«Crêpe party» Projet de programme : cycle 3 Compétence attendue en fin de cycle 3 : Utiliser les nombres pour résoudre des problèmes impliquant des grandeurs mesurables (géométriques, physiques, économiques). Exploiter et communiquer les résultats de mesures en utilisant un langage précis qui repose aussi sur la maîtrise des unités, des grandeurs et l estimation de leur mesure. Démarches, méthodes et outils : Problèmes dont la résolution mobilise simultanément des unités différentes de mesure et/ou des conversions Extrait lié à la notion de masse : Analyse à priori : Niveau relatif cycle 3 - début cycle 4 C est une question ouverte, ce n est pas une tâche simple et isolée. Deux entrées semblent possibles : Partir des images (en faisant une entrée dans la tâche par les «œufs») Partir du texte en langage naturel (ingrédients traités par ordre d apparition) Ces deux entrées ont un point commun, le beurre est en dernier. Première procédure possible : Trouver par ingrédient le nombre de fois qu on peut réaliser la recette. Œufs : (cadre des entiers) Procédure additive 3+3+3+ =18 ou 18-3- 3 = 0 On peut s attendre à des interventions éventuelles sur la photo de type «barrer des œufs» Ou procédure multiplicative 3x6=18 ou 18 : 3=6, La division est une connaissance ancienne au cycle 4 Elle peut être en cours d acquisition au cycle 3. Elle n est pas indiquée, elle est donc de «fonctionnement disponible» ici. Lait : 1L = 3! L=! L : action possible de partage en tiers sur la bouteille.!! Connaissance ancienne : écriture fractionnaire avec notion de fraction partage. 2L =2! L! =! L! On peut aussi imaginer une procédure employant! = 1: 3 0,33 (fraction quotient), celle- ci sera peut! être favorisée par l accès libre à la calculatrice. (peut- être plus en cycle 3).
Farine : Une étape est à l initiative de l élève, celle de la conversion des unités, contrairement aux ingrédients précédents. L élève a un choix à faire, entre les unités : ou bien des grammes ou des kilogrammes. En choisissant les grammes : Ce choix est induit par une démarche initiée par les photos, en effet sur le paquet est indiqué 1kg L élève doit alors reconnaître une modalité d application d une conversion avec comme intermédiaire 1kg=1000g La conversion de kg en g est une connaissance ancienne, de fonctionnement disponible. En choisissant les kilogrammes : Un changement de registre est possible avec comme connaissance ancienne 0,25=!! 250g =0,25kg=! kg! 1g=0,001kg (conversion) procédure additive possible ou multiplicative: 250g 8 = 2000g ou encore 0,25kg 8 = 2kg! et dans un autre registre : kg 4 = 1kg! kg 8 = 2kg!! ou encore avec une division : 2000g : 250g = 8 Sel : Dans la recette écrite, la quantité de sel n est quantifiée que par une expression en langage naturel, «une pincée». Sur la photo, le pot de sel ne comporte aucune indication de masse. Il est alors nécessaire de faire un retour au réel, de sortir de la mathématisation du problème, l élève doit alors faire un changement de point de vue sur cet ingrédient par rapport aux autres. Le vocabulaire «pincée» peut poser problème si l élève n a aucun vécu de pratique de recette. Sucre : Là encore, la correspondance 1kg=1000g est nécessaire. Une procédure attendue est celle de la division de 1000 par 75 (ou encore 1 par 0,075 sans doute plus rare). Cette fois, le sens du quotient est posé au niveau de la division (1000 : 75 13,3 ) C est la première fois (hormis le sel), qu un reste d ingrédient apparaît alors qu on cherche à maximiser la quantité de pâte à crêpe. Deuxième procédure possible : Une fois le coefficient 6 obtenu pour les œufs, appliquer à tous les autres ingrédients x6. Lait : 6! L= 2L «prendre une fraction d une quantité» est une connaissance qui peut être ancienne! (cycle 4) ou en cours d acquisition (cycle 3) Farine : par exemple : 2kg : 6 0,33kg et 0,33kg > 0,25kg ( après conversion de 250g en kg, intermédiaire) Sucre : 6x75g=450g (il reste du sucre) Beurre : Deux choix possibles :
Une procédure avec division : 250g : 6 < 50g Une 2ème étape consiste à comparer le résultat au nombre de grammes nécessaire pour réaliser la recette pour 4 personnes. Une procédure multiplicative : En appliquant x6 6x50g=300g et 250g < 300g Ici, il faut ensuite comparer le résultat au nombre de grammes de beurre disponibles. Analyse à posteriori : Eléments de contexte : 5 e 1 Collège St Saens à Rouen, 29 élèves. Chronologie : Place dans la progression Ce scenario a eu lieu en amont de toute notion sur la proportionnalité afin de réactiver les «connaissances anciennes» des élèves à ce sujet. Alternative possible : On peut envisager ce scenario comme un point d ancrage pour apporter des connaissances aux élèves (voir autre analyse à posteriori d Hélène), en particulier au cycle 3. Programmation de 5 ème : Période 1 Période 2 Période 3 Période 4 Période 5 Travail sur le signe égal Fractions (1): Sens, simplification Puce, cadre, droites graduées Proportionnalité: durées, vitesse, proportions % Nombres relatifs (1): comparaison, repérage Nombres relatifs (2) Addition Symétrie: médiatrice Division décimale Foot Prismes droits: Usinage de boîtes (1) Cylindres: Usinage de boîtes (2) Aire d un disque Symétrie: Distributivité Fractions(2): Multiplication Fraction (3): Somme et différence Gestion de données (2) Symétrie: Jardins de Villandry Zigzag Travail sur les angles Quadrilatères particuliers Inégalité triangulaire Calcul littéral 3: Equations Expressions numériques: Le 4x4 + séance info Calcul littéral 1: Le poisson + programmes de calculs (messages) Angles et symétrie ( diapo apmep) Construction de triangles Somme des angles (concours) Proportionnalité: crêpes party Présentation de prismes Patron colorié Aire du parallélogramme Calcul littéral 2: Les 3 maisons Ou bicarrés Nombres relatifs (1): présentation Aire d un triangle Droites remarquables Volumes Volume 1L Nombres relatifs (3) soustraction
