. 6n est le prix payés pour n places avec le tarif 1 et 30 + 4n est le prix payé pour n places avec le tarif 2. 6n > 30 + 4n 6n 4n > 30 2n > 30 n > 15 A partir de 16 séances, il est donc plus avantageux de prendre un abonnement. Problème 4 Soit x le nombre de personnes La somme à payer peut être calculée de deux façons : 60x+30 ou 70x 90 Donc 60x + 30 = 70x 90 soit 120 = 10x d où x=12 Il y avait donc 12 personnes et la somme à payer est 750 euros Problème 5 Soit S 3 la somme en euro possédée par Sophie avant d entrer dans le dernier magasin. La somme 1 dépensée dans ce magasin est 2 S 3 + 10. La somme possédée par Sophie à l issue de son achat dans ce magasin est donc : S 3 - ( 1 2 S 3 + 10) = S 3-1 2 S 3-10 = 1 2 S 3-10. Comme il ne reste plus d argent à Sophie lorsqu elle sort de ce magasin alors 1 2 S 3-10 = 0, d où S 3 = 20. Lorsqu elle sort du deuxième magasin, Sophie possède 20 euros. Soit S 2 la somme en euro possédée par Sophie avant d entrer dans le deuxième magasin. En faisant le même raisonnement que précédemment, lorsqu elle sort de ce magasin, la somme qu elle possède en euro est 1 2 S 2-10 et cette somme est égale à 20 euros. 1 2 S 2-10 = 20 On en déduit que S2 = 60. Lorsqu elle sort du premier magasin, Sophie possède 60 euros. Soit S 1 la somme en euro possédée par Sophie avant d entrer dans le premier magasin. En faisant le même raisonnement que précédemment, lorsqu elle sort de ce magasin, la somme qu elle possède en euro est 1 2 S 1-10 et cette somme est égale à 60 euros. 1 2 S 1-10 = 60 On en déduit que S1 = 140. Sophie avait donc 140 euros avant sa séance d achat. Problème 6 Soit a la longueur du rectangle et soit b sa largeur. Le demi périmètre de ce rectangle est a+b et vaut 40 m. Si on augmente sa largeur de 2 m, cette dernière devient b+2 et si on diminue sa longueur de 6 m, cette dernière devient a- 6. L aire de ce nouveau rectangle est (b+2) x (a-6). Elle est égale à l aire du premier rectangle soit à a x b. Développons l expression (b+2) x (a-6) : (b+2) x (a-6) = ab + 2a 6b -12 On a donc ab = ab + 2a 6b -12 soit 2a 6b = 12 qui est équivalente à l égalité a 3b = 6 On doit donc résoudre le système

Problème 7 Méthode algébrique Soit x le nombre de billes rouges et soit y le nombre de billes bleues. x + y = 100. En ajoutant 20 billes rouges, la boîte contient (x + 20) billes rouges. En ajoutant 30 billes bleues, la boîte contient (y + 30) billes bleues. Dans ce cas il y a deux fois plus de billes bleues que de billes rouges soit (y + 30) = 2 (x + 20), soit y -2x = 10. On doit alors résoudre le système de deux équations à deux inconnues : Le contenu initial de la boîte est 30 billes rouges et 70 billes bleues. Autre méthode On a ajouté 50 billes dans la boîte. Il y en a donc 150. Comme le nombre de billes bleues est le double de billes rouges, il y a 1/3 de billes rouges et 2/3 de billes bleues, soit 50 billes rouges et 100 billes bleues. On en déduit qu au début, il y avait dans la boîte (50 20 = 30) billes rouges et (100 30 = 70) billes bleues. Problème 8 Soit d le chiffre des dizaines et u celui des unités : si on met un 7 à droite de ce nombre d devient le chiffre des centaines, u celui des dizaines et 7 celui des unités, on aura donc : 100d +10u +7 = 10d+u+529 soit 90d + 9u = 522 et en divisant par 9 : 10d+u = 58 donc le nombre est 58. Problème 9 Soit x le nombre d étudiants et y le nombres de persoones qui paient le pein tarif : X + y = 80 La recette estde 645 donc 645 = 6x +9y D où le système suivant : x + y = 80 6x + 9y = 645 y = 80 x 6x + 9y = 645 y = 80 x 6x + 9(80 x) = 645 y = 80 x 3x = 75 y = 80 x x = 25 y = 80 25 x = 25 y = 55 x = 25 Problème 10 Soit x le prix d une rose et y celui d une fougère : 4x + 8y = 12 12x + 24y = 36 4y = 2 y = 0,5 y = 0,5 6x + 10y = 17 12x + 20y = 34 6x + 10y = 17 6x = 17 5 x = 2 Une rose coûte donc 2 et une fougère 0,5.

Vrai-Faux justifier : 1) Faux : (x 4) 2 = x 2 8x +16 et non x 2 16 2) Faux si (x + 2) 2 = 9 alors x + 2 =3 ou x + 2 = - 3 d où x = 1 ou x= - 5 3) Faux : 2(2x 2 x ) = 4x 2-2x 4) Vrai : car (2x 5) (3 4x) = 6x - 15-8x 2 + 20x 5) faux 0,1 2 =0,01 et 0,01< 0,1 6) vrai : cette équation équivaut à 3x2=(x 2 )(x + 2) avec x 0 et x 2 soit 2x 2 = - 4 avec x 0 et x 2. 7) Un carré n étant pas négatif cette équation n a pas de solutions dans l ensemble des réels. Sujet1 G1 2009-3 1) a) Développer et réduire l expression On note E = (x + 1) (x 1) (x + 2) (x 2) où x est un nombre réel. On peut développer tous les termes de cette expression ou alors utiliser l identité remarquable suivante : (a+b) (a-b) = a2 - b2 (où a et b sont des nombres réels). On obtient : E = x 2 1 (x 2 4) E = x 2 1 x 2 + 4 E = 3 L expression développée est : (x + 1) (x 1) (x + 2) (x 2) = 3 Remarque : L intérêt de ce développement est de remarquer que l expression initiale ne dépend pas de la valeur de x. 1) b) Résultat du calcul 297 x 295 298 x 294 (sans calculatrice) On peut utiliser le résultat précédent avec x = 296. En effet, on a : 297x 295 298 x 294 = (296 + 1) (296 1) (296 + 2)(296 2) Ainsi : 297 x 295 298 x 294 = 3. 2) Conjecture et démonstration Au vu des résultats proposés, on peut conjecturer que la propriété 1 est vraie. Preuve : Soient n et n + 1 deux entiers consécutifs. Leur somme est égale à : n + n + 1 soit 2n + 1. La différence de leurs carrés est égale à : (n + 1) 2 n 2 = n 2 + 2n + 1 n 2 soit 2n + 1. Donc la différence des carrés de deux entiers consécutifs est égale à la somme de ces deux entiers. Sujet2 Groupe 2 2008 1) Résolution du problème des bicyclettes et tricycles Méthode 1 (arithmétique) Il y a entre 3 et 10 bicyclettes donc le nombre de roues des bicyclettes peut être égal à 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 ou 20. Il y a entre 3 et 10 tricycles donc le nombre de roues des tricycles peut être égal à 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 ou 30. Le nombre total de roues est 31 et, quand on cherche à obtenir 31 comme somme d un nombre de la première liste et d un nombre de la seconde liste, on voit que seuls les couples (10 ; 21) et (16 ;15) conviennent. On a donc deux solutions «5 bicyclettes, 7 tricycles» et «8 bicyclettes, 5 tricycles». Méthode 2 (algébrique) Traduction des données On note b le nombre de bicyclettes et t le nombre de tricycles dans la cour. D après les données on sait que b et t sont deux entiers naturels tels que 3 b 10 (1) et 3 t 10 (2) De plus, 2b + 3t = 31 (3). Recherche des solutions On peut essayer toutes les valeurs possibles de b (respectivement t) et, en les remplaçant dans l équation (3), chercher s il existe un entier t (respectivement b) satisfaisant l égalité (3) et l inégalité