Le scénario s est déroulé sur deux séances consécutives d 1heure, avec Une recherche individuelle de 15 minutes, où les élèves avaient du brouillon à volonté ainsi que leur calculatrice si besoin. Une mise en groupe par quatre s est opérée ensuite avec attente de la part de l enseignant de la production d une synthèse de groupe. Quelques brouillons : Celui de Mathias montre ses premières actions de partage des ingrédients sur les photos, tandis que d autres élèves n ont laissé aucune trace sur celles- ci. Brouillon de Tom :
Pour chaque ingrédient, Tom recherche le nombre de personnes maximum pouvant avoir des crêpes et ainsi il dénombre par des essais successifs en ajoutant 4 personnes à chaque fois. Ses diverses façons de présenter ses calculs témoignent d une connaissance mobilisée de la notion de proportionnalité sans pour autant une standardisation de représentation par un tableau de proportionnalité.
Les dernières correspondances sont établies entre le nombre de personnes possibles par ingrédient, et la fourchette de nombre de crêpes (voir ci- dessous). Par contre, ne figure pas sur cette trace écrite la conclusion au problème. Il semble être laissé au lecteur la dernière ligne comme réponse. Trace écrite témoignant de la deuxième procédure : Une fois le coefficient 6 obtenu pour les œufs, appliquer à tous les autres ingrédients x6.
La farine semble poser problème, c est peut être l accès à la conversion g en kg qui est ici un intermédiaire non disponible pour cet élève. Sa recherche individuelle ne traite pas non plus le sucre, où cette conversion est aussi nécessaire. Par contre, l élève semble avoir identifié la proportionnalité, étant donné l affluence de tableaux avec coefficients. Analyse de quelques synthèses de groupes :
La production du groupe ci- dessous témoigne dans un premier temps de l approche de cette tâche par la première procédure Trouver par ingrédient le nombre de fois qu on peut réaliser la recette. Il est remarquable de repérer combien ce groupe est attaché à la structure en tableau. Il témoigne d un questionnement sur la nature proportionnelle ou pas de ce dernier.
Ensuite, le coefficient x2 est choisi, le groupe envisage alors de doubler les ingrédients de la recette proposée. Il bascule alors dans la deuxième procédure qui consiste à tester un coefficient choisi, ici 2 et non pas 6. Dans cette 2 e stratégie, nous observons que : pour le lait : la multiplication d une fraction par un nombre n est pas disponible. 2!!!! pour le sucre : nous avons successivement deux erreurs de conversions et en particulier dans la deuxième partie La conversion de grammes en kilogrammes n est pas une connaissance disponible. 75g faisant pour ce groupe 0,75kg et donc 1kg 100g. Le sucre devient alors un ingrédient bloquant, ce qui est exprimé dans leur conclusion. Pour le deuxième groupe : les ingrédients sont étudiés en partant de la farine. Des divisions sont effectuées, et un quotient est donné (ligne «résultat»), de façon exacte ou approchée.
Alternatives : Proposer bien en amont en calcul mental des conversions de façon à automatiser des conversions, si les actions et objets du quotidien ne suffisent pas à créer chez certains élèves ces correspondances. Ces automatismes permettront aux élèves de dépasser l'usage du tableau en revenant un sens.
Une première piste (ci- dessus) Source : Activités mentales, automatismes au collège, APMEP, Irem de Clermont- Ferrand, brochure n 191, septembre 2010 Une deuxième piste : un entrainement par séance via les fichiers ressources de l association Tournoi de Calcul Mental voir blog http://tournoicalculmental.unblog.fr/ Si le tournoi par classe est une motivation, c est aussi un prétexte à un entrainement quasi quotidien, dont la progression propose une variété de calculs tout au long de l année. Dans l épreuve blanche proposée en 2012-2013, dont voici un extrait, les conversions, les écritures fractionnaires sont travaillées parmi d autres notions.
D autres tâches possibles sont proposées sur le thème de la recette des crêpes, comme Des crepes- au- college.pdf (en début de cycle 4) ou Les- crepes- du- boulanger.pdf (plutôt en 2 ème année de cycle 4) En cycle 3 : L expérimentation présentée (voir document Hélène) s est poursuivi par l exposition des connaissances suivantes, visées par cette tâche :
Une fois le vocabulaire défini, les propriétés de linéarité ont découlé des synthèses des différents groupes.