(2) (respectivement (1)). Cela nécessite de faire 8 essais (de b = 3 à b = 10 ou de t = 3 à t = 10). Mais on peut aussi remarquer que, d après (3), on a 2b = 31 3t, donc (31 3t) doit être un nombre entier pair. Comme 31 est impair, ceci est vrai si et seulement si 3t est impair (la différence de 2 nombres impairs est un nombre pair), c est-à-dire t impair. Cette remarque permet de limiter de moitié le nombre d essais à effectuer. Si t = 3, (3) est équivalent à 2b = 31 9 = 22, soit b = 11 : impossible car b 10. Si t = 5, (3) est équivalent à 2b = 31 15 = 16, soit b = 8 : c est une solution. Si t = 7, (3) est équivalent à 2b = 31 21 = 10, soit b = 5 : c est une solution. Si t = 9, (3) est équivalent à 2b = 31 27 = 4, soit b = 2 : impossible car b 3. Conclusion Il existe donc exactement deux solutions au problème : il peut y avoir dans la cour «5 tricycles et 8 bicyclettes» ou «7 tricycles et 5 bicyclettes». 2) Résolution du problème des chocolats Soit N le nombre de chocolats contenus dans la boîte. Méthode 1 Le nombre de chocolats N est, multiple de 5 (dans la division euclidienne de N par 5 le reste est nul) et impair (il reste 1 dans la division euclidienne par 2) : son chiffre des unités est donc 5. De plus, N est inférieur à 100, donc il appartient à la liste : 5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95. Le reste de la division euclidienne de N par 3 vaut 1, ainsi (N 1) est divisible par 3, donc les valeurs 5, 15, 35, 45, 65, 75 et 95 sont à écarter. Restent les valeurs 25, 55 et 85. Mais le reste de la division euclidienne de N par 4 vaut 1 ainsi la valeur 55 est à écarter. On en déduit que seuls les nombres 25 et 85 vérifient les hypothèses de l énoncé. Ainsi la boîte peut contenir 25 ou 85 chocolats. Méthode 2 D après l énoncé, le reste de la division de N par 2, 3 et 4 est 1 donc (N 1) est un multiple de ces trois nombres : (N 1) est un multiple commun à 2, 3 et 4, donc un multiple de leur PPCM, c est-àdire 12. Les multiples de 12, inférieurs à 99 (N < 100 donc (N 1) < 99), sont : 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96. Donc (N 1) est l un de ces nombres. Or, on sait de plus que N est un multiple de 5 donc le nombre (N 1) doit se terminer par le chiffre 4 ou le chiffre 9. Les seules possibilités sont alors N 1 = 24 ou N 1 = 84. On peut donc dire qu il y a 25 ou 85 chocolats dans la boîte. Sujet3 Créteil 2005-3 Méthode 1 : Mise en équation On note r le nombre de points de pénalités suite à un refus du cheval et b le nombre de points de pénalités suite à la chute d une barre. Les nombres r et b sont donc des nombres strictement positifs. L énoncé nous conduit au système de deux équations, à deux inconnues, suivant : De (2) on obtient : r = 19-4b. Par substitution de r par cette valeur dans l équation (1), on obtient : 2 x (19-4b) + 3b = 18. Soit 38-18 = 8b - 3b ou 20 = 5b C est-à-dire b = 4. On en déduit r = 19-16 = 3. La pénalité pour un refus est donc de 3 points, celle pour la chute d une barre de 4 points. Méthode 2 : En comparant les scores de Pierre et de Jean, on remarque qu en remplaçant un refus par une chute de barre, on augmente le score d un point. : On en déduit que 5 chutes de barre pénalisent de 20 points. Une chute de barre coûte donc 4 points de pénalité. En reprenant le score de Jean, on calcule qu un refus coûte 3 points. Sujet 4 G2-2006-1

= 12 x 12 On s arrête ici car si on poursuivait la décomposition systématique, on obtiendrait les mêmes produits par commutativité.

Sujet 5 G5-2007 -3 1) En utilisant un tableur 1) a) Solution du problème à partir de l observation de la feuille de calcul A la ligne n 16, dans la colonne «somme totale dépensée», on lit 877,50, ce qui correspond à la dépense totale exprimée en euro. Les indications contenues dans les colonnes «nombre d adultes» et «nombre d enfants», sur cette même ligne, constituent donc la solution du problème : il y a 12 adultes et 15 enfants. Remarque : On note également que cette feuille de calcul explore toutes les possibilités de répartition du groupe de 27 personnes en deux sous groupes (enfants et adultes). Cette feuille n est pas complète (il manque des informations sur les lignes n 21, 22 et 28), ainsi sans autre justification et sans compléter cette feuille, il n est pas possible d assurer l unicité de la solution trouvée. Méthode 1 En considérant les nombres apparaissant dans une même colonne et en se référant à la ligne 20 : - dans la première colonne, la suite des nombres est croissante de 1 en 1, donc après 16, on trouve 17 déjà noté ; - dans la deuxième colonne, la suite des nombres est décroissante de 1 en 1 à partir de 27, donc après 11, on a 10 ; - dans la troisième colonne, la suite des nombres est croissante de 45 en 45, donc après 720 on a : 720 + 45 = 765 ;

- dans la quatrième colonne, la suite des nombres est décroissante de 22,50 en 22,50 à partir de 607,50 ; donc après 247,50 on a : 247,50 22,50 = 225 ; - dans la dernière colonne, la suite des nombres est croissante de 22,50 en 22,50 à partir de 607,50 ; donc après 967,50 on a : 967,50 + 22,50 = 990. Méthode 2 En considérant les nombres apparaissant dans une même ligne : - dans la deuxième colonne : 27 17 = 10 - dans la troisième colonne : 17 x 45 = 765 - dans la quatrième colonne : 10 x 22,50 = 225 - dans la dernière colonne : 765 + 225 = 990 Remarque : Ces justifications n étaient pas explicitement demandées 1) c) Formules qui ont pu être écrites dans les cellules pour C4

Sujet 6 g2-2007-3 1) Détermination du nombre de parts de chaque sorte 1) a) Par une méthode algébrique Soit F le nombre de parts de flan pâtissier et T le nombre de parts de tarte aux pommes : Mise en équations des données de l énoncé : Méthode 1 (par substitution) On effectue dans l équation (A) une substitution de la valeur de F en fonction de T (F = 72 T) obtenue par l équation (B). On obtient : (1,5 (72 - T)) + 2 T = 122 108-1,5 T + 2 T= 122 0,5 T = 122-108 0,5 T = 14 T = 28 En remplaçant T par 28 dans l équation (B), on obtient F = 72 28 soit F = 44. Méthode 2 (par combinaison linéaire) On multiplie les deux membres de la première équation par (-1) et ceux de la deuxième par 2 pour ensuite éliminer l inconnue T en additionnant membre à membre les deux équations. On effectue la somme de ces deux équations membre à membre : 0,5 F = 22 F = 44 En remplaçant F par 44 dans la deuxième équation du système initial on peut calculer la valeur de T : T = 72 44 T = 28 44 parts de flan et 28 parts de tarte ont été vendues. 1) b) Par un raisonnement de type arithmétique Méthode 1 En s attachant à la contrainte du nombre de parts de gâteaux vendues (72 parts), on peut raisonner des deux manières suivantes : - si on n avait vendu que des parts de flan, la recette serait de 108 (72 1,5 ). La différence de recette de 14 (122 108 ) résulte de la vente de 28 parts de tarte

(14 : 0,5 = 28). En effet, l échange d une part de flan contre une part de tarte ne modifie pas le nombre de gâteaux mais augmente le coût total de 0,5 par part de flan échangée. Il y a donc 28 parts de tarte et 44 parts de flan. - si on n avait vendu que des parts de tarte, la recette serait de 144 (72 x 2 ). La différence de 22 (144 122 ) correspond donc à 44 parts de flan (22 : 0,5 = 44). En effet, l échange d une part de tarte contre une part de flan ne modifie pas le nombre de gâteaux mais diminue le coût total de 0,5 par part de tarte échangée. Il y a donc 44 parts de flan et 28 parts de tarte. Méthode 2 En s attachant à la contrainte du montant de la recette (122 ), on peut raisonner ainsi : - si on n avait vendu que des parts de tarte, le nombre de parts de tartes serait alors de 61 (122 : 2 = 61). La recette reste inchangée lorsque l on échange 3 parts de tarte contre 4 parts de flan (4 x 1,5 = 3 x 2 ). Chaque échange de ce type permet d avoir un gâteau de plus (4-3). Comme il manque 11 gâteaux (72 61), il faut donc pratiquer 11 échanges. Il y a donc 4 x 11 = 44 parts de flan et (61 (3 x 11)) = 28 parts de tarte. Sujet 7 Guadeloupe-2000-3 Trois motocyclistes ont pris ensemble le départ d'une course sur un circuit. Le second, dont la vitesse moyenne était inférieure de 7,5 kilomètres à l'heure à celle du premier et supérieure de 4,5 kilomètres à l'heure à celle du troisième, donc si v est sa vitesse, la vitesse du premier est v+7,5 et celle du troisième est v 4,5 en km/h. Il est arrivé 6 minutes après le premier et 4 minutes avant le troisième : donc si t est la durée de son parcours, sachant que 6 minutes sont égales à le premier est t - 1 10 6 60 = 1 4 h et que 4 minutes sont égales à 10 60 = 1 h, la durée du parcours pour 15 et celle du troisième est t + 1 15 en heures. D où le tableau suivant : Vitesse moyenne Durée du parcours Distance parcourue Premier coureur v + 7,5 1 t - D = (v + 7,5) (t - Deuxième coureur v t D = vt Troisième coureur v 4,5 10 t + 1 15 La distance parcourue étant la même dans les 3 cas, on obtient le système suivant : 1 10 ) D = (v 4,5) (t + 1 15 ) vt = (v + 7,5)(t 1 10 ) vt = (v 4,5)(t + 1 15 ) D = vt 0 = +7,5t v 1 10 7,5 1 10 0 = 0 4,5t + v 1 15 4,5 1 15 D = vt vt = vt + 7,5t v 1 10 7,5 1 10 vt = vt 4,5t + v 1 15 4,5 1 15 D = vt 0 = 75t v 7,5 0 = 67,5t + v 4,5 D = vt 0 = 75t v 7,5 0 = 67,5t + v 4,5 D = vt

7,5 = 75t v 7,5 = 75t v 4,5 = 67,5t + v 12 = 7,5t D = vt D = vt v = 75x1,6 7,5 = 112,5 t = 1,6 D = vt = 180 7,5 = 75t v t = 12 7,5 D = vt 7,5 = 75t v t = 1,6 D = vt 1,6 heures = 1h 36 minutes On obtient donc les résultats suivants : Vitesse moyenne Durée du parcours Distance parcourue Premier coureur 180 km/ h 1h 30 minutes 180 kms Deuxième coureur 112,5 km/ h 1h 36 minutes 180 kms Troisième coureur 108 km/ h 1h 40 minutes 180kms

Sujet 8 rennes 2000-1

Sujet 9 Lille -2000-1 Sujet 10 Nancy 2001-2

Sujet 11 bordeaux 2001-1